pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk ... · suatu proses poisson non-homogen...

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS

BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR

SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN

WENTI ISMAYULIA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

ABSTRAK

WENTI ISMAYULIA. Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi

Periodik Kali Tren Linear Suatu Proses Poisson Non-Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN

MANGKU dan SISWANDI.

Pada karya ilmiah ini dibahas pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi

periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen. Penduga yang disusun hanya

menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval Diasumsikan

bahwa periode dari komponen periodik tersebut adalah diketahui.

Telah dibuktikan kekonvergenan Mean Square Error (MSE) bagi penduga yang dikaji. Selain

itu juga telah dibuktikan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan Mean Square Error (MSE)

dari penduga tersebut serta diperoleh pula bandwidth optimal asimtotiknya.

ABSTRACT

WENTI ISMAYULIA. Estimation of the Periodic Component of an Intensity Function with a

Form of Periodic Function Multiplied by a Linear Trend of a Non Homogeneous Poisson Process.

Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI.

In this manuscript, estimation of the periodic component of an intensity function with a form of

periodic function multiplied by a linear trend of a non homogeneous Poisson process is discussed.

The estimator is constructed using a single realization of a Poisson process observed in the interval It is assumed that the period of the periodic component is known.

The convergence of the mean square error (MSE) of the estimator has been proved. In addition,

asymptotic approximations to the bias, variance, and mean square error of the estimator have been

established. An asymptotic optimal bandwidth has also been found.

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS

BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR

SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN

WENTI ISMAYULIA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

Judul Sripsi : Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk

Fungsi Periodik Kali Tren Linear Suatu Proses Poisson

Non-Homogen.

Nama : Wenti Ismayulia

NIM : G54070024

Menyetujui,

Tanggal Lulus :

Pembimbing I

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

NIP. 19620305 198703 1 001

Pembimbing II

Drs. Siswandi, M.Si.

NIP. 19640629 199103 1 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan

karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini

berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak.

Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc, selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu,

kesabaran, motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

2. Drs. Siswandi, M.Si, selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran dan

motivasinya).

3. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS, selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan

sarannya).

4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).

5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Pak Bono, Bu Ade, Mas Heri, Bu Susi dan Mas Deni

(terima kasih atas bantuan dan motivasinya).

6. Keluargaku tercinta: Bapak, mama, mas yadi, om, tante, kakek, nenek (terima kasih atas doa,

dukungan, kesabaran, kepercayaan dan kasih sayangnya).

7. Agus Umriadi (terima kasih atas bantuan, doa dan dukungannya).

8. Teman-teman satu bimbingan : Anis, Nadiroh, Tita dan Pepi (terima kasih atas bantuan dan

dukungannya).

9. Sahabat terdekat : Deva, Quro, Ndep, Titi, Lilis, Gigi, Didi, Echa, Fia, Iche, Evita (terima kasih

atas bantuan, doa dan motivasinya).

10. Kakak-kakak Math 41, 42 dan 43 : Ka Nidya, Ka Destya, Ka Aini, Ka Putri, Ka Chopy, Ka

Resti, Ka Apri, Ka Tami, Ka Wira, Ka Cupit, Ka Ro’fah, Ka Lia, Ka Nanu, Ka Cumi dan

lainnya (terima kasih atas ilmu, bantuan, doa dan dukungannya).

11. Teman-teman Math 44: Ruhiyat, Sri, Ayung, Rachma, Melon, Dian, Fajar, Tyas, Rofi, Della,

Denda, Pandi, Abe, Ipul, Cita, Yanti, Ucu, Fani, Kodok, Wahyu, Ayum, Ririh, Imam, Aswin,

Tanti, Arina, Lingga, Masay, Diana, Yogie, Lugina, Ncel, Iresa, Sari, Aqil, Iam, Fikri, Eka,

Aje, Ali, Vianey, Nurus, Na’im, Dhika, Ima, Dora, Atik, Nunuy, Yuli, Indin, Sholih, Siska,

Lili, Lina, Endro, Lukman, Puying, Tendhy, Ikhsan, Chopa, dan Zae (terima kasih atas

dukungan, bantuan, doa dan kebersamaannya).

12. Teman-teman Math 45: Isna, Icha, Santi, Vivi, Gita, Bolo, Feni, Mega, Yunda, Anisa, Ade,

Wulan, Aci, Fuka, Dono, Ari, Irwan, Beni, Ijun, Haryanto, Arbi, Heru, Bram, Kunedi, Ito,

Khafidz, Herlan, Fikri, Prama dan lainnya (terima kasih atas dukungan, bantuan dan doanya).

