PITA ENERGI

BAB 7

7.1.Asal mula celah energi•.Model elektron hampir bebas.

7.2.Nilai energi celah

MATERI:

7.2.Nilai energi celah•.Fungsi Bloch•.Model Kronig-Peney•.Persamaan sentral

INDIKATOR:

Mahasiswa harus dapat : Menjelaskan asal mula celah

energi.energi. Menggunakan persamaan

sentral untuk menentukan nilaicelah energi.

PITA ENERGITUJUAN :

Menjelaskan asal mula celah energi

Menggunakan persamaan sentral untuk menentukan nilai celah energi

Pita energi digunakan untuk membedakan antara konduktor,semikonduktor, isolator dan superkonduktor.

Kristal dapat dikelompokkan dalam 4 golongan :

1. Konduktor

2. Semikonduktor

3. Isolator

4. Superkonduktor

Dapat dijelaskan berdasarkan konduktivitasnya

0

0

dan berdasarkan pita energinya :

P.K

P.VE.g

P.K

P.V

P.K

P.V

P.V = Pita Valensi = pita energi yang terisi oleh elektron valensiP.K = Pita Konduksi = pita energi diatas pita valensi,yang akan terisi

elektron konduksiE.g = celah energi = energi yang diperlukan elektron untuk loncat

ke pita konduksi

isolator konduktor semikonduktor

Model Elektron Bebas ( V=0 )

Hamiltonian : 222

2m2mpH

EψHψ

Eψψ2m

22

Eψψ2m

rkieψ

22

k2m

E

Fungsi Gelombang elektron bebas :

E

O

Makna:Energi yang boleh dimiliki oleh elektron sembarang mulai dari nol sampai tak

22

k2m

E Dari nilai diperoleh grafik :

KO sembarang mulai dari nol sampai tak hingga untuk setiap nilai k

Gagal digunakan sebagai teori untuk menjelaskan perbedaan antara konduktor, semikonduktor, isolator, dan superkonduktor, karena energi yang dimiliki elektron kontinu sehingga tidak ada energi gap (celah energi).

Model elektron yang hampir bebas

: Tidak boleh ditempati

EΔE

E3

E4

EΔ

ditempati oleh elektron (celah terlarang)

E1

E2

KK1 =K2 = K1 = K2 =

Daerah Brillouin Pertamaa2π

EΔ

aπ

a2π

aπ

Sehingga model yang berlaku adalah model elektron yang hampir bebas ( V << ; V ≠0 )

V

V≠0

V~ ~

Persamaan Schrodinger : EψVψψ2m

22

V≠00 x = L 0 xx

Fungsi gelombang berjalan = aiπe xMisal : Logam 1-Dimensi

Dari solusi gelombang berdiri dapat dicari kerapatan elektronnya sebagai berikut : ax22 cosψρ

)aπx(2coseeψ ax-iaxi

Sehingga persamaan gelombang berdiri dapat diturunkan dari persamaan gelombang berjalan yaitu :

)aπx(2sineeψ ax-iaxi

sebagai berikut : ax22 cosψρ

ax22 sinψρ

Ternyata kedua solusi ini menumpuk elektron pada daerah yang berlainan relatif terhadap kedudukan ion-ionnya sehingga energi potensialnya berbeda, hal inilah yang menimbulkan loncatan energi sehingga timbul celah energi pada aπk

2

ψ

2

ψ

Besarnya celah energi: UψψxdxUEg 221

0

dimana )x a(2πUcosxU

TrVrV

332211 anananT

3 Dimensi

maka

periodikrV

X

Inti atom

Fungsi gelombang elektron yang hampir bebas dinyatakan oleh :

Fungsi Bloch :

rkikk erUrψ

rUΤrU kk

...................(1)

merupakan teorema untuk menyelesaikan persamaan Scrhodinger pada potensial pada potensial periodik

rUΤrU kk

sehingga : 22rψΤrψ

dimana : rψΤfΤrψ

Beberapa fungsi dari T

dengan :

