LINEAR ALGEBRA

ALJABAR LINEARMTE3110

PENGHARGAANBersyukur ke hadirat Ilahi kerana dengan limpah kurnianya kami dapat menyiapkan kerja kursus Aljabar Linear dengan jayanya. Di sini, kami ingin mengambil kesempatan untuk mengucapkan terima kasih kepada pensyarah pembimbing, Pn. Norhana Bt. Abu Bakar kerana membimbing kami dalam melaksanakan tugasan ini. Kami juga ingin mengucapkan terima kasih kepada rakanrakan sekelas yang banyak membantu dalam menghasilkan kerja kursus ini.. Kami juga ingin mengucapkan terima kasih kepada individu yang membantu kami tidak kira secara langsung dan tidak langsung. Jasa dan budi anda semua tidak kami lupakan. Akhir kata daripada kami, semoga semua yang terlibat di dalam pelaksanaan kerja kursus ini dirahmati Allah S.W.T. Kami berharap kerja kursus ini akan menjadi satu medan buat kami sebagai seorang bakal guru untuk membentuk peribadi yang sesuai sebelum bertugas dan kami juga mendoakan kepada rakan rakan agar mereka dapat mengambil seberapa banyak ilmu pengetahuan semasa proses menyiapkan tugasan ini. Insya-Allah. Sekian terima kasih.Yang benar,

Mohammad Falakhuddin Bin Haron & Muhammad Akmal Ariff Bin Mohamad

(1P5D-MT/PJ/BM)

PENGENALAN

Istilah algebra berasal daripada perkataan ArabAl-Jabr. Ia merupakan cabang matematik berkaitan struktur, hubungan dan kuantiti. Secara amnya, algebra oleh dibahagikan kepada tiga kategori berikut :i)Algebra asas-mencatat sifat-sifat operasi pada sistem nombor nyata sebagai pemegang tempat dengan symbol-simbol untuk mewakili pemalar serta pembolehubah, dan petua-petua untuk ungkapan matematik dan persamaan yang melibatkan simbol-simbol tersebut dikaji.ii)Algebra Niskala- juga dikenali sebagai algebra moden yang mengkaji struktur-struktur algebra seperti kumpulan, gelanggang dan medan yang diberikan definasi aksioman.iii)Algebra semesta-mengkaji sifat-sifat sepunya dalam struktur algebra

Di Malaysia, algebra merupakan satu perkataan yang asingbagi pelajar-pelajar di sekolah rendah. Ini tidak mengejutkan kerana algebra tidak diajar secara formal atau secara lansung di dalam kelas. Walaupun algebra tidak diajar secara lansung di dalam kelas, tetapi penekanan kepada pemikiran algebra mula dimasukkan didalam Kurikulum Baru Sekolah Rendah (KBSR). Melalui KBSR, pelajar di sekolah rendah mula didedahkan dengan pemikiran algebra di mana terdapat beberapa elemen algebra yang telah diterapkan didalam pengajaran dan pembelajaran metematikdidalam kelas.

Melalui pendedahan seperti berikut selain dapat memberi pengalaman awal kepada pelajar sekolah rendah tentang pengenalan kepada pemikiran algebra, mereka juga dapat membina asas pemikiran algebra mereka sendiri. Dengan adanya asas pemikiran algebra yang kuat guru akan dapat membantu pelajar tersebut menguasai kemahiran algebra diperingkat menengah tanpa banyak masalah. Pendedahan awal di peringkat sekolah rendah akan membantu pelajar untuk menguasai pengetahuan algebra yang lebih kompleks pada peringkat sekolah menengah nanti.

Pelajar mungkin merasa bosan apabila mempelajari aljabar linear kerana mereka tidak dapat mengaitkan konsep aljabar linear dengan kehidupan seharian mereka, sedangkan konsep dan pengetahuan aljabar linear sebenarnya digunakan secara meluas samada pengguna menyedari atau tidak menyedari peranan aljabar linear dalam memudahkan kehidupan seharian mereka. Oleh itu, menjadi satu keperluan bagi setiap individu untuk mempelajari dan memahami konsep dan penggunaan aljabar linear dalam menjalankan kehidupan seharian mereka.