13. Temen-temen 362 : Norvi, Uji dan Tania (terima kasih atas doa, dukungan dan

kebersamaannya).

14. Temen-temen A24 TPB : Gita, Pristy, Teguh, Pingkan, Andini, Dame, Ayu, Diki, Santi, Eko,

Puji, Dati, Indra, Okti dan lainnya (terima kasih atas motivasi dan kebersamaannya).

15. Temen-temen kosan Puri Fikriyah : Icha, Dita, Vintya, Paul, Irma, Dewi, Yaya, Ka nita, Ka

Sars, Ka Sadek, Ka Pewe, Ka Aci, Ka Cici, Riena, Metha, Marcha, Indri, Yulia, Yuni, Izha, Iis

dan lainnya (terima kasih atas motivasi, doa dan kebersamaannya).

16. Teman-teman lain : Amboii, Pipit, Ranum, Dina, Ka Muad, Ara, Medya, Mba Tya, Mba Retno,

Mas Dimas, Diki, Ka Iyo dan lainnya (terima kasih atas doa dan dukungannya).

17. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika

dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, April 2011

Wenti Ismayulia

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 1 Juli 1989 sebagai anak kedua dari dua bersaudara.

Anak dari pasangan Endy Rachmat dan Jamilah.

Tahun 2001 penulias lulus dari SDN Pulo Gebang 20 Pagi. Tahun 2004 penulis lulus dari

SLTPN 138 Penggilingan. Tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 12 Jakarta Timur dan pada tahun

yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis

memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten dosen Permrogaraman Tak Linear pada

tahun ajaran 2010/2011. Selain itu penulis terlibat dalam beberapa kegiatan, antara lain : panitia

TRY OUT kalkulus 2007 dan panitia Masa Perkenalan Departemen (MPD) 2009 dan 2010.

vii

DAFTAR ISI

Halaman

I. PENDAHULUAN ........................................................................................................................ 1

1.1 Latar Belakang ........................................................................................................................ 1

1.2 Tujuan ..................................................................................................................................... 1

II. LANDASAN TEORI .................................................................................................................. 2

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang .................................................................................... 2

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ........................................................................................... 2

2.3 Nilai Harapan dan Ragam ....................................................................................................... 3

2.5 Penduga................................................................................................................................... 3

2.6 Proses Stokastik ..................................................................................................................... 4

2.7 Proses Poisson ....................................................................................................................... 4

2.8 Beberapa Definisi dan Lema .................................................................................................. 5

III. HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................................................... 7

3.1 Perumusan Masalah ............................................................................................................... 7

3.2 Perumusan Penduga ............................................................................................................... 7

3.3 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam dan MSE ........................................................... 11

3.3 Penentuan Bandwidth Optimal Asimtotik ............................................................................ 13

IV. SIMPULAN .............................................................................................................................. 15

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................................... 16

LAMPIRAN .................................................................................................................................... 17

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Terdapat banyak permasalahan dalam

kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan

dengan suatu proses stokastik. Permasalahan

tersebut misalnya proses kedatangan

pelanggan ke suatu pusat layanan (bank,

kantor, supermarket, dan sebagainya), proses

kedatangan pengguna line telepon dengan

periode satu hari atau juga banyaknya

kendaraan yang melewati suatu jalan raya

pada suatu interval waktu tertentu yang hanya

bisa diamati sekali. Untuk itu, proses stokastik

mempunyai peranan cukup penting dalam

berbagai bidang dalam kehidupan sehari-hari.

Proses stokastik ada dua yaitu proses

stokastik dengan waktu diskret dan proses

stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu

bentuk khusus dari proses stokastik dengan

waktu kontinu adalah proses Poisson periodik.

Proses Poisson periodik adalah suatu proses

Poisson dengan fungsi intensitas berupa

fungsi periodik.

Contoh dalam kehidupan sehari-hari yang

dapat dimodelkan dengan proses Poisson

periodik misalnya proses kedatangan nasabah

ke suatu bank dalam periode satu hari. Fungsi

intensitas lokal pada proses tersebut

menyatakan laju kedatangan nasabah pada

waktu s. Pada umumnya fungsi intensitas

tidak diketahui tetapi banyak yang periodenya

diketahui yaitu . Untuk menyusun penduga

yang konsisten, diperlukan banyak data.

Diasumsikan fungsi intensitas tersebut

adalah fungsi periodik agar data pengamatan

di berbagai selang waktu yang berbeda dapat

digunakan untuk menduga fungsi intensitas

pada suatu titik s. Fungsi intensitas pada hari

berikutnya dapat diprediksi dengan

menggunakan proses Poisson periodik.

