Download - Bab 2 Fungsi Riilnew1
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
1/54
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
2/54
"isalkan A , B⊆ R
yang tidak kosong, sebuah fungsi f : A → B adalah suatu
aturan yang mengkaitkan setiap unsur x∈ A dengan tepat satu nilai y∈B .
#impunan A disebut domain (daerah asal), dan himpunan B disebut
kodomain, sedangkan himpunan semua nilai y=f ( x) yang diperoleh di dalam
B, disebut range$image (daerah nilai) dari
f .
%nsur y yang berkaitan dengan unsur x ini diberi lambang y=f ( x) yang
dinamakan aturan fungsi$persamaan fungsi. !i sini x dinamakan peubah bebas
(&ariabel independen) dan y
yang nilainya bergantung pada x dinamakan
peubah terikat (&ariabel dependen). 'ika persamaan fungsi y=f ( x ) , x∈ A , maka
domain fungsi f adalah himpunan A , dinotasikan Df = A dan range fungsi
adalah himpunan Rf ={ f ( x ) : x∈ A } . %nsur f ( x )∈B dinamakan nilai fungsi di
x . 'ika diketahui persamaan fungsi y=f ( x) dan daerah asal tidak disebutkan
secara spesifik, maka daerah asal yang dimaksud adalah daerah asal alamiah
(natural domain) dari fungsi, sehingga daerah asal dan daerah nilai fungsi adalah*
Df ={ x∈ R: f ( x )∈ R } danR f = {f ( x )∈ R : x∈ D f } .
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
3/54
R
x f D
f
f
f R f D
)( x f x)( x f y =
!alam hal ini daerah asal dan daerah nilai fungsi semuanya himpunan bagian dari
R. +ungsi ini dinamakan fungsi dengan peubah riil dan bernilai riil, atau cukup
dikatakan fungsi riil.
+ungsi riil y= f ( x) dapat digambarkan dalam bentuk diagram panah seperti pada
gambar 2.2.
otasi fungsi, untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f
(atau g atau F ). "aka f ( x) , yang dibaca f dari x atau f pada
x , menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x .
-ontoh 2.
'ika f ( x )= x2−4 , maka f ( 2 )=2
2−4=0 , f (−1 )=(−1 )2−4=−3 ,
f ( a )=a2
−4 , f ( a+h )=( a+h )
2
−4=a2
+h2
+2 ah−4 .
-ontoh 2.2
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
4/54
"isalkan g ( x )=1/ x , cari dan sederhanakan
g (a+h )−g(a)h
enyelesaian* ertama kita mencari nilai fungsig
pada x=a+h
dan x=a
.
'adi kita peroleh g (a+h )=1/(a+h) dan g (a)=1 /a . /emudian kita bagi dengan
h selisih
g (a+h )−g (a). "aka
g (a+h )−g(a)h
=
1
a+h−
1
a
h =
a−(a+h)ah(a+h)
= −1
a2+ah
.
-ontoh 2.0
1entukan daerah asal dan daerah hasil fungsi f ( x )=3+√ 1−2 x dan
g ( x )=( x+1)/( x−2).
enyelesaian* %ntuk fungsi f ( x )=3+√ 1−2 x , agar f terdefinisi maka nilai
f ( x) haruslah riil, maka syaratnya persamaan dalam akar tak negatif, 1−2 x ≥ 0
. "aka hal ini dipenuhi oleh x ≤ 1/2
. Sehingga daerah asal fungsi adalah
Df ={ x∈ R : x ≤ 12}=(−∞ , 12 ].
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
5/54
/emudian untuk setiap x dalam daerah asal fungsi berlaku √ 1−2 x ≥ 0 , maka
nilai f ( x )=3+√ 1−2 x ≥ 0 . Sehingga daerah nilai fungsi adalah
Rf ={ y∈ R : y ≥ 3}=[3, ∞ ) .
%ntuk fungsi g( x)=( x+1)/( x−2) , agar g( x) terdefinisi, yaitu g ( x )∈ R ,
syaratnya bentuk pembilangnya tidak boleh . "aka x−2 ≠0 atau x ≠ 2 .
Sehingga daerah asalnya adalah Dg={ x∈ R : x ≠2 }= R− {2 } . %ntuk menentukan
daerah nilai fungsig
, tuliskan bahwa y=( x+1)/( x−2) . /emudian nyatakan
x dalam y
,
y ( x−2 )= x ( y−1)⟹ x ( y−1)=2 y+1
⟹ x=2 y+1 y−1
, y ≠ 1.
'adi daerah nilai fungsi adalah Rf ={ y∈ R : y ≠ 1 }= R−{1 } .
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
6/54gambar 2.4 Kurva fungsi
gambar 2.3 Kurva fungsi g ( x )=( x+1)/( x−2)
+ungsi f juga dapat digambarkan sebagai kur&a yang memuat semua pasangan
bilangan ( x , y ) dengan y=f ( x) . !aerah asal f tidak lain adalah proyeksi
kur&a pada sumbu x
(garis riil mendatar) dan daerah hasilnya adalah proyeksi
kur&a ke sumbu y (garis riil tegak). Sebagai contoh dapat kita lihat grafik fungsi
g pada contoh 2.0 di gambar 2.0.
-ontoh 2.3
1entukan grafik, domain dan range fungsi f ( x )= x2
−2 x−1,−1≤ x ≤2 .
enyelesaian* Berdasarkan persamaan
fungsinya, grafiknya dapat dilihat pada
gambar 2.3. !ari fungsinya, maka daerah
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
7/54
asal fungsi adalah Df =[−1,2 ] . %ntuk
menentukan rangenya, persamaannya
menjadi y=( x−1 )2−2 , kemudian
tentukan rentang nilai y
untuk
−1 ≤ x ≤ 2 .
−1 ≤ x ≤ 2⇒−2 ≤ x−1≤ 1
⇒0 ≤ ( x−1)2≤ 4
⇒−2≤ ( x−1 )2−2 ≤ 2
⇒−2≤ y ≤2.
