2. fungsi komposisi

12
MODUL AJAR MATEMATIKA Kode Modul : MA32FK Pokok Bahasan : Fungsi Komposisi Penyusun : Nur Muchamad Website : www.ma-tema.tk PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2014

Upload: noervous-educational-platform-nep

Post on 22-Jun-2015

1.540 views

Category:

Education


4 download

DESCRIPTION

Fungsi Komposisi

TRANSCRIPT

Page 1: 2. fungsi komposisi

MODUL AJAR MATEMATIKA

Kode Modul : MA32FK

Pokok Bahasan : Fungsi Komposisi

Penyusun : Nur Muchamad

Website : www.ma-tema.tk

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

2014

Page 2: 2. fungsi komposisi

http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 1

FUNGSI KOMPOSISI

A. Konsep dan Aturan Fungsi Komposisi

a. Konsep Fungsi Komposisi

Contoh 1:

Di dalam pembuatan kertas kita tidak bisa mengolah kayu langsung menjadi kertas

tetapi mula-mula kayu diolah menjadi pulp oleh suatu mesin tertentu dan baru

kemudian pulp diolah lagi menjadi kertas menggunakan mesin lain.

Misalkan mesin A adalah mesin pengolah kayu menjadi pulp (proses I), sedangkan

mesin B adalah pengolah pulp menjadi kertas (proses II). Jika diilustrasikan dengan

bagan, tampak seperti berikut ini.

Misalkan mesin C adalah mesin yang mampu mengolah kayu langsung menjadi

kertas (tentu di dalam mesin C terjadi proses I dan proses II).

Jadi pada mesin C terjadi komposisi antara proses I dan proses II.

Contoh 2:

CV. Abadi Sejahtera menerapkan sistem yang unik dalam menggaji karyawannya.

Dalam satu bulan masa kerja, seorang karyawan akan mendapatkan gaji pokok dan

dua macam bonus yang ditetapkan dengan aturan tertentu. Distribusi gaji dan bonus

karyawan CV. Abadi Sejahtera diperlihatkan dalam tabel berikut ini.

No. Gaji Pokok Bonus 1 Bonus 2

1. Rp 1.000.000,00 Rp 100.000,00 Rp 50.000,00

2. Rp 1.500.000,00 Rp 150.000,00 Rp 75.000,00

3. Rp 2.000.000,00 Rp 200.000,00 Rp 100.000,00

4. Rp 2.500.000,00 Rp 250.000,00 Rp 125.000,00

5. Rp 3.000.000,00 Rp 300.000,00 Rp 150.000,00

… … … …

Jika diperhatikan dengan seksama, kita bisa mengetahui aturan penetapan dua macam

bonus yang diberikan kepada karyawan tersebut. Bonus 1 ditetapkan dengan aturan

bahwa besarnya adalah 10% atau 1/10 gaji pokok (aturan I), sementara bonus 2

ditetapkan dengan aturan bahwa besarnya adalah 50% atau ½ dari bonus 1 (aturan

II). Kita juga dapat mengetahui aturan penetapan bonus 2 berdasarkan gaji pokok

karyawan, yaitu:

Page 3: 2. fungsi komposisi

http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 2

Bonus 2 =1

2× Bonus 1 =

1

1

10× Gaji Pokok =

1

20× Gaji Pokok.

Diketahui bahwa aturan penetapan bonus 2 berdasarkan gaji pokoknya adalah bahwa

besarnya bonus 2 adalah 1/20 atau 5% dari gaji pokok.

Jadi, aturan penetapan bonus 2 (aturan III) berdasarkan besarnya gaji pokok ini

ditentukan dengan mengkomposisikan aturan I dan aturan II.

b. Pengertian dan Aturan Fungsi Komposisi

Dari dua fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan

operasi komposisi. Operasi komposisi dilambangkan dengan ∘ (dibaca: dot atau

bundaran atau komposisi). Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan operasi

komposisi itu adalah:

1. 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥), dibaca: 𝑓 komposisi 𝑔 𝑥 atau 𝑓 𝑔 𝑥.

2. 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑥), dibaca: 𝑔 komposisi 𝑓 𝑥 atau 𝑔 𝑓 𝑥.

Diketahui 𝑓 adalah sebuah fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵, sedangkan 𝑔

adalah fungsi dari himpunan 𝐵 ke himpunan 𝐶. Fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan

𝐵, kemudian dilanjutkan fungsi dari himpunan 𝐵 ke himpunan 𝐶, dinamakan fungsi

komposisi yang dilambangkan dengan (𝑔 ∘ 𝑓).