Pada umumnya bentuk fungsi intensitas

pada hari ini dan hari berikutnya hampir sama.

Sedangkan jika pada hari berikutnya jumlah

nasabahnya bertambah, maka fungsi intensitas

akan lebih besar dibanding hari sebelumnya.

Ada beberapa fenomena yang kurang

cocok dimodelkan dengan proses Poisson

periodik tanpa memperhitungkan suatu tren.

Untuk itu, fungsi intensitasnya perlu

mengakomodasi adanya suatu tren. Pada

kajian ini dibatasi pada fungsi intensitas yang

berbentuk fungsi periodik kali tren linear.

Sehingga karya ilmiah ini mengkaji penduga

fungsi intensitas yang berbentuk fungsi

periodik kali tren linear suatu proses Poisson

non-homogen.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah

untuk:

(i) Menentukan perumusan penduga

komponen periodik fungsi intensitas yang

berbentuk fungsi periodik kali tren linear

suatu proses Poisson non-homogen serta

membuktikan kekonsistenan penduganya.

(ii) Menentukan aproksimasi asimtotik bagi

bias penduga.

(iii) Menentukan aproksimasi asimtotik bagi

ragam penduga.

(iv) Menentukan aproksimasi asimtotik bagi

MSE penduga.

(v) Menentukan bandwidth optimal asimtotik

untuk penduga yang dikaji.

II. LANDASAN TEORI

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Dalam suatu percobaan sering kali

diperlukan pengulangan yang dilakukan

dalam kondisi yang sama. Semua

kemungkinan hasil yang akan muncul akan

diketahui tetapi hasil pada percobaan

selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat.

Percobaan semacam ini disebut percobaan

acak.

Definisi 1 (Ruang contoh)

Ruang contoh adalah himpunan semua

hasil yang mungkin dari suatu peubah acak

dan dinotasikan dengan Ω.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 2 (Kejadian)

Kejadian adalah suatu himpunan bagian

dari ruang contoh Ω.


Definisi 3 (Kejadian saling lepas)

Kejadian A dan B disebut saling lepas jika

irisan dari keduanya adalah himpunan kosong

.


Definisi 4 (Medan - )

Medan- adalah suatu himpunan yang

anggotanya terdiri atas himpunan bagian

ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat

berikut:

1.

2. Jika , maka

1

i

i

A

3. Jika , maka (Hogg et al. 2005)

Jika , maka medan- disebut medan

Borel. Anggota medan Borel disebut

himpunan Borel.

Definisi 5 (Ukuran peluang)

Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu

percobaan dan adalah medan- pada Ω.

Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur

ke himpunan bilangan nyata , atau

disebut ukuran peluang jika

1. P tak negatif, yaitu untuk setiap

2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika

dengan

maka 11

P = P .n n

nn

A A

3. P bernorma satu, yaitu P(Ω)=1.

Pasangan disebut ruang ukuran

peluang atau ruang probabilitas.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 6 (Kejadian saling bebas)

Kejadian dan dikatakan saling bebas

jika:

Secara umum, himpunan kejadian

dikatakan saling bebas jika:

untuk setiap himpunan bagian J dari I.


2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 7 (Peubah acak)

Misalkan adalah medan- dari ruang

contoh Suatu peubah acak adalah suatu

fungsi dengan sifat bahwa untuk setiap


Peubah acak dinotasikan dengan huruf

kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai

peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil

seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki

fungsi sebaran.

Definisi 8 (Peubah acak diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika

semua himpunan nilai dari peubah

acak tersebut merupakan himpunan tercacah.


Definisi 9 (Fungsi sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak

adalah yang didefinisikan oleh

Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah

acak X.


3

Definisi 10 (Peubah acak kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika

fungsi sebarannya dapat ditulis sebagai

untuk suatu fungsi yang dapat

diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability

density function) bagi X.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 11 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak

diskret X adalah fungsi yang

diberikan oleh

(Hogg et al. 2005)

Definisi 12 (Peubah acak Poisson)

Suatu peubah acak X disebut peubah acak

Poisson dengan parameter , jika fungsi

massa peluangnya diberikan oleh

untuk k=0,1,…

(Ross 2007)

Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak

yang saling bebas dan memiliki sebaran

Poisson dengan parameter berturut-turut

dan . Maka memiliki sebaran

Poisson dengan parameter (Taylor & Karlin 1984)

Bukti : lihat Lampiran 1.

