matematika iii - kapita selekta matematika · pdf file8/3/2013 1 1 sudaryatno sudirham kapita...
TRANSCRIPT
8/3/2013
1
1
Sudaryatno Sudirham
Kapita Selekta MatematikaMatriks
Sistem Persamaan LinierBilangan Kompleks
Permutasi dan KombinasiAritmatika Interval
Matriks
2
Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.
Contoh:
123
421
302
baris
kolomNama matriks: huruf besar cetak tebal,
=123
421
302
A
=
203
142B
Contoh:
Notasi:
Bilangan ini bisa berupabilangan nyata atau kompleks.
Kita akan melihat matriksberisi bilangan nyata.
3
Elemen Matriks
Isi suatu matriks disebut elemen matriks
Contoh:
=
203
142B
2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenenmatriks yang membentuk baris
2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemenmatriks yang membentuk kolom
Ukuran Matriks
Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×k elemen-elemen
Ukuran matriks dinyatakan sebagai b×k
Contoh:
=
203
142B adalah matriks berukuran 2×3
4
=123
421
302
A
b = k = 3 matriks bujur sangkar 3×3
Nama Khusus
Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar .
Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom .
Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris .
Matriks dengan b ≠ k disebut matrik segi panjang
Contoh:
=
203
142B
b = 2, k = 3 matriks segi panjang 2×3
=
4
2p k = 1
vektor kolom [ ]423=q b = 1 vektor baris
Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal
5
Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai
[ ]bk
mnmm
n
n
a
aaa
aaa
aaa
=
=
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
A
elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama
Diagonal Utama
6
8/3/2013
2
Matriks Segitiga
Contoh:
Matriks segitiga bawah :
−=343
011
002
1T
Matriks segitiga atas :
−=
300
310
122
2T
Ada dua macam matriks segitiga yaitu
matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas
Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
7
Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh:
=000
010
002
D
8
Matriks Satuan
Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemenyang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.
Contoh:
IA =
=100
010
001
Matriks NolMatriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n dengan semua elemennya bernilai nol.
9
Anak matriks atau sub-matriks
=
203
142B
[ ]142 [ ]203- Dua anak matriks 1× 3 , yaitu:
3
2
0
4
2
1- Tiga anak matriks 2× 1, yaitu:
- Enam anak matriks 1× 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];
- Enam anak matriks 1× 2 yaitu: [ ]42 [ ]12 [ ]14
[ ]03 [ ]23 [ ]20
03
42
23
12
20
14- Tiga anak matriks 2×2 yaitu:
Contoh:
Matriks B memiliki:
10
Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor
=123
421
302
A
=
3
2
1
a
a
a
Adapat kita pandang sebagai matriks
dengan anak-anak matriks berupa vektor baris
[ ]3021 =a [ ]4212 =a [ ]1233 =a
dapat kita pandang sebagai matriks [ ]321 aaaA =
=3
1
2
1a
=2
2
0
2a
=1
4
3
3a
dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom
Contoh:
Contoh yang lain:
=123
421
302
A
11
Kesamaan Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.
A = B
=
03
42AJika
=
03
42Bmaka haruslah .
Contoh:
12
8/3/2013
3
Matriks Negatif
Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). .
Contoh:
=
03
42A
−−−
=−03
42A
13
PenjumlahanPenjumlahan dua matriks hanya didefinisikan
untuk matriks yang berukuran sama
Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang elemen-
elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama
ABBA +=+
( ) ( )CBACBA ++=++
=
03
42 A
=
22
31B
Jika
=+
25
73BAmaka
Sifat-sifat penjumlahan matriks:
Contoh:
14
Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks dapat dipandang sebagaipenjumlahan dengan matriks negatif
A0A =+
0AAAA =−+=− )(
=
03
42 A
=
22
31B
−=
−−−−
+
=−
21
11
22
31
03
42BA
Contoh:
15
Perkalian Matriks
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
A
BAAB ≠
16
=
pqmp
q
q
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
B
Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran p×q
maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p.
Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×q dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor
baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B
Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.
Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.
Perkalian matriks tidak komutatif .
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar
Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks b erukuran m××××nadalah matriks berukuran m××××n yang seluruh elemennya bernilai a kali.
aA = Aa
=×
=
×646
462
244
2
323
231
122
323
231
122
2
Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut
( ) BABA aaa +=+
( ) AAA baba +=+
[ ] ( )AA abba =
Contoh:
17
Perkalian Internal Vektor (dot product)
[ ]32=a
=
3
4bvektor baris: vektor kolom:
.
Contoh:
2 kolom
2 baris
Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris
vektor b.
Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan .
[ ] [ ] [ ]1733423
4 32 =×+×=
=•= bac
Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukantetapi memberikan hasil yang berbeda
[ ]
=
××××
=
=•=
96
128
3323
342432
3
4abd
perkalian internal dapat dilakukan
Perkalian matriks tidak komutatif.18
8/3/2013
4
Perkalian Matriks Dengan Vektor
=
43
12A
=
3
2bMisalkan dan
dapat dikalikan2 kolom
2 baris
=
×+××+×
=
••
=
==
18
7
3423
3122
2
1
2
1
ba
bab
a
aAbC
Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukankarena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.
Contoh:
19
Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar
=
43
12A
=
35
24Bdan
Contoh:
dapat dikalikankolom = 2
baris = 2
Matriks A kita pandang sebagai
=
2
1
a
aA
Matriks B kita pandang sebagai [ ]21 bbB =
[ ]
=
×+××+××+××+×
=
••••
=
==
1832
713
34235443
31225142
2212
211121
2
1
baba
bababb
a
aABC
20
Perkalian dua matriks persegi panjang
=
231
342A
=32
34
21
Bdan
dapat dikalikankolom = 3
baris = 3
=
×+×+××+×+××+×+××+×+×
=
==
1717
2525
323321224311
333422234412
32
34
21
231
342ABC
Contoh:
21
=
2
1
a
aA [ ]21 bbB =
[ ]
••••
=
==
2212
211121
2
1 baba
bababb
a
aABC
Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah
,
sehingga
.
