44

BAB III

FUNGSI TRANSFER

3.1. Pendahuluan

Beberapa sistem dinamik seperti mekanik, listrik, termal, hidraulik, ekonomi,

biologi dan sebagainya, dapat dikarakterisasikan dengan persamaan diferensial.

Respon suatu sistem dinamik terhadap suatu masukan (fungsi penggerak) dapat

diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial tersebut. Persamaan tersebut

dapat diperoleh dengan menggunakan beberapa hukum Fisika yang berlaku pada

sistem yang dimaksud seperti hukum Newton untuk sistem mekanik, hukum Kirchoff

untuk sistem listrik dan sebagainya.

Model matematik adalah deskripsi matematik dari karakteristik dinamik suatu

sistem. Langkah pertama yang harus dilakukan dalam menganalisa suatu sistem

dinamik adalah dengan menurunkan modelnya. Dalam menurunkan model matematik

yang masuk akal adalah bagian yang paling penting dari keseluruhan analisis. Setelah

model matematik dari suatu sistem diperoleh maka berbagai perangkat analitik dan

komputer dapat digunakan dalam analisis dan sintesis.

Model matematik dapat disajikan dalam beberapa bentuk yang berbeda.

Berdasarkan sistem dan sekeliling yang ditinjau, suatu penyajian matematik

barangkali lebih cocok daripada bentuk penyajian yang lain. Sebagai contoh dalam

persoalan kontrol optimal, seringkali lebih mudah untuk menggunakan seperangkat

persamaan diferensial orde pertama. Sebaliknya dalam analisis respon transient atau

respon frekuensi dari suatu sistem satu masukan dan satu keluaran, penyajian fungsi

alih yang akan dibicarakan mungkin lebih mudah daripada penyajian yang lain.

3.1.1. Penyederhanaan Versus Ketelitian

Dalam mencari suatu model, harus dikompromikan antara penyederhanaan

model dan ketelitian hasil analisis. Hasil yang diperoleh dari analisis hanya berlaku

sampai suatu derajat tertentu dari pendekatan model pada sistem fisik yang ditinjau.

Kecepatan komputer digital dalam melakukan operasi aritmmetika

memungkinkan untuk menggunakan pendekatan baru dalam merumuskan model

matematikanya. Dengan alat bantu tersebut, tidak hanya terbatas pada model yang

45

sederhana karena jika diperlukan maka dapat dilibatkan beberapa ratus persamaan

untuk menggambarkan suatu sistem secara lengkap. Tetapi jika tidak diperlukan

ketelitian yang sangat tinggi, akan lebih disukai hanya untuk mencari model yang

disederhanakan secara layak.

Dalam menurunkan model yang disederhanakan tersebut, seringkali dirasa

perlu untuk mengabaikan suatu sifat fisis dari sistem. Terutama jika diinginkan model

matematik linier parameter terkumpul (yaitu suatu model yang menggunakan

persamaan diferensial biasa) maka selalu diperlukan untuk mengabaikan suatu

ketidaklinieran dan parameter terdistribusi (parameter yang menimbulkan persamaan

diferensial parsial), yang mungkin terdapat pada sistem fisik yang ditinjau. Jika

pengaruh sifat-sifat yang diabaikan pada respon adalah kecil maka akan diperoleh

kesesuaian yang baik antara hasil analisis model matematik dan hasil studi

eksperimental pada sistem fisik.

Umumnya dalam menyelesaikan suatu persoalan baru, pertamakali dibuat

model yang disederhanakan sedemikian rupa sehingga diperoleh gambaran umum dari

jawab persoalan. Kemudian dapat dibuat model matematik yang lebih lengkap untuk

analisis yang lebih lengkap.

Harus benar-benar disadari bahwa suatu model linier parameter terkumpul

yang berlaku pada operasi frekuensi rendah, barangkali tidak berlaku pada frekuensi

yang cukup tinggi karena sifat parameter terdistribusi yang diabaikan menjadi suatu

bagian yang penting dari perilaku dinamik sistem. Contoh, massa suatu pegas dapat

diabaikan pada operasi frekuensi rendah tetapi akan menjadi suatu sifat yang penting

dari sistem pada frekuensi tinggi.

3.1.2. Sistem Linier

Sistem linier adalah suatu sistem yang mempunyai persamaan model yang

linier. Suatu persamaan diferensail adalah linier jika koefisiennya adalah konstan atau

hanya merupakan fungsi dari variabel bebasnya. Sifat yang paling penting dari sistem

linier adalah berlakunya prinsip superposisi. Prinsip superposisi menyatakan bahwa

respon yang dihasilkan oleh penggunaan secara serentak dari dua buah fungsi

penggerak yang berbeda adalah sama dengan jumlah dari dua buah respon

individualnya. Jadi pada sistem linier, respon terhadap beberapa masukan dapat

dihitung dengan mencari respon terhadap tiap-tiap masukan dan menjumlahkan

46

hasilnya. Prinsip ini memungkinkan untuk menyusun jawaban yang kompleks pada

persamaan diferensial linier dari beberapa jawaban yang sederhana.

