pembezaan lanjutan

y y

x x0 0

a

BAB 3 : PEMBEZAAN LANJUTANMatematik II (B 2001)

POLITEKNIK PORT DICKSONJABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER

Pembezaan Lanjutan

Penentuan Titik Minimum & Titik Maksimum Bg Suatu Garis Lurus

Nilai x x < a x = a

x > a x < b x = b x > b

Tanda - ve

0

+ ve

+ ve

0

- ve

June/JMSK/PPD/7506211

kecerunan negatif dy/dx

= -ve

kecerunan positif

dy/dx = +ve

kecerunan sifar

dy/dx = 0P

Q

Kecerunan

sifar dy/dx=

0kecerunan

positif dy/dx=+ve

kecerunan negatif

dy/dx= -ve

Fungsi menambah kecerunan +veFungsi menyusut kecerunan –ve

Titik P & Q titik pegunTitik P titik minimumTitik Q titik maksimum

dx

dy

0dx

dy

dx

dyb

Tentukan fungsi menyusut & menambah Tentukan titik pegun minimum & maksimum}Gunakan kaedah &

kecerunan titik titik penukaran @ titik pegun @ titik

pusingan

y y

x x0 0

M

N


Lakaran tangenLakaran

Titik Penukaran Minimum di x =a Maksimum di x = b

Tanda > 0 < 0

Penentuan Titik Lengkok Balas Bg Suatu Garis Lurus

Contoh 1

Diberi lengkungan y = 2x2 - 4x + 3. Cari titik pegun dan tentukan sifat titik tersebut.

PenyelesaianJune/JMSK/PPD/750621

2

Titik M & N ialah titik lengkok balas kerana

Titik lengkok balas kerana maka tiada titik maksimum @ titik

minimum pd garis lengkung tsbt.


Diberi y = 2x 2 - 4x + 3

= 4x - 4

Pada titik pegun , = 0

Maka , 0 = 4x - 4 = 4( x - 1 ) x = 1

Apabila x = 1, y = 2 ( 1 )2 - 4 ( 1 ) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1

Titik ( 1 , 1 ) ialah satu titik pegun.

Bezakan terhadap x, = 4 dan 4 > 0

Oleh kerana positif, maka ia adalah titik minimum

Titik (1, 1) ialah satu titik minimum pada lengkungan itu.

Contoh 2

Carikan titik pegun bagi lengkungan y = 2x3 - 5 dan tentukan sama ada minimum, maksimum atau titik lengkok balas.

Penyelesaian

y = 2x3 - 5



= 6x2 dan pada titik pegun =0

maka 0 = 6x2

x = 0

Apabila x = 0 , y = 2 ( 0 ) 3 - 5 = -5

Titik pegun ialah di ( 0 , -5 )

Bezakan terhadap x, = 12x

Apabila x = 0 , = 0

Pada x = 0 titik tersebut adalah titik lengkok balas.

Contoh 3

Tentukan titik minimum atau maksimum bagi fungsi berikut dan lakarkan grafnya.

a. y = x2 - 1 b. y = 3 + 2x – x2

Penyelesaian a. Diberi y = x2 - 1 --------- (1)

= 2x -------------- (2)



Diketahui bahawa di titik pegun dy/dx = 0 iaitu 2x = 0 x= 0 gantikan x = 0 ke dalam (1) y = 0 - 1 = -1

Ini bermakna titik pegun terletak di titik ( 0 , - 1 )

Untuk menentukan titik minimum atau maksimum, lakukan pembezaan

peringkat kedua iaitu = 2 dan 2 > 0

Oleh kerana positif, maka ia adalah titik minimum.

Untuk melakar graf , dapatkan pintasan di paksi- x dan paksi- yIaitu untuk pintasan di paksi- x, jadikan y = 0

Oleh itu 0 = x2 - 1 x2 = 1 x = Untuk pintasan di paksi-y, jadikan x = 0

Oleh itu y = 0 – 1 y = -1

Graf itu memotong paksi–x di titik (-1 , 0 ) dan (1 , 0), memotong paksi-y di (0 , -1) serta mempunyai titik minimum di titik (0 , -1).

b. Diberi y = 3 + 2x – x2 ------------------------- (1)

= -2x + 2 ------------------------- (2)

Diketahui bahawa di titik pegun dy/dx = 0 iaitu 0 = -2x + 2 2 x= 2 x = 1 gantikan x = 1 ke dalam (1) y = 3 + 2(1) – (1 )2 = 4

Ini bermakna titik pegun terletak di titik (1 , 4).


x

(0 , -1)

y

(-1 , 0) (1 , 0)

(0,3)


Untuk menentukan titik minimum atau maksimum, lakukan pembezaan

peringkat kedua iaitu = -2 dan – 2 < 0

Oleh kerana negatif , maka ia adalah titik maksimum.