Dalam operasi perkalian matriks:
matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris
matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom
Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom
22
( ) ( ) ( )BAABBA aaa ==
( ) ( )CABBCA =
( ) BCACCBA +=+
( ) CBCABAC +=+
Sifat-sifat perkalian matriks
b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA
a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan
Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.
c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.
23
Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×nadalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-
kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT
[ ]bk
mnmm
n
n
a
aaa
aaa
aaa
=
=
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
A
[ ]pq
mnnn
m
m
a
aaa
aaa
aaa
=
=
L
LLLL
L
L
21
22212
12111
TA
Jika
maka
24
8/3/2013
5
Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom.
Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.
[ ]
=⇒=3
4
2
342 Taa
[ ]345
3
4
5T =⇒
= bb
Contoh:
25
Putaran Jumlah Dua Vektor Baris
Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor
[ ] [ ]231dan 342 == ba
[ ]573=+ ba
( ) TTT
2
3
1
3
4
2
5
7
3
baba +=
+
=
=+
( ) TTT baba +=+
Jika
maka
Secara umum :
Contoh:
26
Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali p utaran
masing-masing dengan urutan dibalik
[ ]
==2
3
1
dan 342 ba
[ ]233412 ×+×+×=ab
Jika
maka
Contoh:
[ ] [ ] TTT
3
4
2
231233412 abab =
=×+×+×=
27
Contoh:
Jika [ ]231dan
3
4
2
=
= ba
maka
×××××××××
=233313
243414
223212
ab
( ) [ ] TTT 342
2
3
1
232422
333432
131412
abab =
=
×××××××××
=
Secara umum : ( ) TTT abab =
28
Contoh:
Putaran Matriks Persegi Panjang
=
231
342A
=23
34
12TAJika maka
=
ma
a
A L
1
[ ]TT1
TmaaA L=
Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris
maka
[ ]maaaA L21=Jika matriks Adinyatakan dengan vektor kolom
=
ma
a
A L
1Tmaka
29
Putaran Jumlah Matriks
Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putar an masing-masing matriks.
Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.
( ) TTT BABA +=+
[ ]maaA L1= [ ]mbbB L1=
[ ]mm babaBA ++=+ L11
Jika
Dengan demikian
dan
maka
( )( )
( )TT
T
T1
T
T1
TT
T1
T1
T
T11
T BA
b
b
a
a
ba
ba
ba
ba
BA +=
+
=
+
+=
+
+=+
mmmmmm
LLLL
30
8/3/2013
6
Putaran Hasil Kali Matriks
Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kal i putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini t elah kita lihat
pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kol om.
( ) TTT ABAB =
=
ma
a
A L
1
[ ]nbbB L1=
••
••=
nmnm
n
baba
baba
AB
L
LLL
L 111
Jika dan
maka
[ ] TT1
1111T ABaa
b
b
baba
baba
AB =
=
••
••= m
nnmnm
n
LL
L
LLL
L
Dengan demikian maka
31
Matriks Simetris
Jika
dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring.
BB −=T
Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila
AA =T
Karena dalam setiap putaran matriks nilaielemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika
elemen diagonal utamanya bernilai nol.
Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata.
32
Sistem Persamaan Linier
33
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui.
Bentuk umum:
mnmnm
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxa
=++
=++=++
L
L
L
11
22121
11111
. . . . . . . . . . .
Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn.
Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen
34
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?
35
Operasi Baris
mnmnm
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxa
=++
=++=++
L
L
L
11
22121
11111
. . . . . . . . . . .
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
36
8/3/2013
7
Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
=
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
LL
L
LLLL
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks
atau secara singkat bAx =
=
=
=
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
LL
L
LLLL
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
; ; bxA
dengan
37
Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi
=
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
|
|
|
|
~
21
222221
111211
L
LLLLL
L
L
A
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut
a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.
b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.
c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
38
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.
Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir
inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan
asalnya.
Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
39
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
Suatu sistem persamaan linier:
Contoh:
0234
8253
024
8
=+−+−=−+−
=−+−=−
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:
=
−−−−
−−−
0
8
0
8
2341
2531
0241
0011
D
C
B
A
x
x
x
x
40
Matriks gandengnyaadalah:
−−−−
−−−
0|2341
8|2531
0|0241
8|0011
Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.
1) baris (
1) baris (
baris1) (
pivot
8|2330
0|2520
8|0230
8|0011
+−+
−−−
−−
Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
41
Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
8|2330
0|2520
8|0230
8|0011
−−−
−−
2) (-baris
2) baris 2/3(
(pivot)
0|2100
3/16|23/4500
8|0230
8|0011
+
−−−
−−
42
8/3/2013
8
Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperolehbilangan bulat
0|2100
3/16|23/4500
8|0230
8|0011
−−−
−−
0|2100
16|61100
8|0230
8|0011
−−
−−
43
0|2100
16|61100
8|0230
8|0011
−−
−−
Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
3 baris 11
pivot
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
+×
−−
−
44
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:
1616
16611
823
8
==−
=−=−
D
DC
CB
BA
x
xx
xx
xxyang dengan substitusi mundur akan memberikan:
12 ; 4 ; 2 ; 1 ==== ABCD xxxx
Hasil terakhirlangkah ketigaadalah:
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
−−
−
Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:
=
−−
−
16
16
8
8
16000
61100
0230
0011
D
C
B
A
x
x
x
x
45
Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu
Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.
Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyakdengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.
Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.
Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.
Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.
46
Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi
823
024
8
−=+−=−+−
=−
CB
CBA
BA
xx
xxx
xx
Matriks gandeng:
−−−−
−
8|230
0|241
8|011
Eliminasi Gauss:
−−−
−
8|230
8|230
8|011
−−
0|000
8|230
8|011
Contoh:
47
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
00
823
8
==−
=−
CB
BA
xx
xx
3/)28( CB xx +=Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan
3/)28(8 CA xx ++=yang kemudian memberikan
Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu
48
8/3/2013
9
Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi
1023
024
8
−=+−=−+−
=−
CB
CBA
BA
xx
xxx
xx
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan
−−−−
−
10|230
0|241
8|011
−−−
−
10|230
8|230
8|011
−−
−
2|000
8|230
8|011
Contoh:
49
Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah
20
823
8
−==−
=−
CB
BA
xx
xx
Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris
terakhir.
Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.
50
Bentuk Eselon
Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.
−−
000
230
011
−−
−
2|000
8|230
8|011
dan
Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah
′′
′
+
m
r
rrnrr
n
n
b
b
bkk
bcc
baaa
|0
|
|0
|
|
|0
|
1
2222
111211
M
L
M
LLL
LLL
Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah
51
dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk
m
r
rnrnrrr
nn
nn
b
b
bxkxk
bxaxc
bxaxaxa
′=
′=′=++
′=++=+++
+
0
0
1
22222
11212111
M
L
M
LLLL
LLLL
dengan 0 , 0 ,0 2211 ≠≠≠ rrkaa , dan r ≤ n
a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.
b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.
c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.
nr = mr bb ′′+ ,,1 K
nr < mr bb ′′+ ,,1 K
nr = nr < mr bb ′′+ ,,1 K
Perhatikan bentuk ini:
52
Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika
sama dengan nol atau tidak ada.
mr bb ′′+ ,,1 K
Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika .nr =
Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng.
Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.
nr <Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.
53
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor
Misalkan maaa , , 21 L
adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk].
Kita tinjau suatu persamaan vektor
02211 =+++ mmccc aaa L
Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1 … cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah
bebas linier.
Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu
tidak bebas linier.
54
8/3/2013
10
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam
kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk
dapat dipenuhi.
Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai
01
21
21 =−−−= m
m
c
c
c
caaa L
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol
Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak
bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain.
55
Contoh: Dua vektor baris [ ]21321 =a [ ]26242 =adan
Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena
[ ] [ ] 026242132 212211 =+=+ cccc aa
hanya akan terjadi jika 021 == cc
Ambil vektor ketiga [ ]42643 =a
Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3
sebagai [ ] [ ]4264213222 13 === aa
Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai
[ ] [ ] [ ]42642624 02132 202 213 =+=+= aaa
Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.
56
Rank MatriksDengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks.
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A.
Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.
Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks
baru sama dengan rank matriks asalnya.
Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir
eliminasi Gauss.
Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas
linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.
Bagaimana menentukan rank suatu matriks?
57
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah
−−
−
16000
61100
0230
0011
−−
−
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan
banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4
Contoh:
58
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah
Contoh:
−−
000
230
011
−−
0|000
8|230
8|011dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rankmatriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih
kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
59
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah
−−
000
230
011
−−
−
2|000
8|230
8|011dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak
adanya solusi.
60
8/3/2013
11
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.
c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.
a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rankmatriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya;
b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rankmatriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;
61
Sistem Persamaan Homogen
Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk
0
. . . . . . . . . . .
0
0
2211
2222121
1212111
=+++
=+++=+++
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
L
L
L
Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah
=
0|
|
0|
0|
~
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
LLLLL
L
L
A
62
Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan
′
′′′′′
=′
0|000
|
0|0
0|
~ 222
11211
mn
n
n
a
aa
aaa
LLLLL
L
L
A
Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan
berbentuk
0
0
0
2222
1212111
=′
=′++′=′++′+′
nmn
nn
nn
xa
xaxa
xaxaxa
M
L
L
Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .
0=nx
nr <
63
Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial
0234
0253
024
0
=+−+−=−+−
=−+−=−
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah
−−−−
−−−
0|2341
0|2531
0|0241
0|0011
−−
−
0|16000
0|61100
0|0230
0|0011
Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi
016
0611
023
0
==−
=−=−
D
DC
CB
BA
x
xx
xx
xx0==== ABCD xxxxyang akhirnya memberikan
Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan nr =
Contoh:
64
Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial
06134
0253
024
0
=+−+−=−+−
=−+−=−
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah
Contoh:
−−−−
−−−
0|61341
0|2531
0|0241
0|0011
−−
−
0|0000
0|61100
0|0230
0|0011
eliminasi Gauss:
Sistem persamaan menjadi
00
0611
023
0
==−
=−=−
DC
CB
BA
xx
xx
xx
65
1=Dx
33
12 ;
33
12 ;
11
6 === ABC xxx
Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh
.
Solusi ini membentuk vektor solusi
=
1
11/6
33/12
3312
1
/
x
yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan menghasilkan vektor nol b = 0
=
−−
−
=
0
0
0
0
1
6/11
12/33
12/33
0000
61100
0230
0011
1Ax
66
8/3/2013
12
Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya akan diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu
33=Dx
12 33
33
18
12
12
xx =
=
Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol
Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk
1xx cc =
dengan c adalah skalar sembarang
67
Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1 dan x2.
111213 3433
33
18
12
12
1
11/6
33/12
33/12
xxxxxx =+=
+
=+=
Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai
∑= cj xx
68
Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n − r), yaitu selisih antara
banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya
unsur yang tak diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2.
Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat
diperoleh melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.
Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu.
Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x1 .
69
Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2
04107
0254
0254
0
=+−+−=−+−
=+−+−=−
DCBA
DCBA
DCBA
BA
xxxx
xxxx
xxxx
xxContoh:
Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah
−−−−
−−−
0|41071
0|2541
0|2541
0|0011
−−
0|0000
0|0000
0|2530
0|0011
Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi
00
00
0253
0
==
=+−=−
DCB
BA
xxx
xx
70
0dan 1 == DC xx
5/3 ; 3/5 == AB xx
Jika kita memberi nilai
kita akan mendapatkan
.
=
0
1
3/5
3/5
1x adalah salah satu vektor solusi
Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor 0b =
=
+−+−
=
−−
=
0
0
0
0
0
0
0550
3/53/5
0
1
3/5
3/5
0000
0000
2530
0011
1Ax
71
Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan
0xA =11k 0xA =12k
,
dan 0)( 111211211 ==+=+ xAxAxAxA ckkkk
Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka
)( , , 12111211 xxxx kkkk +
adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai .0dan 1 == DC xx
72
8/3/2013
13
1dan 0 == DC xx 3/2−=Bx
3/2−=Ax
Jika akan kita peroleh
dan yang membentuk vektor solusi
−−
=
1
0
3/2
3/2
2x
Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti
)( , , 22212221 xxxx llll +
Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah
21 xxx lk +=
Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.