1Tf2

1eTf 02

rikeTf

2T

1TT

atau : TiαeTf

...................(2)

bila : 21 TTT

maka : 2121 TiαTiαTTiα21 eeeTTf

merupakan fungsi 21 TT

α

2121 TαTαTTα

ZYX TCTBTΑTα

ZCYBXΑk ˆˆˆ

ZTYTXTT ˆˆˆ

Untuk kasus 3D

ZTYTXTT ZYXˆˆˆ

ZYX TCTBTATk

TkTα

maka : rψeTrψ Tki ...................(3)

sehingga :

Bukti bahwa : Uk periodik

Persamaan Bloch :

r.kikk erUrψ

rψeTrψ T.ki

Tr.kik .eTrUTrψ

.................*

.................**

subtitusikan dari pers.(1) ke pers.(3) :

r.kik

T.ki (r)eUeTrψ

Tr.kik (r)eUTrψ

Bila kita bandingkan :

Tr.kik eTrUTrψ

TrUrU kk

………………… terbukti Uk fungsi periodik

Tr.kik e(r)UTrψ

Karena : V periodik maka V dapat dinyatakan dalam bentuk

Deret Fourier (untuk 1 dimensi) :

)xna2πi(

n

.eVV

nx)a

2πsin(iVnx)a

2πcos(VV21 nn

Bila : x2πb ˆ

Vektor kisi resiprokBila : xa

2πb1 ˆ

Vektor kisi resiprok

a = konstanta kisi

maka : r.bnxn

a2π

1

ˆ xnr ˆ

Sehingga dalam 3-dimensi, dapat kita tuliskan:

3z2y1xzyx bnbnbniZnYnXna

2πiee

G

Jadir.Gi

GG

.eVV

r.GiG

Gk .eU)r(U

G

Persamaan Schrodingernya:

ψEψV2m

22

r.kir.Gi

GG

22 eeUψ

...................(4)

dengan

).rGki(G

G

2 eU

r).Gki(G

22 eUGkψ

...................(5)

Bila persamaan (5) di substitusi ke persamaan (4), akan diperoleh:

EψeUVeUGk2m

r).kGi(GGGGG

.rGkiG

2

G

2'

''

r.kir.GiG

G

r.iGGG

.eeUeVV ψ'

''

GG Maka

r.GiG

G

).rGi(GGGGG

r.GiG

2

G

2

eUEeUVeUGk2m

'

''

rG).i(GGGGG

r.GiGG

2

G

2'

'''

eUVeEUUGk2m

rGir)GGi( '

eUVeUV GG

0GGG0G'

'

r).GGi(GGG0G

r.GiG0GG

22'

' eUVeUVEUUGk2m

.............(6)

bila ''' GGG bila ''' GGG

maka ''' GGG

bila ''GG atau 0G'

maka dari persamaan (6) diperoleh :

''''

''''''' GG0G

GGGG

2''2

UVVUEUUGk2m

PERSAMAAN SENTRAL

1. Jelaskan• Asal mula terbentuknya celah energi

untuk model elektron hampir bebas.• Fungsi Bloch• Model Kronig-Peney

LATIHAN SOAL

2. Gunakan persamaan sentral untukmenentukan nilai celah energi.

3. Jelaskan apa yang dimaksud dengan energi gap

4. Jelaskan Perbedaan antara konduktor, semikonduktor, isolator dan superkonduktor berdasarkan konduktivitasnya.

LATIHAN SOAL

5. Jelaskan Perbedaan antara konduktor, semikonduktor, isolator dan superkonduktor berdasarkan energi gapnya.

6. A cubic lattice with lattice spacing a has crystal potential, where a = lattice spacing of a cubic latticeU = - U sin (2πx/a) sin (2πy/a) sin (2πz/a)

LATIHAN SOAL

U = - U sin (2πx/a) sin (2πy/a) sin (2πz/a)a. Apply the central equation to calculate

the approximate band gap at the point k = (π/a, π/a, π/a)

b.Sketch the band diagram along the [111] direction, including the first two bands.