ma1201 m10-1-26-03-14

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

26 Maret 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba12.2 Turunan Parsial12.3 Limit dan Kekontinuan12.3 Limit dan Kekontinuan12.4 Turunan fungsi dua peubah12 5 Turunan berarah dan gradien12.5 Turunan berarah dan gradien12.6 Aturan Rantai12 7 Bidang singgung dan aproksimasi12.7 Bidang singgung dan aproksimasi12.8 Maksimum dan minimum12 9 Metode pengali Lagrange12.9 Metode pengali Lagrange

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba12.2 Turunan Parsial12.3 Limit dan Kekontinuan12.3 Limit dan Kekontinuan12.4 Turunan fungsi dua peubah12 5 Turunan berarah dan gradien12.5 Turunan berarah dan gradien12.6 Aturan Rantai12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag I12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag I12.8 Maksimum dan minimum12 9 Metode pengali Lagrange12.9 Metode pengali Lagrange

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 3

12.4 TURUNAN FUNGSI DUA PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A

12.4 TURUNAN FUNGSI DUA PEUBAH• Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah

i t di titik t t t dmempunyai turunan di titik tertentu danmenentukan turunannya

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Turunan Parsial Saja Tidak CukupTurunan Parsial Saja Tidak Cukup

Kita sudah mendefinisikanKita sudah mendefinisikanturunan parsial dari suatufungsi dua peubah; tapi P

z

fungsi dua peubah; tapieksistensi turunan parsial disuatu titik tidak memberi kita y

??

suatu titik tidak memberi kitainformasi tentang nilai fungsidi sekitar titik tsb

xdi sekitar titik tsb.

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 5

Bagaimana Mendefinisikan TurunanBagaimana Mendefinisikan Turunan

Turunan dari fungsi satu peubah y = f(x) di x = c g p y f( )didefinisikan sebagai

)()( cfhcf

Sayangnya bentuk ini tidak dapat diperumum

.)()(lim)('0 h

cfhcfcfh

Sayangnya bentuk ini tidak dapat diperumumuntuk fungsi dua peubah

)()( cfhcf

k b d k d k d f

,)()(lim)('0 h

cfhcfcfh

karena pembagian dgn vektor tidak terdefinisi.3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 6

Turunan Fungsi Satu PeubahTurunan Fungsi Satu Peubah

Jika y = f(x) mempunyai turunan di x = c, yakniy f( ) p y , y

,)()(lim)('0

mh

cfhcfcfh

maka f linear secara lokal di x ≈ c, yaitu0 hh

)()()( hhhfhfdengan

),()()( hhhmcfhcf

.0)()(lim)(lim00

m

hcfhcfh

hh

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 7

h

Turunan Fungsi Satu PeubahTurunan Fungsi Satu Peubah

Sebaliknya, jika f linear secara lokal di x ≈ c, y , j f ,sebutlah

)()()( hhhmcfhcf dengan

),()()( hhhmcfhcf

)()( cfhcf ,0)()(lim)(lim00

m

hcfhcfh

hh

maka fmempunyai turunan di x = c, yakni)()(lim)(' mcfhcfcf

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 8

.lim)(0

mh

cfh

Turunan Fungsi Dua PeubahTurunan Fungsi Dua Peubah

Fungsi dua peubah f dikatakan mempunyaig p f p yturunan di p = (a,b) jika dan hanya jika f linear secara lokal di sekitar p, yaknip, y

,)())(),(()()( hhhpfpfpfhpf yx

dengan

y

),,()),(),(()( 2121 hhhhhh

dan ).0,0())(lim),(lim()(lim 20100

hhh

hhh

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 9

000 hhh

Turunan Fungsi Dua PeubahTurunan Fungsi Dua Peubah

Vektor disebut))(),((:)( pfpfpf yxturunan atau gradien f di p.

Jadi fmempunyai turunan di p jika dan

))(),(()( pfpfpf yx

Jadi, fmempunyai turunan di p jika danhanya jika

dengan 0)(lim h

,)()()()( hhhpfpfhpf

dengan

d b d l

.0)(lim0

hh

Catatan: Operator      disebut operator del. 3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 10

Beberapa CatatanBeberapa Catatan

1. Jika turunan fungsi satu peubah merupa‐g p pkan bilangan f ’(p), maka turunan fungsidua peubah merupakan vektorp p

2 Hasil kali dan

))(),((:)( pfpfpf yxhf )( hh )(2. Hasil kali                       dan

merupakan hasil kali titik.

f f ( l b h)

hpf )( hh )(

3. Definisi turunan fungsi tiga (atau lebih) peubah dapat dirumuskan secara serupa.

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 11

ContohContoh

Turunan dari fungsi di (1 2)22)( yxyxf Turunan dari fungsi di (1,2) adalah

Perhatikan bahwa untuk (h k) ≈ (0 0) fungsi f

),( yxyxf ).4,2()2,2()2,1(

)2,1( yxf

Perhatikan bahwa untuk (h,k) ≈ (0,0) fungsi flinear secara lokal:

)2()1()21( 22 khkhf4421)2()1()2,1(

22

22

kkhhkhkhf

).,(),(),()4,2(5 khkhkh

Di sini3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 12

).0,0(),(),( khkh

TeoremaTeorema

Jika fmempunyai turunan parsial f dan f yangJika fmempunyai turunan parsial fxdan fy yang kontinu pada suatu cakram yang memuat (a,b), maka fmempunyai turunan di (a b)maka fmempunyai turunan di (a,b).

C h f( ) 2 2 iContoh. f(x,y) = x2 + y2 mempunyai turunanparsial fx = 2x dan fy = 2y yang kontinu pada R, k i f i di i i ikkarena itu fmempunyai turunan di setiap titik. 

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 13

Sifat TurunanSifat Turunan

Operator del memenuhi:Operator del      memenuhi:

)()()]()([ ff 1. )()()]()([ pgpfpgpf

2. )(.)](.[ pfpf

3.  )()()()()]()([ pfpgpgpfpgpf

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 14

TeoremaTeorema

Jika f mempunyai turunan di p makaJika f mempunyai turunan di p, maka

f kontinu di p.

Catatan. Kontraposisi teorema di atas berbunyi: jika f tidak kontinu di p, maka f tidak mempunyaiturunan di p.

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 15

SoalSoal

Selidiki apakah fungsi di bawah ini mempunyaiSelidiki apakah fungsi di bawah ini mempunyaiturunan di titik (0,0).

1. .0)0,0(,),( 22

fyx

xyyxf

2.

yx

.),( 22 yxyxf ),( yyf

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 16

SoalSoal

Buktikan bahwaBuktikan bahwa

3f g f f g

3. 2 .f g f f gg g

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 17

12.7 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRANMA1201 MATEMATIKA 2A

– BAGIAN I• Menentukan persamaan bidang singgungMenentukan persamaan bidang singgungpada suatu permukaan di titik tertentu

• Menghitung nilai hampiran dari suatu fungsiMenghitung nilai hampiran dari suatu fungsidi sekitar titik tertentu

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 18

Hampiran Linear & Bidang SinggungHampiran Linear & Bidang Singgung

Bila fmempunyai turunan di p = (a,b), maka kitaf p y p ( , ),mempunyai hampiran linear

)()()()( byaxbafbafyxf

Dalam hal ini, persamaan

),(),(),(),( byaxbafbafyxf

),(),(),( byaxbafbafz

merupakan persamaan bidang singgung pada

))(,())(,(),( bybafaxbafbaf yx p p g gg g p

permukaan z = f(x,y) di titik (a,b).3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 19

ContohContoh

Persamaan bidang singgung pada permukaan z =Persamaan bidang singgung pada permukaan z =       

di (1,2) adalah22),( yxyxf

)2)(2,1()1)(2,1()2,1( yfxffz yx

k b

.425)2(4)1(25 yxyx

Menggunakan persamaan bidang singgung ini, kita mempunyai hampiran

(1.1)2 + (1.9)2 ≈ 5 + 2(0.1) + 4(‐0.1) = 4.8.3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 20

DiferensialDiferensial

Misal z = f(x,y) mempunyai turunan di p = (a,b). f( ,y) p y p ( , )Jika dx dan dy adalah diferensial peubah bebasx dan y, makay,

di b dif i l d i f di ( b) J di h i

),(),(),( dydxbafbadfdz disebut diferensial dari f di (a,b). Jadi, hampiranlinear di sekitar (a,b) dapat dituliskan sebagai

),(),(),( badfbafyxf

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 21

ContohContoh

Jika z = maka diferensial dari22)( yxyxf Jika z =                                 , maka diferensial darif di (1,2) adalah

),( yxyxf

.42)2,1()2,1( dydxdyfdxfdz yx

Jika dx = 0.1 dan dy = ‐0.1, maka

dz = 2(0.1) + 4(‐0.1) = ‐0.2.( ) ( )

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 22

SoalSoal

Diketahui rumus tekanan gas P = k(T/V)Diketahui rumus tekanan gas P = k(T/V) dinyatakan dalam suhu T dan volume V, dengank menyatakan suatu konstantak menyatakan suatu konstanta. 

Jika dalam pengukuran T terdapat kesalahanmaksimum 1% dan dalam pengukuran Vmaksimum 1% dan dalam pengukuran Vterdapat kesalahan maksimum 2%, taksirlahkesalahan maksimum dalam perhitungan P?kesalahan maksimum dalam perhitungan P?

3/26/2014 (c) Hendra Gunawan 23