73
Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen
dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien rakan membentuk ruang vektor berdimensi (n − r).
74
Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan
Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian
pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n × n.
Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan
matriks identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A−1
sehingga definisi ini memberikan relasi
11 −− == AAIAA
Jika A berukuran n × n maka A−1 juga berukuran n × n dan demikian pula matriks identitasnya.
75
Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks
adalah unik atau bersifat tunggal.
Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PAdan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin
terjadi jika P = Q.
QQIAPQQAPPAQIPP ====== )()(
Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak singulardan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.
76
Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien
A ada, atau jika matriks A tak singular.
Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana mencari
kebalikan matriks A jika ia tak singular.
Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak
homogen, yaitu
bAx =
Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh
bAxIxbAAxA 111 −−− ==→=
77
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar n × n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa
vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A−1 sama dengan n. Dengan perkataan lain
matriks A yang berukuran n × n tak singular jika rank A = n
dan akan singular jika rank A < n.
Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b.
IAX =
Jika X adalah kebalikan matriks A maka
78
8/3/2013
14
[ ]IAA =~
[ ]HU
[ ]HU
[ ]XI
Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan
A~
Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada
matriks gandengan ini berubah menjadi
dengan U berbentuk matriks segitiga atas.
yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada Usehingga U berbentuk matriks identitas I.
Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada
Langkah akhir ini akan menghasilkan
79
Contoh: Kita akan mencari kebalikan dari matriks
−−=
142
223
221
A
Kita bentuk matriks gandengan [ ]IA
[ ]
−−=
100|142
010|223
001|221
IA
Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini
1 baris 2
1 baris3
pivot
102|580
013|480
001|221
×+×−
−−−
80
2 baris
pivot
111|100
013|480
001|221
+
−−−−
Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan
)8/1(
111|100
08/18/3|2/110
001|221
−×
−−
baris35.0
3 baris2
111|100
2/18/58/7|010
223|021
×−×−
−−−−−
2 baris2
111|100
2/18/58/7|010
18/68/10|001 ×−
−−−
−−
81
Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu
−−−
−−=−
111
2/18/58/7
18/68/101A
Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya
=
−−
0
0
8
142
223
221
3
2
1
x
x
x
vektor solusinya adalah
−=
−−−
−−=
−−=
−
8
7
10
0
0
8
111
2/18/58/7
18/68/10
0
0
8
142
223
221
1
3
2
1
x
x
x
82
Kebalikan Matriks Diagonal
Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.
=
−
nnnn a
a
a
a
/100
00
00/1
00
00
00 111
11
LL
Kebalikan Dari Kebalikan Matriks
Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.
( ) AA =−− 11
83
Kebalikan Dari Perkalian Matriks
Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.
( ) 111 −−− = ABAB
Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut
( )( ) 1−= ABABI
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) 111111
11
111111
−−−−−−
−−
−−−−−−
===
=
===
ABABIABBBAB
ABBA
ABIBABBAAABABAIA
84
8/3/2013
15
Bilangan Kompleks
85
Definisi
Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan komplekssebagai berikut
Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan
),( yxz =
yzxz == Im Re
Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata.
kita tuliskan
bagian nyata (real part) dari z
bagian khayal (imaginary part) dari z
86
Bilangan Nyata
Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata
yang hanya dapat di angankan seperti π. Walaupun hanya dapatdiangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan
angka desimal yang tak diketahui ujungnya.
Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatusumbu yang disebut sumbu nyata,
| | | | | | | |
-2 -1 0 1 2 3 4 5
m
87
Tinjaulah suatu fungsi xy =
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
x
tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif
namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatubilangan imajiner (khayal)
j=−1
88
89
Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata, misalnya
seterusnya dan 11010
155
×=×=
maka bilangan imajiner j = √−1 menjadi satuan daribilangan imajiner, misalnya
seterusnya dan 99 imajiner
3 3 imajiner
2 2 imajiner
j
j
j
===
Pernyataan Bilangan Kompleks
Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyatadan komponen imajiner dan dituliskan
jbaz +=
bagian nyata
bagian imajinerbilangan kompleks
90
8/3/2013
16
Bilangan kompleks dapat digambarkan di bidang kompleks
yang dibatasi olehsumbu nyata (diberi tanda Re) dansumbu imajiner (diberi tanda Im)
yang saling tegaklurus satu sama lain
setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks(x,,y)
dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya
91 92
ρ
a Re
Im
jb
θ
cosθρ=a
θρ= sinb
)sin(cos θ+θρ= jz
disebut argumen
disebut modulus
=θ= −a
bz 1tan arg
22 modulus baz +=ρ=
)sin(cos22 θ+θ+= jbaz
• jbaz +=
Diagram Argand
CONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
431 jz +=
Sudut dengan sumbu nyata adalah
o11 1,53)3/4(tan ≈=θ −
Pernyataan z1 dapat kita tuliskan
( )( )oo
oo221
1,53sin1,53cos5
1,53sin1,53cos43
j
jz
+=
++=
93
CONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
( )oo2 20sin20cos10 jz +=
Pernyataan ini dapat kita tuliskan
( )4,34,9)34,094,0(10
20sin20cos10 oo2
jj
jz
+=+≈+=
94
Kesamaan Bilangan Kompleks
22 ba +=ρ merupakan nilai mutlakModulus
Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang sama akan tetapi dengan sudut θ yang berbeda; atau sebaliknyamempunyai nilai θ sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda.
Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika merekamempunyai baik ρ maupun θ yang sama besar.
Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagianimajiner yang sama besar..