3.2. Fungsi Alih (Transfer Function)

Fungsi alih sistem linier parameter konstan didefinisikan sebagai

perbandingan dari Transformasi Laplace keluaran (fungsi respon) dan fungsi

Transformasi Laplace masukan (fungsi penggerak), dengan menganggap bahwa

semua syarat awal adalah nol.

Tinjau sistem linier parameter konstan yang didefinisikan oleh persamaan

diferensial berikut :

)()()()()()()()( 1

)1(

1

)(

01

)1(

1

)(

0 txbtxbtxbtxbtyatyatyatya mm

mm

nn

nn

……………………………………………… Persamaan 3.1.

Dimana :

- n > m

- y adalah keluaran sistem

- x adalah masukan

Transformasi Laplace dari persamaan 3.1. adalah :

)()()()(

)()()()(

1

1

10

1

1

10

sXbssXbsXsbsXsb

sYassYasYsasYsa

mm

mm

nn

nn

Persamaan 3.2.

Persamaan 3.2. dapat disederhanakan menjadi :

)()(1

1

101

1

10sXbsbsbsbsYasasasa

mm

mm

nn

nn

Fungsi alih dari sistem ini, diperoleh dengan mencari Transformasi Laplace

dari kedua ruas persamaan di atas. Dengan menganggap bahwa semua syarat awal

adalah nol maka :

Fungsi Alih = nn

nn

mm

mm

asasasa

bsbsbsb

sX

sYsG

1

1

10

1

1

10

)(

)()( Persamaan 3.3.

47

Atau dapat dikatakan bahwa Fungsi alih adalah suatu ekspresi yang

merelasikan keluaran [Y(s)] dan masukan [X(s)] dari suatu sistem linier parameter

konstan dalam bentuk parameter sistem dan merupakan sifat dari sistem itu sendiri,

tidak tergantung pada fungsi masukan atau penggerak. Fungsi alih mencakup satuan-

satuan yang diperlukan untuk merelasikan masukan dengan keluaran. Fungsi alih

tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik dari sistem. Fungsi alih dari

beberapa sistem fisik yang berbeda, mungkin identik.

Dalam hal ini dapat dinyatakan dinamika sistem dengan beberapa persamaan

aljabar dalam s. Pangkat tertinggi dari s pada penyebut fungsi alih sama dengan orde

suku turunan tertinggi dari keluaran. Jika pangkat tertinggi dari s adalah n, maka

sistem tersebut disebut sistem orde ke-n.

3.2.1. Sistem Translasi Mekanik

Sistem pegas-massa-daspot ditunjukkan oleh gambar 3.1.

m

yf

k

x

Gambar 3.1. Sistem pegas-massa-daspot

Daspot adalah suatu perangkat yang menimbulkan gaya viskos (redaman).

Perangkat ini terdiri dari sebuah torak dan silinder isi minyak. Setiap gerakan relatif

antara batang torak dan silinder dilawan oleh minyak karena minyak tersebut harus

mengalir di sekitar torak (melalui orifis yang terdapat pada torak) dari satu sisi torak

ke sisi yang lain. Pada dasarnya daspot menyerap energi. Energi yang diserap ini

didisipasikan sebagai panas, sehingga daspot tidak menyimpan energi kinetik atau

potensial.

48

Untuk mencari fungsi alih dari sistem ini, dengan menganggap bahwa gaya

x(t) sebagai masukan dan perpindahan y(t) dari massa sebagai keluaran, sebagai

berikut :

1. Menulis persamaan diferensial dari sistem.

2. Mencari Transformasi Laplace dari persamaan diferensial, dengan menganggap

semua syarat awal adalah nol.

3. Mencari perbandingan dari keluaran Y(s) dan masukan X(s). Perbandingan dari

keluaran dan masukan ini merupakan fungsi alih dari sistem yang ingin dicari.

Untuk menurunkan persamaan diferensial linier parameter konstan, dianggap

bahwa gaya gesekan daspot berbanding lurus dengan

y dan pegas yang digunakan

adalah linier yakni gaya pegas berbanding lurus dengan y. Pada sistem ini, m

menyatakan massa, f menyatakan koefisien gesekan viskos dan k menyatakan

konstanta pegas.

Hukum dasar yang berlaku pada sistem mekanik adalah Hukum Newton.

Untuk sistem translasi, sistem tersebut menyatakan bahwa :

Fam …..……………………. Persamaan 3.4.

dimana : - m = massa (Kg)

- a = percepatan (m/dt2)

- F = gaya(N)

Kg adalah satuan massa dimana mdtNKg /2 . Jika dikenai gaya 1 Newton,

massa 1 Kg maka akan mengalami percepatan 1 m/dt2.

