geometri analitik lecture 3

Geometri Analitik (lecture 3)

M. Januar Ismail, M.Si.

UIN SGD

Juli 2012

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 1 / 28

Outline

1 Irisan Kerucut (konik) dan koordinat kutubDe�nisi Elips dan Hiperbol tanpa ke-eksentrikanContoh sifat dawai

2 Translasi SumbuPendahuluanContoh Translasi sumbuMelengkapkan KuadratContoh MKuadrat

3 Daftar pustaka

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 2 / 28

Review kemiringan garis singgung pada kurva

Kemiringan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (x0,y0) adalah

m = f 0 (x0)

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 3 / 28

Pendahuluan

Kita telah mende�nisikan elips dan Hiperbola dengan menggunakankeeksentrikan.

Syarat jPF j = e jPLj menentukan elips apabila 0 < e < 1 danhiperbola apabila e > 1.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 4 / 28

Pendahuluan

Kita telah mende�nisikan elips dan Hiperbola dengan menggunakankeeksentrikan.

Syarat jPF j = e jPLj menentukan elips apabila 0 < e < 1 danhiperbola apabila e > 1.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 4 / 28

Definisi Elips dan Hiperbol yang lainnya

Definisi

Sebuah Elips adalah himpunan semua titik P pada sebuah bidang yangjumlah jaraknya terhadap dua titik tetap pada bidang itu (fokus) samadengan 2a.

Definisi

Sebuah Hiperbol adalah himpunan semua titik P pada sebuah bidang yangselisih jaraknya terhadap dua titik tetap pada bidang itu (fokus) samadengan 2a.Selisih artinya jarak panjang dikurangi jarak pendek.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 5 / 28

Arti Geometris Definisi

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 6 / 28

Penurunan Sifat dawai elips dan hiperbol

De�nisi baru tentang elips dan hiperbol tadi dinamakan sifat dawai elipsdan hiperbol. Selanjutnya akan dibuktikan dari de�nisi keeksentrikan elipsdan hiperbol dapat diperoleh sifat dawai elips dan hiperbol.

Elips dan hiperbol memiliki dua fokus dan dua garis arah.

Kita letakkan sumbu panjang pada sumbu-x dan pusat pada titik asal.

Fokus-fokus berada di titik (�ae, 0) dan persamaan garis arahnyax = �a/e.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 7 / 28

Penurunan Sifat dawai elips dan hiperbol

De�nisi baru tentang elips dan hiperbol tadi dinamakan sifat dawai elipsdan hiperbol. Selanjutnya akan dibuktikan dari de�nisi keeksentrikan elipsdan hiperbol dapat diperoleh sifat dawai elips dan hiperbol.

Elips dan hiperbol memiliki dua fokus dan dua garis arah.

Kita letakkan sumbu panjang pada sumbu-x dan pusat pada titik asal.

Fokus-fokus berada di titik (�ae, 0) dan persamaan garis arahnyax = �a/e.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 7 / 28

Penurunan Sifat dawai elips dan hiperbol

De�nisi baru tentang elips dan hiperbol tadi dinamakan sifat dawai elipsdan hiperbol. Selanjutnya akan dibuktikan dari de�nisi keeksentrikan elipsdan hiperbol dapat diperoleh sifat dawai elips dan hiperbol.

Elips dan hiperbol memiliki dua fokus dan dua garis arah.

Kita letakkan sumbu panjang pada sumbu-x dan pusat pada titik asal.

Fokus-fokus berada di titik (�ae, 0) dan persamaan garis arahnyax = �a/e.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 7 / 28

Ilustrasi Langkah sebelumnya

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 8 / 28

Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan

Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada elips

Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kiri

Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kananDiperoleh, dari fokus kiri��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a

fokus kananjPF j = e (a/e � x) = a� ex

Sehingga, ��PF 0��+ jPF j = 2a

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 9 / 28

Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan

Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada elips

Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kiriGunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kanan

