JQK 1103 Matematik untuk Teknologi

PEMBEZAAN

Kandungan:

Konsep Pembezaan menggunakan Prinsip Pertama Petua Pembezaan Terbitan Peringkat Tinggi Titik Pegun, Maksimum, Minimum dan Titik Lengkok Balas Penggunaan Pembezaan dalam Perniagaan - Fungsi Hasil Sut, Kos Sut dan Untung Sut

PengenalanTerbitan pertama sesuatu fungsi boleh didapati dengan menggunakan kaedah: PRINSIP PERTAMA (atau HAD) atau PETUA PEMBEZAAN

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb)

y

(x2, y2) atau (x2, f(x2))Q

(x1, y1) atau (x1, f(x1)) P x2 x1 = h

y2 y1 atau f(x2) f(x1)

x

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb)

Terbitan pertama fungsi f(x) ialah:

f ( x h) f ( x ) f ' ( x) had h 0 h

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb)

Contoh: Dapatkan pembezaan PRINSIP PERTAMA bagi fungsi f ( x) x Penyelesaian :f ( x h) f ( x ) f ' ( x) had h 0 h ( x h) x had h 0 h h had h 0 h had 1h 0

1

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb)

f ( x) 4 x 1

f ( x h) f ( x ) f ' ( x) had h 0 h [4( x h) 1] [4 x 1] had h 0 h [4 x 4h 1 4 x 1] had h 0 h 4h had h 0 h had 4h 0

4

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb)

f ( x) 3 x 7

f ( x h) f ( x ) f ' ( x) had h 0 h [3( x h) 7 (3 x 7)] had h 0 h [3 x 3h 7 3 x 7] had h 0 h 3h had h 0 h had 3h 0

3

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb)

f ( x) x 4 x 82

f ( x h) f ( x ) h 0 h [( x h) 2 4( x h) 8] ( x 2 4 x 8) had h 0 h x 2 2 xh h 2 4 x 4h 8 x 2 4 x 8 had h 0 h 2 xh h 2 4h had h 0 h had ( 2 x h 4) f ' ( x) hadh 0

2x 0 4 2x 4

Konsep Pembezaan menggunakan PRINSIP PERTAMA (samb)

LATIHAN:

1. f ( x) 1 3 x 2. f ( x) x 3 3. f ( x) x 62

Petua PEMBEZAANJika y = c, di mana c adalah Contoh : pemalar

f ( x) 6 f ( x) 3033

dy 0 dxdy n 1 nx dx

Jika y =

xnContoh : f ( x) x 8 f ( x) x 222

Petua PEMBEZAAN (samb)Jika y = cu di mana u = f(x) dan c adalah pemalar

dy du c dx dxContoh : f ( x) 4 x 8 f ( x) 9 x 2

Petua PEMBEZAAN (samb)Jika y = uv di mana u = f(x) dan v = g(x)

dy dv du u v dx dx dx2 2

Contoh : y ( x 3x 2)(2 x x 3) f ( x) (8 7 x)(x 2 2)

Petua PEMBEZAAN (samb)Jika y = uv di mana u = f(x) dan v = g(x)

dy dv du u v dx dx dx

y ( x 2 3x 2)(2 x 2 x 3) dy [( x 2 3x 2)(4 x 1)] [(2 x 2 x 3)(2 x 3)] dx dy (4 x 3 x 2 12 x 2 3x 8 x 3) (4 x 3 6 x 2 2 x 2 3x 6 x 9) dx dy 8 x 3 15x 2 20 x 7 dx

Petua PEMBEZAAN (samb)Jika y = uv di mana u = f(x) dan v = g(x)

dy dv du u v dx dx dx2

f ( x) (8 7 x)(x 2) f ' ( x) [(8 7 x)(2 x)] [(x 2 2)(7)] Answer : 21x 2 16 x 14

Petua PEMBEZAAN (samb)Jika y = u + v, di mana u = f(x) dan v = g(x)

dy du dv dx dx dxContoh : f ( x) 4 x 5 7 x 2 f ( x) 3 x 2 2 x

Petua PEMBEZAAN (samb)u Jika y vdi mana u = f(x) dan v = g(x)

Contoh : x y x 1 2x 3 y 4x 1

du dv v u dy dx dx 2 dx v

Petua PEMBEZAAN (samb)