Contoh-Contoh Aplikasi Aljabar Linear Dalam Kehidupan Seharian:

Persamaan

Pesamaan sering menjadi musuh utama kepada pelajar kerana untuk menyelesaikan sesuatu persamaan, pelajar harus menggunakan pemikiran kritis dan kreatif disamping terpaksa menghafal formula-formula yang berkaitan. Tetapi bagi sesetengah manusia, keperluan pengetahuan dan kepakaran dalam menggunakan persamaan bagi menyelesaikan sesuatu masalah amatlah tinggi. Ini kerana sifat persamaan yang dapat memudahkan sesuatu masalah ditagih dalam menyelesaikan masalah harian mereka. Contoh pekerjaan yang amat memerlukan penggunaan persamaan ialah pekerjaan dibidang kewangan seperti akauntan. Mereka amat memerlukan kemudahan penggunaan persamaan bagi menyelesaikan masalah mereka seperti menentukan harga arbitaj dan juga kadar faedah. Selain itu, persamaan juga mampu membantu manusia dalam menentukan dan membuat pilihan seperti mengenalpasti kos yang dikenakan oleh setiap syarikat komunikasi bagi tempoh maa seminit dan membuat pilihan bagi memastikan pengguna dapat berjimat semaksima yang mungkin.

Pengurusan Wang

Pengurusan wang telah diterapkan dalam setiap diri individu bagi memastikan semua murid menghargai dan bijak mengawal pengeluaran dan kemasukan wang mereka bagi tujuan yang baik. Pengurusan wang juga merupakan salah satu aljabar linear yang sering digunakan oleh semua masyarakat diseluruh dunia. Pengguna aljabar linear yang berkait rapat dengan pengurusan wang terdiri dari pelajar hinggalah orang dewasa dan orang tua. Sebagai contoh, seseorang individu perlu menaiki monorail ke pejabat dan kos pengangkutan setiap hari ialah RM 5.00. Dengan menggunakan aljabar linear, beliau boleh membuat anggaran atau pengiraan tepat dalam menggira kos pengangkutan beliau kepejabat selama 1 bulan mahaupun kos pengangkutan selama 1 tahun.

Contoh pengiraan:

RM 5.00 x X hari = RM Y

RM 5.00 x 365 hari = RM 1, 825.00Mengapa aljabra linear penting dalam kehidupan:

Membuka peluang untuk berjaya.

Aljabra linear merupakan kunci untuk membuka pintu kejayaan. Berdasarkan contoh-contoh yang dinyatakan, peniaga-peniaga mampu untuk mencapai kejayaan sekiranya mereka menguasai sepenuhnya aljabra linear. Dengan bantuan aljabra linear, peniaga-peniaga mampu menganggar pulangan dari hasil perniagaannya, bilangan pembeli dan juga mengenalpasti kos kerugiannya dalam sesuatu perniagaan yang dijalankan oleh mereka.

Semasa menguruskan perniagaan, adalah amat penting untuk membuat inventori kewangan yang dibelanjakan. Oleh itu, penggunaan aljabar linear amat diperlukan. Contohnya jika bajet bulanan sebuah perniagaan itu adalah sebanyak RM5000, berapa peratus wang yang akan digunakan untuk membayar pekerja.

Pekerja 1,835

Bahan 18%

Sewa/utility 25%

Lain-lain 1,015

Peratus jumlah bajet bulanan untuk pekerja

36.7%

Pengetahuan aljabra linear mampu menjadi titik pengubah kepada kejayaan seseorang peniaga tersebut, mereka juga mampu mengira dan memilih barangan yang lebih murah untuk dibeli serta dijadikan modal perniagaan mereka. Selain itu, mereka juga mampu mengenalpasti perbezaan harga barangan mereka dan juga peniaga yang lain jester dapat mengubah harga barangan mereka serta mengekalkan keuntungan yang dapat dikaut oleh mereka.

Menganalisa

Selain itu, aljabra linear juga boleh menjadi panduan seseorang dalam memilih kerjaya. Seseorang yang mampu menggunakan aljabra linear dengan baik mampu membuat piliihan yang tepat bagi menjamin masa depan mereka yang lebih selesa. Seseorang yang terlibat dalam bidang perniagaan boleh membuat pemilihan tepat dalam memilih tempat bagi membina atua memulakan perniagaan mereka. Peniaga tersebut boleh menganalisis bilangan penduduk disesuatu kawasan dan masalah keperluan yang dihadapi oleh mereka serta mengaitkan dengan perniagaan yang dijalankan oleh mereka.

