bab 13b

Bab 13B

Nonparametrik: Data Peringkat II

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Bab 13B

NONPARAMETRIK: DATA PERINGKAT II

A. Pendahuluan

1. Data Statistika

• Dua kelompok data digabungkan dan disusun dalam satu peringkat

• Peringkat yang dimiliki tiap kelompok dipisahkan dan dijumlahkan

• Jumlah peringkat ini dijadikan dasar untuk pengujian hipotesis

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-----------------------------------------------------------------------------

2. Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis dilakukan pada satu sampel atau sampel berpasangan

• Satu sampel atau sampel berpasangan (selisih sampel berpasangan menghasilkan satu sampel)

• Pengujian hipotesis dikenal sebagai uji Wilcoxon (satu sampel atau sampel berpasangan)

Pengujian hipotesis dilakukan pada dua sampel independen

• Dua sampel independen

• Pengujian hipotesis dikenal sebagai uji U atau uji Mann-Whitney

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

B. Uji Wilcoxon Satu Sampel

1. Tujuan Pengujian Hipotesis

• Pengujian hipotesis dilakukan terhadap median, apakah median sama dengan suatu nilai tertentu

M > M0 M < M0 M ≠ M0

• Pengujian dapat juga dilakukan terhadap rerata (walaupun pengujian rerata dapat dilakukan secara parametrik), apakah rerata sama dengan suatu nilai tertentu

> 0 < 0 ≠ 0

• Dua kelompok data terbentuk dari kelompok data di atas median (atau rerata) dan kelompok data di bawah median (atau rerata)

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

2. Pembentukan Peringkat

Data X dikelompokkan berdasarkan letak mereka pada

X M0 atau X 0

Kelompok di atas diberi tanda + dan kelompok di bawah diberi tanda (sama adalah 0, diabaikan)

Data 10 13 14 13 15 11 10 9 12 9 11 13 16

Median M0 = 12,5

Data Simpangan Data Simpangan

X X M0 X X M0

10 2,5 9 3,5 13 0,5 12 0,5 14 1,5 9 3,5 13 0,5 11 1,5 15 2,5 13 0,5 11 1,5 16 3,5 10 2,5

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Dua kelompok data itu disusun dalam satu peringkat

Urutan Pering- Pering- Tanda peringkat simpang kat se- kat + an mentara 0,5 1 2,5 2,5 0,5 2 2,5 2,5 0,5 3 2,5 2,5 0,5 4 2,5 2,5 1,5 5 6 6 1,5 6 6 6 1,5 7 6 6 2,5 8 9 9 2,5 9 9 9 2,5 10 9 9 3,5 11 12 12 3,5 12 12 12 3,5 13 12 12 34,5 56,5 J+ J

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 1

Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut

99 100 90 94 135 108 107 111 119 104 127 109 117 105 125

Untuk median M0 = 107

Data simpangan Data simpangan

X X 107 X X 107

99 8 119 + 12

100 7 104 3 90 17 127 + 20

94 13 109 + 2

135 + 28 117 + 10

108 + 1 105 2107 0 125 + 18

111 + 4

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Dua kelompok data itu disusun dalam satu peringkat

Urutan Pering- Pering- Tanda peringkat simpang kat se- kat + an mentara 1 1 1 1 2 2 2,5 2,5 2 3 2,5 2,5 3 4 4 4 4 5 5 5 7 6 6 6 8 7 7 7 10 8 8 8 12 9 9 9 13 10 10 10 17 11 11 11 18 12 12 12 20 13 13 13

28 14 14 14 64,5 40,5 J+ J

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 2

Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut terhadap median M0 = 3,50

1,80 3,30 5,65 2,25 2,50 3,50 2,753,25 3,10 2,70 3,00

Contoh 3


93,6 89,1 97,7 84,4 97 8 94,5 88,3 97,5 83,7 94,6 85,5 82,6

Contoh 4

Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut terhadap rerata 0 = 8,41

8,30 9,50 9,60 8,75 8,40 9,10 9,25 9,80 10,05 8,15 10,00 9,60 9,80 9,20 9,30

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 5


188,0 211,2 170,8 212,4 156,9 223,1235,9 183,9 214,4 221,0 162,0 222,8 174,1 210,3 195,2