Fungsi (𝑓 ∘ 𝑔) adalah komposisi fungsi 𝑓 dan 𝑔 yang pengerjaannya dilakukan pada

fungsi 𝑔 terlebih dahulu kemudian dilanjutkan fungsi 𝑓.

Definisi:

Misalkan fungsi:

𝑔:𝐴 → 𝐵 ditentukan dengan aturan 𝑦 = 𝑔 𝑥

Page 4: 2. fungsi komposisi

http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 3

𝑓:𝐵 → 𝐶 ditentukan dengan aturan 𝑦 = 𝑓 𝑥

Fungsi komposisi 𝑓 dan 𝑔 ditentukan dengan aturan 𝑕 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 .

Definisi:

Misalkan fungsi:

𝑓:𝐴 → 𝐵 ditentukan dengan aturan 𝑦 = 𝑓 𝑥

𝑔:𝐵 → 𝐶 ditentukan dengan aturan 𝑦 = 𝑔 𝑥

Fungsi komposisi 𝑔 dan 𝑓 ditentukan dengan aturan 𝑕 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 .

Catatan: Fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑓 𝑥 atau 𝑔 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑔 𝑥

disebut fungsi komposisi diri, yaitu fungsi komposisi yang dibentuk dari dua buah

fungsi yang sama.

Contoh 1:

Misalkan fungsi 𝑓:𝑅 → 𝑅 dan 𝑔:𝑅 → 𝑅 ditentukan dengan aturan 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

dan 𝑔 𝑥 = 2𝑥. Tentukanlah:

1. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥

2. 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥

3. 𝑓 ∘ 𝑓 𝑥

4. 𝑔 ∘ 𝑔 𝑥

Penyelesaian:

1. Dengan menggunakan rumus, didapat:

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 2𝑥 = 3 2𝑥 − 1 = 6𝑥 − 1

Jadi, 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 6𝑥 − 1.

2. Dengan menggunakan rumus, didapat:

𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 3𝑥 − 1 = 2 3𝑥 − 1 = 6𝑥 − 2

Jadi, 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 2.

3. Dengan menggunakan rumus, didapat:

𝑓 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑓 𝑥 = 𝑓 3𝑥 − 1 = 3 3𝑥 − 1 − 1 = 9𝑥 − 3 − 1 = 9𝑥 − 4

Jadi, 𝑓 ∘ 𝑓 𝑥 = 9𝑥 − 4.

4. Dengan menggunakan rumus, didapat:

𝑔 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑔 𝑥 = 𝑔 2𝑥 = 2 2𝑥 = 4𝑥

Jadi, 𝑔 ∘ 𝑔 𝑥 = 4𝑥.

Page 5: 2. fungsi komposisi

http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 4

Contoh 2:

Misalkan fungsi 𝑓:𝑅 → 𝑅 dan 𝑔:𝑅 → 𝑅 ditentukan dengan aturan 𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 1

dan 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 2. Tentukanlah:

1. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥

2. 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥

3. 𝑓 ∘ 𝑓 𝑥

4. 𝑔 ∘ 𝑔 𝑥

Penyelesaian:

1. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥2 + 2 = 4 𝑥2 + 2 − 1 = 4𝑥2 + 7

Jadi, 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 4𝑥2 + 7.

2. 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 4𝑥 − 1 = 4𝑥 − 1 2 + 2 = 16𝑥2 − 8𝑥 + 3

Jadi, 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 16𝑥2 − 8𝑥 + 3.

3. 𝑓 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑓 𝑥 = 𝑓 4𝑥 − 1 = 4 4𝑥 − 1 − 1 = 16𝑥 − 5

Jadi, 𝑓 ∘ 𝑓 𝑥 = 16𝑥 − 5.

4. 𝑔 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥2 + 2 = 𝑥2 + 2 2 + 2 = 𝑥4 + 4𝑥2 + 6

Jadi, 𝑔 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑥4 + 4𝑥2 + 6.

Contoh 3:

Misalkan fungsi 𝑓 dan 𝑔 dinyatakan dengan pasangan terurut

𝑓 = −1,4 , 1,6 , 2,3 , 8,5

𝑔 = 3,8 , 4,1 , 5,−1 , 6,2

Tentukanlah (𝑓 ∘ 𝑔) dan (𝑔 ∘ 𝑓).

Penyelesaian:

Fungsi komposisi dari dua fungsi yang dinyatakan dengan pasangan terurut lebih

mudah ditentukan dengan menggunakan diagram pemetaan (diagram panah).

