Kombinasi, Permutasi dan Peluang

Anggota Kelompok : Khafifa (06081281520074) Amy Arimbi (06081381520036) Kori Auga Islamirta (06081381520048)

Kombinasi Permutasi Peluang

Kombinasi

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak

memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu

himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya

dengan untuk k ≤ n. Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari

himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n

yang nCk, Ckn, atau C (n,k) dengan rumus : 𝐶 𝑛, 𝑘 =

𝑛!

𝑛−𝑘 !𝑘!

Contoh

Diketahui himpunan A = x x ≤ 5, x ∈ c

Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2

unsur!

Jawab :

A = x x ≤ 5, x ∈ c = 0,1,2,3,4,5

n (A) = 6

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2)

𝐶 6,2 =6!

6−2 !2!= 15

Permutasi

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan

tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga AB≠BA. Permutasi k unsur dari n unsur k ≤ n, adalah semua urutan

yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n

unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur

ditulis nPk, Pkn, atau P (n,k). Nilai dari 𝑃 𝑛, 𝑘 =

𝑛!

𝑛−𝑘 !

.Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !

Contoh

Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi

sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak

cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan

cara yang berbeda?

Jawab :

Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja

makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak

permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

(n-1) ! = (6-1) ! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Peluang

Peluang Matematika

Definisi dan Istilah dalam

Peluang

Definisi dan istilah dalam Peluang

Mengundi dengan sebuah mata uang logam atau sebuah dadu,

mencatat banyak kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap jam

dan masih banyak contoh lainnya lagi, merupakan eksperimen yang

dapat diulangi. Dari eksperimen demikian semua hasil yang mungkin

terjadi bisa dicatat. Segala bagian yang mungkin didapat dari hasil

ini dinamakan peristiwa.

Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin

mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus

atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu

kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Peluang Suatu Kejadian

Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing

berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k

hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A )

ditentukan dengan rumus : P 𝐴 =𝑘

𝑛.

Contoh : Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang

percobaan kejadian muncul bilangan genap!

Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6, Misalkan A adalah kejadian

muncul bilangan genap, maka: A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

P 𝐴 =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)=

3

6=

1

2

Kisaran Nilai Peluang Matematika

Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan

n ( S ) = n, n ( A ) = k dan 0 ≤ k ≤ n ⟺ 0 ≤k

n≤ 1,

maka 0 ≤ P A ≤ 1. Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada

interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol

dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1

dinamakan kejadian pasti.

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P(A),

maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh : Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari

munculnya mata dadu 1?

Jawab : Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.

Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka: A = { 1 } dan n ( A )

sehingga : P 𝐴 =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)=

1

6Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

n x P( A ) = 720×1

6= 120 kali.

Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian

pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen

kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

P AC =n − k

n= 1 −

k

n= 1 − P A ⟺ P(A) + P AC = 1

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang

hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk

Gabungan Dua Kejadian

Kejadian-kejadian

Saling Lepas

Kejadian Bersyarat

Gabungan Dua Kejadian

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :

P A ∪ B = P A + P B − P A ∩ B

Catatan : P A ∪ B dibaca “ Kejadian A

atau B dan P A ∩ B dibaca “Kejadian A

dan B”

Contoh : Pada pelemparan sebuah dadu,

A adalah kejadian munculnya bilangan

komposit dan B adalah kejadian muncul

bilangan genap. Carilah peluang

kejadian A atau B!

Jawab :

Kejadian-Kejadian Saling Lepas

Untuk setiap kejadian berlaku P A ∪ B = P A + P B − P A ∩ B . Jika

A ∩ B = ∅,maka P A ∩ B = 0. Sehingga P A ∪ B = P A + P B .

Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

Kejadian Bersyarat

Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai

peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika P A ∩ B adalah

peluang terjadinya A dan B, maka P A ∩ B = P(B) × P A B . Dalam

kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.