ma1201 matematika 2a - · pdf filekarena f mempunyai turunan di p, maka dengan bagi kedua ruas...

MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

29 Maret 2017

Kuliah yang Lalu

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah

12.5 Turunan berarah dan gradien

12.6 Aturan Rantai

12.7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag I

12.8 Maksimum dan minimum

12.9 Metode pengali Lagrange

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari Ini

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah

12.5 Turunan berarah dan gradien

12.6 Aturan Rantai

12.7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II

12.8 Maksimum dan minimum

12.9 Metode pengali Lagrange

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 3

12.5 TURUNAN BERARAHMA1201 MATEMATIKA 2A

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 4

• Menentukan turunan berarah dari suatufungsi di suatu titik dalam arah tertentu

Laju Perubahan dalamArah Sembarang

Misalkan z = f(x,y). Turunanparsial fx dan fy mengukur lajuperubahan nilai f dalam arahsejajar dengan sumbu-x dansumbu-y. Bagaimana bila kitabergerak dalam arah lainnya?

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 5

P

x

y

z

Review: Definisi Turunan Parsial

Misalkan p = (x,y), i = (1,0), dan j = (0,1). Makakedua turunan parsial dari z = f(x,y) di p dapatdidefinisikan ulang sebagai

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 6

.)()(

lim)(0 h

pfihpfpf

hx

.)()(

lim)(0 h

pfjhpfpf

hy

Definisi Turunan Berarah

Dengan menggantikan i atau j dengan vektorsatuan u = (u1,u2) sembarang, maka kita dapatmendefinisikan turunan berarah dari z = f(x,y) di p = (x,y) sebagai

Jadi, dan

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 7

.)()(

lim)(0 h

pfuhpfpfD

hu

)()( pfpfD xi ).()( pfpfD yj

Hubungan dengan Gradien

Jika f mempunyai turunan (atau linear secaralokal) di p, maka f mempunyai turunan berarahdi p dalam arah vektor u = (u1,u2) sembarang, dan

Fakta ini dapat dibuktikan sebagai berikut:

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 8

).()()()( 21 pfupfupfupfD yxu

Bukti

Karena f mempunyai turunan di p, maka

dengan Bagi kedua ruas dgn h,

Hitung limitnya untuk h 0, kita peroleh

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 9

),()()()()()( uhuhuhpfpfuhpf

.0)(lim0

uhh

.)()()()(

uuhupfh

pfuhpf

.)()( upfpfDu

Contoh

Turunan parsial dari di (1,2) adalah

Turunan berarah dari f di (1, 2) dalam arahvektor u = (0.6, 0.8) adalah

yang ternyata lebih besar daripada Dj f(1, 2).3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 10

22),( yxyxf

;22)2,1( )2,1( xfDi

.4.42.32.1)8.0,6.0()4,2()2,1( fDu

.42)2,1( )2,1( yfDj

Laju Perubahan Maksimum

Misal θ adalah sudut antara u dan . Maka

Jadi Du f(p) akan bernilai maksimum bila θ = 0 dan minimum bila θ = π.

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 11

.cos)()()( pfupfupfDu

.)()(

.)()(0

pfpfD

pfpfD

u

u

)(pf

Contoh

Tentukan dalam arah vektor manakah turunanberarah dari di (1,2) mencapai

(a) nilai maksimum;

(b) nilai minimum.

Tentukan laju perubahan maksimum danminimumnya.

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 12

22),( yxyxf

Kurva Ketinggian dan Gradien

Pada kurva ketinggian, nilai f konstan. Jadi, jika kita bergerak dalam arah vektorsinggung u pada kurva tsb, maka lajuperubahan ketinggiannya akan samadengan nol:

Jadi vektor gradien f di p tegak lurus padakurva ketinggian f yang melalui p.