1. Fungsi komposisi (𝑓 ∘ 𝑔), pemetaan pertama oleh fungsi 𝑔 dilanjutkan pemetaan

kedua oleh fungsi 𝑓. Diagram pemetaan fungsi komposisi (𝑓 ∘ 𝑔) diperlihatkan

pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:

𝑓 ∘ 𝑔 = { 3,5 , 4,6 , 5,4 , 6,3 }

2. Fungsi komposisi (𝑔 ∘ 𝑓), pemetaan pertama oleh fungsi 𝑓 dilanjutkan pemetaan

kedua oleh fungsi 𝑔. Diagram pemetaan fungsi komposisi (𝑔 ∘ 𝑓) diperlihatkan

pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:

𝑔 ∘ 𝑓 = { −1,1 , 1,2 , 2,8 , 8,−1 }

Gambar diagram panah:

Page 6: 2. fungsi komposisi

http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 5

Contoh 4:

Misalkan fungsi 𝑓 dan 𝑔 dinyatakan dengan pasangan terurut

𝑓 = 0,1 , 2,4 , 3,−1 , 4,5

𝑔 = 2,0 , 1,2 , 5,3 , 6,7

Tentukanlah (𝑓 ∘ 𝑔) dan (𝑔 ∘ 𝑓).

1. Fungsi komposisi (𝑓 ∘ 𝑔), pemetaan pertama oleh fungsi 𝑔 dilanjutkan pemetaan

kedua oleh fungsi 𝑓. Diagram pemetaan fungsi komposisi (𝑓 ∘ 𝑔) diperlihatkan

pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:

𝑓 ∘ 𝑔 = { 2,1 , 1,4 , 5,−1 }

2. Fungsi komposisi (𝑔 ∘ 𝑓), pemetaan pertama oleh fungsi 𝑓 dilanjutkan pemetaan

kedua oleh fungsi 𝑔. Diagram pemetaan fungsi komposisi (𝑔 ∘ 𝑓) diperlihatkan

pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:

𝑔 ∘ 𝑓 = { 0,2 , 4,3 }

Gambar diagram panah:

c. Syarat Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan

Tidak setiap dua fungsi dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi. Untuk

mengetahui syarat agar komposisi dua buah fungsi merupakan sebuah fungsi

komposisi, perhatikan gambar berikut ini.

Gambar di atas menunjukkan dua buah fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 dan 𝑔:𝐵 → 𝐶. Berdasarkan

gambar tersebut, dapat diketahui bahwa

Page 7: 2. fungsi komposisi

http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 6

𝑓 𝑎1 = 𝑏 dan 𝑔 𝑏1 = 𝑐1 sehingga 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑎1) = 𝑐1

𝑓 𝑎2 = 𝑏 dan 𝑔 𝑏1 = 𝑐1 sehingga 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑎2) = 𝑐1

𝑓 𝑎3 = 𝑏 dan 𝑔 𝑏3 = 𝑐3 sehingga 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑎3) = 𝑐3

𝑓 𝑎4 = 𝑏 dan 𝑔 𝑏3 = 𝑐3 sehingga 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑎4) = 𝑐3

𝑓 𝑎5 = 𝑏 dan 𝑔 𝑏4 = 𝑐4 sehingga 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑎5) = 𝑐4

Dengan demikian, disimpulkan bahwa 𝑔 ∘ 𝑓 :𝐴 → 𝐶 merupakan sebuah fungsi atau

fungsi komposisi.

Dari gambar tersebut juga, terlihat bahwa 𝑔 adalah dungsi dengan domain (daerah

asal) himpunan 𝐵, sedangkan 𝑓 adalah fungsi dengan kodomain (daerah kawan)

himpunan 𝐵. Range fungsi 𝑓 adalah 𝑅𝑓 = 𝑏1 , 𝑏3 ,𝑏4 , sehingga range 𝑓 merupakan

himpunan bagian dari himpunan 𝐵. Dengan kata lain, range 𝑓 merupakan himpunan

bagian dari domain 𝑔.

Sekarang perhatikan gambar berikut ini.

Pada gambar tersebut, fungsi 𝑓:𝐴 → 𝐵 dan fungsi 𝑔:𝐷 → 𝐶 dengan 𝐷 ⊆ 𝐵. Jika

dibuat fungsi komposisi 𝑔 ∘ 𝑓, komposisi fungsi tersebut bukan merupakan sebuah

fungsi karena 𝑓 𝑎3 = 𝑏3 bukan anggota 𝑔, sehingga 𝑏3 tidak dipetakan oleh 𝑔. Jika

kita perhatikan, ternyata domain 𝑔 merupakan himpunan bagian dari range 𝑓. Oleh

karena itu, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

Fungsi 𝑔 dapat dikomposisikan dengan fungsi 𝑓, sehingga komposisi 𝑔 ∘ 𝑓

merupakan sebuah fungsi apabila range 𝑓 merupakan himpunan bagian dari domain

𝑔, atau dapat ditulis 𝑅𝑓 ⊂ 𝐷𝑔.

d. Nilai dari Fungsi Komposisi

Untuk menjelaskan nilai dari suatu fungsi komposisi, dapat dilakukan dengan dua

cara berikut ini.

