1

DISUSUN OLEH :

IVA MERLIANA, S.Pd.

MODUL 3

Disusun Oleh :

Iva Merliana, S.Pd

SMK Negeri 8 Semarang

2

Daftar Isi

Daftar Isi ........................................................................................................................................................ 2

Pendahuluan ................................................................................................................................................. 3

Kompetensi Inti ............................................................................................................................................. 4

Kompetensi Dasar ......................................................................................................................................... 4

Tujuan Pembelajaran .................................................................................................................................... 4

Peta Konsep .................................................................................................................................................. 5

Kegiatan Belajar 3: Determinan dan Invers matriks berordo dua dan berordo tiga .................................... 6

Pokok Materi ............................................................................................................................................. 6

Materi 1: Determinan matriks berordo dua dan berordo tiga ................................................................. 6

Materi 2: Adjoin Matriks Berordo Dua dan Berordo Tiga .................................................................. 8

Materi 3: Invers Matriks Berordo Dua dan berordo tiga .................................................................... 10

Materi 4 : Rangkuman ......................................................................................................................... 15

Tes Formatif Kegiatan Belajar 3 .......................................................................................................... 16

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................................................... 17

3

Pendahuluan

Pembelajaran abad 21 menuntut peran semua pihak yang terlibat untuk mewujudkan peserta didik

yang mempunyai kecakapan abad 21 antara lain: Collaborating, Communication, Critical Thinking

and Problem Solving, Creativity and Inovation. Peran guru disini sangat penting, guru harus bisa

memfasilitasi peserta didik dalam rangka mewujudkan hal ini. Guru harus mampu mengadakan

pembelajaran dengan baik , mulai dari mempersiapkan bahan ajar sampai melakukan evaluasi

terhadap pembelajaran.

Modul sebagai salah satu bahan ajar yang khas, yang memiliki struktur yang sistematis, dan bersifat

utuh. Modul pembelajaran, adalah satu set bahan pembelajaran dalam kemasan terkecil dilihat dari

lingkup isi, namun mengandung semua unsur dalam sistem instruksional, sehingga dapat dipelajari

secara terpisah dari modul yang lain. Modul merupakan salah satu bentuk bahan ajar yang dikemas

secara utuh dan sistematis, di dalamnya memuat seperangkat pengalaman belajar yang terencana

dan didesain untuk membantu siswa menguasai tujuan belajar yang spesifik. Modul berfungsi

sebagai sarana belajar yang bersifat mandiri, sehingga siswa dapat belajar secara mandiri sesuai

dengan kecepatan masing-masing.

Salah satunya modul Matematika ini disusun dengan tujuan siswa dapat belajar secara aktif,

mandiri dan inovatif sesuai dengan potensi yang dimiliki untuk bisa mengkonstruksi pengetahuan

agar terwujud peserta didik yang berketerampilan abad 21.

4

Kompetensi Inti KI-3 Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi tentang pengetahuan actual, konseptual, operasional dasar, dan metakognitif sesuai dengan bidang dan lingkup Praktikum Akuntansi Perusahaan Jasa, Dagang dan Manufaktur pada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks, berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dalam konteks pengembangan potensi diri sebagai bagian dari keluarga, sekolah, dunia kerja, warga masyarakat nasional, regional, dan internasional. KI-4 :

a. Melaksanakan tugas spesifik, dengan menggunakan alat, informasi, dan prosedur kerja yang

lazim dilakukan serta menyelesaikan masalah sederhana sesuai dengan bidang dan lingkup

Praktikum Akuntansi Perusahaan Jasa, Dagang dan Manufaktur.

b. Menampilkan kinerja di bawah bimbingan dengan mutu dan kuantitas yang terukur sesuai

dengan standar kompetensi kerja.

c. Menunjukkan keterampilan menalar, mengolah, dan menyaji secara efektif, kreatif, produktif, kritis, mandiri, kolaboratif, komunikatif, dan solutif dalam ranah abstrak terkait dengan

pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta mampu melaksanakan tugas spesifik di

bawah pengawasan langsung.

d. Menunjukkan keterampilan mempresepsi, kesiapan, meniru, membiasakan gerak mahir, menjadikan gerak alami, dalam ranah konkret terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta mampu melaksanakan tugas spesifik di bawah pengawasan langsung.