2.3 Nilai Harapan dan Ragam

Definisi 13 (Nilai harapan)

1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan

fungsi massa peluang , maka nilai

harapan dari X dinotasikan dengan E(X)

adalah

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.

2. Jika X adalah peubah acak kontinu

dengan fungsi kepekatan peluang ,

maka nilai harapan dari X adalah

asalkan integral di atas konvergen mutlak.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 14 (Ragam)

Misalkan X adalah peubah acak diskret

dengan fungsi massa peluang dan nilai

harapan . Ragam dari X, dinotasikan

dengan atau , adalah

(Hogg et al. 2005)

Definisi 15 (Fungsi indikator)

Misalkan adalah suatu kejadian. Fungsi

indikator dari adalah suatu fungsi yang diberikan oleh


2.4 Kekonvergenan Peubah Acak

Terdapat beberapa cara untuk

menginterpretasikan pernyataan

kekonvergenan barisan peubah acak.

Definisi 16 (Konvergen dalam peluang)

Misalkan adalah barisan peubah

acak pada suatu ruang peluang .

Barisan peubah acak dikatakan konvergen

dalam peluang ke X, dinotasikan

, jika

untuk setiap berlaku , untuk


Definisi 17 (Konvergen dalam sebaran)

Misalkan adalah peubah acak

pada suatu ruang peluang . Suatu

barisan peubah acak dikatakan konvergen

dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis

, untuk jika

untuk , untuk semua titik x dimana

fungsi sebaran adalah

kontinu.


2.5 Penduga

Definisi 18 (Statistik)

Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau

lebih peubah acak yang tidak tergantung pada

satu atau beberapa parameter yang nilainya

tidak diketahui.

(Hogg et al. 2005)

4

Definisi 19 (Penduga)

Misalkan adalah contoh

acak. Suatu statistik yang

digunakan untuk menduga fungsi parameter

dilambangkan dengan Bilamana

nilai maka

nilai disebut sebagai dugaan

(estimate) bagi (Hogg et al. 2005)

Definisi 20 (Penduga tak bias)

(i) Suatu penduga yang nilai harapannya

sama dengan parameter yaitu

disebut penduga tak bias bagi

(ii) Jika

maka disebut penduga

tak bias asimtotik bagi

(Hogg et al. 2005)

Definisi 21 (Penduga konsisten)

Suatu penduga yang konvergen dalam

peluang ke parameter disebut penduga

konsisten bagi (Hogg et al. 2005)

Definisi 22 (MSE suatu penduga)

Mean Square Error (MSE) dari suatu

penduga untuk parameter adalah fungsi

dari yang didefinisikan oleh Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan

kuadrat dari selisih antara penduga dan

parameter , yang dapat dihitung sebagai

berikut:

dengan (Cassela & Berger 1990)

2.6 Proses Stokastik

Definisi 23 (Proses stokastik)

Proses stokastik adalah

suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu

ruang state (Ross 2007)

Jadi untuk setiap pada himpunan indeks

adalah suatu peubah acak. Kita sering

menginterpretasikan sebagai waktu dan

sebagai state (keadaan) dari proses pada

waktu

Definisi 24 (Proses stokastik waktu

kontinu)

Suatu proses stokastik disebut proses

stokastik dengan waktu kontinu jika berupa

suatu interval.

(Ross 2007)

Definisi 25 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokatik dengan waktu

kontinu disebut memiliki

inkremen bebas jika untuk semua peubah acak

adalah bebas.

(Ross 2007)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik

dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen bebas jika proses berubahnya nilai

pada interval waktu yang tidak tumpang tindih

(tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 26 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu

kontinu

disebut memiliki

inkremen stasioner jika

memiliki sebaran yang sama untuk semua

nilai .

(Ross 2007)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik

dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen stasioner jika sebaran (distribusi)

dari perubahan nilai antara sembarang dua

titik hanya tergantung pada jarak antara kedua

titik tersebut dan tidak tergantung dari lokasi

titik-titik tersebut.

2.7 Proses Poisson

Salah satu bentuk khusus dari proses

stokastik dengan waktu kontinu adalah proses

Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan

secara khusus, dianggap bahwa himpunan

indeks adalah interval bilangan real tak

negatif yaitu

Definisi 27 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika

menyatakan banyaknya kejadian yang telah

terjadi sampai waktu Dari definisi tersebut,

maka suatu proses pencacahan harus

memenuhi syarat-syarat berikut:

(i) untuk semua

(ii) Nilai adalah integer.

