ma1201 matematika 2a - · pdf filesasaran kuliah hari ini 7.5 integral fungsi rasional...

MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

25 Januari 2017

Kuliah yang Lalu

7.3 Integral Trigonometrik

Menghitung beberapa integral trigonometrik

7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan

Menghitung integral dengan teknik substitusiyang merasionalkan

1/29/2014 2(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari Ini

7.5 Integral Fungsi Rasional

Menghitung integral fungsi rasional denganmenggunakan pecahan parsial

7.6 Strategi Pengintegralan

Memiliki strategi apa yang harus dilakukanbila dihadapkan pada suatu bentuk integral

1/29/2014 3(c) Hendra Gunawan

7.5 INTEGRAL FUNGSI RASIONALMenghitung integral fungsi rasional denganmenggunakan pecahan parsial

MA1201 MATEMATIKA 2A

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Menghitung Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsipolinom. Secara umum, fungsi rasional dapatdituliskan sebagai

dengan P, Q dan R polinom, dan derajat R < derajat Q.

Integral dari P(x) dapat diperoleh denganmudah. Karena itu, untuk menghitung integral dari f(x), kita perlu mengetahui bagaimanamenghitung integral dari R(x)/Q(x).

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 5

,)()()(

)(

xQ

xRxPxf

Contoh/Latihan

1. Tentukan

Jawab:

1/29/2014 6(c) Hendra Gunawan

dx

x

x

1

12

dx

xdx

x

xdx

x

x

1

1

11

1222

.tan)1ln( 12

21 Cxx

2. Tentukan

Jawab:

1/29/2014 7(c) Hendra Gunawan

dx

xx

xx

)1(

12

2

Dekomposisi atas Faktor Linear

3. Misalkan kita hendak menghitung

Perhatikan bahwa

Jadi

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 8

.1

12

dxx

.11)1)(1(

1

1

1 21

21

2

xxxxx

dx

xdx

xdx

x 1

1

1

1

1

121

21

2

.|1|ln|1|ln21

21 Cxx

4. Tentukan

Petunjuk: Tuliskan dan

carilah nilai A dan B yang memenuhinya.

1/29/2014 9(c) Hendra Gunawan

dx

xx )1(

1

1)1(

1

x

B

x

A

xx

5. Tentukan

Jawab:

1/29/2014 10(c) Hendra Gunawan

dx

xxx

x

)2)(1(

22

6. Tentukan

Petunjuk: Tuliskan dan

carilah nilai A, B dan C yang memenuhinya.

1/29/2014 11(c) Hendra Gunawan

dx

xx )1(

12

1)1(

122

x

CBx

x

A

xx

7. Tentukan

Jawab:

1/29/2014 12(c) Hendra Gunawan

dx

xxx )52(

12

8. Tentukan

Petunjuk: Tuliskan

carilah nilai A, B dan C yang memenuhinya.

1/29/2014 13(c) Hendra Gunawan

dx

xx )1(

12

11)1(

1222

x

C

x

B

x

A

x

C

x

BAx

xx

9. Tentukan

Petunjuk: Faktorkan dahulu x3 – 1.

1/29/2014 14(c) Hendra Gunawan

dx

x 1

13

Persamaan Diferensial Logistik

Pada Semester I, kita membahas persamaandiferensial y’ = ky yang terkait dgn pertumbuhansuatu populasi y = y(t). Di sini kita mengasumsi-kan bahwa ruang tidak terbatas, sehinggapopulasi dapat bertumbuh terus (tak terbatas).

Bila ruang terbatas, maka ada kapasitas maksi-mum L, dan persamaan diferensialnya menjadi

y’ = ky(L – y), yang dikenal sebagai persamaandiferensial logistik.1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 15

10. Suatu populasi bertumbuh sesuai dgn per-samaan logistik y’ = 0.01y(250 – y). Populasi awaldiketahui 100. Tentukan populasi pada saat t = 5.

Jawab:

1/29/2014 16(c) Hendra Gunawan

7.6 STRATEGI PENGINTEGRALANMemiliki strategi apa yang harus dilakukanbila dihadapkan pada suatu bentuk integral

MA1201 MATEMATIKA 2A

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 17

Berbeda dengan turunan, tidak ada aturan pengintegralanyang berlaku secara umum.Bila kita dihadapkan pada suatu bentuk integral tak tentumaka yang dapat kita lakukan adalah:0. Bila mungkin, sederhanakan dulu bentuk integrannya.1. Coba hitung integral tsb dgn teknik substitusi, bila ada

substitusi yg dpt mengubah integral tsb ke salah satubentuk baku yang kita kenal.

2. Bila teknik substitusi gagal, coba hitung integral tsbdengan pengintegralan parsial.

3. Bila integral mengandung bentuk akar, coba substitusiyang merasionalkan.

4. Jika integrannya merupakan fungsi rasional, hitunglahintegralnya dengan mendekomposisi integrannya atasfaktor-faktor linear dan/atau kuadratiknya.

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 18

Contoh/Latihan

1. Tentukan

Jawab:

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 19

dxxe x2

2. Tentukan

Jawab:

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 20

dxx

xln

3. Tentukan

Jawab:

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 21

2.x x dx

4. Tentukan

Jawab:

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 22

dxx

x2cos

2sin

5. Tentukan

Jawab:

1/29/2014 23(c) Hendra Gunawan

2169 x

dx

6. Tentukan

Jawab:

1/29/2014 24(c) Hendra Gunawan

dx

x

x

49 4