Untuk melakar graf, dapatkan pintasan di paksi- x dan paksi- y.Untuk pintasan di paksi- x, jadikan y = 0

Oleh itu 0 = 3 + 2x- x2 0 = (- x -1 )(x - 3) x = -1 dan x = 3

Dan untuk pintasan di paksi-y, jadikan x = 0 Oleh itu y = 3 + 0 + 0 y = 3

Graf itu memotong paksi–x di titik (-1, 0) dan (3, 0), memotong paksi-y di (0, 3) serta mempunyai titik maksimum di titik (1, 4).Lakaran graf adalah seperti di bawah setelah maklumat-maklumat diperolehi.

SOALAN

1. Carikan titik-titik pegun bagi setiap garislengkung berikut. Nyatakan samada titik itu maksimum, minimum atau lengkok balas.

a. y = 2x - x2

b. y = 4x3 - 3x4

c. y = 2x ( x - 1 )2

d.

e. y = x3 - 3x2 + 2 f. y = x3 - 9x2 + 24x - 6


(1 , 4)

(-1 , 0) (3 , 0) x

y

-x

y

(0 , 3)

x

y


2. Tentukan titik minimum atau maksimum bagi fungsi berikut dan lakarkan grafnya.

a. y = x2 – x – 6b. y = -x2 + 3

JAWAPAN1. a. ( 1, 1 ) titik maksimum

b. ( 1 , 1 ) titik maksimum, ( 0 , 0 ) lengkok balas c. ( 1 , 0 ) minimum, (1/3 , - 4/9 ) maksimum d. ( 2 , 0 ) minimum, ( -2 , -8 ) maksimum e. ( 0 , 2 ) maksimum, ( 2 , -2 ) minimum f. ( 2 , 14 ) maksimum, ( 4 , 10 ) minimum

2. a. titik minimum di b. titik maksimum di ( 0 , 3 )

.

Pembezaan Lanjutan – Masalah Optimum

PENGENALAN

Istilah yang seringkali digunakan dalam kehidupan harian

keuntungan maksimum, keupayaan maksimum, kos minimum atau jarak terdekat

Mengikut konsep pembezaan nilai optimum berlaku bila

Utk tentukan nilai optimum itu maksimum atau minimum lakukan pembezaan peringkat kedua

Jika 0, nilai optimum

minimum

Jika 0, nilai optimum

maksimum.

Panduan untuk selesaikan 1. Wakilkan simbol kepada semua



masalah optimum

pembolehubah yang diberi.2. Bina persamaan yang dapat

mengkaitkan pembolehubah-pembolehubah ini.

3. Jika lebih daripada satu pembolehubah terlibat, cari hubungan antara pembolehubah-pembolehubah tersebut.

4. Tulis persamaan yang perlu dioptimumkan.

5. Tentukan nilai optimum atau nilai pegun.

6. Gunakan ujian terbitan kedua untuk menguji nilai pegun dan tentukan nilai maksimum atau minimum.

Contoh 1 :

Sebuah segiempat tepat mempunyai perimeter 28m. Cari luas maksimumnya.

Penyelesaian

Katakan : panjang ialah x m dan

lebar ialah y m

Diberi perimeter segiempat tepat = 28 m

Maka 2 x + 2 y = 28

x + y =14

y = 14 - x

Luas segimpat tepat, L = x y

= x ( 14 - x)June/JMSK/PPD/750621

8

x m

y m

Tulis semula L supaya

mengandungi satu pembolehubah x

sahaja.


Bezakan luas L terhadap x,

Untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum,

Maka, 14 - 2x = 0

x = 7

( 0)

Dengan demikian, x = 7 memberikan luas maksimum.

L = 7 ( 14 - 7)

= 49

Jadi luas maksimum segiempat tepat itu ialah 49 m2.

Contoh 2 :

Sebuah tangki air aluminium berbentuk kuboid terbuka di atas ingin dibentuk daripada kepingan aluminium yang berbentuk segiemapat sama dengan sisi 5 m. Untuk membentuk tangki tersebut, kepingan segiempat sama dipotongkan daripada kempat-empat penjuru kepingan aluminium itu dan bakinya dilipatkan dan dipateri untuk membentuk tangki terbuka itu. Cari isipadu maksimum tangki tersebut.