5

(iii) Jika maka

untuk

(iv) Untuk maka sama

dengan banyaknya kejadian yang terjadi

pada selang

(Ross 2007)

Definisi 28 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju , jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(i) .

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen

bebas.

(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang

interval waktu dengan panjang

memiliki sebaran (distribusi) Poisson

dengan nilai harapan Jadi untuk semua ,

dengan k=0,1,…

(Ross 2007)

Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses

Poisson memiliki inkremen yang stasioner.

Dari syarat (iii) juga dapat diperoleh

Proses Poisson dengan laju yang

merupakan konstanta untuk semua waktu

disebut proses Poisson homogen

(homogeneous Poisson process). Jika laju

bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari

waktu , maka disebut proses Poisson tak

homogen (inhomogeneous Poisson process).

Untuk kasus ini, disebut fungsi intensitas

dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas

harus memenuhi syarat untuk

semua Misalkan adalah proses Poisson dan

adalah suatu selang bilangan nyata. Jika

adalah proses Poisson homogen, maka

dengan adalah panjang selang ,

sedangkan menyatakan banyaknya

kejadian dari proses Poisson pada selang Jika adalah proses Poisson tak homogen

dengan fungsi intensitas , maka

Dengan kata lain, jika adalah proses

Poisson tak homogen maka memiliki sifat

(i)

k=0,1,…

untuk setiap selang dengan (ii) Untuk setiap bilangan bulat positif

dan adalah selang-

selang yang disjoint dengan

proses

merupakan

peubah acak yang saling bebas.

Definisi 29 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson

tak homogen dengan fungsi intensitas pada titik adalah yaitu nilai fungsi

di .

(Cressie 1993)

Definisi 30 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi disebut periodik jika

berlaku untuk semua

dan . Konstanta terkecil yang

memenuhi persamaan di atas disebut periode

fungsi tersebut.

(Browder 1996)

Definisi 31 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah suatu

proses Poisson tak homogen yang fungsi

intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Mangku 2001)

2.8 Beberapa Definisi dan Lema

Definisi 32 (Fungsi terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas disebut terintegralkan

lokal jika untuk sembarang himpunan Borel

terbatas kita peroleh

.B

B s ds

(Dudley 1989)

Definisi 33 (O(.) dan o(.))

Simbol-simbol O(.) dan o(.) merupakan

cara untuk membandingkan besarnya dua

fungsi dan dengan menuju suatu

limit .

(i) Notasi

menyatakan bahwa

terbatas, untuk

6

(ii) Notasi

menyatakan bahwa

untuk

(Serfling 1980)

Definisi 34 (Titik Lebesque)

Kita katakan adalah titik Lebesque dari jika berlaku

(Wheeden & Zygmund 1977)

Lema 2 (Formula Young dari Teorema

Taylor)

Misalkan memiliki turunan ke- yang

berhingga pada suatu titik , maka

untuk

(Serfling 1980)

Bukti : lihat Serfling 1980.

Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev)

Jika adalah peubah acak dengan nilai

harapan dan ragam , maka untuk setiap

(Ross 2007)

Bukti: lihat Lampiran 2.

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Perumusan Masalah

Misalkan adalah proses Poisson non-

homogen pada interval dengan fungsi

intensitas yang tidak diketahui. Fungsi

intensitas diasumsikan terintegralkan lokal

dan merupakan hasil kali dari dua komponen

yaitu komponen periodik atau komponen

siklik dengan periode (diketahui)

dikalikan komponen tren linear .

Konstanta merupakan kemiringan dari tren

linear dimana Dengan demikian,

untuk sebarang titik fungsi

intensitas dapat dinyatakan sebagai

berikut

dengan adalah fungsi periodik

dengan periode Persamaan (1) juga dapat

ditulis menjadi

dengan adalah fungsi periodik.

Misalkan maka persamaan

(1) dapat ditulis menjadi

Karena adalah fungsi periodik

dengan periode dan adalah

konstanta, maka adalah fungsi periodik

dengan periode sehingga persamaan

berlaku untuk setiap dan ,

dengan adalah himpunan bilangan bulat.

Berdasarkan persamaan (3), untuk menduga

cukup diduga Karena

adalah fungsi periodik dengan periode ,

maka untuk menduga pada

cukup diduga nilai pada Pada karya ilmiah ini dipelajari

penyusunan penduga konsisten bagi

untuk dengan menggunakan

realisasi tunggal dari proses Poisson

yang diamati pada interval Diasumsikan bahwa adalah titik

Lebesque dari , yang secara otomatis

berarti bahwa adalah titik Lebesque dari

3.2 Perumusan Penduga

Penduga bagi pada titik

dapat dirumuskan sebagai berikut

dengan menyatakan banyak

kejadian pada interval , k merupakan

suatu bilangan bulat dan adalah barisan

bilangan real positif yang konvergen menuju

nol yaitu

untuk Pada penduga di atas

disebut bandwidth.