95
Negatif dari Bilangan Kompleks
Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalahnilai negative dari kedua komponennya
jbaz += jbaz −−=−Jika maka
jbaz +=•
Re
Im
a
jb
jbaz −−=−
θo180+θ
ρ
ρ
•
96
8/3/2013
17
CONTOH
o11 3,56)4/6(tan ==θ −
ooo2 3,2361803,56 =+=θ
Sudut dengan sumbu nyata
z1 dapat dinyatakan sebagai
( )( )oo
oo221
3,56sin3,56cos2,7
3,56sin3,56cos64
j
jz
+=
++=
( )( ) 696,383,055,02,7
)1803,56sin()1803,56cos(2,7 oooo1
jj
jz
−−=−−=+++=−
641 jz +=Jika 6412 jzz −−=−=maka
97
Konjugat Bilangan Kompleks
Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z*
yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponenimajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.
jbazjbaz −=+= ∗ maka Jika
jbaz +=•
Re
Im
ρ
θ
θ−
jb
jb−
a
jbaz −=• ∗
98
CONTOH:
65 jz +=Jika 65 jz −=∗maka
Sudut dengan sumbu nyata
o1 2,50)5/6(tan ==θ −
o2,50−=θ∗
z dapat dinyatakan sebagai
( )( )oo
oo22
2,50sin2,50cos8,7
2,50sin2,50cos65
j
jz
+=
++=
( )oo 2,50sin2,50cos8,7 jz −=∗
65* jz −=•
Re
Im
65 jz +=•
99
CONTOH:
65 jz −−=Jika 65 jz +−=∗maka
•−−= 65 jz
Re
Im
•+−=∗ 65 jz
65 jz −=Jika 65 jz +=∗maka
65 jz −=•
Re
Im
65 jz +=• ∗
100
Operasi-Operasi Aljabar
101
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks
Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangankompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyatadan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.
Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan
komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.
)()(
)()(
2121
221121
bbjaa
jbajbazz
+++=+++=+
)()(
)()(
2121
221121
bbjaa
jbajbazz
−+−=+−+=−
102
8/3/2013
18
CONTOH:
43dan 32 21 jsjs +=+=
75
)43()32(21
j
jjss
+=+++=+
11
)43()32(21
j
jjss
−−=+−+=−
Diketahui
103
Perkalian Bilangan Kompleks
212121
21212121
221121
2
))(())((
bbajbaa
bbajbajbaa
jbajbazz
−+=−++=
++=
Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kitamelakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukanperkalian komponen per komponen
22
2211
))((
ba
bjbajbaa
jbajbazz
+=
++−=
−+=× ∗
∗= 12 zzJika
Perhatikan:
( ) 222
22
22111
baba
jbazzz
+=+=
+==× ∗
104
CONTOH: 43dan 32 21 jzjz +=+=
176
12986
)43)(32())(( 21
j
jj
jjzz
+−=−++=
++=
CONTOH: 32dan 32 121 jzzjz −==+= ∗
1394
9664
)32)(32())(( 11
=+=++−=
−+=∗
jj
jjzz
( ) 1394322
222111 =+=+==∗ zzz
105
Pembagian Bilangan Kompleks
Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jikapembagian itu dikalikan dengan 1
122
22 =−−
jba
jba
CONTOH: 43dan 32 21 jzjz +=+=
25
1
25
18
43
)98()126(
43
43
43
3222
2
1 jj
j
j
j
j
z
z+=
+
+−++=−−×
++=
22
22
12212121
22
22
22
11
2
1
)()(
ba
ababjbbaa
jba
jba
jba
jba
z
z
+−++=
−−×
++=
106
Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar
107
Fungsi Eksponensial Kompleks
Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial
xey =
merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata
Jika z adalah bilangan kompleks θ+σ= jz
fungsi eksponensial kompleks didefinisikan
riil̀ aleksponensi fungsiadalah dengan
; )sin(cos)(
σ
σθ+σ θ+θ==
e
jeee jz
Melalui identitas Euler θ+θ=θ sincos je j
fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan
θσ= jz eee
108
8/3/2013
19
Bentuk Polar
Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah
θρ= jez
θ=∠= zzarg
Re
Im
•
θ
ρθρ= jez
CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5
Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya ∠z = 0,5 rad
Bentuk sudut sikunya adalah:
8,48,8)48,088,0( 10
)5,0sin5,0(cos 10
jj
jz
+=+=+=
Re
Im
5,05 jez =•
rad 5,010
109
CONTOH:
Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4
543 || 22 =+=ρ=zModulus
Argumen rad 93,03
4tan 1 ==θ=∠ −z
Representasi polar z = 5e j0,93
Re
Im
93,05 jez =•
rad 93,0
5
110
CONTOH:
Misalkan 02 jz +−=
Modulus 204 || =+=ρ=z
Argumen ( ) π±=−=θ − 2/0tan 1 tidak bernilai tunggal
Di sini kita harus memilih θ = π radkarena komponen imajiner 0
sedangkan komponen nyata −2
Re
Im
π= jez 2
2−•
111
CONTOH
Misalkan 20 jz −=
Modulus 240 || =+=ρ=z
Argumen ( ) 2/0/2tan 1 π−=−=θ −
komponen nyata: 0 komponen imajiner: −2
Representasi polar adalah
2/2 π−= jez
.
Re
Im
2/2 π−= jez2j− •
112
Manfaat Bentuk Polar
113
Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks
Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.