Contoh 6

Hitunglah jumlah peringkat pada data berikut terhadap rerata 0 =30

23,8 26,0 26,9 27,4 28,0 30,3 30,7 31,2 31,3 32,8 33,2 33,9 34,3 34,9 35,0 35,9 36,1 36,4 36,6 37,2 37,3 37,9 38,2 39,6 40,6 41,1 42,3 42,8 44,0 45,8

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 7

Hitung jumlah peringkat pada sampel data terhadap rerata 0 = 60

61,38 62,55 60,40 59,48 60,77 62,06 61,10

60,53 56,36 66,63 63,45 65,48 60,03 64,93

64,50 62,65 59,38 67,70 66,13 66,56 65,47

66,40 62,46 58,58 57,75 67,33 61,62 57,40

58,02 60,93 61,42 55,77 45,33 73,36 75,40

48,82 43,35 69,57 77,33 53,50 50,88 49,32

49,88 68,88 71,68 46,28 54,65 72,98 72,08

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 8

Hitung jumlah peringkat pada sampel data berikut terhadap median M0 = 31,45

25,20 26,00 26,80 26,85 26,95 27,00 27,15 27,65 27,75 27,80 27,95 28,50 28,60 28,65 28,70 28,75 28,75 28,80 28,80 28,90 28,95 29,10 29,55 30,40 30,50 30,55 30,70 31,45 32,25 32,30 32,55 33,10 33,10 33,20 33,25 33,35 33,40 33,90 34,20 34,30 34,35 34,50 34,75 34,85 34,90 35,00 35,05 36,10 36,65 37,70 38,80 39,35 39,90 40,45 41,00

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------


• Jika median atau rerata adalah seperti H0 maka jumlah J+ dan J- adalah seimbang

• Kalau J+ dan J- tidak seimbang (sampai batas tertentu) maka H0 ditolak

• Pada sampel besar (n > 25) distribusi probabilitas pensampelan didekatkan ke distribusi probabilias normal

• Pendekatan ke distribusi probabilitas normal ini dibagi lagi untuk tanpa peringkat sama dan untuk dengan peringkat sama

• Pada sampel kecil (n 25) terdapat tabel khusus untuk nilai kritis pengujian hipotesis

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

4. Uji Hipotesis Sampel Besar Tanpa Peringkat Sama

• Jika median atau rarata seperti pada H0 maka jumlah J+ dan J- adalah seimbang

• Keseimbangan ini ditentukan oleh jarak ke rerata berdasarkan kekeliruan baku

• Jika median (atau rerata) lebih dari M0 (atau 0) maka J+ akan besar dan J- akan kecil

• Jika median (atau rerata) kurang dari M0 (atau 0) maka J- akan besar dan J+ akan kecil

• Batas besar atau kecil ditentukan oleh nilai kritis pada distribusi probabilitas normal untuk taraf signifikansi tertentu

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Rerata dan kekeliruan baku

• Rerata

• Kekeliruan baku

4

1)(

nnJ

24

121 ))((

nnnJ

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 9

Pada taraf signifikansi 0,05, diuji apakah median lebih dari 100, diperoleh data sampel

n = 30 J+ = 363 J- = 102

Peringkat + Peringkat + 1 1 16 16 2 2 17 17 3 3 18 18 4 4 19 19 5 5 20 20 6 6 21 21 7 7 22 22 8 8 23 23 9 9 24 24 10 10 25 25 11 11 26 26 12 12 27 27 13 13 28 28 14 14 29 29 15 15 30 30

363 102

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

• Hipotesis

H0 : M = 100

H1 : M > 100

• Sampel

n = 30 J+ = 363 J- = 102

• Distribusi probabilitas pensampelan

Distribusi probabilitas normal

Rerata

Kekeliruan baku

52324

13030

4

1,

))(()(

nnJ

624824

613130

24

121,

))()(())((

nnnJ

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

• Statistik uji

Di sini kita menggunakan J+

• Kriteria pengujian

Taraf signifikansi 0,05

Pengujian pada ujung atas

Nilai kritis z(0,95) = 1,645

Tolak H0 jika z > 1,645

Terima H0 jika z 1,645

• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0

6826248

5232363,

,

,

J

JJz

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 10

Pada taraf signifikansi 0,05, uji X > 30 apabila sampel adalah seperti pada contoh 6

Contoh 11

Pada taraf signifikansi 0,05, uji X > 60 apabila sampel adalah seperti pada contoh 7

Contoh 12

Pada taraf signifikansi 0,05, uji M0 < 500, jika sampel acak menunjukkan

n = 35 J+ = 210 J- = 420

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-----------------------------------------------------------------------------

