7/26/2019 21 PD Non Homogen

1/12

TKS 4003Matematika II

Persamaan DiferensialNon Homogen

Differential: Non Homogen)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Definisi

Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n R

sehingga berlaku F(kx,ky) = knF(x,y), dengan n disebut order

dari fungsi homogen F(x,y).

Jika syarat di atas tidak terpenuhi, maka disebut dengan PD non

Homogen yang mempunyai bentuk :

(ax+ by+ c)dx+ (px + qy+ r)dy= 0 (1)

dengan

a,b,c,p,q,radalah konstanta.

7/26/2019 21 PD Non Homogen

2/12

Untuk menyelesaikan PD non Homogen tersebut, terlebih dahulu

harus diperhatikan kondisi yang mungkin terjadi, yaitu :

1. Jika

atau

2. Jika

=

atau =

3. Jika

=

=

=

Definisi (lanjutan)

Kondisi 1

1. Jika

atau

= =

= =

= =

= =

=

akan diperoleh dx:

=

(2)

7/26/2019 21 PD Non Homogen

3/12

Kondisi 1 (lanjutan)

Dengan cara eleiminasi yang sama, akan diperoleh dy:

=

(3)

Kemudian substitusikan nilai u, vpada Pers. 2dan Pers. 3ke

Pers. 1 (bentuk PD semula) :

=

=

Kondisi 1 (lanjutan)

=

=

= (4)

PD Homogen

Setelah PD awal (Pers. 1) sudah terbentuk menjadi seperti

Pers. 4, maka penyelesaian selanjutnya dapat menggunakan

Penyelesaian PD Homogen.

7/26/2019 21 PD Non Homogen

4/12

Contoh Kondisi 1

Selesaikan PD berikut :

=

Penyelesaian :

=

=

,

=

, dan

=

karena

, maka dapat diselesaikan untuk Kondisi 1.

Contoh Kondisi 1 (lanjutan)

= =

= =

=

= +

=

akan diperoleh dy:

=+

=

= +

=

akan diperoleh dx:

=

7/26/2019 21 PD Non Homogen

5/12

Contoh Kondisi 1 (lanjutan)

=

+

=

=

= PD Homogen

Kemudian diselesaikan dengan Penyelesaian PD Homogen:

=

misal =

=

=

Contoh Kondisi 1 (lanjutan)

=

=

bagi dengan

+

=

+

=

+

= , dengan =

7/26/2019 21 PD Non Homogen

6/12

Contoh Kondisi 1 (lanjutan)

dengan menggunakan Integral Fungsi Rasional, diperoleh :

=

/ / =

/ / =

/ = /

=

Substitusi kembali = :

=

Kondisi 2

2. Jika

=

atau =

Misal

=

= , maka = dan = , sehingga

apabila disubstitusi ke Pers. 1akan diperoleh :

=

=

=

= (5)

7/26/2019 21 PD Non Homogen

7/12

Kondisi 2 (lanjutan)

ambil = =

=

Substitusi ke Pers. 5, diperoleh:

=

=

=

Kondisi 2 (lanjutan)

=

( ) = (6)

Pers. 6, adalah bentuk PD yang peubahnya dapat dipisah.

7/26/2019 21 PD Non Homogen

8/12

Contoh Kondisi 2

Selesaikan PD berikut :

=

Penyelesaian :

=

= PD non Homogen

=

= ,

=

= , dan

=

karena

=

, maka dapat diselesaikan untuk Kondisi 2.

Contoh Kondisi 2 (lanjutan)

( ) = (7)

ambil =

= = =

Substitusi ke Pers. 7:

=

=

=

PD di atas adalah PD dengan peubah yang mudah dipisahkan,

sehingga dapat dibagi dengan .

7/26/2019 21 PD Non Homogen

9/12

Contoh Kondisi 2 (lanjutan)

+

+ =

+

+ =

(+)

(+) =

+

+

+ =

+

(+)

=

( ) =

Contoh Kondisi 2 (lanjutan)

Substitusi kembali = , diperoleh :

=

=

( ) = , dengan =

7/26/2019 21 PD Non Homogen

10/12

Kondisi 3

3. Jika

=

=

= , sehingga :

= , = , dan = ,

dengan mensubstitusikan ke Pers. 1, diperoleh :

=

=

bagi dengan =

Kondisi 3 (lanjutan)

dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh :

=

Solusi: =

7/26/2019 21 PD Non Homogen

11/12

Contoh Kondisi 3

Selesaikan PD berikut :

=

Penyelesaian :

( ) =

dengan mengambil = dan membagi kedua ruas dengan

akan diperoleh :

=

=

=

Latihan

1. (y + 1)dx + (2x 3)dy = 0

2. (7y + 1)dx + (2x 3)dy = 0

3. (x + 2y 4)dx (2x 4y)dy = 0

4. (x + y + 1)dx + (3x + 2y + 2)dy = 0

5. (3x + 2y + 3)dx (x + 2y 1)dy = 0, y(0) = 1

6. (x + 7)dx + (2x + y + 3)dy = 0, y(0) = 17. (3x + 2y + 1)dx (3x + 2y 1)dy = 0

8. (x + y + 1)dx + (2x + 2y + 2)dy = 0

9. (2x y + 1)dx + (4x 2y + 3)dy = 0

10. (x + 3y +1)dx + (2x + 6y 1)dy = 0

11. (x + y)dx + (3x + 3y 4)dy = 0,y(1) = 0

12. (x + y + 2)dx (x y 4)dy = 0,y(1) = 0

7/26/2019 21 PD Non Homogen

12/12

Terima kasihdan

Semoga Lancar Studinya!