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 13

.0)()( pfupfDu

u

)(pf

Contoh

Misal . Maka turunan berarahdari f di (1,2) dalam arah vektor u = sama dengan nol:

Ini terjadi karena vektor u merupakan vektorsinggung pada kurva ketinggian f di (1,2).

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 14

22),( yxyxf

.0)4,2()1,2(5

1)( pfDu

)1,2(5

1

Soal 1

Diketahui f(x,y) = 1 untuk (x,y) dengan 0 < y < x2, dan f(x,y) = 0 untuk (x,y) lainnya. Buktikanbahwa f mempunyai turunan berarah di (0,0) dalam arah sembarang, tetapi f tidak mem-punyai turunan (bahkan tidak kontinu) di (0,0).

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 15

Soal 2

Diketahui

Gambarlah peta kontur dan medan gradiennya(yang menggambarkan vektor-vektor gradien fdi sejumlah titik) pd sistem koordinat yg sama.

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 16

.),( 22 yxyxf

Soal 3

Diketahui

Gambarlah peta kontur dan medan gradiennya(yang menggambarkan vektor-vektor gradien fdi sejumlah titik) pd sistem koordinat yg sama.

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 17

2 2( , ) .f x y x y

12.6 ATURAN RANTAIMA1201 MATEMATIKA 2A

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 18

• Menggunakan Aturan Rantai untuk me-nentukan turunan fungsi komposisi antarafungsi dua peubah dengan fungsi vektor

• Menentukan turunan dari fungsi satupeubah yang diberikan secara implisit

Aturan Rantai, Versi Pertama

Jika x = x(t) dan y = y(t) mempunyai turunan di tdan z = f(x,y) mempunyai turunan di (x(t),y(t)), maka z = f(x(t),y(t)) mempunyai turunan di tdengan

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 19

.dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

Contoh

Misalkan z = x2y3 dengan x = t2 + 1 dan y = t2 – 1. Maka

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 20

).145)(1(2

)1(6)1()1(4

)1()1(6)1)(1(4

)2(3)2(2

244

24422

2222322

223

tttt

ttttt

tttttt

tyxtxydt

dy

dy

z

dt

dx

dx

z

dt

dz

Soal

Diketahui volume tabung V = πr2h. Misalkanpada saat r = 10 cm dan h = 20 cm, tabung tsbmengembang dengan jari-jarinya bertambah 1 cm per jam dan tingginya bertambah 0.5 cm per jam. Berapakah laju pertambahan volumenya?

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 21

Aturan Rantai, Versi Kedua

Jika x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai turunanparsial di (s,t) dan z = f(x,y) mempunyai turunandi (x(s,t),y(s,t)), maka z = f(x(s,t),y(s,t)) mem-punyai turunan di (s,t) dengan

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 22

.s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

.t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

Contoh

Misalkan z = x2y dengan x = s + t dan y = 1 – st . Maka

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 23

.)()1)((2

)()1(2

2

2

tststts

txxys

y

y

z

s

x

x

z

s

z

.)()1)((2

)()1(2

2

2

tssstts

sxxyt

y

y

z

t

x

x

z

t

z

Turunan Fungsi Implisit (Lagi)

Misalkan F(x,y) = 0 mendefinisikan y secaraimplisit sebagai fungsi dari x. Maka, denganmenurunkan terhadap x, kita peroleh:

Jadi,

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 24

.0

dx

dy

y

F

dx

dx

x

F

./

/

yF

xF

dx

dy

Turunan Fungsi Implisit (Baru)

Misalkan F(x,y,z) = 0 mendefinisikan z secaraimplisit sebagai fungsi dari x dan y. Maka, dgnmenurunkan secara parsial terhadap x dan y, kita peroleh:

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 25

./

/

zF

xF

x

z

./

/

zF

yF

y

z

Contoh/Latihan

1. Diketahui x3 + 2x2y – y3 = 0. Tentukan dy/dx.

2. Diketahui 3x2z + y3 – xyz3 = 0. Tentukandan

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 26

z

x

.

z

y