Kompetensi Dasar KD 3.16 Menentukan nilai determinan, invers dan tranpos pada ordo 2 x 2 dan nilai determinan

dan tranpos pada ordo 3 x 3 KD 4.16 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan dengan determinan, invers dan

tranpose pada ordo 2 x 2 serta nilai determinan dan tranpos pada ordo 3 x 3

Tujuan Pembelajaran 1. Melalui diskusi kelompok tentang nilai determinan, invers dan tranpos pada ordo 2 x 2 dan

nilai determinan dan tranpos pada ordo 3 x 3, peserta didik dapat menentukan nilai

determinan matriks berordo dua dan berordo tiga

2. Melalui diskusi kelompok tentang nilai determinan, invers dan tranpos pada ordo 2 x 2 dan

nilai determinan dan tranpos pada ordo 3 x 3, peserta didik dapat menentukan invers matriks

berordo dua dan berordo tiga

5

Peta Konsep

6

Kegiatan Belajar 3: Determinan dan Invers matriks berordo dua dan berordo tiga

Pokok Materi

1. Determinan matriks berordo dua dan tiga

2. Invers Matriks

Materi 1: Determinan matriks berordo dua dan berordo tiga

1. Determinan matriks berordo dua

Diketahui matriks a b

Ac d

=

maka determinan A didefinisikan

( )deta b

A ad bcc d

= = −

Contoh Soal

Tentukan determinan dari matriks 5 2

4 3P

− =

−

Penyelesaian

( ) ( ) ( )( )5 2

det 5 3 2 4 15 8 74 3

P P−

= = = − − − = − =−

2. Determinan matriks berordo tiga

Diketahui matriks

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

. Ada 2 cara untuk menentukan determinan

matriks berordo tiga

1) Metode Sarrus

7

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

11 22 33 21 23 31 13 21 32

31 22 13 32 23 11 33 21 12

det

a a a

A A a a a

a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

= =

=

= + + −

− −

2) Ekspansi baris atau kolom

- Berdasarkan ekspansi baris pertama

( )11 12 13

22 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 32

31 32 33

det

a a aa a a a a a

A A a a a a a aa a a a a a

a a a

= = = − +

- Berdasarkan ekspansi kolom pertama

( )11 12 13

22 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 32

31 32 33

det

a a aa a a a a a

A A a a a a a aa a a a a a

a a a

= = = − +

Contoh Soal

Tentukan determinan dari matriks

1 2 3

0 5 4

1 4 0

B

− −

= −

.

Penyelesaian

- Menggunakan metode sarrus

( )

( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )

1 2 3 1 2

det 0 5 4 0 5

1 4 0 1 4

1 5 0 2 4 1 3 0 4 1 5 3 4 4 1 0 0 2

0 8 0 15 16 0

8 1 9

B B

− − −

= = −

= − + − + − − − + − − +

= − + − − + +

=− − = −

8

- Menggunakan ekspansi baris pertama

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

1 2 3

det 0 5 4

1 4 0

5 4 0 4 0 51 2 3

4 0 1 0 1 4

1 5 0 4 4 2 0 0 1 4 3 0 4 1 5

1 0 16 2 0 4 3 0 5

1 16 2 4 3 5

16 8 15 9

B B

− −

= = −

− −= − − + −

= − − − − − − + − −

= − + − + + − −

= − − + − −

=− − + = −

Latihan Soal

Tentukan nilai x dari persamaan berikut

a. 3 2

2 35 1

xx= −

−

b.

