pertemuan 4 teknik integrasi integral fungsi rasional

7/28/2019 Pertemuan 4 Teknik Integrasi Integral Fungsi Rasional

1/17

TEKNIK INTEGRASIINTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Tim Dosen Kalkulus ITahun Akademik 2010/2011


2/17

FUNGSI RASIONAL

Fungsi rasional diperoleh dari hasil bagi dua fungsi

suku banyak (polinomial). Fungsi rasionaldiekspresikan sebagai berikut:

Untuk menghitung integral fungsi rasional, perlu

dilakukan dekomposisi pecahan-parsial dari fungsirasional tersebut.

polinomialadalah)(dan)(dimana)(

)()( xQxPxQ

xP

xR


3/17

Terdapat 2 macamfungsi rasional, yaitu:

1. Fungsi rasional sejati, dimana derajat pembilangkurang dari derajat penyebut.

Contoh:

2. Fungsi rasional tidak sejati, dimana derajat pembilanglebih dari derajat penyebut. Fungsi rasional ini dapatdisederhanakan sebagai penjumlahan dari fungsi suku

banyak dan fungsi rasional sejati.Contoh:

84

22)(

2

xx

xxf

xx

xx

xx

xxxxf

5

114)3(

5

12)(

3

2

3

35

FUNGSI RASIONAL


4/17

METODE PECAHAN PARSIAL

Metode pecahan parsial adalah suatu teknik aljabar

dimana R(x) didekomposisi menjadi jumlahan suku-suku:

konstanta.-konstantaadalah,,,,,

kuadratik)(faktor)(

ataulinier)(faktor)(

berbentuk

parsialpecahan)(danpolinomialsuatu)(dimana

),()()()()(

)()(

2

21

cbaCBA

cbxax

CBx

bax

A

xFxp

xFxFxFxpxQ

xPxR

n

n

i

k


5/17

Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut, yaitu:

1. Faktor linear dan berulang

2. Faktor linear dan tidak berulang3. Faktor kuadratik dan berulang

4. Faktor kuadratik dan tidak berulang



6/17

Kasus 1Penyebut terdiri dari faktor-faktor linear dan berulang

J ika Q(x) adalah (ax +b)n , dimana kelipatan n dari faktor

ax+b, maka dekomposisinya

konstanta,,,,)()(

212

21nn

n AAAbax

A

bax

A

bax

A



7/17

Misal

Contoh:Selesaikan

)()()()()(

122 bx

C

ax

B

ax

A

bxax

)()()()())((

2

2

bxaxaxCbxBbxaxA

dx

xx )1()2(

12



8/17

Kasus 2

Penyebut terdiri dari faktor-faktor linear dan tidak berulang

J ika Q(x) adalah faktor-faktor linier dengan kelipatan n = 1,

)()()(

:idekomposismaka)())(()(

22

2

11

1

2211

nn

n

nn

bxa

A

bxa

A

bxa

A

bxabxabxaxQ



9/17

Misal

Contoh:

Selesaikan

))((

)()(

)()())((

1

bxax

axBbxA

bx

B

ax

A

bxax

dx

x 94

12



10/17

Kasus 3

Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadratik danberulang

J ika Q(x) adalah (ax2+bx+c)n (kelipatan n dari

faktor kuadratik ax2

+bx+c), dimana ax2

+bx+ctidak dapat difaktorkan atau b24ac


11/17

Misal

Contoh:Selesaikan

3222232 )()()()(

1

ax

FxE

ax

DxC

ax

BxA

ax

32

222

)( )())(())(( ax FExaxDxCaxBAx


dx

xx

xx22

2

)2)(3(

22156


12/17

Kasus 4

Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadratik dantidak berulang

J ika faktor-faktor kuadratik mempunyai kelipatan

n=1, maka dekomposisi R(x) yaitu

konstanta.-konstanta,,,,,,, 2121

222

22

22

112

1

11

nn

nnn

nn

CCCBBB

cxbxa

CxB

cxbxa

CxB

cxbxa

CxB



13/17

Misal

Contoh:Selesaikan

)()()()(1

2222 bxDxC

axBxA

bxax

)()())(())(( 22

22

bxaxaxDxCbxBAx


dxxx

xx

)1)(14(

1362

2


14/17

Contoh

.

1

11

)1(

1Jadi.1,1,1Diperoleh

)()(1)()1(1

:penyebutfungsidgn

sisikeduamengalikandengandiperolehdanKonstanta1)1(

1:parsial-pecahan

isididekomposdapatygrasionalfungsiadalah2-keSuku)1(

11

1:integraniDekomposis

1Hitung

22

2

2

22

23

3

3

3

x

x

xxx

xCBA

AxCxBAxxCBxxAx

CA,Bx

CBx

x

A

xx

x

xx

x

xx

x

dxxx

x


15/17

cxxxx

dxx

x

xdx

xx

xx

x

xxx

x

12

21

23

3

23

3

tan)1ln(||ln

1

111

11

111

1

menjadiisididekompossemularasionalfungsiJadi


16/17

J ika Q(x) kombinasi dari faktor linear dan kuadratik,gunakan dekomposisi yang sesuai untuk masing-masingfaktor.

11235

)1(

1235

2224

23

2224

24

23

xDCxBAxxx

xxxx

dxxx

xxx



17/17

Latihan

Selesaikan integral berikut

dxxx

dxxxx

xxdxxxx

xx

dxxx

xdx

xx

2

35

23

23

2

2

31.3

1685

1652.5

2

434.2

44

75.4

212

5.1


pertemuan 4 teknik integrasi integral fungsi rasional

Documents