Contohnya, seorang peniaga yang hendak membuka perniagaan gunting rambut akan mengaitkan jumlah penduduk dan kekerapan mereka menggunting rambut sebagai garis panduan peniaga tersebut. Dengan kiraan yang tepat, peniaga tersebut dapat memastikan kelangsungan pelangannya. Contoh tapak yang sesuai untuk membina kedai gunting rambut ialah tapak berhampiran kawasan perumahan seperti taman atau kawasan berhampiran sekolah kerana murid-murid akan selalu menggunting rambut agar sentiasa tampak kemas dan bersesuaian untuk menghadirkan diri ke sekolah.

Contoh yang lain yang dapat diketengahkan ialah, seseorang peniaga yang ingin membeli rumah dan menjadikan rumah sewa berkemungkinan akan memilih kawasan rumah yang berdekatan dengan institusi dan kolej. Selain itu, dengan menggunakan aljabra linear, mereka dapat menetapkan harga rumah yang bersesuaian serta dapat menampung modal keluaran dan juga memastikan keselasaan dan kemudahan pelangannya.

Sains dan kehidupan

Selain itu, aljabra linear dapat membantu serta memudahkan kehidupan seharian kita, contohnya pengurusan masa. Dengan bantuan aljabra linear, sesesorang individu mampu mengurus masa dengan baik serta menjadikan kehidupan sehariannya lebih sistematik.

Contohnya, seorang ibu atau bapa yang bekerjaya serta mempunyai anak harus memikirkan beberapa aspek yang penting bagi memastikan beliau dan anaknya dapat hadir ke sekolah dan pejabat sebelum masa yang ditetapkan serta mendapat keperluan yang secukupnya. Ibu atau ayah tersebut perlu mengetahui jarak dan masa yang diperlukan untuk bergerak dari rumah ketempat yang harus dituju. Bagi memastikan masa yang lebih singkat untuk sampai ke destinasi dan kos perjalanan seperti minyak dan tol digunakan adalah rendah, ibu atau bapa tersebut harus pandai membuat pilihan jalan yang akan digunakan setiap hari bagi menghantar anak dan kepejabat mereka.

Kesimpulannya, Aljabar Linear amat penting dalam kehidupan seharian kita dan masih digunakan sehingga hari ini. Aljabar linear merupakan asas pengetahuan dalam Matematik dimana kita memerlukan kemahiran aljabar linear untuk menyelesaikan sesuatu masalah Matematik terutamnya yang berkaitan dengan sesuatu pemboleh ubah.Daripada masalah tersebut, kita boleh membuat analisa ataupun hasil data yang diperolehi untuk membuat perbandingan dan menentukan sesuatu nilai jawapan itu.

Oleh itu, aljabar linear bukan sahaja satu set langkah ataupun prosedur untuk menyelesaikan sesuatu masalah tetapi ialah suatu jenis pemikiran. Pelajar bukan sahaja belajar aljabar linear hanya untuk silibus sekolah semata-mata ataupun untuk lulus peperiksaan tetapi mereka belajar untuk memahaminya dan mengaplikasikan dalam setiap masalah yang dihadapi dalam kehidupan seharian.

Kegunaan Aljabar Linear telah memudahkan dan membuat kerja seharian kita menjadi lebih sistematik. Penggunaanya juga dapat menjimatkan sebarang kos dalam suatu pekerjaan terutamnya dalam sector perkilangan mahupun dalam pentadbiran sesuatu organisasi. Semua orang harus mempelajari Aljabar Linear agar dapat menggunakannya dalam kehidupan seharian.

MENCIPTA MESEJHill chipher merupakan satu aplikasi linear algebra untuk kriptografi. Kriptografi merupakan sains dalam membentuk dan memecahkan kod rahsia dan chipers. Di bawah, saya akan terangkan bagaimana saya akan membuat kod rahsia tersebut.

