transformasi linier ii

TRANSFORMASI LINIER II

BUDI DARMA SETIAWAN

MATRIKS TRANSFORMASI

• Jika T: RnRm adalah transformasi linier, dan jika e1, e2, …, en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalah perkilaan oleh A atau

T(x) = Axdimana A adalah matriks yang mempunyai vektor kolom T(e1), T(e2),.., T(e3)

MATRIKS TRANSFORMASI

• Carilah matriks standar untuk transformasi T:R3R4

TRANSFORMASI LINIER BIDANG

• Transformasi dari R2 ke R2. Jika T:R2R2 adalah sebuah trasnformasi seperti itu dan

• adalah matriks transformasi untuk T, maka

T MEMETAKAN VEKTOR KE VEKTOR

x

y

(x,y)

(ax+by, cx+dy)

T MEMETAKAN TITIK KE TITIK

x

y

(x,y)

(ax+by, cx+dy)

TRANSFORMASI TITIK DI R2

• Misalkan T:R2R2 adalah transformasi linier yang memetakan setiap titik ke dalam bayangan simetrisnya terhadap sumbu y. carilah matriks standar dari T

(x,y)(-x,y)

JAWAB

• Matriks A adalah matriks untuk refleksi terhadap sumbu y

TRANSFORMASI GEOMETRI

• Rotasi• Refleksi• Ekspansi• Kompresi• Geseran

ROTASI

• Jika T:R2R2 merotasikan setiap titik di dalam bidang terhadap titik asal melaui sudut Ɵ, maka didapatkan bahwa matriks standar untuk T adalah

REFLEKSI

• Terhadap sumbu y

• Terhadap sumbu x

(x,y)(-x,y)

(x,y)

(x, -y)

REFLEKSI

• Terhadap garis y = x

(x,y)

(y, x)

EKSPANSI DAN KOMPRESI

• Jika koordinat x dari setiap titik di dalam bidang dikalikan dengan konstanta k yang positif, maka efeknya adalah mengekspansi atau mengkompresi setiap bidang dalam arah x

• Kapan ekspansi??Jika k > 1

• Kapan kompresi??Jika 0 < k < 1

EKSPANSI DAN KOMPRESI

(x,y) (1/2x,y)

(2x,y)

KOMPRESI

EKSP

ANSI

EKSPANSI DAN KOMPRESI

• Jika T:R2R2 adalah sebuah ekspansi atau kompresi di dalam arah x dengan faktor k, maka

• Sehingga matriks T adalah

• Hitung matriks standar untuk ekspansi dan kompresi dalam arah sumbu y!!

GESERAN

• Geseran di dalam arah x dengan faktor k adalah sebuah transformasi yang menggerakkan setiap titik (x,y) sejajar sumbu x sebanyak ky ke kedudukan yang baru (x + ky, y). Dengan transformasi seperti itu, maka sumbu x sendiri tidak bergeser, karena y=0

GESERAN

(x,y) (x + ky, y)K>0

(x + ky, y)K<0

GESERAN

• Sebuah geseran dengan arah y dengan faktor k adalah sebuah transformasi yang menggerakkan setiap titik (x,y) sejajar subu y sebanyak kx ke kedudukan yang baru (x, y+kx).

• Dengan transformasi tersebut, maka titik-titik pada sumbu y tetap diam, dan titik-titik yang lebih jauh dari sumbu y akan bergerak dengan jarak yang lebih jauh dibandingkan dengan titik-titik yang lebih dekat dengan sumbu y

GESERAN

• Jika T:R2R2 adalah sebuah geseran yang faktornya k didalam arah x, maka:

• Sehingga matriks standar untuk T adalah• Cari matriks untuk T yang merupakan geseran

dalam sumbu y!!

CONTOH SOAL

• Misalkan setiap titik (x,y) pada sebuah bidang dirotasikan melalui sudut Ɵ dan kemudian dipengaruhi oleh geseran dengan faktor k dengan arah x. carilah sebuah matriks transformasi tunggal yang menghasilkan efek yang sama dengan kedua transformasi yang berurutan tersbut!

SOAL

• Cari matriks standar dari operator linier berikut: T(x1,x2) = (2x1 – x2, x1 + x2)

• Carilah matriks standar untuk transformasi semua titik (x,y) ke dalam– Refleksi terhadap garis y = -x– Refleksi terhadap titik asal– Proyeksi ortogonal pada sumbu y

TERIMA KASIH