Dengan menerapkan Hukum Newton pada sistem di atas maka diperoleh :

)()()()(

2

2

txtykdt

tdyf

dt

tydm

)()()()(

2

2

txtykdt

tdyf

dt

tydm Persamaan 3.5.

Dengan mencari Transformasi Laplace dari tiap suku persamaan 3.5 diperoleh :

- )()]([ sYktyk

- )()]([ sXtx

49

- )]0()0()([])(

[ 2

2

2

yyssYsmdt

tydm

- )]0()([])(

[ ysYsfdt

tdyf

Jika ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga

,0)0(,0)0(

yy maka Transformasi Laplace untuk turunan kedua dan turunan

pertama dari persamaan di atas menjadi :

)(00)(]00)([])(

[ 222

2

2

sYmssYsmssYsmdt

tydm

)(]0)([])(

[ sYfssYsfdt

tdyf

Jadi persamaan 3.5. dapat ditulis menjadi:

)()()( 2 sXsYkfsms

Dengan mencari perbandingan fungsi keluaran [Y(s)] dan masukan [X(s)],

diperoleh fungsi alih dari sistem adalah :

Fungsi Alih = kfsmssX

sYsG

2

1

)(

)()(

3.2.2. Sistem Rotasi Mekanik

Tinjau sistem yang ditunjukkan gambar 3.2. Sistem ini terdiri dari inersia

beban dan peredam gesekan viskos.

Gambar 3.2. Sistem rotasi mekanik

Dimana : - J = momen inersia beban (kg m2)

- f = koefisien gesekan viskos (N m/rad/det)

- = kecepatan sudut (rad/det)

- T = torsi yang dikenakan pada sistem (N m)

Untuk sistem rotasi mekanik, hukum Newton menyatakan bahwa :

T

J

50

J = T …………………………… Persamaan 3.6.

Dimana : - J = momen inersia beban (kg m2)

- = percepatan sudut (rad/det2)

- T = torsi sistem (N m)

Dengan menerapkan Hukum Newton pada sistem yang sedang ditinjau,

diperoleh :

)()()( tTtftJ

………………… Persamaan 3.7.

Dengan mencari Transformasi Laplace dari tiap suku persamaan 3.7, diperoleh

:

)()( st

)(0)()0()(])(

[)( ssssssdt

tdt

)()( sTtT

Jadi persamaan 3.7. dapat ditulis menjadi:

)()()( sTsfsJs

)()( sTsfJs

Dengan menganggap bahwa torsi T(t) yang dikenakan adalah masukan dan

kecepatan sudut (t) adalah keluaran maka fungsi alih dari sistem adalah :

Fungsi Alih = fJssT

s

1

)(

)(

3.2.3. Rangkaian R – L – C

Tinjau rangkaian listrik yang ditunjukkan oleh gambar 3.3. Rangkaian ini

terdiri dari suatu induktansi L (Henry), suatu tahanan R (Ohm) dan suatu kapasitansi C

(Farad).

51

LR

Ce

i(t) e

o(t)

i(t)

Gambar 3.3. Rangkaian Listrik RLC

Dengan menerapkan Hukum Kirchoff pada sistem yang sedang ditinjau,

diperoleh persamaan berikut :

)()(1

)()(

tedttiC

tiRdt

tdiL i Persamaan 3.8.

)()(1

0 tedttiC

Persamaan 3.9.

Dengan mencari Transformasi Laplace dari persamaan 3.8 dan persamaan 3.9

dan menganggap syarat awal adalah nol maka diperoleh :

)(0)()0()()(

sILssIsLisIsLdt

tdiL

)()( sIRtiR

Cs

sI

s

sI

Cs

sI

sCs

sI

s

i

Cdtti

C

)()(0

1)(01)()0(1)(

1 1

)()( sEteii

)()(00

sEte

Jadi persamaan 3.8. dan persamaan 3.9. menjadi ;

)()(1

)()( sEsICs

sIRsILs i

)()(1

0 sEsICs

Jika ei(t) dianggap sebagai masukan dan e0(t) dianggap sebagai keluaran maka

fungsi alih dari sistem ini adalah :

52

Fungsi Alih = )/1(

/1

)()/1(

/)(

)(

)(

CsRLs

Cs

sICsRLs

CssI

sE

sE

i

o

Fungsi Alih = )/1(

1

)(

)(

CsRLsCssE

sE

i

o

Fungsi Alih = 1

1

)(

)(2

RCsLCssE

sE

i

o

3.2.4. Impedansi Kompleks

Dalam menurunkan fungsi alih dari rangkaian listrik, seringkali dirasakan

lebih mudah untuk menuliskan persamaan dalam bentuk Transformasi Laplace secara

langsung, tanpa menuliskan persamaan diferensialnya. Tinjau sistem yang

ditunjukkan gambar 3.4.