Contoh yang saya gunakan adalah -I LOVE THE WAY YOU LOVE ME.Sebelum membuat enkripsi, kita akan menentukan nilai yang diwakili oleh setiap abjad tersebut, dimana indexbermula dari 0 iaitu abjad A hingga 25 iaitu abjad Z.

Setelah itu kita memilih key matrik yang akan digunakan dalam mod 29. Key matrik haruslah mempunyai matrik songsang yang betul. Contoh key matrik yang digunakan : Key Matrik = Matrik Songsang = Langkah pertama, kitagabung semua perkataanmenjadi I*LOVE*THE*WAY*YOU*LOVE*ME. Selepas itu, tentukan nilai tiap-tiap huruf seperti berikut :

I * L = 8, 28, 11O V E = 14, 21, 4* T H = 28, 19, 7E * W = 4, 28, 22A Y * = 0, 24, 28Y O U = 24, 14, 20

* L O = 28, 11, 14

V E * = 21, 4, 28M E . = 12, 4, 26 Setelah mendapat nilai setiap abjad dalam perkataan tersebut , maka lakukan pendaraban dengan key matrix yang sudah ditentukan di atas : = = Mod 29 = = = D F P = = Mod 29 = = = R B M = = Mod 29 = = = P Y Y

= = Mod 29 = = = J E M = = Mod 29 = = = N K Q = = Mod 29 = = = I N K = = Mod 29 = = = * C F = = Mod 29 = = = J X Y = = Mod 29= = = T W YDari hasil perdaraban matrik di atas, maka terdapat hasil perkataan baru yang membentuk Ciphertext.Plain text = I_LOVE_THE_WAY_YOU_LOVE_ME.

Chiper text = DFPRBMPYYJEMNKQINK*CFJXYTWYMENYAHSULIT MESEJHill chipher merupakan satu aplikasi linear algebra untuk kriptografi. Kriptografi merupakan sains dalam membentuk dan memecahkan kod rahsia dan chipers. Di bawah, saya akan terangkan apa sebenarnya maksud Hill Ciphers dan bagaimana saya akan memecahkan kod rahsia tersebut.

Ayat Rahsia

Untuk membentuk ayat rahsia di atas, kedua-dua sama ada chipers dan kod diperlukan.

Langkah pertama, apabila saya telah mendapat ayat rahsia ini, saya telah membahagikan ayat rahsia kepada11 kumpulan yang mengandungi 9 huruf atau simbol rahsia. Kemudian, saya telah menggantikan kesemua huruf-huruf dan simbol-simbol tersebut berdasarkan nombor yang telah ditetapkan.

Cipher text (C)

R

,TPZCNQ_

17

27191525213

16

28

Seterusnya, saya telah membentuk kumpulan pertama yang mengandungi 9 kod rahsia di dalam chiper text menjadi 3 x 3 matriks. Matrik 3 x 3 ini juga boleh dipanggil sebagai chipertext vectors.

171513

272516

19228

Plain text di bawah telah diberikan sedikit supaya untuk memudahkan kita untuk mencari sonsangannya. Seperti diatas, saya telah memisahkan menjadikan 9 huruf dalam satu kumpulan dan membentuk 3 x 3 matriks (plaintext vector).

Plain Text (P)

P

EACE_BE_

15

4024281

4

28

1521

444

02828

Untuk Hill Chipher,pembentukan chiphertext kembali kepada plaintext adalah merupakan songsangan daripada pembentukan asal daripada plaintext kepada chipher text. Dalam kata lain,jikalau Hill Chipher mempunyai matrix A, maka songsangan yang terbentuk daripada Hill Chipher ini ialah key matrix iaitu A-1.

Untuk menyah kod rahsia menjadi seperti plain text, saya akan menggunakan elementary row operations untuk mendapatkan sonsangan iaitu key matrix, A-1.

ClP1715131521

272516444

1922802828

Sebelum, meneruskan mencari key matrix, Transpose kedua-dua chiper dan plain texts.

CTPT1727191540

152522428

1316281428

Pada baris yang pertama, saya telah mendarabkan dengan 12 iaitu merupakan reciprocal modulo 29 bagi pivot yang pertama iaitu 17. Rujuk jadual 1 di bawah

Jadual 1 : multiplicative inverses modulo 29

Baris (i) x 18204324228180480

152522428

1316281428

Tukarkan baris (i) kepada mod 29 bagi nombor yang nilainya lebih dari 29. Kekalkan nombor yang kurang dari 29.