Penduga pada (5) adalah bentuk khusus

dari penduga yang dibahas pada Mangku

(2011). Penduga pada (5) menggunakan

kernel seragam, sedangkan penduga pada

Mangku (2011) menggunakan fungsi kernel

umum. Berikut diuraikan ide tentang

pembentukan dari penduga bagi

. Menurut persamaan (3) dan (4)

diperoleh

Maka rata-rata nilai yang diduga

dengan

menyatakan bilangan bulat

terbesar yang lebih kecil atau sama dengan

Dari persamaan (8) diperoleh

8

Untuk melakukan pendekatan terhadap

persamaan (9) diperlukan asumsi bahwa s

adalah titik Lebesque bagi dan asumsi (6)

terpenuhi, sehingga persamaan (9) menjadi

Dengan mengganti

dengan

yang merupakan padanan stokastiknya,

maka dapat diaproksimasi

Sehingga diperoleh penduga bagi

adalah

seperti pada persamaan (5).

Teorema 1 (Kekonvergenan MSE

penduga)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi

persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika

asumsi (6) dipenuhi dan maka

untuk asalkan s adalah titik

Lebesgue bagi

Bukti:

Berdasarkan definisi MSE (Definisi 22),

Teorema 1 merupakan akibat dari dua lema

berikut, yaitu Lema 4 mengenai ketakbiasan

asimtotik dan Lema 5 mengenai

kekonvergenan ragam.

Lema 4 (Ketakbiasan asimtotik)



asumsi (6) dipenuhi maka

untuk asalkan s adalah titik

Lebesgue bagi . Dengan kata lain

adalah penduga tak bias asimtotik bagi

Bukti: Untuk membuktikan persamaan (11)

akan diperlihatkan bahwa

Untuk menyelesaikan persamaan (12) dapat

diperoleh dengan cara sebagai berikut

Karena

tidak mengandung indeks k,

maka persamaan (13) dapat ditulis menjadi

Nilai harapan pada persamaan (14) dapat diuraikan

menjadi

Kita misalkan :

Maka pada persamaan (15) dilakukan

pergantian peubah sehingga diperoleh

9

Dengan berpedoman pada persamaan (7),

maka persamaan (16) dapat diubah menjadi

Berdasarkan sifat keperiodikan pada

persamaan (4), maka persamaan (17) dapat

ditulis menjadi

Kemudian persamaan (18) disubstitusikan

kembali ke persamaan (14) sehingga

diperoleh

Lalu unsur yang memiliki indeks k

dikelompokkan sehingga diperoleh

Karena jika maka

untuk semua Dari persamaan (20), maka persamaan (19)

dapat ditulis sebagai

Dengan melakukan operasi perkalian pada

ruas kanan, maka diperoleh

Suku pertama pada ruas kanan dari

persamaan (22) dapat ditulis menjadi

Untuk menunjukkan bahwa suku pertama

dari persamaan (23) adalah konvergen ke

nol, akan digunakan nilai yang lebih besar,

yaitu

Berdasarkan asumsi (6) dan dengan asumsi

bahwa s adalah titik Lebesgue bagi maka

kuantitas pada persamaan (24) konvergen

ke nol, jika atau dapat juga ditulis

Sedangkan suku kedua persamaan (23)

adalah

Dengan menggabungkan hasil yang

diperoleh, maka

jika

Dengan demikian diperoleh bahwa suku

pertama pada ruas kanan persamaan (22)

adalah

untuk

10

Sedangkan suku kedua pada ruas kanan

persamaan (22) menjadi

untuk Dengan mensubstitusikan hasil yang

diperoleh dari suku pertama dan suku kedua

di atas maka diperoleh

untuk Dengan demikian Lema 4

terbukti.