Penyelesaian


x

xxx

x x

x

Rajah a

Katakan x adalah sisi yang dipotongkan

keluar daripada tiap-tiap penjuru seperti

rajah 8.5. Panjang dan lebar kotak

tersebut adalah (5 –2x)m dan tinggi

nya ialah x m seperti rajah disebelah.

Suatu persamaan yang boleh dibentukkan

tentang isipadu tangki ialah:

Isipadu = Tinggi X Lebar X


Untuk menentukan sama ada nilai optimum itu maksimum atau minimum, gunakan ujian pembezaan terbitan kali kedua. Terbitan kedua isipadu ialah

.

Apabila,

Oleh kerana iisipadu adalah maksimum apabila

Apabila,

Oleh kerana isipadu adalah minimum apabila

Oleh itu, apabila segiempat sama dipotong dari setiap bucu kepingan

aluminium, isipadu tangki adalah maksimum.


Oleh demikian, persamaan Matematiknya ialah:

I = x ( 5 – 2x) (5 – 2x)

= x (25 – 20 x + 4x2)

= 25x – 20x2 + 4x3

Untuk menentukan nilai optimumnya,

bezakan I terhadap x.

Pada titik optimum,

Maka,

Rajah b

x

5 -2x5 -2x


Isipadu maksimum tangki itu ialah

Soalan Latihan

1. Pagar sepanjang 80m diperlukan untuk membina sebuah kawasan tempat meletak kereta persendirian. Apakah panjang dan lebar kawasan tempat meletak kereta tersebut supaya menghasilkan luas yang maksimum.

2. Sebuah selinder tertutup mempunyai isipadu 1000 cm3 . Carikan tinggi dan jejari tapak bagi selinder itu jika jumlah luas permukaan adalah minimum.

Jawapan

1. 400 m2

2. 108.4 cm, 5.42 cm



Pembezaan Lanjutan – Garis Tangen dan GarisNormal Kpd Lengkungan

PENGENALAN

Kecerunan Tangen pd lengkungan Kecerunan lengkungan pd suatu

titik

Persamaan Suatu Lengkung

Kecerunan Tangen pd suatu titik tertentu kpd lengkung tsbt

Tahu Titik Koordinat boleh cari Kecerunan Lengkungan tentukan persamaan Tangen & persamaan Normal

Tangen Garis lurus yg sentuh suatu lengkungan pd suatu titik

Normal Garis lurus yg berserenjang dgn tangen bg suatu lengkungan pd satu titik

» Kecerunan Tangen pd titik

» Kecerunan Normal pd titik

» Persamaan Tangen



» Persamaan Normal

Contoh 1

Carikan persamaan tangen kepada lengkungan y = 4x2 - 12x + 10 pada titik di mana x = 4.

Penyelesaian

Diberi y= 4x2 – 12 x + 10

Bezakan y berbanding x, maka

= 8x - 12

Oleh kerana x = 4, maka

Gantikan nilai x = 4 ke dalam

Maka, =20

Kecerunan lengkungan pada x = 4 ialah 20.

Apabila x = 4 y = 4 (4)2 – 12 (4) + 10 = 26

Persamaan Tangen pada nilai x = 4 ialah: June/JMSK/PPD/750621

13

x

y

Garis Tangen

Garis Normal

y= 4x2 – 12 x + 10

10

x

y

4

26

Garis Tangen


y – y1 = (x – x1)

y – 26 = 20 ( x – 4) y = 20x – 80 + 26

y = 20x - 54

Contoh 2

Carikan persamaan normal kepada lengkungan y = 4x2 - 12x + 10 pada titik di mana x = 2.

Penyelesaian

Diberi y = 4x2 – 12 x + 10

Bezakan y berbanding x, maka

= 8x - 12

Oleh kerana x = 2, maka

Gantikan nilai x = 2 ke dalam

Maka = 4

Maka, kecerunan Garis Normal pada x = 2 ialah =

Apabila x = 2 y = 4 (2)2 – 12 (2) + 10 = 2

Persamaan Normal pada nilai x = 2 ialah y – y1 = [-1/ ](x – x1)

y – 2 = ( x – 2)