Kemudian, teruskan dengan elementary row operations untuk hapuskan nombor-nombor di bawah pivot menjadi 0.

(i) x 15 (ii) , (i) x 13 (iii)

1 5256190

05037388281-28

04929777243-28

Tukarkan baris (ii) dan baris (iii) kepada mod 29 bagi nombor yang nilainya lebih dari 29. Kekalkan nombor yang kurang dari 29.

1310231014

021251201

020719111

Pada baris yang kedua, saya telah mendarabkan dengan 18 iaitu merupakan reciprocal modulo 29 bagi pivot yang kedua iaitu 21. Rujuk jadual 1 di atas.

baris (ii) x 28

1310231014

03784501836018

020719111

Tukarkan baris (ii) kepada mod 29 bagi nombor yang nilainya lebih dari 29. Kekalkan nombor yang kurang dari 29.

Kemudian, teruskan dengan elementary row operations untuk hapuskan nombor-nombor di bawah pivot menjadi 0.

1310231014

0115181218

02411121911

(i) - (ii) x 3 , (iii) (ii) x 24)

10-35-31-26-40

0115181218

00-349-420-269-421

Tukarkan baris (i) dan (iii) kepada mod 29 bagi nombor yang nilainya lebih dari 29 dan juga nombor negatif. Kekalkan nombor yang kurang dari 29 dan juga nombor yang nilainya positif.

102327318

0115181218

0028152114

Pada baris yang ketiga, saya telah mendarabkan dengan 28 iaitu merupakan reciprocal modulo 29 bagi pivot yang ketiga iaitu 28. Rujuk jadual 1 di atas.

Baris (iii) x 28102327318

0115181218

00784420588392

Tukarkan baris (iii) kepada mod 29 bagi nombor yang nilainya lebih dari 29. Kekalkan nombor yang kurang dari 29.

Kemudian, teruskan dengan elementary row operations untuk hapuskan nombor-nombor di atas pivot menjadi 0.

102327318

0115181218

00114815

(i) (iii) x 23 , (ii) 15 x (iii)

100-295-181-327

010-192-108-207

00114815

Daripada reduced-echelon matrix yang diperolehi, songsangan (A-1) atau key matrix telah terbentuk .

100242221

01011825

00114815

Key matrix yang terbentuk ialah dalam bentuk transpose.

2422211182514815

Tukarkan (A-1)Tmenjadi A-1A-1 2411142288212515

Untuk menguji sama ada sama ada key matrix saya betul atau pun tidak, saya telah mendarabkan key matrics dengan chiper text untuk mengesahkan sama ada jawapan saya sepadan dengan plaintext atau tidak.

241114

2288

212515

A-1 C971 663880

742546638

13179701093

Hasil yang diperolehi, bertepatan dengan plaintext saya. Maka key matrix saya adalah betul.

P

EACE_BE_

15

4024281

4

28

A-1

241114

22 8 8

212515

Z

VR.XZGSH

25

21222623256

18

7

Seperti biasa, bentukkan perkataan rahsia (chiper text) yang seterusnya dalam bentuk 3 x 3 marix.

C

25266

21 2318

22257

Darabkan kedua-dua matriks

A-1 x C

241114 25 26 6

21 2318 X 22 8 8

22257 21 25 15

1151 1062 442

=1409 1105 580

1247 947 437

Tukarkan matrik yang terhasil dengan mod 29

201314

152820

142426

Selepas hasil diperolehi, rujuk jadual simbol yang telah ditetapkan untuk membentuk perkataan seterusnya.

20

1514132824142026

U

PON_YO

U

.

ANSWER : PEACE BE UPON YOU.

MENCIPTA MESEJPLAINTEXT : Plaintext atau lebih dikenali sebagai mesej adalah suatu mesej yang ingin dihantarkan daripada satu individu kepada individu yang lain. Berikut merupakan contoh mesej yang ingin disampaikan:

HurufABCDEFGHIJKLMNO

Nilai01234567891011121314

HurufPQRSTUVWXYZ.,-

Nilai1516171819202122232425262728

Jadual 1

Mesej yang ingin disampaikan perlu dibahagikan bertiga-tiga terlebih dahulu.