Berdasarkan hasil di atas, maka rangenya adalah Rf =[−2,2] .
-ontoh 2.4
1entukan domain, range, dan gambarkan grafik untuk fungsi f ( x )=√ 2− x− x2
.
enyelesaian* 5gar f ( x )∈ R , maka 2− x− x2
≥0 . Solusi ketaksamaannya
adalah
x2+ x−2≤ 0⇒ ( x+2 ) ( x−1 ) ≤ 0
⇒−2≤ x ≤ 1.
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
8/54
gambar 2.5 kurva fungsi
'adi domainnya adalah Df =[−2,1 ] .
6angenya diperoleh dengan cara
menuliskan bentuk dalam akar menjadi
bentuk kuadrat sejati,
y=√ 9
4−( x+ 12 )
2
, y ≥ 0.
'ika dikuadratkan maka diperoleh
y2=
9
4−( x+ 12 )
2
, y ≥ 0
ma ⇒( x+ 12 )
2
+ y2=9
4 y ≥ 0.
'adi nilai y
yang memenuhi adalah0 ≤ y ≤
3
2 . Bentuk itu merupakan persamaan
setengah lingkaran yang berpusat di titik (−12 ,0) dan berjari7jari3
2
sebagaimana terlihat pada gambar 2.4.
Salah satu hal yang juga penting dalam menggambar grafik fungsi adalah bentuk
fungsi genap dan ganjil. engertian keduanya diberikan pada definisi 2.2.
!efinisi 2.2
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
9/54
gambar 2.6 kurva sebuah fungsi genap dan fungsi ganjil
+ungsif
dikatakan sebagai fungsi genap jika untuk setiap x∈ D f berlaku
f (− x )=f ( x ) . 'ika f (− x )=−f ( x ) untuk setiap x∈ D f , maka f disebut
fungsi ganjil.
!ari definisi tersebut, grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y
dan grafik
fungsi ganjil simetri terhadap (0,0) . Sebuah fungsi bukanlah fungsi genap jika
terdapat x∈ D f sehingga f (− x )≠ f ( x ) dan juga bukan fungsi ganjil jika
terdapat x∈ D f sehingga f (− x )≠− f ( x ) .
-ontoh 2.8
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
10/54
+ungsi f ( x )= x2+3 merupakan fungsi genap, karena
f (− x )=(− x )2+3= x2+3=f ( x) . Sedangkan g ( x )=2 x3+4 x adalah fungsi ganjil
sebab g (− x )=2 (− x )3+4 (− x )=2 (− x3 )+4 (− x )=−2 x3−4 x=−(2 x2+4 x ) . 9rafik
fungsi diberikan pada gambar 2.8.
+ungsi h ( x )= x2
+2 x adalah fungsi yang bukan fungsi genap dan juga bukan
fungsi ganjil, karenah (− x ) ≠ h( x) ataupun h (− x ) ≠−h ( x) . Sedangkan
F ( x )=0 ini adalah jenis fungsi yang merupakan fungsi ganjil sekaligus fungsi
genap. erhatikan bahwa F (− x)=− F ( x )= F ( x )=0 untuk semua x∈
R .
2.2Operasi pada fungsi
"isalkan f ( x )= x dan g ( x )=2 x , penjumlahan f ( x) dan g( x)
dinyatakan oleh f +g ( x )=f ( x )+g ( x )=3 x . :perasi aljabar ini mendefinisikan
sebuah fungsi baru yang disebut sebagai jumlah dari f dan g , dilambangkan
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
11/54
gambar 2.7 Ilusrasi domain fungsi hasil operasi penjumlahan
dengan f +g . Secara umum definisi untuk fungsi hasil operasi aljabar diberikan
pada definisi 2.0. !efinisi itu berlaku jika fungsi f dan g terdefinisi.
!efinisi 2.0
"isalkanf
dang
adalah dua buah fungsi. "aka jumlah, selisih, hasil kali dan
hasil bagi dari keduanya ditulis f +g , f −g , fg , danf
g , dengan aturan
bahwa untuk setiap x∈ D f ∩ Dg berlaku*
f +g ( x )=f ( x)+g ( x ) fg ( x )=f ( x) g( x ) ,
f −g ( x)=f ( x )−g ( x ) f g
( x )= f ( x )g ( x )
, g ( x )≠ 0.
'ika domain fungsi hasil operasi ini ditentukan setelah aturan operasinya, maka
Df +g= Df −g= D fg= Df ⋂ Dg sedangkan D f
g
= Df ⋂ Dg− { x∈ R : g ( x )=0 }.
Ilustrasi sederhana ditunjukkan pada gambar 2.;.
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
12/54
/ita juga boleh memangkatkan suatu fungsi dengan notasi f n
, kita maksudkan
fungsi yang memberikan nilai [ f ( x ) ]n
pada x .
-ontoh 2.;
!iberikan fungsif ( x )= x3+2 x2
dang ( x )=3 x2−1
. 1entukan hasil operasi
aljabar kedua fungsi tersebut,f ∗g
.
enyelesaian* 'umlah dari f dan g adalah
f +g ( x )=f ( x )+g ( x )=( x3+2 x2 )+(3 x2−1)= x3+5 x2−1.
!omain natural untuk kedua fungsi adalah R , jadi domain hasil operasi
penjumlahannya adalah Df +g= R .
!engan cara yang sama bentuk fungsi hasil operasi lainnya untuk f ∗g dan
domainnya diberikan pada tabel 2..