1 1 3

1 2 4 5

3 2 5

x

x

−

− − =

Materi 2: Adjoin Matriks Berordo Dua dan Berordo Tiga

- Adjoin matriks berordo dua

Misalkan matriks a b

Ac d

=

maka ( )Adjd b

Ac a

− =

−

Contoh Soal

Tentukan Adjoin dari matriks Tentukan Adjoin dari matriks 2 1

5 4A

− =

Penyelesaian

( )4 1

Adj5 2

A−

= − −

9

Pengertian Minor, kofaktor dan Adjoin

Jika matriks

a b c

A d e f

g h i

=

maka minor dari matriks A adalah ijM

11M artinya menghilangkan baris pertama kolom pertama menghasilkan

11

e fM ei hf

h i= = −

12M artinya menghilangkan baris pertama kolom kedua menghasilkan

12

d fM di gf

g i= = −

13M artinya menghilangkan baris pertama kolom ketiga menghasilkan

13

d eM dh ge

g h= = −

Dan seterusnya sampai 33M

Jika ijM merupakan minor dari matriks A maka kofaktor dari matriks A dinyatakan

dengan ijC didefinisikan sebagai ( )1i j

ij ijC M+

= −

( ) ( ) ( )1 1 2

11 11 111 1e f

C M M ei hfh i

+= − = − = + = + −

( ) ( ) ( )1 2 3

12 12 121 1d f

C M M di gfg i

+= − = − = − = − −

Dan seterusnya sampai pada 33C

11 12 13

21 22 23

31 32 33

C C C

kofaktor C C C

C C C

=

Adjoin merupakan transpose dari kofaktor, maka ( )11 21 31

12 22 32

13 23 33

C C C

Adj A C C C

C C C

=

Untuk memperdalam penguasaan materi silahkan klik link berikut : https://www.youtube.com/watch?v=0Ipy1aKNZa8

10

Tentukan adjoin dari matriks

2 0 5

1 4 1

4 2 3

A

−

= − −

Penyelesaian

( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 1 0 5 0 5

2 3 2 3 4 1

1 1 2 5 2 5Adj

4 3 4 3 1 1

1 4 2 0 2 0

4 2 4 2 1 4

12 2 0 10 0 20

3 4 6 20 2 5

2 16 4 0 8 0

10 10 20

7 26 3

18 4 8

A

− −

− − − − − − = − −

−

− − − − −

− − − − −

= − − − − − − − − − − − − −

− −

= − − − − −

Materi 3: Invers Matriks Berordo Dua dan berordo tiga

Misalkan matriks A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama sehingga AB=BA=I,

dengan I adalah matriks identitas. Matriks B adalah invers dari matriks A dan seballiknya

matriks A adalah invers dari matriks B ditulis 1 1atauB A A B− −= =

- Invers matriks berordo dua

Diketahui matriks a b

Ac d

=

. Invers matriks A adalah

( )( )

( )

1 1 1

det

det 0

d bA Adj A

c aA ad bc

A

−−

= = −−

11

Contoh

Tentukan invers dari matriks 4 7

3 5A

− =

−

Penyelesaian

( )( )

( )( ) ( )

1 1

det

5 71

3 44 5 7 3

5 71

3 420 21

5 7

3 4

A Adj AA

− =

− =

−− − −

− =

−− +

− =

−

Latihan soal

Tunjukkan bahwa matriks berikut saling invers

a. 3 5 3 5

dan2 3 2 3

−

−

b. 4 3 1 3

dan1 1 1 4

−

−

- Invers matriks berordo tiga

Diketahui matriks

a b c

A d e f

g h i

=

. Invers matriks A adalah ( )

( )1 1,

detA Adj A

A

− = dan

( )det 0A

12

Contoh

Tentukan invers matriks

3 1 2

0 2 4

4 2 0

C

−

= − −

Penyelesaian

( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

3 1 2 3 1

det 0 2 4 0 2

4 2 0 4 2

3 2 0 1 4 4 2 0 2 4 2 2 2 4 3 0 0 1

0 16 0 16 24 0

16 8

8

C

− −

= −

− −

= − + − + − − + − − − +

= − + − − +

= − +

= −

( )

( )( )( )( ) ( )

( )

2 4 1 2 1 2

2 0 2 0 2 4

0 4 3 2 3 2

4 0 4 0 0 4

0 2 3 1 3 1

4 2 4 2 0 2

0 8 0 4 4 4

0 16 0 8 12 0

0 8 6 4 6 0

8 4 8

16 8 12

8 2 6

Adj C

− −

− − − − − − = − −

−

− − − − −

− − − − − −

= − − − − − − − − − − −

− − −

= − − − − − −

13

( )( )1 1

det

11 1

28 4 81 3

16 8 12 2 18 2

8 2 61 3

14 4

C Adj CC

− =

− − − = − − − = − − − −

Latihan Soal

Tentukan invers dari matriks

1 0 1

2 3 3

6 4 4

− −

- Menyelesaikan Persamaan Matriks dengan Matriks Invers

Misalkan diketahui persamaan matriks AX=B dengan matriks A adalah matriks persegi