4y – 8 = x – 2 4y = 8x – 2


ialah kecerunan tangen kepada lengkung pada suatu titik

Rajah 8.3

y= 4x2 – 12 x + 10

2

x

y

2

Garis Tangen

Garis Normsl


y = 2x –

SOALAN

1. Cari persamaan tangen dan persamaan normal kepada setiap lengkung yang berikut pada titik yang diberikan.

a. y = x2 – 2 pada titik ( 1 , -1 )b. y = x2 – 5x + 2 pada titik ( 3 , -4)c. y = (2x – 1) ( x + 1) pada titik ( 1, 1)d. y= ( x – 2) ( x2 + 1 ) pada titik (-1 , -6 )

2. Cari persamaan tangen kepada lengkung y = ( x – 5 ) ( 2x + 1 ) yang selari dengan paksi –x

3. Cari nilai k supaya garis y = 2x + k adalah normal kepada lengkung y = 2x2 - 3

4. Cari persamaan normal kepada lengkung x = kos , y = sin pada

titik dengan = . Cari koordinat bagi titik apabila normal ini

memotong lengkung sekali lagi.

JAWAPAN1. a. y = 2x – 3

x + 2y + 1 = 0b. x – y - 7 = 0

x + y + 1 = 0c. y = 5x – 4

5y + x = 6d. y = 8 x + 2

x + 8y + 49 = 0

2. y =

3. y =


[-1/] ialah kecerunan Normal kepada lengkung pada suatu

titik


4. x = y ; ( -

Pembezaan Lanjutan –Sesaran, Halaju & Pecutan

PENGENALAN

Suatu zarah mulai bergerak dari satu titik tetap O pada satu garis lurus. Selepas masa t, jaraknya dari 0

ialah s

Maka s ialah suatu fungsi bagi t, iaitu

Halaju pada masa t bagi zarah itu

kadar perubahan jarak iaitu

Pecutan ditakrifkan sebagai kadar perubahan halaju terhadap masa

Pecutan,

Unit digunakan untuk pecutan adalah m / s2, km/s2, km/j2 dan lain-lain lagi

Contoh 1 :

Suatu zarah P bergerak pada satu garis lurus supaya sesarannya, s meter, dari satu titik tetap 0 selepas t saat diberi oleh s = 8t2 – t3. Carikan

a. jarak yang dilalui oleh P dalam saat ketigab. halaju P selepas 1 saatc. pecutan P selepas 2 saat

Penyelesaian

a. s = 8t2 – t3 apabila t = 3 , S3 = 8 ( 3 )2 - ( 3 )3 = 8 (9) - 27 = 45 mapabila t = 2 , S2 = 8 ( 2 )2 - ( 2 )3 = 8 (4) - 8 = 24 m

Jarak yang dilalui dalam saat ketiga = S3 – S2 = 45 – 24 = 21 m

b. Halaju, v = = 16 t – 3t2


Jarak, s = f (t)

Halaju , v =

dan a =

oleh itu , a = = =


Apabila t = 1, V= 16 (1) – 3 (1)2 = 16 –3 = 13ms-1

c. Pecutan, a = = 16 –6t

Apabila t = 2, a = 16 – 6(2) = 16 – 12 = 4ms-2

Contoh 2:

Sebuah kereta peronda polis mengejar perompak melalui jalan lurus di bandar Kuantan. Jaraknya s meter, t saat selepas melalui bandar Kuantan diberi oleh

s = t3 - 6t + 5t. Carikan a. Halaju kereta apabila ia kembali

kepada ke Bandar Kuantanb. Halaju kereta peronda polis apabila pecutan sifar.

Penyelesaian

a. Apabila kereta berada semula di Bandar Kuantan, s = 0t3 – 6t2 + 5 t = 0t ( t2 – 6t + 5 ) = 0t (t – 1 ) ( t – 5 ) = 0maka t = 0 , 1 atau 5

Halaju, v = = 3 t2 – 12t + 5

Apabila t = 0, v = 3 (0)2 – 12 (0) + 5 = 5 ms-1

Apabila t = 1, v = 3 (1)2 – 12 (1) + 5 = -4 ms-1

Apabila t = 5, v = 3 (5)2 – 12 (5) + 5 = 20 ms-1

V= 5 ms-1 ialah halaju zarah ketika ia melalui bandar KuantanMaka kereta peronda polis kembali ke bandar Kuantan dengan halaju -4 ms-1 dan 20 ms-1

b. Pecutan, a = = 6 t – 12

Apabila a = 0 6 t – 12 = 0

6t =12

t = = 2s

Halaju, v = 3 (2)2 – 12(2) + 5 = 12 – 24 + 5 = -7 ms-1



Soalan Latihan

1. Suatu zarah bergerak pada satu garis lurus melalui jarak s meter, t saat selepas melalui 0. Carikan halaju dan pecutannya apabila t = 2.

a. s = t3

b. s = 3t2 + t + 1c. s = 3t4 – 4t3

2. Suatu zarah bergerak pada satu garis lurus dan jaraknya, s meter dari titik tetap O, adalah diberi oleh s = t 2 – t3 di mana t adalah masa dalam saat selepas melalui O. Carikan halaju zarah itu ketika pecutannya ialah sifar.