1abel 2. +ungsi hasil operasi aljabar dua fungsi
:perasi 5turan fungsi !omain
enjumlahan x3+5 x2−1 R
engurangan x3− x2+1 R
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
13/54
gambar 2.! komposisi dua fungsi
erkalian 3 x5+6 x4− x3−2 x2 R
embagian x
3
+2 x2
3 x2−1
R−{−1
√ 3 , 1√ 3}
:perasi fungsi yang lain, adalah operasi fungsi bersusun. "isalkan f dan g
adalah dua fungsi yang didefinisikan sebagai berikut*
f : A →B dan g : D→ C
'ika Rf ⋂ Dg ≠∅ , maka terdapat fungsi
h : A →C yang merupakan fungsi
komposisi dari f dan g , gof yang aturannya ditentukan oleh*
h ( x )=gof ( x )=g ( f ( x) ) .
Ilustrasi fungsi komposisi diperlihatkan pada gambar 2.< menunjukkan nilai fungsi
f pada∀ x∈ A kemudian diteruskan oleh fungsi g .
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
14/54
!omain fungsi komposisi gof adalah himpunan Dgof = { x∈ Df : f ( x )∈ Dg } .
5dapun rangenya adalah Rgof ={ y∈ Rg: y=g (t ) ,t ∈ R f } . !alam hal ini domainnya
tidak lain adalah himpunan bagian dari domain f .
+ungsi komposisifog
dirancang serupa, dengan f dan g saling bertukar peran.
"isalnya Rg⋂ Df ≠ ∅ , maka fungsi komposisi dari f dan g ( g
dilanjutkanf
) ditulisfog
dan aturannya ditentukan oleh fog ( x )=f ( g ( x ) ) .
!aerah asal dan derah hasil fungsi komposisifog
adalah
Dfog={ x∈ D g: g ( x )∈ Df }dan R fog= { y∈ Rf : y=f ( t ) , t ∈ Rg } .
-atatan*gof ≠ fog
.
-ontoh 2.<
1entukan fungsi komposisi fog dan gof kemudian tentukan pula daerah
definisi fungsi komposisinya.
a. f ( x )= x+5 ; g ( x )=
1
x−4
b. f ( x )=√ 2 x , 2
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
15/54
enyelesaian* %ntuk bagian a. /edua fungsi mempunyai domain alami, Df = R ,
dan Dg= R−{4 } . 6angenya Rf = R , dan Rg= R− {0 } .
/arena Rg⋂ Df ≠∅ , maka fungsi komposisi
fog adalah
fog ( x )=f ( 1 x−4 )= 1
x−4+5.
!omainnya adalah Dfog={ x∈ D g: g ( x )∈ Df }={ x∈ R : x ≠ 4 } .
/arena Rf ⋂ Dg ≠∅ , maka fungsi komposisi gof adalah
gof ( x )=g ( x+5 )= 1
( x+5 )−4=
1
x+1 .
!omainnya Dgof = { x∈ Df : f ( x )∈ Dg }={ x∈ R : x+5 ≠ 4 }= { x∈ R : x ≠ 1} .
%ntuk bagian b. !omainnya telah diberikan, jadi Df =¿ dan Dg=(−1,2) .
6ange masing7masing adalah Rf =¿ dan Rg=¿ .
/arena
Rg⋂ Df =(2,8), maka fungsi komposisi
fog
adalah
fog ( x )=f (2 x2 )=√ 2 (2 x2 )=2 x .
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
16/54
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
17/54
F ( x )=Gohof ( x )=G (hof ( x ) )=G (h ( f ( x ) )) .
-ontoh 2.
a. 1entukan aturan fungsif
jika gof ( x )=8 x2+2 x+1 dan g ( x )=2 x+1 .
b. 1entukan aturan fungsi f jika fog ( x )=8 x2+2 x+1 dan g ( x )=2 x+1 .
enyelesaian* %ntuk bagian a. /arena g ( x )=2 x+1 , maka g (f ( x ) )=2 f ( x )+1
dan diketahui bahwa gof ( x )=8 x2
+2 x+1 , maka
2 f ( x )+1=8 x2+2 x+1⟹ f ( x )=4 x2+ x .
%ntuk bagian b. /arena g ( x )=2 x+1 , maka f ( g ( x ) )= f (2 x+1 ) yang dapat
dihubungkan dengan bentuk fog ( x )=8 x2+2 x+1 . "isalkan kita membentuk
bentuk kuadrat dari (2 x+1) , maka diperoleh fungsi f yang mungkin adalah
bentuk fungsi kuadrat yang memuat suku (2 x+1 )2=4 x2+4 x+1 dan suku
(2 x+1 ) , sedemikian sehingga f ( 2 x+1 )=a (2 x+1 )2+b (2 x+1 )+c . "aka
a (2 x+1 )2+b (2 x+1 )+c=8 x2+2 x+1
⟹a=4, b=−3 danc=2.
'adi fungsi f ( x )=4 x2−3 x+2 .
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
18/54
2.3Fungsi-fungsi kusus
ada pembahasan ini kita akan mempelajari jenis7jenis fungsi khusus dan bentuk7
bentuk grafiknya. Beberapa jenis fungsi khusus ini juga telah banyak diberikan pada
subbab 2. ataupun 2.2.
2.3.1 Fungsi p!lin!"
Bentuk fungsi yang pertama kita bahas adalah fungsi suku banyak atau fungsi
polinom. +ungsi ini adalah penjumlahan beberapa fungsi berpangkat, yang
didefinisikan sebagai berikut. +ungsi7fungsi yang diberikan penjelasan singkat di sini
hanya fungsi konstan, linier, kuadrat, dan kubik. Beberapa jenis lain akan diberikan
dalam beberapa materi lanjut atau mata kuliah matematika tingkat lanjut.
!efinisi 2.3
+ungsi f yang berbentuk f ( x )=a0+a1 x+a2 x
2+⋯+an xn
dengan
a0 , a1 ,⋯ , an adalah bilangan riil untuk setiap n bilangan bulat tak negatif dan
an ≠ 0 , dinamakan fungsi polinom berderajatn
.
'ika n=0 , maka f ( x )=a0 merupakan bentuk fungsi k!ns#an. 9rafik
fungsinya adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x dan berada sejauh
a0 dari sumbu x . Sebuah contoh untuk fungsi konstan adalah f ( x )=4
sebagaimana terlihat pada gambar 2.=.