5. Uji Hipotesis Sampel Besar dengan Peringkat Sama

• Diperlukan koreksi peringkat sama pada kekeliruan baku

• Selain koreksi ini, pengujian hipotesis adalah sama seperti pada kasus tanpa peringkat sama

• Koreksi peringkat sama untuk setiap peringkat sama

Pada peringkat sama terdapat t data

Koreksi

Kekeliruan baku menjadi

48

3 ttT

Tnnn

J 24

121 ))((

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 13

Pada taraf signifikansi 0,05, diuji M0 ≠ 100, dengan sampel menunjukkan peringkat sebagai berikut

Peringkat + Peringkat + 1 1 16 16 2 2 17 17 3 3 18 18 5 5 20 20 5 5 20 20 5 5 20 20 7 7 22 22 8 8 23 23 9,5 9,5 24 24 9,5 9,5 25,5 25,5 11 11 25,5 25,5 12 12 27 27 13,5 13,5 28 28 13,5 13,5 29 29 15 15 30 30 289 139

J+ J-

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

• Hipotesis

H0 : M = 100

H1 : M ≠ 100

• Sampel

n = 30 J+ = 289 J- = 139


Didekatkan ke distribusi probabilitas normalKoreksi peringkat sama

Peringkat t (t3 – t) / 48 5 3 0,5 9,5 2 0,125 13,5 2 0,125 20 3 0,5 25,5 2 0,125 Σ T = 1,375

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Rerata

Kekeliruan baku

• Statistik uji

60,48375,124

)61)(31)(30(

24

)12)(1(

Tnnn

J

52324

3130

4

1,

))(()(

nnJ

163,160,48

5,232289

J

JJz

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------



Pengujian dua ujung


z(0,975) = 1,960

Kriteria pengujian

Tolak H0 jika z < 1,960 atau z > 1,960

Terima H0 jika 1,960 z 1,960

• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

Contoh 14

Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis X ≠ 60 untuk data pada contoh 8

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

5. Uji Hipotesis Sampel Kecil

• Sampel adalah kecil jika n 25

• Makin tidak seimbang nilai J+ dan nilai J- makin jauh kita dari H0

• Sampai pada ketidakseimbangan tertentu, kita menolak H0

• Ada dua kemungkinan untuk menentukan batas yakni nilai besar atau nilai kecil

• Disediakan tabel nilai kritis khusus untuk J, yakni nilai yang terkecil di antara J+ dan J-

• Kriteria pengujian adalah

Tolak H0 jika J < Jtabel

Terima H0 jika J Jtabel

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Tabel Nilai Kritis J pada Uji Wilcoxon

n = 0,01 = 0,05

6 -- 0

7 -- 2

8 0 4

9 2 6

10 3 8

11 5 11

12 7 14

13 10 17

14 13 21

15 16 25

16 20 30

17 23 35

18 28 40

19 32 46

20 38 52

21 43 59

22 49 66

23 55 73

24 61 81

25 68 89

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 15

Dari sampel pada contoh 1, uji hipotesis M ≠ 107 pada taraf signifikansi 0,05

• Hipotesis H0 : M = 107

H1 : M ≠ 107• Sampel

Dari contoh 1, ditemukan bahwa

n = 15 J+ = 64,5 J- = 40,5 J = 40,5


Dari tabel diperoleh Jtabel = 25Tolak H0 jika J < 25Terima H0 jika J 25

• Keputusan


------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 16

Dengan data pada contoh 2, uji hipotesis M ≠ M0 pada taraf signifikansi 0,05

Contoh 17


Contoh 18

Dengan data pada contoh 4, uji hipotesis ≠ 0 pada taraf signifikansi 0,05

Contoh 19


------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

C. Uji Wilcoxon Sampel Berpasangan

1. Pendahuluan

• Sampel berpasangan berarti bahwa setiap data di dalam sampel adalah berpasangan

Misal

Harga Toko A Toko B

beras Xberas Yberas

gula Xgula Ygula

sabun Xsabun Ysabun

• Nilai pasangan sampel dikurangi satu dari lainnya maka diperoleh satu nilai selisih

• Selanjutnya nilai selisih ini dapat diperlakukan seperti pada uji Wilconxon satu sampel

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------


• Tujuan pengujian hipotesis adalah menguji apakah distribusi populasi berpasangan itu sama atau tidak sama