Gambar 3.4. Impedansi yang dihubungkan secara seri

Pada sistem ini, Z1 dan Z2 menyatakan impedansi kompleks. Impedansi

kompleks dari suatu rangkaian dua terminal adalah perbandingan antara E(s) dan I(s),

dengan menganggap bahwa semua syarat awal adalah nol sehingga Z(s) = E(s)/I(s).

Dimana :

- E(s) merupakan Transformasi Laplace dari tegangan listrik pada terminal tersebut.

- I(s) merupakan Transformasi Laplace dari arus listrik yang melalui elemen tersebut

Jika elemen dari kedua terminal tersebut adalah suatu tahanan R, kapasitansi C

atau induktansi L maka impedansi kompleks dari elemen tersebut masing-masing

diberikan oleh R, 1/Cs atau Ls. Jika impedansi kompleks dihubungkan secara seri

maka impedansi totalnya sama dengan jumlah masing-masing impedansi kompleks

tersebut. Dimana :

Fungsi Waktu Fungsi Laplace

)()()( 21 tiZZtei )()21()( sIZZsiE

)()( 20 tiZte )(2)(0 sIZsE

Z1 Z2

e(t)

e0(t) ei(t)

i(t) i(t) i(t)

53

Fungsi alih dari rangkaian ini adalah :

21

2

)(]21[

)(2

)(

)(0

ZZ

Z

sIZZ

sIZ

siE

sE

Dimana : Z1 = Ls + R dan Z2 = 1/Cs

Jadi, persamaan di atas menjadi :

)1

(

1

1

1

)(

)(0

CsRLsCs

CsRLs

Cs

sE

sE

i

1

1

)(

)(2

0

RCsLCssE

sE

i

Persamaan 3.10.

Tinjau rangkaian yang ditunjukkan oleh gambar 3.5. Pada sistem ini, Z1 dan Z2

menyatakan impedansi kompleks. Impedansi kompleks dari suatu rangkaian dua

terminal adalah perbandingan antara E(s) dan I(s), dengan menganggap bahwa semua

syarat awal adalah nol sehingga Z(s) = E(s)/I(s). Dimana :

- E(s) merupakan Transformasi Laplace dari tegangan listrik pada terminal tersebut.

- I(s) merupakan Transformasi Laplace dari arus listrik yang melalui elemen tersebut

Gambar 3.5. Impedansi yang dihubungkan secara paralel

Jika elemen dari kedua terminal tersebut adalah suatu tahanan R, kapasitansi C

atau induktansi L maka impedansi kompleks dari elemen tersebut masing-masing

diberikan oleh R, 1/Cs atau Ls. Jika impedansi kompleks Z1 dan Z2 dihubungkan

secara paralel maka impedansi totalnya sama dengan perbandingan dari fungsi

keluaran terhadap fungsi masukan. Dengan menganggap bahwa tegangan ei(t) dan

Z1

Z2 e0(t) ei(t)

i(t)

i(t)

i(t)

54

e0(t), masing-masing adalah masukan dan keluaran dari rangkaian. Maka fungsi alih

dari rangkaian ini adalah :

21

2

)(]21[

)(2

)(

)(0

ZZ

Z

sIZZ

sIZ

siE

sE

Dimana : Z1 = Ls + R dan Z2 = 1/Cs

Maka persamaan di atas menjadi :

)1

(

1

1

1

)(

)(0

CsRLsCs

CsRLs

Cs

sE

sE

i

1

1

)(

)(2

0

RCsLCssE

sE

i

Persamaan 3.11.

Persamaan 3.10 identik dengan persamaan 3.11.

3.2.5. Elemen Pasif dan Elemen Aktif

Beberapa elemen dalam suatu sistem menyimpan energi seperti kapasitansi

dan induktansi dalam sistem listrik. Energi ini kemudian diberikan ke dalam sistem.

Jumlah energi yang diberikan tidak dapat melebihi jumlah energi yang tersimpan

dalam elemen.

Jika elemen ini sebelumnya tidak menyimpan energi maka elemen ini sama

sekali tidak memberikan energi kepada sistem. Jadi, elemen semacam ini disebut

elemen pasif. Sistem yang hanya mempunyai elemen pasif disebut sistem pasif.

Contoh sistem pasif adalah kapasitansi, tahanan dan induktansi, massa, inersia,

peredam, dan pegas. Untuk elemen pasif, setiap suku dalam persamaan diferensial

sistem homogen, mempunyai tanda yang sama.

3.2.6. Analogi Gaya Tegangan

Tinjau sistem mekanik yang ditunjukkan gambar 3.6.a dan sistem listrik yang

ditunjukkan 3.6.b. Untuk gambar 3.6.a, p(t) merupakan masukan sistem dan x(t)

55

merupakan keluaran sistem.Ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa

sehingga 0)0(,0)0(

xx . Tentukan besar fungsi alih dari gambar 3.6.a.

