bentuk lain teorema van aubel pada segitiga
TRANSCRIPT
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
10
BENTUK LAIN TEOREMA VAN AUBEL PADA SEGITIGA
Wita Maywidia1, Mashadi2, Sri Gemawati3
1FMIPA Universitas Riau dan SMA Alkaromah Aidarusy, [email protected] 2FMIPA Universitas Riau, [email protected] 3FMIPA Universitas Riau, [email protected]
ABSTRACT
In general the Van Aubel Theorem is constructed from any quadrilateral. Some authors have developed in triangles. In this paper the author develops another form of Van Aubel's theorem on triangles. The proofing process is done in a very simple way that uses congruence, similarity, concurrent and colinear. The result obtained are three pairs of sides that are parallel, equal in length and intersect perpendicular. Keywords: Van Aubelโs theorem, similarity, colinear
ABSTRAK
Secara umum Teorema Van Aubel dikontruksi dari segiempat sebarang. Beberapa penulis telah mengembangkan dalam segitiga. Dalam tulisan ini penulis mengembangkan bentuk lain teorema Van Aubel pada segitiga. Proses pembuktiannya dilakukan dengan cara yang sangat sederhana yaitu menggunakan kekongruenan, kesebangunan, kekonkurenan dan kekolinearan. Hasil yang diperoleh adalah terdapat tiga pasang sisi yang sejajar, sama panjang dan berpotongan tegak lurus. Kata kunci:Teorema Van Aubel, kesebangunan, kekolinearan
1. PENDAHULUAN Teorema Van Aubel pertama kali dikemukan oleh Henri Van Aubel pada tahun 1878 [10]. Teorema Van Aubel dikontruksi dari segiempat sebarang, kemudian pada setiap sisi segiempat sebarang dibangun persegi, titik-titik potong diagonal persegi yang berlawanan dihubungkan sehingga terbentuk dua sisi sama panjang dan berpotongan tegak lurus (Gambar 1).
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
11
Gambar 1.Ilustrasi teorema Van Aubel padasegiempat
Beberapa pengembangan teorema Van Aubel pada segiempat antara lain [4, 6, 15] serta pengembangan lain juga dilakukan pada teorema Van Aubel yaitu dengan memulai kontruksi dari sebuah segitiga sebarang [1, 3]. Teorema Van Aubel pada segitiga menyatakan bahwa, jika persegi ํดํถํปํผ,ํดํทํธํต dan ํตํนํบํถ dengan titik potong diagonal ํฝ,ํพ dan ํฟ pada sisi ํดํถ,ํดํตdan ํตํถ pada โณํดํตํถmaka sisi ํฝํฟ = ํถํพdan ํฝํฟtegak lurus ํถํพdinyatakan dengan ํฝํฟ โฅ ํถํพ, diilustrasikan pada Gambar 2.
Gambar 2. Ilustrasi teorema Van Aubel padasegitiga Berbagai konsep trigonometri aturan sinus dan kosinus dibahas dalam [2, 7, 8],
sedangkan beberapa konsep pembuktian kolinearan dan kekonkurenan terdapat pada [5, 13, 14, 16]. Kemudian pada tulisan ini untuk membuktikan bentuk lain teorema Van Aubel pada segitiga dikerjakan dengan kekongruenan, kesebangunan, kekonkurenan dan kekolinearan.
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
12
Pembuktian teorema Van Aubel bisa dijadikan pengayaan dalam mempelajari
materi trigonometri di sekolah menengah atas sekaligus mengasah sejauh mana peserta didik bisa memanfaatkan pengetahuan yang dimilikinya pada materi lain seperti persegi dan kesebangunan. Berdasarkan konsep teorema Van Aubel pada segitiga yaitu menemukan dua sisi yang sama panjang dan tegak lurus, maka penulis tertarik untuk menemukan bentuk lain teorema Van Aubel pada segitiga.