)(21
2121
21
21
))((θ+θ
θθ
ρρ=
ρρ=j
jj
e
eezz )(
2
1
2
1
2
1 21
2
1θ−θ
θ
θ
ρρ=
ρρ= j
j
j
ee
e
z
z
CONTOH:
Misalkan z1 = 10 e j0,5 dan z2 = 5 e j0,4
9,04,05,021 50510 jjj eeezz =×=
1,04,0
5,0
2
1 25
10 jj
je
e
e
z
z==
114
8/3/2013
20
Konjugat Kompleks
argumen konjugat berlawanan denganargumen bilangan kompleks asalnya
Re
Im θρ=• jez
θ−∗ ρ=• jez
θθ−
[ ] ( )( )
*
**
*
* atau ||*))((
2
1
2
1
2121
2
**
z
z
z
z
zzzz
ss|z|zzz
=
=
==
Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai berikut
115
CONTOH:
4,02
5,01 5dan 10 jj ezez ==
25
100 10 10
22
5,05,011
=
=×=∗
−∗
zz
eezz jj
[ ] [ ] [ ]9,04,05,0
9,09,04,05,021
505 10
0505 5 10jjj
jjjj
eee
eeeezz−−−
−∗∗∗
=×=
==×=
[ ]1,0
4,0
5,0
1,01,04,0
5,0
2
1
2 5
10
052 5
10
jj
j
jjj
j
ee
e
eee
e
z
z
−−
−
−∗∗∗
==
==
=
Misalkan
116
Permutasi dan Kombinasi
11
7
Permutasi
118
Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah terten tu komponenyang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dala m setiap
kelompok urutan komponen diperhatikan
Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan Bdan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya
terdiri dari 2 huruf
Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah
BA
AB
dan diperoleh 2 kelompok
Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempatiposisi pertama yaitu A atau B
Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satukemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B
Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satukemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A
119
Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan CKelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf ada lah:
ACB
ABC B
CA
BAC C
BA
CAB
diperoleh 6 kelompok
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamatinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamadan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua
maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempatiposisi terakhir yaitu posisi ketiga
Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah
6123 =××Jumlah kemungkinan
komponen yang menempati posisi pertama Jumlah kemungkinan
komponen yang menempati posisi kedua
Jumlah kemungkinankomponen yang
menempati posisi ketiga
120
8/3/2013
21
Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf
ada24 kelompok
Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1
ABCD BACD CDAB DABCABDC BADC CDBA DACBACBD BCAD CABD DBCAACDB BCDA CADB DBACADCB BDAC CBAD DCABADBC BDCA CBDA DCBA
jumlah kelompok yang mungkin dibentuk
4×3×2×1=24 kelompokyaitu:
121
Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangundari n komponen
yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah
!1.........)2()1( nnnn =××−×−×
Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n!dan kita tuliskan
!nPnn =Kita baca : n fakultet
Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkandengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,
tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masin g-masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n
kn P
Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan
122
Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah
123424 =×=P
Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatanpada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3.
Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.
Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan
1212
123424 =
××××=P
123
Secara Umum:
)!(
!
kn
nPkn −
=
Contoh:
30561234
123456
)!26(
!626 =×=
××××××××=
−=P
Contoh:
360345612
123456
)!46(
!646 =×××=
××××××=
−=P
124
Kombinasi
125
Kombinasi merupakan pengelompokansejumlah komponen yang mungkin dilakukan
tanpa mempedulikan urutannya
Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu
ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA
namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu
ABC
karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan
ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA
126
8/3/2013
22
Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n komponen haruslah sama dengan
jumlah permutasi nPkdibagi dengan permutasi k
Kombinasi k dari sejumlah n komponendituliskan sebagai nCk
Jadi! )!(
!
! kkn
n
k
PC kn
kn ×−==
127
Contoh:
Berapakah kombinasi dua-dua dari empat hurufA, B, C, dan D
61212
1234
!2)!24(
!4
!224
24 =××××××=
×−== P
C
yaitu:
Jawab:
AB
AC
AD
BC
BD
CD
128
Contoh Aplikasi
Distribusi Maxwell-Boltzman
Distribusi Fermi-Dirac
129
Distribusi Maxwell-Boltzman
Setiap tingkat energi dapat ditempati olehelektron mana saja
dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi
Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkatenergi yang diskrit; kita sebut
dst. 321 EEE
130
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harusterdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada
dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah
dst.
elektron terdapat di
elektron terdapat di
elektron terdapat di
33
22
11
nE
nE
nE
maka jumlah cara penempatan elektron di E1
merupakan permutasi n1 dari N yaitu
)!(
!
11 1 nN
NPP Nn −
==
131
Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari(N−n1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1
)!(
)!(
21
1)(2 12 nnN
nNPP nNn −−
−== −
)!(
)!(
321
21)(3 213 nnnN
nnNPP nnNn −−−
−−== −− dst.
Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari(N−n1−n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2
132
8/3/2013
23
Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 inisudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara
satu elektron dengan elektron yang lain
Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari Nyaitu
!)!(
!
!n
1111
1
nnN
NPC Nn
−==
Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.
!)!(
)!(
!)!(
221
1
21
)(2
12
nnnN
nN
nN-n
PC nNn
−−−== −
!)!(
)!(
!)!(
3321
21
3331
)(3
213
nnnnN
nnN
nnnnN
PC
nnNn
−−−−−=
−−−= −−
dst.
133
Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability
Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst.maka probabilitas tingkat-tingkat energi
dst.
elektron ditempati
elektron ditempati
elektron ditempati
33
22
11
nE
nE
nE
adalah
dst.
333
222
111
3
2
1
CgF
CgF
CgF
n
n
n
=
=
=
Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektronseperti di atas adalah:
!.....!!
............... ....
321
321321321321
321
321
nnn
gggCCCgggFFFF
nnnnnn ===
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-B oltzmann
134
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contohini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan inidi buku-e
“Mengenal Sifat Material”
135
TkEii
BiegZ
Nn /−=
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kitapada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann
Jumlah elektron padatingkat energi Ei
temperatur
konstanta Boltzmann
tingkat energi ke-i
probabilitas intrinksiktingkat energi ke-i
fungsi partisi
∑ β−=i
Ei
iegZ
136
Distribusi Fermi-Dirac
Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energiyang diskrit, misalnya kita sebut
dst. 321 EEE
Setiap tingkat energi mengandungsejumlah tertentu status kuantum
dan tidak lebih dari dua elektron beradapada status yang sama.
Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkatenergi menjadi probabilitas intrinksik tingkat
energi yang bersangkutan
Yang berarti menunjukkan jumlahelektron yang mungkin berada di suatu
tingkat energi
137
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harusterdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,
yaitu
dst.
elektron terdapat di
elektron terdapat di
elektron terdapat di
33
22
11
nE
nE
nE
138
8/3/2013
24
Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektr on adalah:
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dir ac namun kita tidakmembicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tida k menyangkut
permutasi dan kombinasi
Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkatE1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst
!)!(
!
111 nnN
NC
−=
!)!(
)!(
221
12 nnnN
nNC
−−−=
!)!(
)!(
3321
213 nnnnN
nnNC
−−−−−= dst.
Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untukmenempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi
)!(!
!
111
11 ngn
gF
−=
!)!(
!
222
22 nng
gF
−=
!)!(
!
333
33 nng
gF
−= dst.
∏ −==
i iii
ii ngn
gFFFFF
)!(!
