Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI

Substitusi Trigonometri

Metode substitusi Trigonometri dapat digunakan untuk menghitung integral

dengan bentuk integran adalah : a x a x x a2 2 2 2 2 2− + −, , . Substitusi yang digunakan berturut-turut : x = a sin t , x = a tan t dan x = a sec t. Didapatkan diferensiasinya : dx = a cos t dt, dx = a sec2t dt dan dx = a sec t tan t dt. Oleh karena itu diperoleh :

a x a t2 2− = cos dengan -π/2 ≤ t ≤ π/2

a x a t dengan t2 2 2 2+ = − < <tan / /π π

x a a t dengan t atau t2 2 0 2 3 2− = ≤ < ≤ <sec / /π π π Contoh.

a. dx

x x2 24 −∫

Misal x = 2 sin t dan dx = 2 cos t dt. Maka :

( )

dx

x x

t dt

t tt dt t C

2 2 22

4

2

2 2

14

14−

= = = − +∫∫∫cos

sin cossec cot

= −−

+14

4 2xx

C

b. dx

x1 2+∫

Misal x = tan t dan dx = sec2 t dt. Maka :

( )dx

x

t dtt

t dt t t C1 2

2

+= = = + +∫∫∫

secsec

sec ln sec tan

= + +

+ln 1 2x x C

c. x

xdx

2 25−∫

Misal x = 5 sec t dan dx = sec t tan t dt. Maka :

( )xx

dxtt

t t dt t dt t t C2

225 55

5 5 5 5−

= = = − +∫ ∫ ∫tansec

sec tan tan tan

= − −

+−x

xC2 125 5

5sec

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Substitusi bentuk Akar

Bila integran memuat faktor berbentuk ax bn + , maka kita dapat

menyelesaikan integral dengan menggunakan substitusi : u = ax bn + sehingga

didapatkan un = ax + b dan nu du

adx

n−=

1. Kadang-kadang kita jumpai juga suatu

integral dengan integran dalam bentuk akar namun bukan merupakan suatu suku

banyak akan tetapi merupakan fungsi eksponen, misal integran 1+ exn . Maka seperti

diatas juga kita ambil substitusi ( )u e atau x u dan dxn u

udun x n

n

n= + = − =−

−1 1

1

1ln .

Sedang untuk integran yang terdiri dari beberapa bentuk akar yang pangkatnya berbeda namun dengan fungsi dasar sama, kita dapat melakukakan substitusi dengan memisalkan dengan u berpangkat KPK dari akar pangkatnya. Bentuk integral setelah dilakukan substitusi akan lebih mudah untuk diselesaikan menggunakan metode yang dikenal sebelumnya. Contoh.

a. dx

x2 2+∫ . Misal u x dan u du dx2 2= = . Maka :

( )dx

x

uu

duu

du u u C2 2

22 2

11

11

+=

+= −

+

= − + +∫∫∫ ln

( )= − + +x x Cln 1

b. 1+∫ e dxx . Misal ( )u e x u dan dxu

udux2 2

21 12

1= + ⇔ = − =

−ln . Maka :

12

12

11

112+ =

−

= +

−−

+

∫∫∫ e dx u

u

udu

u udux

= +−+

+ = + +

+ −

+ +

+2

11

2 11 1

1 1u

uu

C ee

eCx

x

xln ln

c. x

xdx

1 3+∫ . Misal u x dan u du dx6 56= = . Maka :

x

xdx

u

udu u u u

udu

16

16 1

1

13

8

26 4 2

2+=

+= − + − +

+

∫∫ ∫

= − + − + +−67

65

2 6 67 5 3 1u u u u u Ctan

( )= − + − + +−67

65

2 6 67 6 5 6 1 2 1 6 1 1 6x x x x x C/ / / / /tan

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Substitusi bentuk Kuadrat.

Integral dengan integran memuat bentuk kuadrat ax2 + bx + c dengan b ≠ 0 dapat juga dikerjakan dengan menggunakan substitusi sebagai berikut :

ax bx c a xba

cb

a2

2 2

2 4+ + = +

+ −

Bila disubstitusikan u xba

= +2

ke bentuk kuadrat di atas didapatkan bentuk :

au d d cba

22

4+ = −; .

Contoh.

a. x

x xdx2 4 8− +∫

Misal u = x - 2 dan du = dx. Maka :

( )x

x xdx

u

udu u

uC2 2

2 1

4 8

2

4

12

42− +

=+

+= + +

+−∫∫ ln tan

( )[ ]= − + +−

+−1

22 4

22

2 1ln tanxx

C

b. dx

x x5 4 2 2− −∫

Misal u = x + 1, didapatkan dari 5 - 4x - 2x2 = 7 - 2 ( x+1 )2. Maka :

( )( )dx

x x

du

u

du

uu C

5 4 2 7 2

1

2 7 2

1

22 7

2 2 21

− −=

−=

−= +−∫∫∫

/sin /

( )[ ]= + +−1

22 7 11sin / x C

Soal Latihan ( Nomor 1 sd 12 ) Pilihlah substitusi yang tepat untuk mencari solusi dari : 1.

x dx

x

2

29 −∫

2. 2 3

4 2x

xdx

−

−∫

3. dx

x x2 2 1−∫

4. dx

x x2 9+∫

5. ( )

dx

x2 3 29+

∫ /

6. x x dx+∫ 43

7. x x

xdx

2 2

1

++∫

8. t

tdt

+∫ 1

9. 3

2 52x dx

x x+ +∫

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

10. 5 4 2− −∫ x x dx

11. 2 1

2 22x

x xdx

+

+ +∫

12. 2 1

6 182x

x xdx

−

− +∫