1. Dengan menentukan rumus fungsi komposisinya dulu kemudian

mensubstitusikan nilainya.

2. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari.

Page 8: 2. fungsi komposisi

http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 7

Contoh 1:

Diketahui dua buah fungsi aljabar berikut yang dinyatakan dengan rumus 𝑓 𝑥 = 𝑥2

dan 𝑔 𝑥 = 4𝑥 + 2. Tentukanlah nilai-nilai dari fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 (−1) dan

𝑔 ∘ 𝑓 (2).

Penyelesaian:

Cara 1

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 4𝑥 + 2

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 4𝑥 + 2 2

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 16𝑥2 + 16𝑥 + 4

𝑓 ∘ 𝑔 −1 = 16. −1 2 + 16. −1 + 4

𝑓 ∘ 𝑔 −1 = 16 − 16 + 4 = 4

𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥

𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥2

𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 4 𝑥2 + 2

𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 4𝑥2 + 2

𝑔 ∘ 𝑓 2 = 4. 2 2 + 2

𝑔 ∘ 𝑓 2 = 4.4 + 2

𝑔 ∘ 𝑓 2 = 16 + 2 = 18

Cara 2

𝑓 ∘ 𝑔 −1 = 𝑓 𝑔 −1

𝑓 ∘ 𝑔 −1 = 𝑓 4. −1 + 2

𝑓 ∘ 𝑔 −1 = 𝑓 −2

𝑓 ∘ 𝑔 −1 = −2 2 = 4

𝑔 ∘ 𝑓 2 = 𝑔 𝑓 2

𝑔 ∘ 𝑓 2 = 𝑔 22

𝑔 ∘ 𝑓 2 = 𝑔 4

𝑔 ∘ 𝑓 2 = 4.2 + 2

𝑔 ∘ 𝑓 2 = 8 + 2 = 10

Contoh 2:

Diketahui fungsi 𝑓:𝑅 → 𝑅 ditentukan dengan rumus berikut ini.

𝑓 𝑥 = 1

𝑥 + 1−1

jikajikajika

𝑥 ≤ 00 < 𝑥 < 2𝑥 ≥ 2

1. Hitunglah 𝑓(−2), 𝑓(1), dan 𝑓(2)

2. Hitunglah 𝑓 ∘ 𝑓 (−2), 𝑓 ∘ 𝑓 (1), dan 𝑓 ∘ 𝑓 (2)

Page 9: 2. fungsi komposisi

http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 8

Penyelesaian:

1. Nilai dari fungsi 𝑓(𝑥) berbeda-beda tergantung pada interval nilai𝑥-nya.

𝑓 −2 = 1

𝑓 1 = 1 + 1 = 2

𝑓 2 = −1

2. 𝑓 ∘ 𝑓 −2 = 𝑓 𝑓 −2

𝑓 ∘ 𝑓 −2 = 𝑓 1

𝑓 ∘ 𝑓 −2 = 1 + 1 = 2

𝑓 ∘ 𝑓 1 = 𝑓 𝑓 1

𝑓 ∘ 𝑓 1 = 𝑓 1 + 1

𝑓 ∘ 𝑓 1 = 𝑓 2

𝑓 ∘ 𝑓 1 = −1

𝑓 ∘ 𝑓 2 = 𝑓 𝑓 2

𝑓 ∘ 𝑓 2 = 𝑓 −1

𝑓 ∘ 𝑓 2 = 1

B. Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Sifat-sifat operasi komposisi pada fungsi-fungsi adalah sebagai berikut.

a. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya tidak komutatif.

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑥)

b. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif.

𝑓 ∘ 𝑔 ∘ 𝑕 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ 𝑕 𝑥

c. Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat sebuah unsur identitas, yaitu

fungsi identitas 𝐼 𝑥 = 𝑥.

𝑓 ∘ 𝐼 𝑥 = 𝐼 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥)

C. Fungsi Komposisi dari Beberapa Fungsi

Suatu fungsi komposisi dapat tersusun dari dua fungsi atau lebih. Jika komposisi fungsi

terdiri dari tiga fungsi atau lebih, pengerjaannya harus dilakukan berurutan atau tidak

boleh terbalik (kita bisa menggunakan sifat komutatif tetapi bisa memanfaatkan sifat

asosiatif untuk menyelesaikan persoalan sejenis ini).

