PEMBEZAAN

JQK 1103 Matematik untuk Teknologi

Kandungan:

Konsep Pembezaan menggunakan Prinsip Pertama Petua Pembezaan Terbitan Peringkat Tinggi Titik Pegun, Maksimum, Minimum dan Titik Lengkok Balas Penggunaan Pembezaan dalam Perniagaan - Fungsi Hasil Sut, Kos Sut dan Untung Sut

Pengenalan

Terbitan pertama sesuatu fungsi boleh didapati dengan menggunakan kaedah:

PRINSIP PERTAMA (atau HAD) atau

PETUA PEMBEZAAN

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb…)

(x1, y1) atau (x1, f(x1))

Q

(x2, y2) atau (x2, f(x2))

P

x2 – x1 = h

y2 – y1 atau f(x2) – f(x1)

x

y

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb…)

Terbitan pertama fungsi f(x) ialah:

h

xfhxfhadxfh

)()()('

0

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb…)

Contoh: Dapatkan pembezaan PRINSIP PERTAMA

bagi fungsi

1

1

)(

)()()('

:

0

0

0

0

h

h

h

h

had

h

hhad

h

xhxhad

h

xfhxfhadxf

anPenyelesaixxf )(

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb…)

4

4

4

]14144[

]14[]1)(4[

)()()('

0

0

0

0

0

h

h

h

h

h

had

h

hhad

h

xhxhad

h

xhxhad

h

xfhxfhadxf

14)( xxf

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb…)

3

3

3

]73733[

)]73(7)(3[

)()()('

0

0

0

0

0

h

h

h

h

h

had

h

hhad

h

xhxhad

h

xhxhad

h

xfhxfhadxf

73)( xxf

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb…)

42

402

)42(

42

848442

)84(]8)(4)[(

)()()('

0

2

0

222

0

22

0

0

x

x

hxhad

h

hhxhhad

h

xxhxhxhxhad

h

xxhxhxhad

h

xfhxfhadxf

h

h

h

h

h

84)( 2 xxxf

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb…)

6)(.3

3)(.2

31)(.1

2

xxf

xxf

xxfLATIHAN:

Petua PEMBEZAAN

Jika y = c, di mana c adalah pemalar Jika y = xn

0dx

dy

1 nnxdx

dy

3033)(

6)(

:

xf

xf

Contoh

222

8

)(

)(

:

xxf

xxf

Contoh

Petua PEMBEZAAN (samb…)

Jika y = cu di mana u = f(x) dan c adalah pemalar

dx

duc

dx

dy

2

8

9)(

4)(

:

xxf

xxf

Contoh

Petua PEMBEZAAN (samb…)

Jika y = uv di mana u = f(x) dan v = g(x) dx

duv

dx

dvu

dx

dy

)2)(78()(

)32)(23(

:

2

22

xxxf

xxxxy

Contoh

Petua PEMBEZAAN (samb…)

Jika y = uv di mana u = f(x) dan v = g(x) dx

duv

dx

dvu

dx

dy

720158

)963264()383124(

)]32)(32[()]14)(23[(

)32)(23(

23

223223

22

22

xxxdx

dy

xxxxxxxxxxdx

dy

xxxxxxdx

dy

xxxxy

Petua PEMBEZAAN (samb…)

Jika y = uv di mana u = f(x) dan v = g(x) dx

duv

dx

dvu

dx

dy

141621:

)]7)(2[()]2)(78[()('

)2)(78()(

2

2

2

xxAnswer

xxxxf

xxxf

Petua PEMBEZAAN (samb…)

Jika y = u + v, di mana u = f(x) dan v = g(x) dx

dv

dx

du

dx

dy

xxxf

xxxf

Contoh

23)(

74)(

:

2

25

Petua PEMBEZAAN (samb…)

Jika di mana u = f(x) dan v = g(x)

v

uy

2v

dx

dvu

dx

duv

dx

dy

14

32

1

:

x

xy

x

xy

Contoh

Petua PEMBEZAAN (samb…)