I LOVE YOU, JUST KIDDING

| I _ L | O V E | _ Y O | U , _ | J U S | T _ K | I D D | I N G|Mesej yang telah dibahagikan bertiga-tiga kemudiannya ditukarkan kedalam bentuk nombor ( mod 29 ) mengikut nilai yang telah ditetapkan.

= =

= =

= =

= = KUNCI MATRIKS (KUNCI ENKRIPSI)

Kunci adalah suatu bilangan yang dirahsiakan dan digunakan dalam proses enkripsi dan dekripsi. Kunci yang digunakan haruslah boleh diterbalikkan supaya dapat menjalankan proses dekripsi. Berikut merupakan kunci matriks (kunci enkripsi) yang telah digunakan dalam proses enkripsi plaintext tersebut:

A = PROSES KETERBALIKAN KUNCI MATRIK ( KUNCI DEKRIPSI )Kunci dekripsi boleh diperolehi melalui kaedah penghapusan Gauss-Jordan jika kunci enkripsi telah diketahui. Berikut adalah proses untuk mencari keterbalikkan kunci matrik: Proses ini dijalankan dalam mod 29, oleh itu penggunaan salingan (reciprocal) amatlah diperlukan. Berikut merupakan salingan bagi setiap digit dalam mod 29:

1234567891011121314

1151022652511133817927

1516171819202122232425262728

2201221261618424237191428

Salingan merupakan proses menukarkan sesuatu nombor kepada nombor yang lain dalam mod 29. Nombor yang asal perlu didarabkan dengan nombor salingan dan ditolak dengan 1 agar dapat menjadi nombor 1 ( dalam mod 29 ) bagi memudahkan penyelesaian menggunakan kaedah penghapusan Gauss-Jordan.

Contoh: Langkah 1

2 x 15 = 30

Langkah 2

30 1 = 29

Langkah 3

29 1 ( mod 29 )

( MOD 29 )

1752010012R11281200

23930102393010

1121200111212001

12812001281200

239301023R1 R208715280

1121200111R1-R30201816028

12812001281200

0871528011R2011920180

02018160280201816028

1281200R1-2R210281220

011920180011920180

020181602820R2-R300147121

1028122010281220

011920180011920180

0014712127R300115527

10281220R1-28R3100162727

01192018001025109

00115527R2-19R300115527

100162727162727

0102510925109

0011552715527

KETERBALIKAN KUNCI MATRIK

MEMERIKSA KETERBALIKKAN KUNCI MATRIK

x =

( mod 29 )

Matrik identiti

Oleh itu, adalah keterbalikan kepada PROSES ENKRIPSIDalam proses enkripsi, kunci enkripsi digunakan untuk mengubah plaintext kepada ciphertext. Berikut menunjukkan proses yang dilakukan dalam menukarkan plaintext kepada ciphertext:

= = = = = = = = = = = = = = = = Setelah membuat proses enkripsi, mesej baru akan di gabungkan semula bagi mendapatkan teks Cipher

| D F P | R B M | G D C | U E B | E G H | Z X I | I R O | C A M |TEKS CIPHER

DFPRBMGDCUEBEGHZXIIROCAMMENYAHSULIT MESEJCiphertext yang diterima:

DYG_BTKX_,SYDYG_BTYJB,XOMesej yang ingin disampaikan perlu dibahagikan bertiga-tiga terlebih dahulu.

| D Y G | _ B T | K X _ | , S Y | D Y G| _ B T | Y J B | , X O |Mesej yang telah dibahagikan bertiga-tiga kemudiannya ditukarkan kedalam bentuk nombor ( mod 29 ) mengikut nilai yang telah ditetapkan.