Lema 5 (Kekonvergenan ragam)



asumsi (6) dipenuhi, terbatas di sekitar s

dan , maka

untuk

Bukti :

Karena jika maka untuk

nilai n yang cukup besar, interval dan untuk tidak tumpang tindih atau

tidak overlap. Akibatnya, berdasarkan sifat

inkremen bebas dari proses Poisson

(Definisi (25), diperoleh bahwa dan untuk adalah peubah

acak bebas. Sehingga dapat

ditentukan sebagai berikut

Karena ~ Poisson, maka

sehingga persamaan (28) menjadi

(29)

Dari persamaan (18) untuk sebarang k, kita

bisa tuliskan

Dengan demikian persamaan (29) dapat

ditulis menjadi

Dengan mengelompokan unsur yang

memiliki indeks k, persamaan (30) dapat

ditulis menjadi

Perhatikan bahwa, karena

maka persamaan (31) menjadi

Karena terbatas di sekitar , maka ada

konstanta K sehingga untuk semua

Maka ruas kanan

persamaan (33) tidak melebihi

11

jika Dengan demikian Lema 5

terbukti.

Berdasarkan kedua lema tersebut, yaitu

(i) Lema 4 (ketakbiasan asimtotik)

, jika

maka

(ii) Lema 5 (kekonvergenan ragam)

jika

maka definisi MSE (Definisi 22) akan

diperoleh, yaitu sebagai berikut

untuk Dengan demikian

Teorema 1 terbukti.

3.3 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias,

Ragam dan MSE

Teorema 2 (Aproksimasi asimtotik bagi

bias)



asumsi (6) dipenuhi, dan

memiliki turunan kedua berhingga pada

s, maka

untuk

Bukti :

Berdasarkan bukti Lema 4 mengenai

ketakbiasan asimtotik, maka nilai harapan

dari dapat dituliskan sebagai berikut

Berdasarkan persamaan (19), maka

diperoleh

Diperlukan asumsi memiliki turunan

yang terhingga di s maka ada dan kontinu

pada s, mengakibatkan memiliki nilai

yang terbatas di sekitar s. Dengan Formula

Young (Lema 2), maka diperoleh

untuk atau bila diuraikan menjadi

untuk

Misalkan maka persamaan (36)

dapat ditulis menjadi

untuk Sehingga dapat dinyatakan

12

untuk n .

Karena menurut persamaan (20)

maka persamaan (35) akan menjadi

untuk Dengan demikian Teorema 2

terbukti.


ragam)



asumsi (6) dipenuhi, terbatas di sekitar s

dan maka

untuk

Bukti:

Berdasarkan bukti dari Lema 5

(kekonvergenan ragam), maka ragam dari

dapat ditulis seperti pada persamaan

(31)

Perhatikan persamaan (32)

Maka persamaan (31) menjadi

Dari persamaan (33) kita mempunyai

Untuk menunjukkan bahwa suku pertama

dari persamaan (38) adalah konvergen ke

nol, akan digunakan nilai yang lebih besar,

yaitu

Berdasarkan asumsi (6) dan dengan asumsi

bahwa s adalah titik Lebesgue bagi maka

kuantitas pada (39) akan menuju nol jika

, atau dapat juga ditulis Sedangkan suku kedua persamaan (38)

adalah

Dengan menggabungkan hasil yang

diperoleh, maka

13

Dengan demikian menurut persamaan (25)

maka persamaan (33) dapat ditulis menjadi

untuk Dengan demikian Terorema 3

terbukti.


MSE)



asumsi (6) dipenuhi bagi dan memiliki

turunan kedua

berhingga pada s, maka

untuk

Bukti :

Berdasarkan definisi MSE (Definisi 22),

maka

dengan

Pada persamaan (34) diperoleh

Berdasarkan Teorema 3 diperoleh

Sehingga ruas kanan (42) dapat ditulis

menjadi

untuk Karena mempunyai turunan kedua

berhingga pada s, maka

sehingga diperoleh persamaan (37). Dengan

demikian Teorema 4 terbukti.

3.3 Penentuan Bandwidth Optimal

Asimtotik

Ukuran terbaik dari suatu penduga relatif

terhadap kesalahannya adalah penduga

dengan MSE yang bernilai minimum.

Misalkan yang merupakan fungsi

dari , menyatakan suku utama dari

yaitu

Dapat diperoleh nilai yang

meminimumkan untuk n tetap,

dengan membuat turunan pertama

sama dengan nol, sehingga diperoleh

Selanjutnya akan diperiksa apakah yang

diperoleh meminimumkan dengan

memeriksa turunan kedua , yaitu

Telah kita ketahui bahwa nilai dari

dan

adalah bandwidth yang bernilai positif,

sehingga

14

Dengan demikian yang diperoleh

meminimumkan . Sehingga nilai

bandwidth yang optimal adalah

turunan pertama sama dengan nol

dan turunan kedua bernilai

positif maka memenuhi syarat

minimum. Karena tidak diketahui,

sehingga bandwidth di atas bersifat

asimtotik.

turunan pertama sama dengan nol

dan turunan kedua bernilai positif

maka memenuhi syarat

minimum. Karena tidak diketahui,

sehingga bandwidth di atas bersifat

asimtotik.