2. Teorema Ceva, Teorema Menelaus, Segitiga Orthologic dan Teorema Van Aubel
pada Segitiga
2.1 Teorema Ceva
Teorema 1. Jika D, E, F masing-masing adalah titik pada sisi ํตํถ,ํถํด dan ํดํต pada โณ ํดํตํถ maka garis ํดํท,ํตํธ dan ํถํน adalah kongkuren (bertemu disatu titik) jika dan hanya jika
ํดํนํนํต
ํตํทํทํถ
ํถํธํธํด
= 1
Gambar 3. Ilustrasi teorema Ceva pada segitiga
2.2 Teorema Menelaus
Teorema 2.Jika ํท,ํธ dan ํน masing-masing terletak pada sisi ํตํถ,ํถํด dan ํดํต pada โณ ํดํตํถ maka titik ํท,ํธ dan ํน adalah segaris jika dan hanya jika
ํดํนํนํต
ํตํทํทํถ
ํถํธํธํด
= โ1
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
13
Gambar 4. Ilustrasi teorema Menelaus pada segitiga
2.3 Segitiga Orthologic Definisi 3. โณํดํตํถ dikatakan orthologic dengan โณํด ํต ํถ jika garis tegak lurus yang ditarik dari titik A, B dan C berturut-turut ke sisi ํต ํถ ,ํถ ํด dan ํด ํต kongkuren.
Gambar 5. Ilustrasi dua segitiga orthologic yang berpotongan
2.4 Teorema Van Aubel pada Segitiga
Teorema 4. Jika persegi ํดํตํบํน,ํตํถํผํป dan ํดํถํทํธ dengan titik potong diagonal ํฝ,ํพ dan ํฟ pada sisi ํดํต,ํตํถ dan ํดํถ pada โณํดํตํถ maka sisi ํฝํพ = ํตํฟ dan ํฝํพ โฅ ํตํฟ.
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
14
Gambar 6. Ilustrasi teorema Van Aubel pada segitiga
3. Bentuk Lain Teorema Van Aubel pada Segitiga Beberapa bentuk lain teorema Van Aubel pada segitiga yang dibahas pada tulisan ini yaitu sebagai berikut:
Teorema 5. Pada sebarang segitiga ํดํตํถ dikontruksi persegi luar untuk tiap sisinya sehingga terbentuk persegi ํดํถํปํผ,ํดํทํธํตdanํตํนํบํถ. Titik ํ,ํ,ํ , ํ,ํ danํ secara berturut-turut merupakan titik tengah ํดํผ,ํดํท,ํธํต,ํตํน,ํบํถ dan ํถํป. Titik ํ,ํ danํ secara berturut-turut merupakan titik tengah ํผํท,ํธํน dan ํบํป, maka ํํ = ํํ dan ํํ//ํํ.
Gambar 7. Bentuk lain pertama Teorema Van Aubel pada segitiga Bukti: Akan dibuktikan ํํ = ํํ. Buat โณ ํํถํดdan โณ ํํถํต. Jikapanjang ํตํถ = ํ,ํดํถ = ํ, ํดํต = ํmaka akan selalu berlaku ํํถ = โ5ํ, ํํถ = โ5ํ.
Misalโ ํํถํดadalah ํ, sehinggaโ ํํถํต = ํ. Diilustrasikan pada Gambar 8.
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
15
Gambar 8. Ilustrasi pembuktian panjang ํํ
Selanjutnya, akan ditentukan panjang ํํ dengan menggunakan aturan cosinus. Pandang โณ ํํํถ, diperoleh
ํํ = ํํถ + SC โ 2ํํถ. ํํถ[cos(2ํ + โ ํดํถํต)]
ํํ =54ํ +
54ํ โ
32ํํ cosโ ํดํถํต +
2010
ํํ sinโ ํดํถํต
ํํ = ํ + ํ โ ํํ cosโ ํดํถํต + 2ํํ sinโ ํดํถํต(1)
Gambar 9. Ilustrasi pembuktian ํํ sejajar ํํ Lalu, pandang โณํํํผdan โณ ํทํดํผ, diketahui = = , โ ํํผํ = โ ํดํผํท
(dipakai bersama) karena memenuhi syarat sisi-sudut-sisi, maka โณ ํํํผ โผโณํทํดํผ. Sehingga berlaku
ํํ = ํ (2)
dengan menggunakan aturan cosinus pada โณ ํทํดํผ diperoleh
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
16
ํผํท = ํดํผ + ํดํท โ 2.ํดํผ.ํดํท cosโ ํทํดํผ ํผํท = ํ + ํ โ 2ํํ cos(180ยฐโโ ํถํดํต)
ํผํท = ํ + ํ + 2ํํ ํํํ โ ํถํดํต dari โณ ํทํดํผ juga diketahui bahwa ํดํ adalah garis berat โณ ํทํดํผ, sehingga diperoleh
ํดํ =12ํดํผ +
12ํดํท โ
14ํผํท
ํดํ =12ํ +
12ํ โ
14
(ํ + ํ + 2ํํ ํํํ โ ํถํดํต)
ํดํ =14ํ +
14ํ โ
24ํํ ํํํ โ ํถํดํต)
ํดํ =14ํ
ํดํ = ํ
Disisi lain pandang โณํํทํ dan โณ ํผํทํด, diketahui bahwa = = , โ ํํทํ = โ ํผํทํด dipakai bersama), karena memenuhi syarat sisi-sudut-sisi, maka โณํํทํ โผโณ ํผํทํด. Sehingga berlaku
ํํ = 1 2ํ
karena ํดํ = ํ, ํํ = ํ dan ํดํ = ํ maka โณํํดํ sebangun dengan โณํดํตํถ. Sehingga diperoleh โ ํํดํ = โ ํดํตํถ,โ ํดํํ = โ ํดํถํต dan โ ํํํด = ํตํดํถ.