Untuk gambar 3.6.b, e(t) merupakan masukan sistem dan i(t) merupakan

keluaran sistem.Ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga

0)0(,0)0(

ii . Jika dttdqti /)()( , tentukan besar fungsi alih dari gambar

3.6.b.dalam bentuk muatan listrik.

m

x(t)f

k

p(t)

Gambar 3.6.a. Sistem mekanik

LR

C

e(t)i(t)

Gambar 3.6.b. Rangkaian Listrik RLC

Penyelesaian :

a. Persamaan diferensial untuk sistem mekanik dari gambar 3.6.a adalah :

)()()()(

2

2

tptxkdt

tdxf

dt

txdm Persamaan 3.12.

Jika ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga

,0)0(,0)0(

xx maka Transformasi Laplace untuk setiap suku dari persamaan di

atas menjadi :

- )()( sXktxk

- )()( sPtp

- )]0()0()([])(

[ 2

2

2

xxssXsmdt

txdm

)(00)(]00)([])(

[ 222

2

2

sXmssXsmssXsmdt

txdm

- )]0()([])(

[ xsXsfdt

tdxf

56

)(]0)([])(

[ sXfssXsfdt

tdxf

Jadi persamaan 3.11 dapat ditulis menjadi:

)()()( 2 sPsXkfsms

Dengan mencari perbandingan X(s) dan P(s), diperoleh fungsi alih dari sistem:

Fungsi Alih = kfsmssP

sXsG

2

1

)(

)()(

b. Persamaan diferensial untuk sistem listrik dari gambar 3.6.b adalah :

)()(1

)()(

tedttiC

tiRdt

tdiL Persamaan 3.13.a.

Dalam bentuk muatan listrik q(t) (dimana dttdqti /)()( ), persamaan di atas

menjadi :

)()(1)()(

2

2

tetqCdt

tdqR

dt

tqdL Persamaan 3.13.b.

Jika ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga

,0)0(,0)0(

ii maka Transformasi Laplace untuk setiap suku dari persamaan

3.13.a menjadi :

- )(0)()0()()(

sILssIsLisIsLdt

tdiL

- )()( sIRtiR

- Cs

sI

s

sI

Cs

sI

sCs

sI

s

i

Cdtti

C

)()(0

1)(01)()0(1)(

1 1

- )()( sEte

Transformasi Laplace dari dttdqti /)()( adalah :

)(0)()0()()])(

[)()( sQssQsqsQsdt

tdqsIti

57

Jadi Transformasi Laplace untuk setiap suku persamaan 3.13.b. menjadi :

- )()()()( 2 sQLssQsLssILs

dt

tdiL

- )()()()( sQRssQsRsIRtiR

- C

sQ

Cs

sQs

Cs

sIdtti

C

)()()()(

1

Jadi persamaan 3.13.b. dapat ditulis menjadi:

)()()1

( 2 sEsQC

RsLs

Dengan mencari perbandingan Q(s) dan E(s), diperoleh fungsi alih dari sistem:

Fungsi Alih =

CRsLs

sE

sQsG

1

1

)(

)()(

2

Fungsi Alih = C

C

CRsLs

sE

sQsG

1

1

)(

)()(

2

Fungsi Alih = 1)(

)()(

2

RCsLCs

C

sE

sQsG

Dengan membandingkan persamaan 3.12 dan persamaan 3.13.b, dapat dilihat

bahwa persamaan diferensial kedua sistem tersebut mempunyai bentuk yang identik.

Sistem semacam ini disebut sistem sekias (analog). Suku-suku yang menempati

posisi-posisi yang sama disebut besaran sekias. Analogi yang dimaksud adalah

analogi gaya-tegangan. Daftar besaran sekias dalam analogi gaya-tegangan,

ditunjukkan tabel 3.1.

Tabel 3.1. Daftar besaran sekias dalam analogi gaya-tegangan

Sistem Mekanik Sistem Listrik

Gaya p (Torsi T) Tegangan (e)

Massa m (Momen Inersia J) Induktansi (L)

Koefisien gesekan viskos (f) Tahanan (R)

Konstanta pegas (k) Kebalikan kapasitansi (1/C)

Perpindahan x (Perpindahan sudut ) Muatan (q)

Kecepatan x (Kecepatan sudut ) Arus (i)

58

Beberapa contoh sistem sekias ditunjukkan gambar 3.7. Tiap sistem listrik dan

sistem mekanik, analoginya mempunyai fungsi alih yang identik. Dalam menurunkan

fungsi alih, dianggap bahwa sistem yang ditinjau adalah sistem dengan parameter

terkumpul dan tidak ada pengaruh pembebanan pada keluaran.

ei(t)

R

Ce

o(t)

i(t)

1

1

)(

)(0

RCssE

sE

i

k

xi(t)

f

xo(t)

1

1

)(

)(0

sk

fsX

sX

i

R

C

i(t)e

i(t) e

o(t)

1)(

)(0

RCs

RCs

sE

sE

i

xi(t)

k

f

xo(t)

1)(

)(0

sk

f

sk

f

sX

sX

i

Gambar 3.7. Sistem dan analoginya

Latihan : Cari Fungsi Alih dari sistem berikut, jika diketahui R =1 Ohm, L = 50mH,

C = 200 mF.