Misal apakah harga di Toko A sama dengan harga di Toko B

• Kesamaan distribusi populasi ini dilakukan dengan mencari selisih mereka secara berpasangan

• Selisih data berpasangan ini digunakan untuk pengujian hipotesis

• Karena selisih hanya terdiri atas satu sampel maka pengujian hipotesis dilakukan melalui uji Wilcoxon satu sampel yakni melalui

Uji sampel besar tanpa peringkat sama

Uji sampel besar dengan peringkat sama

Uji sampel kecil

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 20

Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi populasi X dan populasi Y apabila 30 pasangan sampel acak adalah

X 17 16 21 14 17 20 21 19 23 16

Y 19 16 21 13 17 20 17 15 22 15

X 25 16 20 19 17 20 20 17 23 25

Y 20 13 15 16 18 19 21 12 15 23

X 19 21 17 19 24 28 24 18 21 19

Y 17 19 20 21 23 24 16 16 18 20

• Hipotesis

H0 : Distribusi populasi X dan Y sama

H1 : Distribusi populasi X dan Y tidak sama

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

• Sampel

X Y d X Y d 17 19 2 20 19 1 16 16 0 20 21 1 21 21 0 17 12 5 14 13 1 23 15 8 17 17 0 25 23 2 20 20 0 19 17 2 21 17 4 21 19 2 19 15 4 17 20 3 23 22 1 19 21 2 16 15 1 24 23 1 25 20 5 28 24 4 16 13 3 24 16 8 20 15 5 18 16 2 19 16 3 21 18 3 17 18 1 19 20 1

Dengan d, pengujian selanjutnya mengikuti uji Wilcoxon satu sampel

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 21

Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi populasi X dan Y untuk sampel

X 69,9 46,0 63,7 55,9 53,9 72,9 53,9 36,5

Y 49,9 45,9 47,5 57,9 47,1 50,3 36,7 31,4

Contoh 22


X 6,3 3,6 4,5 6,3 5,7 4,7 4,8 5,6 6,6 5,5

Y 6,4 3,4 4,8 6,6 5,4 5,8 5,1 6,2 6,1 6,8

X 5,8 4,0 5,4 3,1 4,2

Y 6,3 4,7 6,8 4,4 4,8

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 23


X 1160 1870 1980 1520 3155 1485 1150

Y 1500 2220 2080 2160 3040 2030 1370

X 1740 3260 4950 1440 1770 2850 2860

Y 2370 4060 5070 1680 1750 3730 3430

X 1530 3770 2260 3370 2570 2810

Y 1570 3750 2840 3500 2640 3260

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

D. Uji U Mann-Whitney pada Dua Sampel Independen

1. Pendahuluan

• Pengujian dilakukan dengan data jumlah peringkat seperti pada uji Wilconxon

• Pengujian dilakukan pada dua populasi independen untuk kesamaan median (atau rerata)

• Dua sampel, misalkan X dan Y, digabung dan disusun dalam satu peringkat

• Peringkat untuk X dan Y dipisahkan dan masing-masing dijumlahkan sebagai jumlah peringkat

• Dari jumlah peringkat ini dihitung statistik U yang digunakan untuk pengujian hipotesis

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

2. Jumlah Peringkat dan Statistik U

• Sampel data X dan sampel data Y digabung dan disusun ke dalam peringkat

• Peringkat untuk X dipisahkan dan dijumlahkan menjadi wX

• Peringkat untuk Y dipisahkan dan dijumlahkan menjadi wY

• Dengan wX dan wy dihitung statistik uji UX, UY, dan dalam hal tertentu statistik U

• Statistik U digunakan untuk pengujian hipotesis pada taraf signifikansi tertentu

2

12

1

)(

)(

YYYY

XXXX

nnwU

nnwU

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 24

Sampel X dan Y adalah sebagai berikut

X 1,9 0,5 2,8 3,1Y 2,1 5,3 1,4 4,6 0,9

Digabung dan disusun ke dalam peringkat dan dipilah

Asal Data Peringkat Per X Per Y X 0,5 1 1 Y 0,9 2 2 Y 1,4 3 3 X 1,9 4 4 Y 2,1 5 5 X 2,8 6 6 X 3,1 7 7 Y 4,6 8 8 Y 5,3 9 9 18 27