Gambar 10. Ilustrasi pembuktian โณ ํํดํ, โณ ํตํ ํ sebangun denganโณํดํตํถ Selanjutnya, kontruksi titik ํ ditengah ํดํต. Lalu, pandang โณ ํํดํ pada
Gambar 10, diperoleh โ ํํดํ = 90ยฐ + โ ํดํตํถ
dari โณ ํํตํ diperoleh โ ํํตํ = 90ยฐ + โ ํดํตํถ
karena ํดํ = ํตํ = ํ, ํดํ = ํํต dan โ ํํดํ = โ ํํตํ maka โณ ํํดํ =โณ ํํตํ sehingga didapat bahwa
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
17
ํํ = ํํ (3)
Pandang โณ ํนํํ dan โณ ํนํตํธ, diketahui = = danโ ํํนํ = โ ํธํนํต (dipakai bersama), karena memenuhi syarat sisi-sudut-sisi, maka โณ ํนํํ โผโณ ํนํตํธ. Sehingga berlaku
ํํ = ํ (4)
Selanjutnya, dengan menggunakan aturan cosinus pada โณํตํธํนdiperoleh
ํธํน = ํตํน + ํตํธ โ 2.ํตํน.ํตํธ cosโ ํธํตํน ํธํน = ํตํน + ํตํธ โ 2.ํตํน.ํตํธ cos (180ยฐโโ ํดํตํถ)
ํธํน = ํ + ํ + 2ํํ cosโ ํดํตํถ
Pada โณ ํนํตํธ diketahui bahwa ํตํ adalah garis berat โณํตํธํน, sehingga didapat
ํตํ =12ํตํน +
12ํตํธ โ
14ํธํน
ํตํ =12ํ +
12ํ โ
14
(ํ + ํ + 2ํํ cosโ ํดํตํถ)
ํตํ =14ํ +
14ํ โ
24ํํ cosโ ํดํตํถ
ํตํ =14ํ
ํตํ =12ํ
Pandang โณํํ ํธ dan โณ ํนํตํธ pada Gambar 10, diketahui = = dan
โ ํ ํธํ = โ ํตํธํน (dipakai bersama) karena memenuhi syarat sisi-sudut-sisi, maka โณ ํํ ํธ โผโณ ํนํตํธ. Sehingga berlaku
ํ ํ = ํ
karena ํตํ = ํ, ํตํ = ํ dan ํ ํ = ํ maka didapat โณํตํ ํ sebangun dengan
โณ ํดํตํถ. Sehingga diperoleh โ ํตํ ํ = โ ํดํตํถ ,โ ํํตํ = โ ํตํดํถ dan โ ํ ํํต = โ ํดํถํต. Selanjutnya, pandang โณํํตํ pada Gambar 6, diperoleh
โ ํํตํ = 90 + โ ํตํดํถ disisi lain juga diketahui bahwa
โ ํํดํ = 90 + โ ํตํดํถ karena โ ํํตํ = โ ํํดํ, ํดํ = ํํต dan ํดํ = ํตํ sehingga dapat disimpulkan bahwa
ํํ = ํํ (5)
Dari persamaan (2), (3), (4) dan (5) diperoleh bahwa ํํ = ํํ (6)
dan
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
18
ํํ // ํํ (7)
Selanjutnya dari persamaan (2), (3), (4), (5), (6) dan (7) diperoleh bahwa ํํ = ํํ (8)
artinya, ํํ = ํ + ํ โ ํํ cosโ ํดํถํต + 2ํํ sinโ ํดํถํต(9)
dan ํํ //ํํ (10)
Berdasarkan persamaan (8) dan (10) maka terbuktilah teorema ini.โ
Akibat 6. Jika diketahui ํ,ํ,ํ secara berturut-turut merupakan titik tengah ํผํท,ํธํน,ํบํป dan titik ํ,ํ,ํ , ํ,ํ danU secara berturut-turut adalah titik tengah ํผํด,ํดํท,ํธํต,ํตํน,ํบํถ dan ํถํป maka ํํํํ,ํ ํํํ dan ํํํํ adalah jajar genjang.