yang memiliki invers maka matriks X dapat ditentukan dengan mengalikan kedua ruas

dari sebelah kiri dengan 1A−

AX=B

1A− AX= 1A− B

IX= 1A− B

X = 1A− B

Misalkan diketahui persamaan matriks XA=B dengan matriks A adalah matriks

nonsingular maka matriks X dapat ditentukan dengan mengalikan kedua ruas dari

sebelah kanan dengan 1A−

XA = B

XA 1A− =B 1A−

XI= B 1A−

X= B 1A−

14

Contoh

Tentukan matriks X dari persamaan matriks berikut

a. 2 3 4 0

3 5 1 2X

− − =

−

b. 2 1 1 1 0

3 1 2 3 5X

− =

− − −

Penyelesaian

a. Berdasarkan 2 3 4 0

3 5 1 2X

− − =

− diperoleh persamaan AX =B sehingga X =A-1B

1

5 3 4 01

3 2 1 210 9

20 3 0 61

12 2 0 4

17 6 17 61

10 4 10 4

X A B−=

=

− − −− +

− + = −

− + −

− − = − =

− −

b. Berdasarkan 2 1 1 1 0

3 1 2 3 5X

− =

− − − diperoleh persamaan XA =B sehingga

X = B A-1

1

1 1 0 1 11

2 3 5 3 22 3

1 1 0 1 1

2 3 5 3 2

X BA

X

−=

− =

− − −− +

− =

− − −

Tidak bisa dikalikan karena banyak kolom pada matriks pertama tidak sama dengan banyak baris pada matriks kedua

15

Latihan Soal

Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan

a. 2 1 7

4 3 1X

− − =

−

b.

1 3 01 4 5

5 2 12 6 3

1 6 3

X

− −

− = −

Materi 4 : Rangkuman

1. Determinan matriks berordo dua ( )deta b

A ad bcc d

= = −

2. Determinan matriks berordo tiga bisa menggunakan aturan sarrus atau ekspansi baris atau kolom

3. Invers matriks berordo dua

( )( )

( )

1 1 1

det

det 0

d bA Adj A

c aA ad bc

A

−−

= = −−

4. Invers matriks ordo tiga ( )

( )1 1,

detA Adj A

A

− = dan ( )det 0A

5. Persamaan matriks dengan invers matriks

a. 1AX B X A B−= =

b. 1XA B X BA−= =

16

Tes Formatif Kegiatan Belajar 3

1. Jika matriks

2 1 4

3 2 0

5 1 4

A

− −

= − −

, det (A) = ….

A. – 24

B. 0

C. 24

D. 48

E. 56

2. Jika matriks 3 1

11 4P

− =

− , invers matriks A adalah ….

A. 4 1

11 3

−

B. 4 1

11 3

−

−

C. 4 11

11 323

−

−

D. 3 1

11 4

− −

E. 4 1

11 3

− −

17

3. Diketahui matriks 2 3 0 5

, dan1 1 10 5

A B XA B− − −

= = = − −

. Maka matriks X adalah

….

A. 6 10

20 5

− −

B. 6 2

4 1

− −

C. 6 2

4 3

− −

D. 1 2

1 8

−

E. 1 2

3 4

−

4. Nilai , , dana b c d berturut-turut memenuhi persamaan

2 1 3 6

3 1 1 2

a b

c d

− − =

− − adalah ….

A. 1, 3, 9, dan 15

B. –1, 1, 3, dan 2

C. –1, 1, 2, dan 3

D. –1, –1, 2, dan 3

E. –15, –9, 5, dan 3

DAFTAR PUSTAKA

❖ Kasmina dan Toali, 2018.Matematika 1 untuk SMK/MAK Kelas X. Jakarta : Erlangga

❖ m4th-lab, "Matriks Matematika Wajib Kelas 11 Bagian 3 - Determinan Matriks Ordo 2x2 dan

3x3 dengan cara Sarrus," [Online]. Available:

https://www.youtube.com/watch?v=0Ipy1aKNZa8. [Accessed 2020].