wX wY

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Statistik U

nX = 4 wX = 18

nY = 5 wY = 27

Contoh 25

Hitunglah wX dan UX serta wY dan UY pada sampel berikut

X 16 20 13 24 18 21 19 16

Y 25 32 17 11 24 12 21 10

122

6527

2

1

82

5418

2

1

))(()(

))(()(

YYYY

XXXX

nnwU

nnwU

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 26

Hitunglah w dan U pada sampel data berikut ini

X 15 18 14 22 25 16

Y 23 11 26 24 17 19 15

Contoh 27


X 43 38 39 44 53 42 55 47

Y 41 40 52 48 46 51 57 45

Contoh 28


X 16 20 13 24 18 21 19 16

Y 25 32 17 11 24 12 21 10

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 29


X 22,1 24,0 26,3 25,4 24,8 23,7 26,1 23,3 Y 24,1 20,6 23,1 22,5 24,0 26,2 21,6 22,2 21,9 25,4

Contoh 30


X 34 28 46 42 56 85 48 25 37 49 Y 43 49 41 55 39 45 65 50 47 51

Contoh 31


X 102 114 127 111 122 108 117 115 Y 105 114 120 124 132 118 125 125 123

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 32


X 64 59 47 74 48 55 48 71 59 63 64 Y 73 58 55 72 64 62 63 72 49 55

Contoh 33


X 63 86 60 29 81 38 27 10 16 46 25 32 72 45 73 39 91

Y 50 78 44 49 41 82 31 55 58 79 66 23 88 37 51 13 43 54 48 83 26 74 63

Contoh 34


X 70 70 30 70 90 55 90 30 45 70 60 65 63 30 35 25 20

Y 20 10 75 66 95 66 82 67 70 70 10 30 47 15 35 60 30 30 90 80 50 30 66 83

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 35


X 14,8 7,3 5,6 6,3 9,0 4,2 10,6 12,5 12,9 16,1 11,4 2,7

Y 12,7 14,2 12,6 2,1 17,7 11,8 16,9 7,9 16,0 10,6 5,6 5,6 7,6 11,3 8,3 6,7 3,6 1,0 2,4 6,4 9,1 6,7 18,6 3,2 6,2 6,1 15,3 10,6 1,8 5,9 9,9 10,6 14,8 5,0 2,6 4,0

Contoh 36


X 652 556 618 500 500 526 511 538 440 547 605 500 437 481 572 589 605 436 724 515 552 722 778 677 680 428

Y 876 556 493 348 530 780 569 546 766 819 710

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 37

Hitunglah w dan U dari sampel berikut ini

X 6 7 7 7 7 7 8 8 9 10 10 10 10 12 12 13

Y 6 8 8 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16

17

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

3. Pengujian hipotesis

• Bergantung kepada ukuran sampel, pengujian hipotesis dipilah menjadi tiga kategori

(1) nterbesar 8

(2) 9 nterbedar 20

(3) nterbesar > 20

• Kategori (1) 1 menggunakan tabel khusus langsung ke nilai probabilitas

• Kategori (2) menggunakan tabel khusus

• Kategori (3) menggunakan distribusi probabilitas pensampelan yang didekatkan ke distribusi probabilitas normal

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

4. Uji Hipotesis pada n > 20 Tanpa Peringkat Sama

• Distribusi probabilitas pensampelan didekatkan ke distribusi probabilitas normal dengan

Rerata

Kekeliruan baku

• Rarata U terletak sama jauh dari Ux dan UY sehingga pengujian hipotesis dapat menggunakan

U yang besar untuk pengujian pada ujung atas

U yang kecil untuk pengujian pada ujung bawah

2YX

U

nn

12

1)( YXYX

U

nnnn

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 38

Pada taraf signifikansi 0,05 uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel acak

Asal Peringkat Per X Per Y X 1 1 Y 2 2 Y 3 3 Y 4 4 X 5 5 Y 6 6 Y 7 7 Y 8 8 Y 9 9 Y 10 10 Y 11 11 Y 12 12 X 13 13 Y 14 14 Y 15 15 Y 16 16