2v

dx

dvu

dx

duv

dx

dy

2

2

2

)14(

14

)14(

12828

)14(

)4)(32[()]2)(14[(

14

32

xdx

dy

x

xx

dx

dy

x

xx

dx

dy

x

xy

u

v

Petua PEMBEZAAN (samb…)

nxfy

Jika

))(( )('))(( 1 xfxfndx

dy n

32

2

)123(

)12(

:

xxy

xy

Contoh

Petua PEMBEZAAN (samb…)

nxfy ))(( )('))(( 1 xfxfndx

dy n

)12(4

)2)(12(2

)12( 2

xdx

dy

xdx

dy

xy

Petua PEMBEZAAN (samb…)

Jika y dinyatakan dalam sebutan u, , dan u dinyatakan dalam sebutan x, , maka y dapat dinyatakan dalam sebutan x, iaitu

dx

dyCari

xu

uy

Contoh

2

35

:

2

)(ufy

)(xgu

))(()( xgfufy

dx

du

du

dy

dx

dy

Petua PEMBEZAAN (samb…)

dx

dyCari

xu

uy

Contoh

2

35

:

2

dx

du

du

dy

dx

dy

dx

du

udu

dy

Solution

2

10

:

Terbitan PERINGKAT TINGGI

Melakukan pembezaan kali kedua dan seterusnya ke atas sesuatu fungsi.

Terbitan pertama Terbitan kedua Tebitan ketiga Terbitan ke-n

dx

dyxf )('

2

2

)(''dx

ydxf

3

3

)(''dx

ydxf

n

nn

dx

ydxf )('

Terbitan PERINGKAT TINGGI

Contoh: Cari jika

3

3

dx

yd112 21 xxy

4

3

3

3

2

2

2

12

24

22

xdx

yd

xdx

yd

xxdx

dy

Titik PEGUN, MAKSIMUM, MINIMUM & LENGKOK BALAS

y y

yy

x x

x x

Titik maksimum Titik minimum

Titik lengkuk balas Titik lengkuk balas

Kaedah menentukan titik MAKSIMUM, MINIMUM atau LENGKOK BALAS

2 kaedah iaitu dengan menggunakan: ujian TERBITAN KEDUA ujian TERBITAN PERTAMA

Kaedah Ujian Terbitan Kedua

Langkah-langkah: Cari f (x). Dapatkan titik genting, set f (x) = 0. Katakan titik genting ialah x = c. Gantikan x dengan c ke dalam f (x). Cari f (x). Jika f (x) positif, titik minimum diperolehi. negatif, titik maksimum diperolehi. 0, ujian gagal, perlu guna UJIAN TERBITAN PERTAMA.

Kaedah Ujian Terbitan Pertama

Langkah-langkah:

Cari f (x).

Dapatkan titik genting, set f (x) = 0. Katakan titik gentingnya ialah x = c

Pilih nilai yang lebih kecil sedikit daripada c dan yang lebih besar sedikit daripada c.

Kaedah Ujian Terbitan Pertama (samb…)

Gantikan nilai ini kedalam f (x). Jika f (x) berubah tandanya dari negatif ke positif, titik genting ialah titik minimum.

y

x

c

Kaedah Ujian Terbitan Pertama (samb…)

Gantikan nilai ini kedalam f (x). Jika f (x) berubah tandanya dari +ve ke –ve, titik genting ialah titik maksimum. tidak berubah, titik pegun ialah titik lengkuk balas.

y

x

c

Penggunaan PEMBEZAAN dalam PERNIAGAAN

Kos Purata Kos yang mempunyai hubungan dengan pengeluaran. Jika pengeluaran berubah, maka kos secara puratanya berubah. Katakan jumlah kos mengeluarkan sebanyak x unit barangan ialah: Kos purata bagi setiap output ialah:

)(xfy

x

xf

x

y )(

Penggunaan PEMBEZAAN dalam PERNIAGAAN (samb…)

Kos Marginal (sut) Jika jumlah kos ialah , maka jika output bertambah sebanyak h, pertambahan dalam kos ialah . Kos marginal ditakrifkan sebagai:

)(xfy

)()( xfhxf

h

xfhxf

dx

dy )()(

)(')()(

0xf

h

xfhxfhadh

Penggunaan PEMBEZAAN dalam PERNIAGAAN (samb…)

Hasil Katakan fungsi permintaan bagi sesuatu barangan ialah di mana y mewakili harga barang dan x mewakili kuantiti yang diminta pada barangan y. Hasil sut ialah:

)(xfy

)(')(

'

xxfxf

dx

drR