IV. SIMPULAN

Pada tulisan ini dikaji masalah pendugaan

fungsi intensitas yang berbentuk fungsi

periodik kali tren linear dari suatu proses

Poisson non-homogen. Untuk sebarang titik

dan merupakan kemiringan dari

tren linear, maka fungsi intensitasnya dapat

dinyatakan sebagai berikut

Pada kajian ini ditentukan penduga bagi

komponen periodik fungsi intensitas

pada titik dari proses Poisson

periodik dengan periode yang diamati

pada interval . Dari hasil pengkajian yang dilakukan

dapat disimpulkan bahwa:

(i) Penduga komponen periodiknya adalah

sebagai berikut

dimana menyatakan banyaknya

kejadian pada interval [0,n], k merupakan

suatu bilangan bulat dan adalah

barisan bilangan real yang konvergen

menuju nol yang disebut bandwidth.

adalah penduga yang tak bias

asimtotik bagi ,

untuk sehingga diperoleh

untuk

(ii) Aproksimasi asimtotik bagi bias

adalah sebagai berikut

untuk (iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam


untuk

(iv) Aproksimasi asimtotik bagi


untuk

(v) Bandwidth optimal asimtotik yang

meminimumkan aproksimasi untuk


DAFTAR PUSTAKA

Browder A. 1996. Mathematical Analysis:

An Introduction. Springer. New York.

Casella G, Berger. 1990. Statistical

Inference. First Edition. Wadsworth &

Brooks/Cole. Pasivic Grove. California.

Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial

Data. Revised Edition. Wiley. New York.

Dudley RM. 1989. Real Analysis and

Probability. Wadsworth & Brooks.

California.

Grimmett GR. and Stirzaker. 1992.

Probability and Random Processes.

Second Edition. Clarendon Press.

Oxford.

Hogg RV, Graig AT and MacKean JW. 2005. Introduction to Mathematical

Statistics. Sixth Edition. Prentice Hall,

Englewood Cliffs. New Jersey.

Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity

of a Cyclic Poisson Process

(Ph.D.Thesis). University of Amsterdam.

Amsterdam.

Mangku IW. 2011. Estimating the intensity

obtained as the product of a periodic

function with the linear trend of a non-

homogeneous Poisson process. Accepted

by Far East Journal of Mathematical

Science (FJMS).

Ross SM. 2007. Introduction to Probability

Models. Ninth Edition. Academic Press

Inc. Orlando. Florida.

Serfling RJ. 1980. Approximation

Theorems of Mathematical Statistics.

John Wiley & Sons. New York.

Taylor HM. dan Karlin. 1984. An

Introduction to Stochastics Modelling.

Academic Press Inc. Orlando. Florida.

Wheeden RL, Zygmund. 1977. Measure

and Integral: An Introduction to Real

Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York.

LAMPIRAN

18

Lampiran 1. Pembuktian Lema 1

Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan

parameter beturut-turut dan . Maka memiliki sebaran Poisson dengan parameter

Bukti :

Dengan menggunakan aturan peluang total (law of total probability), kita dapat nyatakan

Ingat, dengan perluasan binomial kita dapat menyatakan untuk setiap integer positif n,

Sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke (1) diperoleh ruas kanan dari persamaan (1)


Persamaan (3) di atas adalah fungsi peluang dari sebaran Poisson dengan parameter Maka Lema 1 terbukti.

19

Lampiran 2. Pembuktian Lema 3

Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev)

Jika X adalah peubah acak dengan rataan µ dan ragam , maka untuk setiap

Bukti :

Untuk membuktikan pertidaksamaan Chebyshev diperlukan Pertidaksamaan Markov (Lema 4)

berikut :

Lema 4 (Pertidaksamaan Markov)

Jika X adalah peubah acak dengan E(X) terbatas, untuk setiap

Bukiti :

Misalkan maka

dengan IA adalah fungsi indikator dari A, yaitu :

jika kita tentukan nilai harapannya, maka akan diperoleh

Sehingga diperoleh

Jadi Lema 4 terbukti.

Selanjutnya dengan Pertidaksamaan Markov (Lema 4) maka kita dapat membuktikan Lema 3.

Jadi Lema 3 terbukti.

pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk ... · suatu proses poisson non-homogen...

Documents