Y 17 17 Y 18 18

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Asal Peringkat Per X Per Y

X 19 19

Y 20 20

X 21 21

Y 22 22

X 23 23

Y 24 24

X 25 25

Y 26 26

X 27 27

Y 28 28

Y 29 29

Y 30 30

wX = 134 wY = 331

UX = 134 – (8)(9) / 2 = 98

UY = 331 – (22)(23) / 2 = 78

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

• Hipotesis

H0 : Populasi X dan Y sama

H1 : Populasi X dan Y tidak sama

• Sampel

nX = 8 wX = 134 UX = 98

nY = 22 wY = 331 UY = 78


Distribusi probabilitas normal dengan

Rerata

Kekeliruan baku

882

)22)(8(

2 YX

U

nn

32,2112

)31)(22)(8(

12

)1(

YXYX

U

nnnn

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

• Statistik uji



Pengujian pada ujung atas


Tolak H0 jika z > 1,645

Terima H0 jika z 1,645

• Keputusan


(Catatan: pengujian dapat juga dilakukan pada ujung bawah dengan mengambil Ukecil)

47,032,21

8898

U

UbesarUz

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

5. Uji Hipotesis pada n > 20 dengan Peringkat Sama

• Adanya peringkat sama menyebabkan dilakukannya koreksi karena peringkat sama

• Pada suatu peringkat sama terdapat t data maka koreksi menjadi

• Kekeliruan baku mengalamai koreksi sehingga menjadi

12

3 ttT

YX

YXU

nnn

Tnn

nn

nn

121

3

)(

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 39

Pada taraf signifikansi 0,05 uji hipotesis kesamaan distribusi populasi dengan sampel pada contoh 33

Contoh 40


Contoh 41


Contoh 42


Contoh 43


------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

6. Uji Hipotesis pada Ukuran Sampel 9 nbesar 20

• Dasar pengujian hipotesis adalah sama dengan pengujian pada sampel besar

• Hipotesis H0 menunjukkan bahwa ada keseimbangan di antara UX dan UY

• Jika salah satu U terlalu besar, melampaui batas keacakan, maka H0 ditolak

• Jika salah satu U terlalu kecil, melampaui batas keacakan, maka H0 ditolak

• Batas ini disusun dalam tabel nilai kritis sebagai kriteria pengujian hipotesis

• Batas yang ditabelkan adalah U yang kecil sehingga dalam pengujian hipotesis ini U adalah nilai terkecil di antara UX dan UY

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Tabel Nilai Kritis untuk Statistik UPada Uji Mann-Whitney

= 0,001 pada satu ujung atau = 0,002 pada dua ujung

n2

n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 0 0 0 0 4 0 0 0 1 1 1 2 2 3 3 3 5 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 7 7 6 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 3 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 16 8 5 6 8 9 11 12 14 15 17 18 20 21 9 7 8 10 12 14 15 17 19 21 23 25 26 10 8 10 12 14 17 19 21 23 25 27 29 32 11 10 12 15 17 20 22 24 27 29 32 34 37 12 12 14 17 20 23 25 28 31 34 37 40 42 13 14 17 20 23 26 29 32 35 38 42 45 48 14 15 19 22 25 29 32 36 39 43 46 50 54 15 17 21 24 28 32 36 40 43 47 51 55 59 16 19 23 27 31 35 39 43 48 52 56 60 65 17 21 25 29 34 38 43 47 52 57 61 66 70 18 23 27 32 37 42 46 51 56 61 66 71 76 19 25 29 34 40 45 50 55 60 66 71 77 82 20 26 32 37 42 48 54 59 65 70 76 82 88

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------



n2

n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 0 0 0 0 0 0 1 1 3 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 4 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 7 8 9 11 12 13 15 16 18 19 20 22 7 9 11 12 14 16 17 19 21 23 24 26 28 8 11 13 15 17 20 22 24 26 28 30 32 34 9 14 16 18 21 23 26 28 31 33 36 38 40 10 16 19 22 24 27 30 33 36 38 41 44 47 11 18 22 25 28 31 34 37 41 44 47 50 53 12 21 24 28 31 35 38 42 46 49 53 56 60 13 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 14 26 30 34 38 43 47 51 56 60 65 69 73 15 28 33 37 42 47 51 56 61 66 70 75 80 16 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 82 87 17 33 38 44 49 55 60 66 71 77 82 88 91 18 36 41 47 53 59 65 70 76 82 88 94 100 19 38 44 50 56 63 69 75 82 88 94 101 107 20 40 47 53 60 67 73 80 87 93 100 107 114