Gambar 11. Jajar genjang ํํํํ,ํ ํํํ dan ํํํํ Bukti: Berdasarkan persamaan (3), (5), (6), (7), (8), (10) dan diketahui โ ํํํ +โ ํํํ = โ ํํํ+ โ ํํํ = โ ํํํ + โ ํํํ = โ ํํํ + โ ํํํ = 180 (sudut dalam sepihak), juga diketahui โ ํํํ = โ ํํํ dan โ ํํํ = โ ํํํ (sudut-sudut yang berhadapan), dapat disimpulkan ํํํํ adalah jajar genjang. Langkah pembuktian yang sama berlaku untuk ํ ํํํ dan ํํํํ. Teorema 7.Pada sebarang โณ ํดํตํถ dikontruksi persegi luar untuk tiap sisinya sehingga terbentuk persegi ํดํถํปํผ,ํดํทํธํต,ํตํนํบํถ dan ํฝ,ํพ, ํฟ merupakan titik potong diagonalnya. Titik ํ,ํ,ํ secara berturut-turut adalah titik tengah ํผํท,ํธํน,ํบํป, maka ํพํ = ํํ dan ํพํ โฅ ํํ.
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
19
Gambar 12. Bentuk lain kedua Teorema Van Aubel padasegitiga Bukti: Dari persamaan (9) diperoleh ํํ = ํ + ํ โ ํํ cosโ ํดํถํต +2ํํ sinโ ํดํถํต . Selanjutnya, akan ditentukan panjang ํพํ. Buat โณํปํพํบ seperti yang terlihat pada Gambar 13.
Gambar 13. Ilustrasi pembuktian ํพํ
Diketahui ํ adalah titik tengah ํบํป, sehingga ํพํ merupakan garis berat โณ ํปํพํบ dan panjang ํพํ dapat ditentukan dengan mengetahui panjang ํปํพ,ํบํพ dan ํปํบ. Buat โณ ํปํดํพ untuk memperoleh panjang ํปํพ dan โณํพํตํบ untuk menentukan panjang ํบํพ, seperti yang terlihat pada Gambar 14.
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
20
Gambar 14. Ilustrasi pembuktian ํพํ dengan bantuan โณ ํปํดํพ dan โณ ํพํตํบ dari โณ ํปํดํพ diperoleh
ํปํพ = ํดํป + ํดํพ โ 2 ํดํปํดํพ cos (90ยฐ + โ ํตํดํถ)
ํปํพ = ํโ2 +ํ2โ2 โ 2 ํโ2
ํ2โ2 cos (90ยฐ + โ ํตํดํถ)
ํปํพ = 2ํ + ํ + 2ํํํ sinโ ํตํดํถ (11) dari โณ ํพํตํบ diperoleh
ํบํพ = ํตํบ + ํตํพ โ 2.ํตํบ.ํตํพ cos (90ยฐ +โ ํดํตํถ)
ํบํพ = ํโ2 +ํ2โ
2 โ 2 ํโ2ํ2โ
2 cos (90ยฐ + โ ํดํตํถ)
ํบํพ = 2ํ + ํ + 2ํํ sinโ ํตํดํถ (12) Setelah memperoleh panjang ํปํพdan ํบํพ akan ditentukan panjang ํปํบ.