2x 3 y v 4x 1 dy [(4 x 1)(2)] [(2 x 3)(4) 2 dx (4 x 1) dy 8 x 2 8 x 12 2 dx (4 x 1) dy 14 2 dx (4 x 1)

u

du dv v u dy dx 2 dx dx v

Petua PEMBEZAAN (samb)

Jika y ( f ( x))n

dy n1 n( f ( x)) f ' ( x) dx

Contoh : y (2 x 1)2 2 3

y (3 x 2 x 1)

Petua PEMBEZAAN (samb)

y ( f ( x ))

n

dy n1 n( f ( x)) f ' ( x) dx

y (2 x 1)

2

dy 2(2 x 1)(2) dx dy 4(2 x 1) dx

Petua PEMBEZAAN (samb)Jika y dinyatakan dalam sebutan u, y f (u ), dan u dinyatakan dalam sebutan x, u g (x) , maka y dapat dinyatakan dalam sebutan x, iaitu y f (u ) f ( g ( x))Contoh : y 5u 2 3 u 2x dy Cari dx

dy dy du dx du dx

Petua PEMBEZAAN (samb)

Contoh : y 5u 32

Solution : dy 10u du du 2 dx dy dy du dx du dx

u 2x dy Cari dx

Terbitan PERINGKAT TINGGIMelakukan pembezaan kali kedua dan seterusnya ke atas sesuatu fungsi.

Terbitan pertama

dy f ' ( x) dxd2y f ' ' ( x) 2 dx

Terbitan kedua Tebitan ketigad3y f ' ' ( x) 3 dx

Terbitan ke-n

dny f n ' ( x) n dx

Terbitan PERINGKAT TINGGIContoh:

d y Cari jika y 2 x 1 1 x 2 1 dx 3

3

dy 2 x 2 2 x dx d2y 3 4x 2 2 dx 3 d y 4 12 x 3 dx

TitikPEGUN, MAKSIMUM, MINIMUM & LENGKOK BALASy y

x

x

Titik maksimumy y

Titik minimum

x

x

Titik lengkuk balas

Titik lengkuk balas

Kaedah menentukan titik MAKSIMUM, MINIMUM atau LENGKOK BALAS

2 kaedah iaitu dengan menggunakan: ujian TERBITAN KEDUA ujian TERBITAN PERTAMA

Kaedah Ujian Terbitan KeduaLangkah-langkah: Cari f (x). Dapatkan titik genting, set f (x) = 0. Katakan titik genting ialah x = c. Gantikan x dengan c ke dalam f (x). Cari f (x). Jika f (x) positif, titik minimum diperolehi. negatif, titik maksimum diperolehi. 0, ujian gagal, perlu guna UJIAN TERBITAN PERTAMA.

Kaedah Ujian Terbitan PertamaLangkah-langkah: Cari f (x). Dapatkan titik genting, set f (x) = 0. Katakan titik gentingnya ialah x = c Pilih nilai yang lebih kecil sedikit daripada c dan yang lebih besar sedikit daripada c.

Kaedah Ujian Terbitan Pertama (samb)Gantikan nilai ini kedalam f (x). Jika f (x) berubah tandanya dari negatif ke positif, titik genting ialah titik minimum.y

x c

Kaedah Ujian Terbitan Pertama (samb)Gantikan nilai ini kedalam f (x). Jika f (x) berubah tandanya dari +ve ke ve, titik genting ialah titik maksimum. y

x c

tidak berubah, titik pegun ialah titik lengkuk balas.

Penggunaan PEMBEZAAN dalam PERNIAGAANKos Purata Kos yang mempunyai hubungan dengan pengeluaran. Jika pengeluaran berubah, maka kos secara puratanya berubah. Katakan jumlah kos mengeluarkan sebanyak x unit barangan ialah: y f (x) Kos purata bagi setiap output ialah:

y f ( x) x x

Penggunaan PEMBEZAAN dalam PERNIAGAAN (samb)Kos Marginal (sut) Jika jumlah kos ialah y f (x) , maka jika output bertambah sebanyak h, pertambahan dalam kos ialah f ( x h) f ( x) .

dy f ( x h) f ( x) dx hKos marginal ditakrifkan sebagai:

f ( x h) f ( x ) had f ' ( x) h 0 h

Penggunaan PEMBEZAAN dalam PERNIAGAAN (samb)Hasil Katakan fungsi permintaan bagi sesuatu barangan ialah y f (x) di mana y mewakili harga barang dan x mewakili kuantiti yang diminta pada barangan y.

dr Hasil sut ialah: R ' dx f ( x) xf ' ( x)