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------



n2

n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 13 5 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20 6 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27 7 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 8 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41 9 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48 10 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55 11 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62 12 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 13 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 76 14 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 83 15 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 16 37 42 47 53 59 64 70 75 81 86 92 98 17 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 105 18 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 106 112 19 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 119 20 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------



n2

n1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 0 0 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 11 4 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 5 9 11 12 13 15 16 18 19 20 22 23 25 6 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 7 15 17 19 21 24 26 28 30 33 35 37 39 8 18 20 23 26 28 31 33 36 39 41 44 47 9 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 10 24 27 31 34 37 41 44 48 51 55 58 62 11 27 31 34 38 42 46 50 54 57 61 65 69 12 30 34 38 42 47 51 55 60 64 68 72 77 13 33 37 42 47 51 56 61 65 70 75 80 84 14 36 41 46 51 56 61 66 71 77 82 87 92 15 39 44 50 55 61 66 72 77 83 88 94 100 16 42 48 54 60 65 71 77 83 89 92 101 107 17 45 51 57 64 70 77 83 89 96 102 109 115 18 48 55 61 68 75 82 88 95 102 109 116 123 19 51 58 65 72 80 87 94 101 109 116 123 130 20 54 62 69 77 84 92 100 107 115 123 130 138

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 44

Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y, pada sampel acak yang berbentuk peringkat berikut

Asal Peringkat Per X PerY Y 1 1 X 2 2 Y 3 3 X 4 4 Y 5 5 X 6 6 Y 7 7 Y 8 8 X 9 9 Y 10 10 X 11 11 Y 12 12 Y 13 13 Y 14 14 Y 15 15 Y 16 16 32 104

wX wY

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

• Hipotesis

H0 : Populasi X dan Y adalah samaH1 : Populasi X dan Y tidak sama

• Sampel

nX = 5 wX = 32 nY = 11 wY = 104

Yang terkecil di antaranya dijadikan U

U = 17

382

1211104

2

1

172

6532

2

1

))(()(

))(()(

YYYY

XXXX

nnwU

nnwU

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------



Pengujian dua ujung

Dari tabel pada = 0,05 dua ujung

untuk n1 = 5 dan n2 = 11

Utabel = 9

Tolak H0 jika U < 9

Terima H0 jika U 9

• Keputusan


------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 45

Pada taraf signifikansi 0,05 uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel pada contoh 29

Contoh 46


Contoh 47


Contoh 48


------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

7. Uji Hipotesis pada ukuran Sampel nbesar 8

• Pengujian hipotesis untuk sampel 8 menggunakan tabel nilai kritis khusus

• Tabel nilai kritis ini telah langsung dihitung dalam bentuk probabilitas P(U)

• Nilai p ditemukan melalui n1, n2, dan U; di sini U adalah yang terkecil di antara UX dan UY

• Nilai p langsung dibandingkan dengan taraf signifikansi dengan

Tolak H0 jika P(U) <

Terima H0 jika P(U)

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U

Pada Uji Mann-Whitney

n2 = 3 n2 = 4

n1 n1

U 1 2 3 U 1 2 3 4

0 0,250 0,100 0,050 0 0,200 0,067 0,028 0,014

1 0,500 0,200 0,100 1 0,400 0,133 0,057 0,029

2 0,750 0,400 0,200 2 0,600 0,267 0,114 0,057

3 0,600 0,350 3 0,400 0,200 0,100

4 0,500 4 0,600 0,314 0,171

5 0,650 5 0,429 0,243

6 0,571 0,343

7 0,443

8 0,557

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik UPada Uji Mann-Whitney

n2 = 5

n1

U 1 2 3 4 5 0 0,167 0,047 0,018 0,008 0,004 1 0,333 0,095 0,036 0,016 0,008 2 0,500 0,190 0,071 0,032 0,016 3 0,667 0,286 0,125 0,056 0,028 4 0,429 0,196 0,095 0,048 5 0,571 0,286 0,143 0,075 6 0,393 0,206 0,111 7 0,500 0,278 0,155 8 0,607 0,365 0,210 9 0,452 0,274 10 0,548 0,345 11 0,421 12 0,500 13 0,579

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------


n2 = 6

n1

U 1 2 3 4 5 6 0 0,143 0,036 0,012 0,005 0,002 0,001 1 0,286 0,071 0,024 0,010 0,004 0,002 2 0,428 0,143 0,048 0,019 0,009 0,004 3 0,571 0,214 0,083 0,033 0,015 0,008 4 0,321 0,131 0,057 0,026 0,013 5 0,429 0,190 0,086 0,041 0,021 6 0,571 0,274 0,129 0,063 0,032 7 0,357 0,176 0,089 0,047 8 0,452 0,238 0,123 0,066 9 0,548 0,305 0,165 0,090 10 0,381 0,214 0,120 11 0,457 0,268 0,155 12 0,545 0,331 0,197 13 0,396 0,242 14 0,465 0,294 15 0,535 0,350 16 0,409 17 0,469 18 0,531