Diperoleh, dari fokus kiri��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a

fokus kananjPF j = e (a/e � x) = a� ex

Sehingga, ��PF 0��+ jPF j = 2a

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 9 / 28

Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan

Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada elips

Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kiriGunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kananDiperoleh, dari fokus kiri��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a

fokus kananjPF j = e (a/e � x) = a� ex

Sehingga, ��PF 0��+ jPF j = 2a

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 9 / 28

Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan

Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada elips

Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kiriGunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kananDiperoleh, dari fokus kiri��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a

fokus kananjPF j = e (a/e � x) = a� ex

Sehingga, ��PF 0��+ jPF j = 2a

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 9 / 28

Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan

Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada elips

Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kiriGunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kananDiperoleh, dari fokus kiri��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a

fokus kananjPF j = e (a/e � x) = a� ex

Sehingga, ��PF 0��+ jPF j = 2a

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 9 / 28

Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan

Perhatikan pada hiperbola, terdapat dua kasus

Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada cabang kanan,maka

��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a

danjPF j = e (x � a/e) = ex � a

Sehingga, ��PF 0��� jPF j = 2aJika P (x , y) kita ambil pada cabang kiri, kita peroleh �2a sebagaiganti 2a.Jadi untuk kedua kasus ini diperoleh,����PF 0��� jPF j�� = 2a

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 10 / 28

Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan

Perhatikan pada hiperbola, terdapat dua kasus

Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada cabang kanan,maka

��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a

danjPF j = e (x � a/e) = ex � a

Sehingga, ��PF 0��� jPF j = 2a

Jika P (x , y) kita ambil pada cabang kiri, kita peroleh �2a sebagaiganti 2a.Jadi untuk kedua kasus ini diperoleh,����PF 0��� jPF j�� = 2a

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 10 / 28

Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan

Perhatikan pada hiperbola, terdapat dua kasus

Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada cabang kanan,maka

��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a

danjPF j = e (x � a/e) = ex � a

Sehingga, ��PF 0��� jPF j = 2aJika P (x , y) kita ambil pada cabang kiri, kita peroleh �2a sebagaiganti 2a.

Jadi untuk kedua kasus ini diperoleh,����PF 0��� jPF j�� = 2a

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 10 / 28

Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan

Perhatikan pada hiperbola, terdapat dua kasus

Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada cabang kanan,maka

��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a

danjPF j = e (x � a/e) = ex � a

Sehingga, ��PF 0��� jPF j = 2aJika P (x , y) kita ambil pada cabang kiri, kita peroleh �2a sebagaiganti 2a.Jadi untuk kedua kasus ini diperoleh,����PF 0��� jPF j�� = 2a

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 10 / 28

Contoh 1

Tentukan persamaan himpunan titik-titik, yang jumlah jaraknya terhadaptitik-titik (�3, 0) adalah 10.

Penyelesaian : Hal ini adalah sebuah elips mendatar dengan a = 5dan c = 3, sehingga b =

pa2 � c2 = 4. Jadi persamaan himpunan

tersebut adalahx2

25+y2

16= 1

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 11 / 28

Contoh 2

Tentukan persamaan himpunan titik-titik, yang selisih jaraknya darititik-titik (0,�6) adalah 4.

Penyelesaian : Himpunan itu adalah sebuah hiperbol tegak dengana = 2 dan c = 6, sehingga b =

pc2 � a2 =

p32 = 4

p2. Jadi

persamaan Hiperbol tersebut adalah

�x2

32+y2

4= 1

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 12 / 28

Sifat Oftis

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 13 / 28

Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol

Elipsx2

a2+y2

b2= 1

Kemiringan garis singgung di (x0, y0)

m =�b2x0a2y0

Persamaan garis singgung di (x0, y0)

x0xa2+y0yb2

= 1

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 14 / 28

Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol

Elipsx2

a2+y2

b2= 1

Kemiringan garis singgung di (x0, y0)

m =�b2x0a2y0

Persamaan garis singgung di (x0, y0)

x0xa2+y0yb2

= 1

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 14 / 28

Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol

Elipsx2

a2+y2

b2= 1

Kemiringan garis singgung di (x0, y0)

m =�b2x0a2y0

Persamaan garis singgung di (x0, y0)

x0xa2+y0yb2

= 1

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 14 / 28

Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol

Hiperbolx2

a2� y

2

b2= 1

Kemiringan garis singgung di (x0, y0)