Gambar 15. Ilustrasi pembuktian ํพํ dengan bantuan โณ ํปํถํบ
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
21
Pandang โณํปํถํบ pada Gambar 15, dengan menggunakan aturan cosinus diperoleh
ํบํป = ํถํบ + CH โ 2ํถํบ.ํถํป cos (180ยฐโโ ํดํถํต) ํบํป = ํ + ํ โ 2ํํ (โ cosโ ํดํถํต)
ํบํป = ํ + ํ + 2ํํ cosโ ํดํถํต (13)
ํพํadalah garis berat โณ ํปํพํบ, berdasarkan teorema Garis Berat maka berlaku ํพํ = ํปํพ + ํบํพ โ ํบํป (14)
Selanjutnya, substitusi nilai persamaan (11), (12) dan (13) ke persamaan (14),
sehingga diperoleh ํพํ = ํ + ํ + ํ + 2 ํํ sinโ ํตํดํถ โ ํํ cosโ ํดํถํต (15)
dari โณ ํดํตํถ dengan menggunakan aturan cosinus pada โ C diperoleh
ํ = ํ + ํ โ 2ํํ cosโ ํดํถํต (16) serta dengan menggunakan aturan sinus pada โณํดํตํถ diperoleh
sinํด = (17)
Dengan mensubstitusikan persamaan (16) dan (17) ke persamaan (15) maka didapat
ํพํ =34ํ +
34ํ +
24
(ํ + ํ โ 2ํํ cosโ ํดํถํต) + 2 ํํ sin(ํ sin ํถํ
)โ
24ํํ cosโ ํดํถํต
ํพํ = ํ + ํ โ ํํ cosโ ํดํถํต + 2ํํ sinโ ํดํถํต (18)
Jadi, dari persamaan (9) dan (18) dapat disimpulkan bahwa ํพํ = ํํ (19)
Selanjutnya, akan dibuktikan ํพํ โฅ ํํ. Langkah pertama adalah dengan
membuat lingkaran dengan pusat ํ dan jari-jari ํํพ. Lalu, buat pula lingkaran yang berpusat di ํdengan panjang jari-jari ํํพ (ํพ adalah titik potong diagonal persegi ํดํทํธํต dan juga berada pada lingkaran berpusat di ํ dan ํ). Sehingga diperoleh titik ํ yang berada pada lingkaran yang berpusat di ํdan ํ, seperti yang terlihat pada Gambar 16.
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
22
Gambar 16. Ilustrasi pembuktian layang-layang
Kemudian, pandang โณํพํํ, diketahui ํํพ = ํํ, sehingga diperoleh โณ ํพํํ adalah segitiga sama kaki dan
โ ํํพํ = โ ํํํพ (20)
Lalu, pandang โณํพํํ, diketahui ํํพ = ํํ, sehingga โณ ํพํํ adalah segitiga sama kaki dan
โ ํํพํ = โ ํํํพ (21)
Dari persamaan (20) dan (21) didapat โ ํํพํ + โ ํํพํ = โ ํํํพ + โ ํํํพ (22)
Oleh sebab itu, segiempat ํํพํํ adalah layang-layang dengan diagonalnya
ํํพ dan ํํ yang berpotongan tegak lurus di titik ํ. Diilustrasikan pada Gambar 17.
Gambar 17.Segiempat layang-layang ํํพํํ
Kemudian akan ditunjukkan titik ํพ,ํ,ํ segaris. Perpanjang sisi ํํพ sehingga
memotong sisi ํตํธ dititik ํโฒ. Perpanjang sisi ํโฒํ sehingga memotong sisi ํํ
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
23
dititik ํโฒ. Sehingga membentuk โณ ํํโฒํโฒ. Selanjutnya, misalkan titik ํ pada ํํโฒ, sedemikian sehingga garis ํโฒํ sejajar ํํพ dan juga sejajar ํํพ. Diilustrasikan pada Gambar 18.
Gambar 18.Ilustrasi pembuktian titik ํพ,ํ,ํ segaris
Pandang โณํ โฒํํ dan โณ ํํํพ, โ ํ โฒํํ = โ ํํํพ, โ ํํ โฒํโ ํํํพ, sehingga โณํ โฒํํ~ โณ ํํํพ, yang mengakibatkan
โฒ= (23)
Lalu, pandang โณํโฒํํพ dan โณํโฒํ โฒํ, โ ํํโฒํพ = โ ํ โฒํโฒํ, โ ํโฒํพํ =
ํโฒํํ โฒ, sehingga โณ ํโฒํํพ ~ โณํโฒํโฒํ, yang mengakibatkan โฒ
โฒ =โฒ
(24)
Dari persamaan (23) dan (24) diperoleh ํโฒํํํ โฒ
ํ โฒํํํ
ํํพํพํโฒ =
ํโฒํพํพํ
ํํพํพํ
ํํพํพํโฒ
โฒ
โฒ
โฒ
โฒ = โ1 (25) karena persamaan (25) memenuhi teorema Menelaus, maka titik ํ ada di garis ํํพ atau titik ํ,ํ,ํพ segaris.