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
19/54
gambar 2." #onoh fungsi konsan dan fungsi linier
Fungsi linier adalah fungsi polinom berderajat , yang mempunyai bentuk
f ( x )=ax+b dengan a dan b adalah konstanta dan a ≠0
. /ur&anya
berupa garis lurus dengan kemiringan$tanjakan sebesar a dan memotong sumbu
y di titik (0, b) dan memotong sumbu x di titik (−ba , 0) . 'ika a=1
danb=0
maka fungsi f ( x )= x dinamakan fungsi satuan$identitas. %ntuk lebih
jelasnya dapat dilihat grafik fungsi f ( x )= x dan f ( x )=2 x+5 pada gambar 2.=.
Fungsi $uadra# adalah fungsi polinom berderajat 2 yang dapat dituliskan dalam
bentuk f ( x )=a x2+bx+c dengan a , b , c adalah konstanta dan a ≠ 0 . 9rafik
fungsi dapat terjadi dalam beberapa kasus, yaitu memotong sumbu x di dua titik,
menyinggung sumbu x (memotong hanya di satu titik), atau tidak memotong
sumbu x .
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
20/54
/ur&a fungsi ini adalah sebuah parabola yang mempunyai sumbu simetri di garis
x=−b2a , dengan titik puncak di (−
b2 a
,− D4 a ) , D=b2−4 ac . Bentuk D
disebut juga diskriminat, yaitu sebuah nilai yang dapat menentukan nilai7nilai x
yang menyebabkan f ( x )=0 . 'ika diskriminant positif, maka grafik fungsi kuadrat
memotong sumbu x
di dua titik, sebaliknya jika diskriminat negatif, parabola
tidak memotong sumbu x . 'ika D=0 fungsi hanya menyinggung sumbu x .
-ontoh 2.
9ambarkan kur&a fungsi f ( x )=2 x2+5 x−3 dan g ( x )=−3 x
2−5 x+2 .
enyelesaian* %ntuk fungsi f dan g , berikut adalah tabel yang memuat semua
komponen penting dalam menggambar kur&anya.
tabel 2. /arakteristik fungsi kuadrat
$arak#eris#ik kur%a f g
Sumbu simetri, x=
−b2a
x=−5
4 x=
5
6
ilai puncak parabola, y=
− D4 a
y=−49 /8 y=49/12
1itik potong sumbu x ,
a x2+bx+c=0
1/2 dan 0
−2 dan
1/3
1itik potong sumbu y
, x=0 −3 2
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
21/54
gambar 2.$% parabola unuk dua fungsi
/ur&a kedua fungsi diberikan pada gambar 2..
Fungsi $ubik (+ungsi angkat 1iga) adalah fungsi polinom berderajat 0 yang dapat
dituliskan dalam bentuk f ( x )=a x3+b x2+cx+d dengan a , b , c , d adalah
konstanta dan a ≠ 0 . "enggambar grafik fungsi kubik lebih rumit daripada
menggambar grafik fungsi kuadrat. #al ini disebabkan karena untuk mendapatkan
puncak7puncak lengkungan atau perubahan kecekungan kur&anya diperlukan
pengetahuan turunan fungsi yang akan dipelajari pada materi berikutnya.
/ur&a fungsi kubik selalu memotong sumbu x paling sedikit di satu titik. %ntuk
kasus a>0 , makin ke kanan nilai x pada koordinat kartesian, maka nilai y
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
22/54
gambar 2.$$ kurva fungsi pangka iga
gambar 2.$2 kurva fungsi kubik
juga akan cenderung makin ke atas. Sebaliknya, jika a
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
23/54
2.3.2 Fungsi Rasi!nal dan Irrasi!nal
Fungsi rasi!nal adalah suatu fungsi yang terbentuk sebagai hasil bagi dua fungsi,
f ( x )= p ( x )q ( x ) dengan
p ( x )=a0+a1 x+⋯+an xn
dan q( x )=b0+b1 x+⋯+bm x
m
dan q ( x )≠ 0 .
-ontoh 2.2
Beberapa contoh fungsi rasional* f ( x )=
5
x ; g ( x )=
2 x−3 x+2
; h( x )= x
2+4 x−35 x+1 .
'ika diketahui f ( x )= p( x )/q( x ) adalah fungsi rasional, maka nilai7nilai x yang
membuat f ( x )=0 akan berkaitan dengan fakta bahwa kur&a fungsinya akan
memotong sumbu x
. amun, patut diingat bahwa tidak semua fungsi rasional
mempunyai titik potong dengan sumbu x . #al itu terjadi jika p ( x ) ≠ 0 .
-ontoh 2.0
1entukan titik potong dengan sumbu x (jika ada) untuk fungsi
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
24/54
gambar 2.$& kurva fungsi
a . f ( x )= x
2+4 x+33 x−5
b . g ( x )= x
2+4 x+83 x−5
penyelesaian* %ntuk fungsi f nilai f ( x )=0 diperoleh dari x2+4 x+3=0 ,
maka ( x+1 ) ( x+3 )=0 . 'adi diperoleh x=−1 dan x=−3 . 'adi titik potong
kur&a dengan sumbu x di (−1,0) dan (−3,0) . %ntuk fungsi g ,
perhatikan bahwa bentuk p ( x )= x2+4 x+8 mempunyai diskriminant negatif (
D=−16 ), jadi kur&anya tidak memotong sumbu x .