1. L

Ci(t)

ei(t) e

o(t)

3.

R

L

i(t)

ei(t) e

o(t)

59

2. R

L

i(t)

ei(t) e

o(t)

4.

L

C

i(t)

ei(t) e

o(t)

3.2.7. Analogi Gaya Arus

Bentuk analogi lain yang sangat berguna antara sistem listrik dan sistem

mekanik adalah analogi gaya-arus. Tinjau sistem mekanik yang ditunjukkan pada

gambar 3.8.a.

m

x(t)f

k

p(t)

Gambar 3.8.a. Sistem Mekanik

I(s) e(t)L R C

IL

IR I

C

Gambar 3.8.b. Sistem Listrik

Gambar 3.8. Sistem Mekanik dan Analoginya

Persamaan diferensial yang melukiskan sistem ini adalah :

)()()()(

2

2

tptxkdt

tdxf

dt

txdm Persamaan 3.14.

Tinjau sistem listrik yang ditunjukkan gambar 3.8.b. Dengan menggunakan

Hukum Arus dari Kirchoff, diperoleh :

)()()()( titititi sCRL Persamaan 3.15.

dimana : - dtteL

tiL )(1

)(

- R

tetiR

)()(

- dt

tdeCtiC

)()(

60

Persamaan 3.9. dapat ditulis :

)()()(

)(1

tidt

tdeC

R

tedtte

Ls Persamaan 3.16.

Fluks magnetik gandeng direlasikan dengan e berdasarkan persamaan:

)()(

tedt

td

Persamaan 3.17.

Dalam bentuk , persamaan 3.10. dapat ditulis sebagai berikut :

)()(1)(1)(

2

2

titLdt

td

Rdt

tdC s

Persamaan 3.18.

Dengan membandingkan persamaan 3.14 dan persamaan 3.18, diperoleh bahwa

kedua sistem tersebut adalah sistem sekias. Beberapa besaran sekias diberikan Tabel

3.2. Dalam hal ini, analogi yang dimaksud disebut analogi gaya-arus

Tabel 3.2. Beberapa besaran sekias dalam analogi gaya-arus

Sistem Mekanik Sistem Listrik

Gaya p (Torsi T) Arus (i)

Massa m (Momen Inersia J) Kapasitansi (C)

Koefisien gesekan viskos (f) Kebalikan dari tahanan (1/R)

Konstanta pegas (k) Kebalikan induktansi (1/L)

Perpindahan x (Perpindahan sudut ) Fluks magnetik gandeng ()

Kecepatan x (Kecepatan sudut ) Tegangan (e)

3.2.8. Sistem Sekias

Konsep sistem sekias sangat berguna dalam praktek karena satu jenis sistem

dapat ditangani secara eksperimental dengan lebih mudah daripada jenis yang lain.

Sebagai contoh, untuk mengkaji sistem mekanik maka dapat dibuat dan dikaji sistem

listrik analoginya karena pada umumnya sistem listrik atau elektronik secara

eksperimental jauh lebih mudah ditangani. Secara khusus dalam komputer analog

elektronik, yang cukup memadai untuk mensimulasikan baik sistem mekanik maupun

sistem fisik lainnya.

61

Analogi antara dua sistem menjadi tidak berlaku jika daerah kerjanya

diperluas sehingga terlalu lebar. Karena persamaan diferensial yang mendasari

analogi hanya merupakan pendekatan dari karaktristik dinamik suatu sistem fisik

maka analogi bisa menjadi tidak berlaku jika daerah kerja salah satu sistem sangat

lebar. Meskipun demikian, jika daerah kerja suatu sistem mekanik sangat lebar,

kemungkinan dapat dibagi menjadi dua atau lebih dengan daerah yang lebih kecil

sehingga untuk setiap daerah yang lebih kecil tersebut dapat dibuat analogi listriknya.

Sebenarnya analogi tidak terbatas pada sistem listrik dan sistem mekanik. Analogi

dapat diterapkan pada setiap sistem yang mempunyai bentuk persamaan diferensial

atau fungsi alih yang identik.

3.3. Fungsi Alih Dari Elemen-elemen Yang Dihubung Seri

Beberapa sistem berumpanbalik mempunyai komponen-komponen yang

saling membebani. Tinjau sistem yang ditunjukkan gambar 3.9. Anggap ei(t) adalah

masukan sistem dan eo(t) adalah keluaran sistem.

