Kalkulus 1 1

2. FUNGSI

Kalkulus 1 2

2.1 Fungsi dan Grafik

Rx Definisi : Fungsi dari R (bilangan real) ke R adalah suatu aturan yang

mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu Ry

Notasi : f : R R )(xfyx

x disebut peubah bebas, y peubah tak bebas

Contoh

42)( 2 xxxf

xxf 1)(

32,)( 2 xxxf

1.

2.

3.

Kalkulus 1 3

R R

f

f suatu fungsi

R R

f

f bukan fungsi

Kalkulus 1 4

Domain / daerah asal dari f(x), notasi Df , yaitu

Daerah nilai / Range dari f(x) , notasi Rf , yaitu

})(|{ RxfRxDf

}|)({ ff DxRxfR

R R

Df Rf

f

Kalkulus 1 5

Contoh : Tentukan daerah asal dan daerah nilai dari

42)( 2 xxxf

xxf 1)(

1.

2.

Jawab : })(|{.1 RxfRxD f

}|42{ 2 Rxxx

0),3[ fR

}42|{ 2 RxxRx

R

}|)({ ff DxxfR

}|3)1(42{ 22 Rxxxx

Kalkulus 1 6

xxf 1)(2.

})(|{ RxfRxD f

),0[}0|{ xRx

Karena 0untuk0 xx 11)( xxf

),1[ fR

}1|{ RxRx

}|)({ ff DxxfR

)},0[|1{ xx

maka

Kalkulus 1 7

Latihan

Tentukan domain dan range dari fungsi berikut:

21. ( ) 4f x x x 1

2. ( )3

xf x

x

23. ( ) 4f x x

4. ( ) 1 4f x x

2

15. ( )f x

x

Tentukan domain dari:

1. ( ) 3 4f x x 2. ( ) 3 4 | | 5f x x x

Kalkulus 1 8

Grafik FungsiMisal y = f(x), himpunan titik

},|),{( ff RyDxyx

disebut grafik fungsi f

Grafik fungsi sederhana

a. Fungsi linear

baxxf )(

Grafik berupa garis lurus

Cara menggambar : tentukan titikpotong dgn sumbu x dan sumbu y

-1

1

y=x+1

ContohGambarkan grafik y = x + 1

Titik potong dgn sumbu x

y = 0 x = -1 (-1,0)

Titik potong dgn sumbu y x = 0 y=1 (0,1)

Kalkulus 1 9

b. Fungsi Kuadrat

cbxaxxf 2)(

Grafik berupa parabola. acbD 42

a>0, D>0 a>0, D=0 a>0, D<0

Misal

abx 2

aD

4

Kalkulus 1 10

a<0, D>0 a<0, D=0 a<0, D<0

Kalkulus 1 11

Menggambar Grafik Fungsi dengan Pergeseran

Jika diketahui grafik fungsi y = f(x), maka :

Grafik y=f(x-h)+k diperoleh dengan cara menggeser grafik y = f(x)

(i) sejauh h satuan ke kanan jika h positif dan k satuan ke atas jika k

positif

(ii) sejauh h satuan ke kiri jika h negatif dan k satuan ke bawah jika k negatif.

Kalkulus 1 12

Contoh Pergeseran

542 xxxf

54442 xx

12 2 x

2xy

22 xy

digeser sejauh

1. Gambarkan grafik fungsi

2 ke kanan

2

42xy 22 xy

Kalkulus 1 13

22 xy

12 2 xy

Kemudian digeser sejauh 1 ke atas

maka akan terbentuk

2

4

22 xy

122 xy

Kalkulus 1 14

2.2 Jenis-jenis Fungsi

f x a a x a x a xnn( ) ... 0 1 2

2

f xp x

q x( )

( )

( )

4

1)(

2

2

x

xxf

1. Fungsi polinom (suku banyak)

Fungsi suku banyak terdefinisi dimana-mana(R)

2. Fungsi Rasional :

dengan p(x) dan q(x) merupakan fungsi polinom , dan q(x) ≠0.

Fungsi rasional terdefinisi dimana-mana kecuali dipembuat nol q(x)

terdefinisi di mana2 , kecuali di x = 2, dan x = -2

contoh

}2,2{ RD f

Kalkulus 1 15

Untuk 0x2)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 1x22)( xxf

Grafik: parabola

1

3

º

Kalkulus 1 16

3. Fungsi periodik

Fungsi f(x) disebut periodik dengan perioda p jika f(x+p) = f(x).

Contoh

f(x) = sinx fungsi periodik dengan perioda

= sinx = f(x)

2( 2 ) sin( 2 ) sin cos2 cos sin 2f x x x x

Latihan

Gambarkan fungsi berikut:

Kalkulus 1

2 , 11. ( )

1 , 1

x xf x

x x

1 1

2. ( ) 2 , 1 1

, 1

x x

f x x x

x x

2

, 2

3. ( ) 5, 2 3

, 3

x x

f x x

x x

32)(.5 xxf

4. ( ) | | 2f x x x

Kalkulus 1 18

2.3 Operasi Fungsi

A. Operasi aljabar Definisi: Misalkan fungsi f(x) dan g(x) mempunyai daerah asal Df dan Dg ,

maka

gfgf DDD

,)()())(( xgxfxgf

,)().())(.( xgxfxgf

gfgf DDD .

,0)(,)(

)())(( xg

xg

xfx

g

f}0)(|{/ xgxDDD gfgf

Kalkulus 1 19

B. Fungsi Komposisi

Definisi: Komposisi dari fungsi f(x) dengan g(x) didefinisikan sebagai

))(())(( xgfxgf

Syarat yang harus dipenuhi agar f o g ada (terdefinisi) adalah fg DR R R R

g f

f○g

DgRg Rf

Df

Kalkulus 1 20

Sifat-sifat fungsi komposisi :

f o g g o f .

Contoh:

Diketahui

Tentukan (jika ada),

1)(dan)( 2 xxgxxf

})(|{ fggf DxgDxD

},)(|{ gfgf RttfyRyR

gfgf RDgf ,dan

Kalkulus 1 21

Jawab :

xxf )(

1)( 2 xxg

,0fD ,0, fR

RDg ,1, gR

,0,0,1fg DR

maka f o g terdefinisi, dan

1)1())(())(( 22 xxfxgfxgf

Karena

Kalkulus 1 22

0)1)(1(|01| 2 xxRxxRx

fggf DxgDxD )(| ,01| 2xRx

).,1[]1,(

gfgf RttfyRyR ,)(|

).,0[1,|0 ttyy

Latihan

1. Tentukan )(,))(( xg

fxfg

2)(,1)(. 2 xxgxxfa

2)(,1)(. xxgxxfb

serta domainnya dari fungsi f dan g berikut :

2)(,sin)(. xxgxxfc

2. Tulis fungsi xxf 1sin)( sebagai komposisi dua dan tiga fungsi.

sebagai komposisi dua dan tiga fungsi.3. Tulis fungsi xxf 2cos1)(

Soal Latihan

Untuk setiap fungsi f dan g yang diberikan, tentukan (jika ada)

gfgf RDxgf ,,))((fgfg RDxfg ,,))((

xxgxxf

2)(,1)(.1

dan

1)(,1)(.2 2 xxgxxf

3

2)(,)(.3 2

xxgxxxf

xxgxxf 1)(,cos)(.4

xxgxxf sin)(,3)(.5

1)(,3)(.6

x

xxgxxf

24)(,11

)(.7 xxgx

xf

xxgxxf 16)(,)(.8 2

Kalkulus 1