Bentuk fungsi rasional yang sederhana
adalah f ( x )=1/ x . +ungsi ini tidak
pernah memotong sumbu x karena
bentuk f (0) tidak ada. 'uga tidak
memotong sumbu x
, walaupun untuk
x yang sangat besar nilai fungsi
cenderung makin mendekati
(pembahasan tentang ini akan dipelajari
pada materi >imit). /ur&a fungsi tidak
pernah memotong sumbu x dan
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
25/54
sumbu y sebagaimana terlihat pada
gambar 2.0.
ada gambar itu juga dapat dilihat bahwa domain dan range adalah semua nilai riil
kecuali nol. /emudian untuk x
yang makin besar atau makin menjauh dari nol,
nilai f ( x) makin dekat ke nol. 9aris y=0 disebut asimptot datar. Sebaliknya
makin dekat nilai x ke nol dari arah kanan kur&a bergerak makin ke atas dan
mendekati sumbu y , demikian pula dengan nilai x yang menuju nol dari arah
kiri, kur&a akan bergerak ke bawah makin mendekati sumbu y . 9aris x=0 ini
disebut asimptot tegak.
-ontoh 2.0
1emukan perpotongan dengan sumbu x , sumbu y
, asimptot7asimptotnya,
kemudian gambarkan grafik fungsif ( x )=
x−2 x−4 .
enyelesaian* %ntuk titik perpotongan dengan sumbu y
, maka cukup dihitung
f (0) , jadi peroleh ( 0,12 ) . %ntuk titik potong dengan sumbu x , dicari nilai
x yang membuat fungsi pembilang nol, tapi tidak menyebabkan fungsi penyebut
nol.
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
26/54
gambar 2.$4 'ra(k fungsi
x−2=0⇒ x=2 dan substitusi nilainya ke penyebut, 2−4=−2 ≠ 0 . "aka titik
potongnya adalah (2,0) .
5simptot tegak diperoleh dari fungsi penyebut menjadi nol, jadi x−4=0⇒ x=2
.
/arena x=2 tidak membuat pembilang nol, maka garis x=2 adalah asimptot
tegak. 5simptot datar diperoleh, jika domain bergerak meluas tanpa batas atau ke
ketakhinggaan. %ntuk mendapatkan itu, kita bagi pembilangnya dengan penyebut
sehingga diperoleh ekspresi rasional campuran,
x−2 x−4
=1+ 2
x−4 .
%ntuk x yang makin besar, baik ke arah positif ataupun negatif, diperoleh ekspresi
2
x−4 makin menuju , sehingga asimptot datarnya adalah y=1 .
9rafiknya dapat dilihat pada gambar 2.3.
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
27/54
gambar 2.$5 fungsi irrasional dan
+ungsi irrasional adalah fungsi aljabar yang mengandung faktor penarikan akar.
"isalnya f ( x )=√ x , g ( x )=3√ x2−1 adalah dua bentuk fungsi irrasional karena
mengandung bentuk penarikan akar.
-ontoh 2.3
9ambarkan kur&a dua fungsi f dan g yang persamaannya adalah f ( x )=√ x
dan g( x )=√ − x .
enyelesaian* erhatikan bahwa domain untuk fungsi f ( x )=√ x adalah semua nilai
x yang lebih besar atau sama dengan . /ur&anya setengah parabola terbuka ke
kanan untuk fungsi kuadrat tapi dengan sumbu simetri adalah sumbu x lihat
gambar 2.0. Sebaliknya dengan fungsig
, domainnya adalah semua nilai x
yang lebih kecil atau sama dengan . /ur&anya setengah parabola terbuka ke kiri,
lihat gambar 2.0.
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
28/54
gambar 2.$6 fungsi akar iga
%ntuk fungsi dengan akar pangkat tiga dapat dilihat pada gambar 2.8 yang
merupakan kur&a dari tiga fungsi, g( x)=3√ x , f ( x )=
3√ x−1 , dan h ( x )=3√ x+1
.
erhatikan gambar 2.8, bahwa kur&a fungsi h diperoleh dengan menggeser
fungsi f sejauh satuan ke sebelah kiri. !emikian pula dengan fungsi g yang
merupakan pergeseran dari fungsi f sejauh satuan ke kanan. ergeseran seperti
ini disebut translasi. &ranslasi adalah transformasi bidang sedemikian sehingga
f ( x )=3√ x
g ( x )=3√ x−1
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
29/54
gambar 2.$7 ranslasi fungsi di iik dan
bayangan dari setiap titik ( x , y ) adalah titik ( x+h , y+ ) di mana nilai7nilai
h dan adalah nilai yang diberikan. 1ranslasi menyebabkan perpindahan
setiap titik dalam jarak yang sama dan dalam arah yang sama.
1abel 2.2 +ungsi dan grafik beberapa fungsi
N! Ben#uk Fungsi '!"ain Range Grafik
x
2−1 x+1
R− {−1} R− {−2 }
21
x2 R− {0}
+¿ R¿
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
30/54
01
x2+1
R (0,1 ]
3 √ x−2 +¿+ {0 }
R¿ [−2,∞ )
1abel 2.2 memberikan beberapa fungsi rasional dan irrasional yang lain beserta
daerah asal, daerah nilai, dan grafiknya. %ntuk mendapatkan grafik fungsi yang
tepat, beberapa titik bantuan yang terletak pada kur&a perlu ditentukan terlebih
dahulu, seperti titik potong dengan sumbu x dan sumbu y (jika ada) dan
beberapa titik lain yang mudah diperoleh. Beberapa kur&a yang diberikan pada tabel
hanya sebagai pembanding jika dalam pengerjaan pada materi lebih lanjut ada yang
sejenis.
2.3.3 Fungsi Nilai (u#lak
1elah kita pelajari pada bab , bentuk nilai
mutlak. ada pembahasan kali ini kita akan
menggunakannya dalam bentuk fungsi. Bentuk
fungsi nilai mutlak adalah bentuk fungsi yang
mengandung bentuk nilai mutlak didalamnya,
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
31/54
gambar 2.$" fungsi
f ( x )=| p ( x )| dengan p ( x ) adalah fungsi
terhadap x . -ontohnya f ( x )=¿ x∨¿ ,
fungsi ini terdefinisi diseluruh bilangan riil
dengan rangenya adalah bilangan riil yang
bukan negatif. #al ini dikarenakan karena sifat
nilai mutlak, yaitu f ( x )= x , jika x ≥ 0 dan
f ( x )=− x, j ika
x
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
32/54
%ntuk x2−1 merupakan parabola terbuka ke atas hanya lengkungan ujung
parabola untuk selang (−∞,−1 ] dan [ 1,∞ ) dan berpotongan dengan parabola
terbuka ke bawah 1− x2
pada titik x=−1 dan x=1 , lihat gambar 2.=.