R1

R2

C1

i1(t)

ei(t) e

o(t)

C2

i2(t)

I II III

Gambar 3.9. Rangkaian listrik yang dihubung seri

Pada sistem ini, rangkaian tingkat kedua (R2 C) menimbulkan pengaruh

pembebanan pada rangkaian tingkat pertama (R1 C1). Persamaan listrik untuk sistem

dalam gambar 3.9. adalah :

Persamaan Rangkaian I : )())(2)(1(1

111 tiedttiti

CtiR

Persamaan Rangkaian II : 0)(1

)())()((1

2

2

2212

1

dttiC

tiRdttitiC

Persamaan Rangkaian II, disederhanakan menjadi :

dttiC

dttiC

tiRdttiC

i )(1

)(1

)()(1

1

2

2

222

1

62

Persamaan Rangkaian III disederhanakan menjadi : )()(1

02

2

tedttiC

Persamaan Laplace dari ketiga persamaan listrik di atas adalah :

Persamaan Rangkaian I :

)()()}()({1

1121

1

sEsIRsIsIsC

i

)()(1

)()1

( 2

1

11

1

sEsIsC

sIRsC

i Persamaan 3.19.

Persamaan Rangkaian II :

)(1

)(1

)()(1

1

1

2

2

222

1

sIsC

sIsC

sIRsIsC

)(1

)()11

( 1

1

2

2

2

1

sIsC

sIsC

RsC

)()()11

( 12

2

2

1

1 sIsIsC

RsC

sC

)()()1( 12

2

112 sIsI

C

CsCR Persamaan 3.20.

Persamaan Rangkaian III :

)()(1

02

2

sEsIsC

Persamaan 3.21.

Persamaan 3.20. disubstitusi ke persamaan 3.19. Maka persamaan 3.19.

menjadi :

)()(1

)()1

( 2

1

11

1

sEsIsC

sIRsC

i

)()(1

)()1()1

( 2

1

2

2

1121

1

sEsIsC

sIC

CsCRR

sCi

)()(1

)()1

( 2

1

2

2

11

21

1121

1

121

1

sEsIsC

sIC

CR

sCC

CsCRR

sC

sCRR

sCi

)()()()(

)()()()(

1

2

2

211

2

221212221

1

2 sEsC

sI

C

sICR

sC

sIsIsCRRsIRsIR

sC

sIi

63

)()()1

( 2

2

11

2

12121 sEsIC

CR

sCsCRRRR i Persamaan 3.22.

Fungsi Alih dari rangkaian listrik yang dihubung seri dengan menganggap

syarat awal adalah nol diperoleh :

sC

sC

sIC

CR

sCsCRRRR

sIsC

sE

sE

i 2

2

2

2

11

2

12121

2

20

)()1

(

)(1

)(

)(

)1

(

1

)(

)(

2

11

2

121212

0

C

CR

sCsCRRRRsC

sE

sE

i

2

211

2

22

21212221

0 1

)(

)(

C

sCCR

sC

sCsCCRRsCRsCR

sE

sE

i

sCRsCCRRsCRsCRsE

sE

i 11

2

21212221

0

1

1

)(

)(

Persamaan 3.23.

Bentuk sCR 21 pada penyebut dari fungsi alih menyatakan interaksi dua

rangkaian RC sederhana. Karena 2211

2

212211 4)( CRCRCRCRCR , maka

kedua akar dari penyebut pada persamaan 3.23. adalah nyata.

Analisa ini menunjukkan bahwa jika dua rangkaian RC dihubung seri

sedemikian rupa sehingga keluaran dari rangkaian pertama menjadi masukan bagi

rangkaian kedua maka fungsi alih keseluruhan sistem tidak sama dengan hasilkali

antara )1/(1 11 sCR dengan )1/(1 22 sCR . Hal ini disebabkan pada waktu diturunkan

fungsi alih untuk suatu rangkaian terisolasi, secara tersirat dianggap bahwa keluaran

tidak dibebani. Dengan kata lain, impedansi beban dianggap tidak terhingga, yang

berarti tidak menyerap daya pada keluaran. Walaupun demikian, jika rangkaian kedua

dihubungkan pada keluaran dari rangkaian pertama maka sejumlah tertentu daya akan

diserap sehingga anggapan bahwa tidak ada pembebanan, tidak dipenuhi. Jadi, jika

fungsi alih sistem diperoleh dengan menganggap bahwa tidak ada pembebanan maka

fungsi alih tersebut tidak berlaku. Derajat pengaruh pembebanan menentukan

besarnya modifikasi dari fungsi alih.

64

Latihan : Cari Fungsi Alih dari sistem berikut jika diketahui R = 1 Ohm, R1 = R2 =

0,5 Ohm, L = 50mH, C = 400 mF, C1 = C2 = 500mF.

1

.

ei(t)

C1R

Li1(t)

eo(t)

C2

i2(t)

2

.

ei(t)

C1

R2

R1

i1(t)

eo(t)

C2

i2(t)

3

.