= =

= =

= =

= =

Mesej (9 karakter) yang diterima:

CINTA ALL = TRANSPOSE CIPHERTEXT & PLAINTEXT

Transpose adalah satu kaedah yang digunakan untuk menukar posisi antara dua atau lebih perkara. Dalam topik matriks pula, kaedah ini digunakan untuk menukarkan setiap baris kepada lajur. 9 karakter daripada Ciphertext dan plaintext yang dibekalkan akan ditransposekan seperti berikut:

= transpose ciphertext

= transpose plaintext

PROSES MENCARI KETERBALIKKAN MATRIKS

Selain daripada menggunakan kunci matriks, keterbalikkan matriks dapat dicari dengan menggunakan transpose kepada 9 karakter daripada ciphertext dan plaintext yang dibekalkan. Kaedah penghapusan Gauss-Jordan juga diaplikasikan. Berikut merupakan langkah-langkah dalam memperolehi keterbalikkan matriks daripada maklumat yang dibekalkan:

Formula yang digunakan:

( MOD 29 )3246281310R1182202214

28119190282811919028

1023280111110232801111

182202214182202214

281191902828R1 R2020819716

1023280111110R1-R30282126613

182202214182202214

02081971616R20112142524

02821266130282126613

182202214R1-8R21022242515

01121425240112142524

028212661328R2-R30041128

10222425151022242515

01121425240112142524

004112822R300110152

1022242515R1-22R3100162727

011214252401025109

00110152R2-12R300115527

1007141071410

0101019010190

0011015210152

KETERBALIKKAN MATRIKS

1007141071010

01010190=141915

001101521002

MENYAHSULITKAN CIPHERTEXT

Selepas mendapat keterbalikkan matriks, darabkan keterbalikkan matriks tersebut dengan ciphertext yang dibekalkan untuk mendapat plaintext atau mesej yang sebenar seperti berikut:

= = = = = = = = = = = = = = = = Setelah membuat proses enkripsi, mesej baru akan di gabungkan semula bagi mendapatkan teks Cipher

| C I N | T A _ | A L L | T A _ | C I N| T A _ | H A K | I K I |TEKS CIPHER

CINTA ALLAH CINTA HAKIKIREFLEKSI (MOHAMMAD FALAKHUDDIN)Saya amat bersyukur kerana kerja kursus ini tiba pada masa yang sesuai iaitu pada pertengahan semester. Pada masa inilah, kita mempunyai masa yang lebih lapang dan banyak. Oleh itu, kerja kursus ini tidak banyak memberi tekanan kepada saya. Dalam kerja kursus ini berfokus kepada kegunaan algebra dalam kehidupan. Dalam tugasan ini, saya perlu menyediakan satu kod rahsia untuk menghantar mesej. Selepas itu, saya perlu mendekod mesej yang telah diterima menjadi ayat biasa. Ini tidak dapat dinafikan bahawa kerja kursus ini adalah sangat menarik perhatian saya. Dengan ini, saya mendapat peluang untuk menghurai kegunaan cipher text. Saya juga berharap saya dapat memahami lebih banyak maklumat tentang algebra supaya menggunakan pada pelajar-pelajar masa depan.

Semasa menerima kerja kursus ini, Pn. Norhana Bt. Abu Bakar telah memberi penerangan yang sangat jelas kepada saya. Dengan itu, saya bermula mendapatkan pelbagai sumber maklumat daripada perpustakaan, laman web serta dari rakan-rakan. Dalam proses ini, masalah yang dihadapi oleh saya ialah memahami maklumat-maklumat yang dapat dicari kerana kebanyakkan maklumat ini adalah dalam bahasa Inggeris.

Akhir kata, saya ingin meminta maaf ke atas kesilapan yang saya telah lakukan kepada ahli kumpulan saya dan rakan-rakan sekalian. Saya juga ingin berucap terima kasih kepada mereka dan pensyarah Pn. Norhana Bt. Abu Bakar kerana memberi sokongan dan bantuan kepada saya untuk menghabiskan kerja kursus ini.

REFLEKSI (MUHAMMAD AKMAL ARIFF)

Pertamanya, saya ingin memanjatkan kesyukuran kepada Ilahi kerana dengan izin dan limpah kurnia-Nya, saya dapat menyiapkan tugasan Kerja Kursus ini dengan lengkap dan sempurna. Setinggi-tinggi penghargaan juga ditujukan kepada pensyarah pembimbing saya, Pn. Norhana kerana sudi meluangkan masanya untuk memberi tunjuk ajar dan penerangan mengenai tugasan ini yang mana telah meningkatkan kefahaman kami mengenai kehendak soalan dan seterusnya memudahkan kami untuk melaksanakan tugasan ini.