#asil operasi fungsi nilai mutlak dengan fungsi7fungsi yang lain juga memberikan
grafik fungsi yang unik sebagaimana terlihat pada beberapa contoh berikut.
-ontoh 2.8
+ungsi f ( x )=1−2∨ x+1∨¿ , yang dapat dituliskan sebagai fungsi dengan dua
aturan, yaitu
f ( x )={−2 x−1 x ≥−12 x+3 x
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
33/54
gambar 2.2$ )ungsi
+ungsi g dengan bentuk persamaan g ( x )=| x|( x+2 ) , dapat dituliskan sebagai
fungsi dengan bentuk
g ( x )={ x2+2 x x ≥ 0
− x2−2 x x
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
34/54
Bilangan bulat yang
gambar 2.22 ilusrasi nilai
+ungsi khusus yang lain adalah bentuk fungsi bilangan bulat terbesar, yaitu bentuk
fungsi yang nilai fungsinya adalah selalu merupakan bilangan bulat untuk semua nilai
x dalam domainnya. Bentuk umumnya adalah f ( x )=[ ! ( x ) ] , yang menyatakan
bahwa nilai [! ( x ) ] adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama
dengan !( x ) . +ungsi ini disebut juga fungsi tangga.
"isalkan ! ( x )= x , untuk suatu x∈ R maka tak hingga banyaknya bilangan
bulat yang lebih kecil atau sama dengan x yang pada garis bilangan (lihat gambar
2.22) terletak sebelah kiri dari x .
diantara semua bilangan bulat tersebut ada yang terbesar dan bilangan terbesar inilah
yang dimaksud. "isalnya x=3,6
maka terdapat bilangan bulat ⋯,−1,0,1,2,3
yang semuanya lebih kecil dari 0,8. 1api diantara barisan bilangan tersebut, bilangan
bulat yang terbesar adalah 0, sehingga[3,6 ]=3
. !emikian pula jika x=−2
,
maka terdapat⋯ ,−4,−3,−2
yang semuanya lebih kecil atau sama dengan−2
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
35/54
gambar 2.2& fungsi angga
dan di antara barisan bilangan tersebut yang terbesar adalah −2 . #al yang sama
berlaku pula untuk [−1,4 ]=−2 .
%ntuk menggambarkan grafik fungsi f ( x )=[ x ] , cukup dengan mengambil
sembarangn∈"
, maka [ x ]=n jika n ≤ x
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
36/54
gambar 2.24 fungsi
gambar 2.24 fungsi angga
ad. a. "enurut definisi bilangan bulat terbesar, maka∀ n∈"
[−2 x ]=n jika n ≤−2 x
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
37/54
gambar 2.25 )ungsi
9rafiknya sebagaimana pada gambar
2.24, makin ke atas anak tangganya
makin mengecil. +ungsinya tanpa tanda
? @ adalah*
g ( x )={ 4, x=−2, x=2
3, √ 3 ≤ x−22, √ 2 ≤ x−√ 3
1, 1≤ x−10, −1
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
38/54
u
gambar 2.26 *ingkaran sauan
2.)Fungsi-fungsi &ransenden
+ungsi7fungsi trigonometri tidak termasuk fungsi aljabar. Bersama7sama fungsi
logaritma dan pangkat serta hiperbolik (belum diajarkan), fungsi7fungsi ini termasuk
dalam kelompok fungsi transenden. Semua fungsi aljabar dan transenden termasuk
dalam kelompok fungsi elementer, kelompok fungsi7fungsi yang sederhana dan
biasanya sudah mempunyai nama tertentu.
+ungsi transenden yang dibahas di sini adalah fungsi trigonometri dan fungsi
eksponen dan logaritma. Seperti pada fungsi7fungsi sebelumnya, yang ditekankan di
sini adalah bagaimana domain, nilai fungsi , dan grafik fungsi.
2.3.*. Fungsi &rig!n!"e#ri
"isalkan bahwa sebuah lingkaran satuan yang berpusat di titik asal dengan jari7jari
dalam koordinat kartesian, sebuah sudut θ (dalam satuan derajat) diperoleh dengan
memutar (berlawanan arah jarum jam) dari lingkaran tersebut dari titik (,) pada
sumbu7 x yang panjangnya u (dalam satuan radian) untuk lengkungan tempuhnya.
/arena panjang busur lingkaran satuan adalahπ2
, maka
#=360 o$ !
2 % ata! !=
#
360o 2 %
erhatikan suatu titik ( x,y) pada sistem koordinat kartesian (lihat gambar 2.28)
ditransformasi menjadi titik A(u,r ) pada sistem koordinat kutub (polar), maka
diperoleh hubungan persamaan*
sin !=
y
& ⟺
y=& sin ! (& ≠ 0 )
cos != x
&⟺ y=& cos! (& ≠ 0 )
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
39/54
ilih sudut θ yang bersesuaian dengan u, disebut titik tunggal pada lingkaran satuandengan pusat . erhatikan bahwa titik A(u,r) pada lingkaran satuan di atas
berpadanan dengan radian u, dan juga berpadanan dengan tiap bilangan (!+2% )
dengan bilangan bulat sembarang sehingga berlaku*
y=sin !=sin (!+2 % ) dan x=cos !=cos (!+2 % ) , untuk =0,' 1, '2,⋯ .
Ini berarti nilai7nilai fungsi trigonometri berulang dalam selang7selang kelipatan 2π.