R1

R2C

i1(t)

ei(t) e

o(t)

L

i2(t)

3.4. Fungsi Alih Elemen-elemen Seri Tanpa Pembebanan

Fungsi alih suatu sistem yang terdiri dari dua buah elemen yang dihubungkan

seri tanpa pembebanan dapat diperoleh dengan mengeliminasi masukan dan keluaran

madya.

Contoh tinjau sistem yang ditujukan gambar 3.10. Sistem terdiri dari dua buah

elemen yang dihubung seri tanpa pembebanan. Fungsi alih masing-masing elemen

adalah :

Gambar 3.10. Elemen yang dihubung seri tanpa pembebanan

G1(s) G2(s) X2(s) X1(s)

X3(s)

65

Fungsi alih dari setiap blok diagram pada gambar 3.10 adalah :

)(

)()(

)(

)()(

2

3

2

1

2

1

sX

sXsGdan

sX

sXsG

Gambar rangkaian pengganti dari elemen-elemen yang dihubung seri tanpa

pembebanan dapat dilihat pada gambar 3.11.

Gambar 3.11. Rangkaian pengganti elemen yang dihubung seri tanpa pembebanan

Jika impedansi masukan dari elemen kedua adalah tak terhingga, maka

keluaran elemen pertama tidak dipengaruhi oleh penggandengan elemen pertama

dengan elemen kedua. Maka fungsi alih dari sistem keseluruhan adalah:

)()()(

)(

)(

)()( 21

2

3

1

2

1

3 sGsGsX

sX

sX

sX

sX

sXsG Persamaan 3.24.

Jadi fungsi alih dari sistem keseluruhan merupakan hasil kali dari fungsi alih

masing-masing elemen. Hal ini ditunjukkan gambar 3.11.

Penyisipan sebuah penguat pengisolasi diantara rangkaian-rangkaian untuk

mendapatkan karakteristik tanpa pembebanan, seringkali digunakan dalam

menghubungkan beberapa rangkaian listrik karena baik penguat semi konduktor

maupun penguat tabung hampa mempunyai impedansi masukan yang sangat tinggi.

Maka penguat pengisolasi yang disisipkan diantara dua buah rangkaian akan

menguatkan sistem tanpa pembebanan.

Dua buah rangkain RC sederhana, yang diisolasikan dengan penguat,

ditunjukkan pada gambar 3.12.

Penguat

Isolasi

(Penguat K)

e0(t)e

i(t) C

1C

2

R1 R

2

I II

Gambar 3.12. Sistem Listrik Dengan Penguat Pengisolasi

G1(s) G2(s) X1(s)

X3(s)

66

Dua buah rangkaian RC sederhana yang diisolasikan dengan suatu penguat

yang mempunyai pengaruh pembebanan yang dapat diabaikan. Persamaan listrik dari

rangkaian I di atas adalah :

)()(1

)(1

1 tedttiC

tiR i

)()(1

0

1

tedttiC

Persamaan Laplace dari rangkaian I di atas adalah :

)()(1

)(1

1 sEsIsC

sIR i

)()(1

0

1

sEsIsC

Fungsi alih sistem dari rangkaian I di atas adalah :

)1

(

1

)()1

(

)(1

)(

)(

1

111

1

1

1

10

sCRsC

sC

sC

sIsC

R

sIsC

sE

sE

i

1

11

)(

)(

11

1

111

0

sCR

sC

sCsCR

sE

sE

i

Sedangkan persamaan listrik dari rangkaian II di atas adalah :

)()(1

)(2

2 tedttiC

tiR i

)()(1

0

2

tedttiC

Fungsi alih sistem dari rangkaian II di atas adalah :

)()(1

)(2

2 sEsIsC

sIR i

)()(1

0

2

sEsIsC

67

X1

Fungsi alih sistem dari rangkaian II di atas adalah :

)1

(

1

)()1

(

)(1

)(

)(

2

222

2

2

2

20

sCRsC

sC

sC

sIsC

R

sIsC

sE

sE

i

1

11

)(

)(

22

2

222

0

sCR

sC

sCsCR

sE

sE

i

Fungsi alih rangkaian keseluruhan sama dengan hasil kali dari masing-masing

fungsi alih. Jadi, dalam hal ini fungsi alih keseluruhan sistem adalah :

)1

1()

1

1(

)(

)(

2211

0

sCRk

sCRsE

sE

i

Latihan : Carilah Fungsi Alih Total (Xn/X1) dari keseluruhan blok diagram berikut!

1.

2.

3.

4.

5.

1

10

s

1

1

s

Xn X2

1

4

s

X3 X1 X2 Xn

3

2

s

2

3

s

X3 X1 X2 Xn

4

7

s

2

1

s

3

2

s

1

1

s

Xn X1 X2

3

2

s

5

2

s

X3 X1 X2 Xn

6

3

s

3

4

s