Berdasarkan pembuktian di atas, diperoleh bahwa ํํพ tegak lurus ํํ dan ํ,ํ,ํพ segaris, maka
ํพํ โฅ ํํ (26) Berdasarkan persamaan (19) dan (26) maka terbuktilah teorema ini. โ Akibat 8. Pada sebarang โณABC dikontruksi persegi luar untuk tiap sisinya sehingga terbentuk persegi ํดํถํปํผ,ํดํทํธํต,ํตํนํบํถ dan ํฝ,ํพ, ํฟ merupakan titik potong diagonalnya. Titik ํ,ํ dan ํ secara berturut-turut merupakan titik tengah ํผํท,ํธํน
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
24
dan ํบํป. Titik ํ,ํ,ํ , ํ,ํ dan ํ secara berturut-turut adalah titik tengah ํผํด,ํดํท,ํธํต,ํตํน,ํบํถ dan ํถํป, makaํพํ = ํํ dan ํพํ โฅ ํํ.
Gambar 19. Akibat bentuk lain kedua Teorema Van Aubel pada segitiga
Bukti:Berdasarkan persamaan (8) dan (19) jelas bahwa ํพํ = ํํ. Lalu, dari persamaan (10) serta persamaan (26), jelas bahwa ํพํ โฅ ํํ. Sehingga terbukti ํพํ = ํํ dan ํพํ โฅ ํํ.โ
4. KESIMPULAN
Dari hasil pembahasan didapatkan beberapa antara lain terdapat bentuk lain dari teorema Van Aubel pada yaitu adanya tiga pasang garis yang sejajar dan sama panjang, sehingga menghasilkan tiga jajar genjang, serta terdapat tiga pasang garis yang tegak lurus dan sama panjang. Konsekuensi dari hal ini adalah terbentuknya tiga pasang garis yang tegak lurus dan panjang yang lain.
REFERENSI
[1] Alsina C. dan Nelsen R. B. Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics.
Washington DC: The Mathematical Association of America, 2010. [2] Baharuddin A., Mashadi., Saleh H. dan Hasriati. Modifikasi Teorema Van Aubel pada
Segitiga, Jurnal Matematics Paedagogic, Vol 7, 111-118, 2017 [3] Gardner M. Mathematical Circus. Washington DC:The Mathematical Association of
America, 1992. [4] Glaister P. A Van Aubel Theorem Revisited, Applied Probability Trust, 33-36, 2015.
KARISMATIKA p-ISSN : 2443 โ 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279
25
[5] Januarti P., Mashadi, Sri G. dan Hasriati. Some Result on Excircle of Quadrilateral,
JP Journal of Mathematics Sciences,Vol14, 41-56, 2015. [6] Krishna D. N. V. A New Consequence of Van Aubelโs Theorem, Department of
Mathematic, 1-9, 2016. [7] Mashadi.Geometri Lanjut. Pekanbaru: Unri Press, 2015. [8] Mashadi. Pengajaran Matematika. Pekanbaru: UR Press, 2016. [9] Mulyadi., Mashadi., Habibis S. dan Hasriati. Pengembangan Teorema Van Aubel
pada Segienam, Jurnal Mathematic Paedagogic, Vol 1, 119-128, 2017. [10] Nishiyama, Y. The Beautiful Geometri theorem of Van Aubel, International
Journal of Pureand Applied Mathematic,Vol1, 71-80, 2011. [11] Patrascu I. dan Smarandache F. Pantaziโs Theorem Regarding the Biorthological
Triangles, Smarandache Nations Jaournal, Vol 1, 1-5, 2010. [12] Patrascu I. dan Smarandache F. A Theorem about Simultaneous Orthological and
Homological Triangles, Smarandache Nations Jaournal, Vol 1, 1-13, 2010. [13] Valentika C., Mashadi. dan Sri G. The Development of Napoleonโs Theorem on
Quadrilateral with Congruence and Trigonometry, Bulletin of Mathematics,Vol 8, 97-108, 2016.
[14] Valentika C., Mashadi. dan Sri G. Development of Napoleonโs Theorem on the
Rectangles in Case of Inside Direction, International Journal of Theoretical and Applied Mathematics,Vol 3, 54-57, 2017.
[15] Villiers M. D.Generalizing Van Aubel Using Duality, Mathematic Magazine, Vol 4,
303-307, 2000. [16] Zukrianto., Mashadi. dan Sri G. A Noncovex Quadrilateral and Semi Gergonne
Points on It: Some Result and Analysis, Fundamental Journal of Mathematics and Mathematical Sciences,Vol 6, 111-124, 2016.