:leh karena itu fungsi trigonometri disebut periodik. Suatu fungsi f disebut periodik
jika terdapat suatu bilangan positif p sedemikian sehingga f ( x+ p )=f ( x) , untuk
setiap x∈ D f . Bilangan positif p terkecil yang memenuhi persamaan di atas
disebut perioda fungsi. +ungsi Sinus, -osinus, Secan, -osecan mempunyai periode
2π. +ungsi tangen dan cotangen mempunyai perioda π.
/ita tidak dianjurkan untuk menghapal terlalu banyak rumus. -ukup hanya sedikit
rumus dan kemudian bisa menurunkan atau menjabarkan rumus7rumus yang lain dari
sedikit rumus tersebut. Sebagai contoh, dari kedua rumus
1.sin ( x+ y )=sin x cos y+cos x sin y
2.cos( x+ y )=cos x cos y−sin x sin y
dapat diturunkan banyak rumus yang lain. "isalnya dalam kasus x= y
, maka
kedua rumus tersebut di atas berubah menjadi
3.sin2 x=2sin x cos x
4.cos2 x=cos2 x−sin 2 x
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
40/54
ersamaan yang perlu diingat adalah cos2 x+sin2 x=1 , maka persamaan 3 dapat
dimodifikasi menjadi cos2 x=2cos2
x−1 atau cos2 x=1−2sin2
x . /emudian
dengan mengganti
y
menjadi
y−
pada rumus dan 2 serta mengingat fungsi ganjil
dan fungsi genap masing7masing dari fungsi sinus dan kosinus, diperoleh
5.sin ( x− y )=sin x cos y−cos x sin y
6.cos( x− y)=cos x cos y+sin x sin y
/emudian perhatikan dan 4, maka diperoleh
7.sin ( x+ y )+sin( x− y)=2sin x cos y
8.sin ( x+ y )−sin( x− y )=2cos x cos y
'uga dari 2 dan 8, maka diperoleh
9.cos ( x+ y )+cos( x− y)=2cos x cos y
10.cos ( x+ y )−cos ( x− y )=−2sin x sin y
6umus7rumus diatas berlaku umum untuk sembarang x , y∈ R .
+ungsi tangen didefinisikan sebagai hasil bagi fungsi sinus oleh kosinus. 'ika nilai
fungsi tangen di setiapt ∈ R diberi lambang
tan t , maka
tan t =sin t
cos t
,
dengancos t ≠ 0
. #al ini berarti domain atau daerah asalnya fungsi tangen adalah
{t ∈ R|t ≠ % 2+ % , ∈" }
.
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
41/54
gambar 2.27 )ungsi kosinus dan sinus
Secara analog, didefinisikan fungsi7fungsi cotangen, sekan dan kosekan yang nilainya
!i setiapt
pada domain masing7masing dilambangkan dengancot t ,()c t ,
dan
c(ct . 5dapun bentuk dan domain alaminya adalah
cot t =cos t
sin t ,t ∈ {* ∈ R|* ≠% , ∈" },
()ct = 1
cos t , t ∈ {* ∈ R|* ≠ %
2+ % , ∈" },
c(ct = 1sin t
, t ∈ {* ∈ R|* ≠% , ∈" }.
Berikut ini diberikan dua rumus yang memberikan kaitan antara masing7masing
fungsi tangen, kotangen dengan sekan, kosekan sebagai berikut
11.()c2
t =1+tan2 t
12. c(c2
t =1+cot2 t .
9rafik fungsi f ( x )=cos x dan g ( x )=sin x adalah kur&a yang daerah nilainya
hanya di selang[−1,1]
, perhatikan gambar 2.2;, kur&anya dengan tepat
menunjukkan bentuk periodiknya dengan perioda 2 % .
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
42/54
gambar 2.2! fungsi dan
9rafik fungsi f ( x )= tan x dan g ( x )=cot x mempunyai perioda % , yang pada
gambar 2.2< terlihat nilai fungsinya membentang untuk semua bilangan riil. %ntuk
∀ ∈" , garis
x=%
2 +%
merupakan asimptot tegak untuk fungsi tangen.
Sedangkan pada fungsi cotangen, asimpto7asimptot tegaknya adalah garis x=%
untuk semua bilangan bulat.
#al yang sama ditunjukkan pada gambar 2.2= untuk kur&a fungsi f ( x )=()cx dan
g ( x )=c(cx yang periodanya % . 5simptot7asimptot tegak fungsi ()c x
adalah garis7garis x=
%
2 +%
, untuk ∈"
. Sedangkan asimptot tegak fungsi
c(c x adalah garis7garis x=% untuk ∈" .
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
43/54
gambar 2.2" fungsi dan
-ontoh 2.<
9ambarkan grafik fungsi trigonometri
a . f ( x )=3sin( x2 )b . g ( x )=¿sin2 x∨¿
enyelesaian* %ntuk bagian a. untuk mendapatkan grafiknya seperti pada gambar
2.0.
erhatikan bahwa sin x mempunyai perioda
2 % , maka
sin( x2 ) akan mempunyai
perioda 4 % . Sehinggaf ( x )=3sin
x
2
mempunyai perioda 4 % . +ungsi ini akan
memotong sumbu x jika3sin
x
2=0
, yaitu
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
44/54
gambar 2.&$ gra(k fungsi
di x=0, '2 % ,' 4 % ,⋯ . ilai7nilai fungsi
terletak pada range [−3,3 ] . ilai maksimum
fungsi adalah y=3 untuk x=% +4 % dan
nilai minimumnya adalah y=3
untuk
x=−% +4 % .