Contoh:

Diketahui tiga buah fungsi 𝑓, 𝑔, dan 𝑕 pada bilangan real yang ditentukan dengan rumus

𝑓 𝑥 = 𝑥2, 𝑔 𝑥 = 5𝑥 + 3, dan 𝑕 𝑥 = 𝑥 + 1. Tentukan komposisi fungsi berikut ini.

1. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥

2. 𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥

Page 10: 2. fungsi komposisi

http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 9

Penyelesaian:

1. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 5𝑥 + 3

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 5𝑥 + 3 2

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 25𝑥2 + 30𝑥 + 9

2. Karena operasi komposisi berlaku sifat asosiatif, maka kita bisa memilih untuk

mengerjakan komposisi (𝑔 ∘ 𝑓) atau (𝑓 ∘ 𝑕) terlebih dahulu.

𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥

𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥

𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 𝑕 𝑥

𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 + 1

𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 + 1

𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 1 2

𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 1

𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥 = 5. 𝑥 + 1 + 3

𝑔 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕 𝑥 = 5𝑥 + 5 + 3 = 5𝑥 + 8

D. Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Fungsi Lain Diketahui

Misalkan fungsi 𝑓 dan fungsi komposisi (𝑓 ∘ 𝑔) atau (𝑔 ∘ 𝑓) sudah diketahui, maka

fungsi 𝑔 dspst ditentukan. Begitu pula kalau fungsi 𝑔 dan fungsi komposisi (𝑓 ∘ 𝑔) atau

(𝑔 ∘ 𝑓) diketahui maka fungsi 𝑓 dapat ditentukan. Cara untuk mentukan fungsi jika

rumus fungsi komposisi dan fungsi lainnya telah diketahui dapat dipelajari dari beberapa

contoh berikut ini.

Contoh 1:

Misalkan fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = −2𝑥 + 3 dan 𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 1.

Carilah fungsi 𝑔(𝑥).

Penyelesaian:

Dalam contoh ini fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) dan fungsi 𝑓(𝑥) diketahui, yang akan

ditentukan adalah fungsi 𝑔(𝑥).

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = −2𝑥 + 3

⇔ 𝑓 𝑔 𝑥 = −2𝑥 + 3

⇔ 4.𝑔 𝑥 − 1 = −2𝑥 + 3

⇔ 4.𝑔(𝑥) = −2𝑥 + 3 + 1

⇔ 4.𝑔(𝑥) = −2𝑥 + 4

⇔ 𝑔 𝑥 =−2𝑥 + 4

4= −

1

2𝑥 + 1

Jadi, fungsi 𝑔 𝑥 = −1

2𝑥 + 1

Page 11: 2. fungsi komposisi

http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 10

Contoh 2:

Misalkan fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 4 − 2𝑥 dan fungsi 𝑔 𝑥 = 6𝑥 + 1.

Carilah fungsi 𝑓(𝑥).

Penyelesaian:

Dalam contoh ini fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) dan fungsi 𝑔(𝑥) diketahui, yang akan

ditentukan adalah fungsi 𝑓(𝑥).

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 4 − 2𝑥

⟺ 𝑓 𝑔 𝑥 = 4 − 2𝑥

⟺ 𝑓 6𝑥 + 1 = 4 − 2𝑥

⟺ 𝑓 6𝑥 + 1 = 4 + −1

3. 6𝑥 + 1 +

1

3

⟺ 𝑓 6𝑥 + 1 = 4 −1

3. 6𝑥 + 1 +

1

3

⟺ 𝑓 6𝑥 + 1 = 4 +1

3−

1

3. 6𝑥 + 1

⟺ 𝑓 6𝑥 + 1 = 41

3−

1

3. 6𝑥 + 1

Oleh karena 𝑓 6𝑥 + 1 = 41

3−

1

3. 6𝑥 + 1 maka 𝑓 𝑥 = 4

1

3−

1

3𝑥.

Jadi, fungsi 𝑓 𝑥 = 41

3−

1

3𝑥.

Page 12: 2. fungsi komposisi

http://www.ma-tema.tk/ | MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 11

DAFTAR PUSTAKA

Lestari, Sri dan Diah Ayu K. 2009. Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas

XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 2: Konsep dan Aplikasinya untuk

Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat

Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI

Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodikromo, Sartono. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas 2 Semester 1.

Jakarta: Erlangga.