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------



n 2 = 7

n1

U 1 2 3 4 5 6 7

0 0,125 0,028 0,008 0,003 0,001 0,001 0,000

1 0,250 0,056 0,017 0,006 0,003 0,001 0,001

2 0,375 0,111 0,033 0,012 0,005 0,002 0,001

3 0,500 0,167 0,058 0,021 0,009 0,004 0,002

4 0,625 0,250 0,092 0,036 0,015 0,007 0,003

5 0,333 0,133 0,055 0,024 0,011 0,006

6 0,444 0,192 0,082 0,037 0,017 0,009

7 0,556 0,258 0,115 0,053 0,026 0,013

8 0,333 0,158 0,074 0,037 0,019

9 0,417 0,206 0,101 0,051 0,027

10 0,500 0,264 0,134 0,069 0,036

11 0,583 0,324 0,172 0,090 0,049

12 0,394 0,216 0,117 0,064

13 0,464 0,265 0,147 0,082

14 0,538 0,319 0,183 0,104

15 0,378 0,223 0,130

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------



n2 = 7

n1

U 1 2 3 4 5 6 7

16 0,438 0,267 0,159

17 0,500 0,314 0,191

18 0,562 0,365 0,228

19 0,418 0,267

20 0,473 0,310

21 0,527 0,355

22 0,402

23 0,451

24 0,500

25 0,549

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------


n2 = 8

n1

U 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,111 0,022 0,006 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 1 0,222 0,044 0,012 0,004 0,002 0,001 0,000 0,000 2 0,333 0,089 0,024 0,008 0,003 0,001 0,001 0,000 3 0,444 0,133 0,042 0,014 0,005 0,002 0,001 0,001

4 0,556 0,200 0,067 0,024 0,009 0,004 0,002 0,001 5 0,267 0,097 0,036 0,015 0,006 0,003 0,001 6 0,356 0,139 0,055 0,023 0,010 0,005 0,002 7 0,444 0,188 0,077 0,033 0,015 0,007 0,003 8 0,556 0,248 0,107 0,047 0,021 0,010 0,005 9 0,315 0,141 0,064 0,030 0,014 0,007 10 0,387 0,184 0,085 0,041 0,020 0,010 11 0,461 0,230 0,111 0,054 0,027 0,014 12 0,539 0,285 0,142 0,071 0,036 0,019 13 0,341 0,177 0,091 0,047 0,025 14 0,404 0,217 0,114 0,060 0,032 15 0,467 0,262 0,141 0,076 0,041 16 0,533 0,311 0,172 0,095 0,052

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------


n2 = 8

n1

U 1 2 3 4 5 6 7 8 17 0,362 0,207 0,116 0,065 18 0,416 0,245 0,140 0,080 19 0,472 0,286 0,168 0,097 20 0,528 0,331 0,198 0,117 21 0,377 0,232 0,139 22 0,426 0,268 0,164 23 0,475 0,306 0,191 24 0,525 0,347 0,221 25 0,389 0,253 26 0,433 0,287 27 0,478 0,323 28 0,522 0,360 29 0,399 30 0,439 31 0,480 32 0,520

------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 49

Pada taraf signifikansi 0,05, uji kesamaan distribusi probabilitas populasi X dan Y untuk sampel pada contoh 24

• Hipotesis

H0 : Populasi X dan Y adalah sama

H1 : Populasi X dan Y tidak sama

• Sampel

Dari contoh 24 diketahui

nx = 4, nY = 5, wX = 18, wY = 27,

Ux = 8, UY = 12

sehingga U = 8

-----------------------------------------------------------------------------Bab 13B

-----------------------------------------------------------------------------


Taraf signifkansi = 0,05

Dari tabel n2 = 5, n1 = 4, dan U = 8,

ditemukan bahwa

P(U) = 0,365

P(U) > 0,05

• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05, terima H0

Contoh 50


------------------------------------------------------------------------------Bab 13B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 51


Contoh 52


Contoh 53


bab 13b

Documents