!...321
139
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contohini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutanini di buku-e
“Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga
140
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kitapada formulasi distribusi Fermi Dirac
1/)( +=
− TkEEi
iBFie
gn
Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T →→→→ 0
0)(untuk
0)(untuk 0lim /)(
0
>−∞=
<−=−→
Fi
FiTkEE
T
EE
EEe BFi
Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkatenergi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat
elektron di atas EF
EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi.
141
Aritmatika Interval
142
Pengantar
Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval.
Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasiinterval.
143
Cakupan Bahasan
� Pengertian-Pengertian Interval
� Operasi-Operasi Aritmatika Interval
� Sifat-Sifat Aritmatika Interval
144
8/3/2013
25
Pengertian-Pengertian Interval
145
Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan
Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup *)
*) Lihat pula “Fungsi dan Grafik”
Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan
Contoh:Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri
(interval tertutup).
146
Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai
)}(:{ xpxS =
menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk
menentukan apakah x benar merupakan elemen dari S
atau tidak
menunjukkan kumpulan yang kita tinjau
menunjukkan sembarang elemen
dari S
147
Contoh
}11090 ,:{ ≤≤∈= xRxxS
R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata
11090 ,)( ≤≥∈= xRxxp
148
Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara −∞ dan + ∞
kita tuliskan
} ,, , ,:{ +∞<<<∞−∈≤≤∈= baRbabxaRxxX
Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasi-operasi interval
Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval.
Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan hanya dengan batas-batas interval.
Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batas-
batas intervalnya.
149
],[ xxX =
Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut
kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval.
Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum) x dan batas atas (nilai maksimum) kita tuliskanx
0(x )
interval Xbatas bawah batas atas
x
150
8/3/2013
26
Suatu interval mengalami degenerasi jika
dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate.
Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi)
suatu bilangan nyata.
xx =
151
Degenerasi
Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata
xxXw −=)(
]15 ,6[=X 9615)( =−=Xw
Contoh:
(0
)x
w(X)
x
152
Lebar Interval
Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah
2/)()( xxXm +=
Contoh:
}10 ,4{=X 72/)104()( =+=Xm→ titik tengah
Contoh:
}10 ,4{=X
→ radius interval X adalah w(X)/2 = (10−4)/2 = 3.
Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval
2/)(Xw
153
Titik Tengah
Radius
Kesamaan
Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.
],[ xxX = ],[ yyY =Jika dan
YX = yxyx == dan maka jika dan hanya jika
Urutan
Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y, yx <
Contoh
X = {6, 10} dan Y = {13, 18}
→ X < Y.
0(x
) ( )X Yx y y
Dalam contoh ini w(X) < w(Y)
154
Nilai Absolut
Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya
} , max{ xxX =
Contoh
X = {−8, 4}
8} 4 , 8 max{ =−=X
155
Jarak
Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya
|}| , |max{|),( yxyxYX −−=ρ
Contoh
X = {2,6}, Y = {8,18}
12|}186||,82max{| ),( =−−=ρ YX
0( )x
( )
X Y
xy − xy −
x yy
Di sini
|||| yxyx −>−
156
8/3/2013
27
Simetri
Suatu interval X disebut simetris jika xx =−
Contoh: X = {−5, 5}
0(x )
X
x
Interval simetris mengandung elemen bernilai 0.
Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0.
Ia bukan degenerate interval.
157
Irisan
Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval.
Irisan antara interval X dan interval Y adalah
}],min{ },,[max{ yxyxYX =∩
Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18} 9] ,6[=∩YX
0(x )( )
X Y
y x y
YX ∩
Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval
Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.
158
Gabungan
Gabungan antara interval X dan Y adalah
}]maks{ },,[min{ y,xyxYX =∪
Contoh: X = [2, 9], Y = [6, 18] 18] ,2[=∪YX
0(x )( )
X Y
y x y
YX ∪
Jika irisan dari X dan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval.
Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya
gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda.
159
Inklusi
Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika
)()(dan YwXwYX ≤≤atau
YX ⊆ yxxy ≤≤ dan jika dan hanya jika
Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16} → YX ⊆
0(x )( )
X
Y
xy y
b). X ={−5, 2} dan Y = {−7, 7}
0(x )( )
X
Y
y x y
160
Operasi-Operasi Aritmatika
161
Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu:
Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebutinterval positif.
Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebutinterval negatif.
Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positiftermasuk nol.
Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif, sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol
bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.
162
8/3/2013
28
Penjumlahan dan
Pengurangan
163
Penjumlahan
Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y didefinisikan sebagai
} , :{ YyXxyxYX ∈∈+=+
Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval
Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan
adalah jumlah dari batas atas
Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja.
] ,[ yxyxYX ++=+
164
X+Yyx + yx +
0(x ) ( )
X Y
( )x y y
] ,[ yxyxYX ++=+
Jumlah interval juga merupakan interval.
],[ yyY =Jika dan , maka],[ xxX =
tidak merupakan sebuah interval karena X < Y.
X dan Y adalah duainterval yang terpisah.
YX ∪ Penjumlahan berbeda dengan penggabungan.
Penggabungan dua interval tidak selalu menghasilkan suatu interval.
165
Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14}
→ X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20]
Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan .
Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan
biasa.
Perbedaan penjumlahan dan gabungan
Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6] 6] ,2[=∪YX
10] ,5[=+YX
0(x
)( )
X Y
y x y
YX ∪
(z)
z
YX +
166
Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai
} ,{ XxxX ∈−=−
yang dapat kita tuliskan
] ,[] ,[ xxxxX −−=−=−
0(x )
X
)− x
(
− X
x− x
Batas atas −X adalah x−
Batas bawah −X adalah x
167
Contoh: a). X = [2, 6] → −X = [−6, −2]
0(x )
X
)− x
(
− X
x− x
b). X = [−2, 6] → −X = [−6, 2]
0(x
)
X
)− x
(
− X
x− x
168
8/3/2013
29
Pengurangan
Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X
dengan negatif interval Y
] ,[],[],[ yxyxyyxxYX −−=−=−
Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]
→ X − Y = [2, 6] − [7, 12] = [2− 12, 6 − 7] = [−10, −1]
X−Y
0(x ) ( )
X Y( )( )
y− y− x y y
yx − yx −
Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan X − Y merupakan interval negatif.
169
Perkalian dan
Pembagian
170
Perkalian Interval
Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai
} , :{ YyXxxyYX ∈∈=⋅
yang dapat dituliskan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅
Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah
maupaun batas atas dari interval hasil kali.
Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada
sumbu bilangan nyata
171
Pada interval X selalu dipenuhi relasi xx ≤maka dengan memperhatikan posisi kita akan mengetahui posisix x
0≥x 0≥xjika maka
0≤x 0atau 0 ≤≥ xxjika maka
Demikian juga pada interval Y
0≥y 0≥yjika maka
0≤y 0atau 0 ≤≥ yyjika maka
172
Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan perkalian interval, yaitu:
interval positif kali interval positif
interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya
interval negatif kali interval negatif
perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol
173
Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah:
] ,[
0dan 0
yx yxYXZ
yx
=⋅=
≥≥x y y0
( )x
( )X Y
1).
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≥≤3).x y y0
( )x
( )X Y
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≥<<2). x y y0
( )x
( )X Y
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≤4).
x y y0( )x
( )X Y
174
8/3/2013
30
6). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≥yy x x0
( ) ( )Y X
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≥7).yy x x0
( ) ( )Y X
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≤<<y y x x0( ) ( )
Y X8).
}] ,maks{ }, ,min{[
0dan 0
yxyxyxyx
YXZ
yyxx
=⋅=
<<<<
9). y yx x0( )( )
Y X
5). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≤x y y 0
( )x
( )X Y
175
Contoh dan Penjelasan
]6 ,4[ ]3 ,1[ == YX
]18 ,4[=⋅YX
Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atassedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah.
Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalianbilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil
bilangan positif.
] ,[
0dan 0
yx yxYXZ
yx
=⋅=
≥≥x y y0
( )x
( )X Y
1).
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecilyang bisa dicapai
Nilai terbesaryang bisa dicapai
176
]8 ,4[ ]2 ,1[ =+−= YX
]16 ,8[ +−=⋅YX
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≥<<2). x y y0
( )x
( )X Y
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawahnegatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batasbawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang
lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas ataskarena kedua batas atas tersebut positif.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecilyang bisa dicapai
Nilai terbesaryang bisa dicapai
177
]4 ,1[ ]1 ,3[ =−−= YX
]1 ,12[ −−=⋅YX
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali
batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batasbawah interval positif
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≥≤3).x y y0
( )x
( )X Y
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecilyang bisa dicapai
Nilai terbesaryang bisa dicapai
178
]3 ,1[ ]2 ,4[ −=−−= YX
]4 ,12[ +−=⋅YX
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≤4).
x y y0( )x
( )X Y
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batasbawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecilyang bisa dicapai
Nilai terbesaryang bisa dicapai
179
]1 ,4[ ]5 ,7[ −−=−−= YX
]82 ,5[=⋅YX
Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkaliadalah hasilkali kedua batas atas.
Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah.
5). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≤x y y 0
( )x
( )X Y
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecilyang bisa dicapai Nilai terbesar
yang bisa dicapai
180
8/3/2013
31
]1 ,3[ ]4 ,1[ −−== YX
]1 ,12[ −−=⋅YX
6). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≥yy x x0
( ) ( )Y X
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas
bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batasbawah interval positif
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecilyang bisa dicapai
Nilai terbesaryang bisa dicapai
181
]1 ,3[ ]5 ,2[ −== YX
]5 ,15[−=⋅YX
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≥7).yy x x0
( ) ( )Y X
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawahnegatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batasbawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang
lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas ataskarena kedua batas atas tersebut positif.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecilyang bisa dicapai
Nilai terbesaryang bisa dicapai
182
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≤<<y y x x0( ) ( )
Y X8).
]2 ,5[ ]3 ,1[ −−=−= YX
]5 ,15[−=⋅YX
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batasbawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecilyang bisa dicapai
Nilai terbesaryang bisa dicapai
Contoh dan Penjelasan
183
]1 ,4[ ]5 ,2[ −=−= YX
]8 ,20[8}] ,5{maks },20,2[min{ −=−−=⋅YX
}] ,maks{ }, ,min{[
0dan 0
yxyxyxyx
YXZ
yyxx
=⋅=
<<<<
9). y yx x0( )( )
Y X
Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅
Akan bernilai negatif sehinggatak mungkin menjadi
batas maksimum
Akan bernilai positif sehinggatak mungkin menjadi
batas minimum
Contoh dan Penjelasan
184
Kebalikan Interval
Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan dari X didefinisikan sebagai
} :/1{1
XxxX
∈=
Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka
]/1 ,/1[1
xxX
=
Contoh: X = [2, 10] → 1/X = [0.1, 0.5]
Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0, kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain.
Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.
185
Pembagian Interval
Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara Xdengan kebalikan Y.
]/1 ,/1[] ,[1
xxxxY
XY
X ⋅=⋅=
Contoh: X = [4, 10], Y = [2, 10]
→ X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]
186
8/3/2013
32
Sifat-SifatAritmatika Interval
187
Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasi-operasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan
biasa yang sudah kita kenal.
Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilanganbiasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika
interval. Ternyata memang demikian.
Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang sangat menyolok.
188
} , :{ YyXxyxYX ∈∈+=+
} , :{ YyXxxyYX ∈∈=⋅
Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikansebagai
Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.
XYYXZYXZYX +=+++=++ ;)()(
YXXYZXYYZX == ;)()(
189
Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi:
[0, 0] dan [1, 1]
yang dituliskan sebagai 0 dan 1
Jadi X + 0 = 0 + X dan 1·X = X·1
Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalamaritmatika interval:
X − X ≠ 0 dan X / X ≠ 1 jika w(X) > 0
]1 ,1)[(] ,[ −=−−=− XwxxxxXX
0 jika ]/ ,/[/
0 jika ]/ ,/[/
<=>=
XxxxxXX
XxxxxXX
190
Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah:
X (Y + Z) = XY + XZ
Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut:
1) Jika Y dan Z adalah interval simetris;
2) Jika YZ > 0
Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku:
[0, 1] (1-1) = 0
tetapi
[0, 1] − [0, 1] = [−1, 1]
191
Kapita S e l e k t a MatematikaS u d a r y a t n o S u d i r h a m
1 9 2