m =b2x0a2y0

Persamaan garis singgung di (x0, y0)

x0xa2� y0yb2

= 1

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 15 / 28

Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol

Hiperbolx2

a2� y

2

b2= 1

Kemiringan garis singgung di (x0, y0)

m =b2x0a2y0

Persamaan garis singgung di (x0, y0)

x0xa2� y0yb2

= 1

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 15 / 28

Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol

Hiperbolx2

a2� y

2

b2= 1

Kemiringan garis singgung di (x0, y0)

m =b2x0a2y0

Persamaan garis singgung di (x0, y0)

x0xa2� y0yb2

= 1

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 15 / 28

Pendahuluan

Hingga sekarang konik-konik diletakkan pada sebuah sistem koordinatdalam kedudukan yang istimewa.

Selanjutnya akan kita letakkan konik dalam kedudukan yang lebihumum, tetapi sumbu panjang tetap diambil sejajar dengan salah satusumbu koordinat.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 16 / 28

Pendahuluan

Hingga sekarang konik-konik diletakkan pada sebuah sistem koordinatdalam kedudukan yang istimewa.

Selanjutnya akan kita letakkan konik dalam kedudukan yang lebihumum, tetapi sumbu panjang tetap diambil sejajar dengan salah satusumbu koordinat.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 16 / 28

Alat bantu berupa Lingkaran

Perhatikan persamaan sebuah lingkaran dengan jari-jari 5 yang berpusat di(2, 3) adalah

(x � 2)2 + (y � 3)2 = 25atau dengan kesetaraan diperoleh

x2 + y2 � 4x � 6y = 12

Persamaan lingkaran yang sama yang berpusat di titik asal sistemkoordinat uv mempunyai persamaan lebih sederhana

u2 + v2 = 25

Penggunaan sumbu koordinat yang baru tidak mengubah bentukkurva, tetapi menyederhanakan persamaannya. Penggunaan sumbukoordinat baru ini disebut translasi sumbu.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 17 / 28

Alat bantu berupa Lingkaran

Perhatikan persamaan sebuah lingkaran dengan jari-jari 5 yang berpusat di(2, 3) adalah

(x � 2)2 + (y � 3)2 = 25atau dengan kesetaraan diperoleh

x2 + y2 � 4x � 6y = 12

Persamaan lingkaran yang sama yang berpusat di titik asal sistemkoordinat uv mempunyai persamaan lebih sederhana

u2 + v2 = 25

Penggunaan sumbu koordinat yang baru tidak mengubah bentukkurva, tetapi menyederhanakan persamaannya. Penggunaan sumbukoordinat baru ini disebut translasi sumbu.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 17 / 28

Ilustrasi

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 18 / 28

Translasi Sumbu

Definisi

Jika sumbu yang baru tersebut kita letakkan dalam satu bidang, tiap titikakan memiliki dua pasang koordinat, yaitu koordinat lama (x , y) relatifterhadap sumbu lama dari koordinat baru (u, v) terhadap sumbu baru.Dikatakan bahwa koordinat yang semula mengalami transformasi. Jikasumbu-sumbu yang baru masing-masing sejajar dengan sumbu yang lamadan searah, transformasi itu dinamakan translasi sumbu.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 19 / 28

Translasi Sumbu

Dapat dilihat bagaimana hubungan antara koordinat baru (u, v) dankoor�nat lama (x , y). Andaikan (h, k) koordinat lama dari titik asalyang baru, maka

u = x � h, v = y � k

Atau secara ekuivalen

x = u + h, y = v + k

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 20 / 28

Translasi Sumbu

Dapat dilihat bagaimana hubungan antara koordinat baru (u, v) dankoor�nat lama (x , y). Andaikan (h, k) koordinat lama dari titik asalyang baru, maka

u = x � h, v = y � k

Atau secara ekuivalen

x = u + h, y = v + k

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 20 / 28

Ilustrasi

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 21 / 28

Contoh 1

Tentukan koordinat baru P (�6, 5) setelah sumbu-sumbu ditranslasi ketitik asal baru di (2,�4) .