%ntuk bagian b. 9rafik diperlihatkan pada gambar 2.0. +ungsi g selalu bernilai
non negatif karena adanya faktor tanda nilai mutlak, |sin2 x|≥ 0 . "aka tanpa
tanda nilai mutlak diperoleh untuk∀ ∈"
g ( x )=
{ sin2 x , % ≤ x ≤
( +1 ) % 2
−sin2 x , (2 +1 ) %
2
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
45/54
gambar 2.&$ keluarga fungsi eksponensial
2.3.*. Fungsi +ksp!nen dan L!gari#"aBentuk fungsi eksponen didasarkan pada
bentuk bilangan berpangkat a x
untuk
sembarang nilai a bilangan positif.
erhatikan gambar 2.02 yang
menunjukkan beberapa fungsi keluarga
fungsi eksponen f ( x )=a x
. Semua
grafik fungsi memotong sumbu y di
titik (0,1) karena a0=1, a≠ 0 . !ari
gambar pula kita dapat menggolongkan
bentuk fungsi y=a x
ke dalam tiga
kelompok.
%ntuk 00 , fungsi eksponennya monoton naik (secara cepat).
!omain fungsi eksponen adalah seluruh bilangan riil dan rangenya adalah (0,∞ ) .
Sifat penting yang perlu diingat untuk bentuk eksponen, adalah untuk x dan y
bilangan riil dan a dan b bilangan positif, berlaku*
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
46/54
gambar 2.&2 gra(k fungsi di#erminkan pada sumbu kemudian digeser sejauh & ke aas
. a x+ y=a x a y
2. a
x− y=a
x
a y
0. (a x )
y=a xy
3. (ab) x=a x b x
4. -ontoh 2.=
8. Sketsakan grafik fungsi f ( x )=3−2 x
, tentukan domain dan range dari
grafiknya.
;. enyelesaian* !ari gambar 2.0 bentuk grafik fungsi y=2 x
kemudian
mengalami refleksi terhadap sumbu x menjadi bentuk y=−2 x
,
selanjutnya digeser sejauh 0 ke atas sehingga diperoleh bentuk y=3−2 x
.
>ihat gambar 2.02.
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
47/54
gambar 2.&& gra(k fungsi dan
4. !omain fungsi y=3−2 x
adalah Df = R dan rangenya adalah
Rf =(−∞ ,3) .
8. Bentuk fungsi eksponen yang banyak diaplikasikan adalah bentuk y=) x
dimana ) + 2,71828 adalah bilangan irrasional dan disebut sebagai
bilangan alam (notasi ) untuk menghormati ahli matematika dari Swiss
>eonhard uler). "aka bentuk f ( x )=) x
dan g ( x )=)− x
disebut juga
sebagai fungsi eksponen alam, tetapi penyebutan fungsi eksponen lebih sering
digunakan untuk bentuk ) x
dan )− x
daripada bentuk a x
untuk
a ≠ ) . +ungsi ini merupakan fungsi yang domainnya adalah semua bilangan
riil dan rangenya senantiasa positif. 9rafiknya tidak pernah memotong sumbu
x , f (0 )=1 yang menunjukkan grafiknya akan memotong sumbu y
di titik (0,1) , lihat gambar 2.00.
;. /etika x
makin besar ke arah
positif maka fungsi )− x
makin menuju
, sebaliknya makin besar ke arah negatif,
)− x
akan bergerak menjadi sangat
besar.
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
48/54
gambar 2.&& 'ra(k fungsi
2.
x
22.
5
20.
1
23.
1
24.
2
28.
2
2;.
3
2
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
49/54
gambar 2.&4 iga anggoa keluarga fungsi logarima
80. Bentuk fungsi transenden, logaritma natural, f ( x )= ln x ataupun logaritma
biasa, f ( x )=log x adalah fungsi yang berhubungan langsung dengan
bentuk fungsi eksponen. "isalkan f ( x )=ln x dan g ( x )=) x
, maka
komposisi keduanya adalah h ( x )=fog ( x )=gof ( x )= x . 'adi diperoleh
hubungan sebagai berikut
83. ln x= y⟺) y= x .
84. !emikian pula denganf ( x )=loga x
dang ( x )=a x
, komposisi keduanya
juga menghasilkan bentuk fog ( x )=gof ( x )= x , dan diperoleh
88. loga x= y⟺a y= x .
8;. 9ambar 2.03 menunjukkan tiga keluarga fungsi logaritma. /etiga fungsi itu
berpotongan di sumbu x
di (1,0) . !omain fungsi logaritma adalah
bilangan riil positif dan rangenya adalah semua bilangan riil.
8
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
50/54
gambar 2.&5 fungsi logarima
;2. y=ln( x−2) . Selanjutnya persamaan itu ditransformasi lagi ke atas sejauh
satuan hingga diperoleh grafik fungsi y=ln( x−2)+1 .
;0.
;3.
;4.
;8.
;;.
78.
.
/.La#ian
81.
. %ntuk f ( x )= x3+3 x hitunglah nilai fungsi berikut*
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
51/54
88. a . x
2+ y2=1 b . x y+ y+ x=1 c . x=√ 2 y+1 d . x= y
y+1
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
52/54
a. 'ika f dan g fungsi ganjil, maka f +g dan f −g juga adalah
fungsi ganjil
b. 'ika f dan g fungsi genap, maka f +g dan f −g juga adalah
fungsi genap
c. 'ika f fungsi genap dan g fungsi ganjil, maka fg adalah fungsi
ganjil
3.. yatakan apakah fungsi yang diberikan genap atau ganjil atau tidak satu pun,
kemudian gambarkan grafiknya.
4. a . f ( x )=−4 b . f ( x )=3 x c . f ( x )=3 x2+2 x−1
8. d . f ( x )={
1, x ≤ 0 x+1, 0
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
53/54
0.
3. "isalkan
f ( x )=ax+b
cx−a , tunjukkan bahwaf ( f ( x ) )= x
jika
a2+bc ≠0
dan
x ≠ a /c .
3.
4. "isalkan f ( x )= x /( x−1) , tentukan dan sederhanakan bentuk f ( f ( x ) ) dan
f ( 1f ( x) ) .4.8.
8. 1entukan aturan fungsi tanpa mengandung tanda nilai mutlak E E, kemudiangambarkan grafik fungsinya.
;. a . f ( x )=|2 x+1|b . f ( x )=−¿ x2−16∨¿
-
8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1
54/54