3. Sebuah kereta bergerak dari keadaan pegun dan bergerak sejauh s meter pada satu jalan lurus dalam t saat. Diberi bahawa s = t2 ( t + 2 ), carikan

a. Pecutannya selepas 4 saatb. Masa t, apabila halajunya ialah 39 ms-1

c. Jarak yang dilalui dalam saat keempat.

4. Sebuah kereta bergerak di satu jalan yang lurus dan jaraknya, s meter dari Bandar Ipoh diberi s = 27 t – t3 di mana t adalah masa dalam saat selepas melalui Bandar Ipoh. Carikan

a. Nilai s apabila kereta berhenti seketika,b. Halaju kereta apabila ia melalui Bandar Ipoh semula.

Jawapan1. a. 12ms-1, 12 ms-2

b. 13ms-1, 6 ms-2

c. 48 ms-1

2. ms-1

3. a. 28 ms-2

b. 3 sc. 51 m.

4. a. 54



b. -54ms-1

Pembezaan Lanjutan – Kadar Perubahan

PENGENALAN

Masalah seharian manusia yg berkaitan dengan kadar perubahan

1. Seorang jurutera elektrik berminat untuk mengetahui kadar perubahan arus pada sebuah litar elektrik.

2. Jurutera pembinaan ingin mengetahui kadar pengembangan konkrit pada sebuah jambatan

3. Seorang jurutera mekanikal perlu tahu kadar pengecutan dan pengembangan injap dalam sebuah pam yang digunakan untuk menggerudi minyak

Perubahan arus I, terhadap masa t

atau

Perubahan isipadu V, terhadap masa t

atau

Contoh 1 :

Jika . Apakah kadar perubahan bila dan

Jika ,

Jika ,

Contoh 2 :



Sebiji belon yang berbentuk sfera diisi dengan udara supaya isipadunya bertambah kepada 50cm3s-1. Cari kadar perubahan jejari belon itu ketika jejarinya ialah 12cm.

Katakan;masa ialah t, isipadu belon ialah V cm3 dan jejari belon ialah j cm

V = isipadu belon =

Diberi

Gunakan petua rantai,

Apabila ,

Maka, kadar prubahan jejari belon ketika jejarinya 12 ialah

Contoh 3 :

Luas permukaan sebuah kubus bertambah dengan kadar 0.1m2s-1. Cari kadar perubahan isipadunya apabila panjang sisi kubus itu ialah 2m.


Rumus

sfera


Luas kubus,

Diberi

Maka,

Isipadu,

Gunakan petua rantai ,

bila a=2,

Maka kadar prubahan isipadu

Soalan Latihan

1. Sebuah kubus logam berkembang supaya sisi-sisinya berubah pada kadar 2 cms-1. Carikan kadar perubahan jumlah luas permukaan apabila isipadunya ialah 125cm3.

2. Jejari sebuah bulatan bertambah pada kadar tetap 0.5 ms-1. Carikan kadar tambahan luas bulatan apabila lilitannya ialah 12 m panjang.


a

a

a


3. Sebuah bekas, kosong pada awalnya, sedang diisikan dengan cecair. Kedalaman cecair dalam bekas selepas pengisian bermula selama t saat ialah x cm dan isipadu cecair ialah V cm3

di mana

V = ( x + 2 )

Diberi V bertambah dengan kadar malar dan x = 10 apabila t = 15, carikan

a. dalam sebutan ,

b. kadar tambahan bagi x apabila x = 7

4. Pasir dicurahkan ke atas lantai ufuk dengan kadar 4 cm3 per saat dan membentuknya satu timbunan dalam bentuk kon

bulatan tegak dengan ketingginya kali jejarinya. Carikan kadar

perubahan dalam jejarinya apabila jejarinya adalah 4 cm.

Jawapan

1. 120 cm2 s-1

2. 6 m2 s-1

3. a. 4 cm2 s-1

b. cm s-1

4. cm s-1


pembezaan lanjutan

Documents