Penyelesaian : Di sini h = 2 dan k = �4, maka

u = x � h = �6� 2 = �8 v = y � k = 5� (�4) = 9

jadi koordinat baru titik P adalah (�8, 9).

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 22 / 28

Contoh 1

Tentukan koordinat baru P (�6, 5) setelah sumbu-sumbu ditranslasi ketitik asal baru di (2,�4) .

Penyelesaian : Di sini h = 2 dan k = �4, maka

u = x � h = �6� 2 = �8 v = y � k = 5� (�4) = 9

jadi koordinat baru titik P adalah (�8, 9).

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 22 / 28

Contoh 2

Diketahui x2 + y2 � 4x � 6y = 12, tentukan persaman kurva tersebutsetelah dilakukan translasi sumbu ke titik asal baru (2, 3).

Penyelesaian : Dalam persamaan kurva kita ganti x menjadi dalamvariabel u, x = u + h = u + 2 dan y dengan y = v + k = v + 3.Jadi diperoleh,

(u + 2)2 + (v + 3)2 � 4 (u + 2)� 6 (v + 3) = 12

atau

u2 + 4u + 4+ v2 + 6v + 9� 4u � 8� 6v � 18� 12 = 0

Sehingga,u2 + v2 � 25 = 0

persamaan ini adalah sebuah lingkaran.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 23 / 28

Contoh 2

Diketahui x2 + y2 � 4x � 6y = 12, tentukan persaman kurva tersebutsetelah dilakukan translasi sumbu ke titik asal baru (2, 3).

Penyelesaian : Dalam persamaan kurva kita ganti x menjadi dalamvariabel u, x = u + h = u + 2 dan y dengan y = v + k = v + 3.Jadi diperoleh,

(u + 2)2 + (v + 3)2 � 4 (u + 2)� 6 (v + 3) = 12

atau

u2 + 4u + 4+ v2 + 6v + 9� 4u � 8� 6v � 18� 12 = 0

Sehingga,u2 + v2 � 25 = 0

persamaan ini adalah sebuah lingkaran.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 23 / 28

Melengkapkan kuadrat

Diketahui sebuah persamaan kuadrat yang rumit. Bagaimana kiradapat mengetahui translasi mana yang dapat menyederhanakanpersamaan itu sehingga dapat dikenali? Untuk mengetahui ini kitamenggunakan suatu proses aljabar yang disebut melengkapkankuadrat. Khususnya, kita dapat menggunakan proses itu untukmenghilangkan suku-suku yang berpangkat satu, dalam bentuk

Ax2 + Cy2 +Dx + Ey + F = 0, A 6= 0,C 6= 0

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 24 / 28

Contoh MKuadrat

Buatlah suatu translasi yang dapat menghilangkan suku-suku pangkat satudalam bentuk

4x2 + 9y2 + 8x � 90y + 193 = 0dan gunakan pengetahuan tersebut untuk membuat sketsa gra�knya.

Penyelesaian : Untuk melengkapkan menjadi sebuah kuadrat bentuk

x2 + ax kita harus menambahkan dengana2

4.

4�x2 + 2x +

�+ 9

�y2 � 10y +

�= �193

4�x2 + 2x + 1

�+ 9

�y2 � 10y + 25

�= �193+ 4+ 225

4 (x + 1)2 + 9 (y � 5)2 = 36

(x + 1)2

9+(y � 5)2

4= 1

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 25 / 28

Contoh MKuadrat

Apabila digunakan translasi u = x + 1 dan v = y � 5 persamaantersebut menjadi

u2

9+v2

4= 1

yang merupakan persamaan elips mendatar dengan titik pusat di(�1, 5)

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 26 / 28

Contoh MKuadrat

Apabila digunakan translasi u = x + 1 dan v = y � 5 persamaantersebut menjadi

u2

9+v2

4= 1

yang merupakan persamaan elips mendatar dengan titik pusat di(�1, 5)

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 26 / 28

Sketsa grafik

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 27 / 28

Daftar pustaka

Purcell dan Dale, Kalkulus dan Geometri analitik jilid 2, Erlangga.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 28 / 28