Sepanjang melaksanakan tugasan ini, saya menghadapi beberapa kesulitan terutamanya kekangan masa. Ini kerana, kami mendapat soalan kerja kursus dari subjek-subjek yang lain pada masa yang sama dan memerlukan kami untuk menghantarnya juga pada waktu yang sama. Oleh itu, untuk mengatasi masalah ini, saya telah mengurus masa dengan bijak dengan membuat pembahagian masa saya yang terluang agar digunakan dengan sebaiknya. Selain itu, dengan kerjasama yang utuh sesama ahli kumpulan serta kolaborasi yang dijalankan, tugasan ini berjaya disiapkan dengan sempurna dan tepat pada masanya.

Akhir kata, saya ingin meminta maaf ke atas kesilapan yang saya telah lakukan kepada ahli kumpulan saya dan rakan-rakan sekalian. Saya juga ingin berucap terima kasih kepada mereka dan pensyarah Pn. Norhana kerana memberi sokongan dan bantuan kepada saya untuk menghabiskan kerja kursus ini. BIBLIOGRAFIBuku Kessler, G. C. (2012, 1 26). An Overview of Cryptography. Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.hermetic.ch/crypto/intro.htm

Meyer, P. (t.t). An Introduction to the Use of Encryption. Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.hermetic.ch/crypto/intro.htm

Website

(t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://math.usask.ca/~bremner/research/geneticalgebras/etherington/ga.pdf

(t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.math.washington.edu/~king/coursedir/m308a01/Projects/m308a01-pdf/kirkham.pdf

(t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.math.sunysb.edu/~scott/papers/MSTP/crypto.pdf

(t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/laproj/Fall97/Dustin/ciphers.pdf

(t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.apprendre-en-ligne.net/crypto/hill/Hillciph.pdf

(t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.cl.cam.ac.uk/~rja14/Papers/SE-05.pdf

(t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.apprendre-en-ligne.net/crypto/hill/HillICTCM12.pdf

(t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.nku.edu/~christensen/092mat483%20hill%20cipher.pdf

BORANG REKOD KOLABORASINAMA

: MOHAMMAD FALAKHUDDIN BIN HARON

MUHAMMAD AKMAL ARIFF BIN MOHAMAD

OPSYEN

: MT/PJ/BM AMBILAN

: JANUARI 2010MATA PELAJARAN

: MTE 3110 ALJABAR LINEARPENSYARAH PEMBIMBING: PN. NORHANA BT. ABU BAKARTARIKHPERKARA

YANG

DIBINCANGKANCATATANTANDATANGAN

12/2/2012 Menerima soalan tugasan dan taklimat daripada pensyarah mata pelajaran daripada pensyarah mata pelajaran Pn. Norhana Tugasan perlu dihantar selewat lewatnya pada 26 Mac 2012.

14/2/2012

Memahami kehendak soalan tugasan Membuat jadual kerja

6/3/2012-10/3/2012 Meenkripsi kod rahsia dari teks biasa ke cyhper text. Mendekod ayat rahsia yang diterima.

Mencari artikel. Membuat perbincangan bersama rakan

Menyelesaikan tugasan.

11/3/2012-20/3/2012

Membuat tugasan mengikut jadual kerja yang ditetepkan Mengenal pasti aplikasi aljabar linear. Mengolah artikel.

22/3/2012 Menyusun tugasan

Membuat pemeriksaan terakhir terhadap tugasan

Membetul tugasan dari segi ejaan

Membuat penyusanan tugasan

25/3/2012 Menyiapkan tugasan Memeriksa tugasan

263/2012 Menjilid tugasan

Menghantar tugasan Menghantar tugasan kepada pensyarah pembimbing

R,TPZCNQ_ZVR.XZGSH

C

P

Baris (i)

Baris (ii)

Baris (iii)

(i)

(ii)

(iii)

(i)

(ii)

(iii)

(i)

(ii)

(iii)

(i)

(ii)

(iii)

(i)

(ii)

(iii)

(A-1)T

A-1

17151327251619228

C

x

1521

444

02828

10