18. modul limit fungsi pak sukani
TRANSCRIPT
Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 1
LIMIT FUNGSI
a. Limit Fungsi Aljabar
Secara umum bentuk limit ditulis : (x) f a x
lim
= f (a)
Jika f (a) = k, maka (x) f a x
lim
= k
Jika f (a) = k
0, maka (x) f
a x lim
= 0
Jika f (a) = 0
k, maka (x) f
a x lim
= ∞
Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit).
Contoh :
1. 5 4x 2 x
lim
= 4 . 2 + 5 = 13
2. x
3 2x
3 x lim
=
3
33.2 =
3
36 =
3
9 = 3
3. 5x
5 4x x
1 x lim
2
= 0
5
0
5
541
)1(5
5)1(4)1( 2
4. 2x
4 3x x
0 x lim
2
=
0
4
0
400
)0(2
4)0(3)0( 2
Jika (x) f a x
lim
= 0 dan (x) g a x
lim
= 0, sehingga 0
0
g(x)
f(x)lim
a x
maka harus difaktorkan
atau diuraikan terlebih dahulu.
Contoh :
1. 2 -x
2 3x - x
2 x lim
2
substitusi langsung :
0
0
22
22.322
(tidak boleh)
2 -x
2 3x - x
2 x lim
2
=
)2(
)2.....)((lim
2 x
x
xx (perhatikan angka belakang : berapa kali (-2)
hasilnya (+2) (-1))
2 -x
2 3x - x
2 x lim
2
= 1 - x
2) -(x
2) -(x . 1)-(x limlim
2 x 2 x
= 2 – 1 = 1
2. 6 5x x
10 3x xlim
2
2
2 x
= ....
Substitusi langsung : 6)2(5)2(
10)2(3)2(2
2
=
6104
1064
=
0
0 (tidak boleh)
6 5x x
10 3x xlim
2
2
2 x
=
2) (x (x.....)
2) (x (x.....)lim
2 x
(perhatikan angka belakang : berapa kali (+2) hasilnya (-10) dan berapa kali (+2)
hasilnya (+6) (-5) dan (+3))
6 5x x
10 3x xlim
2
2
2 x
=
2) (x 3) (x
2) (x 5(xlim
2 x
=
3) (x
5) (x lim
2 x
=
32
52
=
1
7 = –7
3. 4 x
64 x
4 x lim
3
→ substitusi langsung :
44
6443
=
0
0 (tidak boleh)
Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 2
4 x
64 x
4 x lim
3
=
4) (x
16) 4x (x . 4) (x
4 x lim
2
= 16) 4x (x
4 x lim 2
= 42 + 4 . 4 + 16 = 16 + 16 + 16 = 48
4. 3x - x
6x 5x - x
0 x lim
2
23
→ substitusi langsung :
0.30
0.60.502
23
=
0
0 (tidak boleh)
3x - x
6x 5x - x
0 x lim
2
23
=
3) -(x x
6) 5x - (xx
0 x lim
2
=
3) -(x
6) 5x - (x
0 x lim
2
=
30
60.502
= 3
6
= –2
Jika (x) f a x
lim
= 0 dan (x) g a x
lim
= 0 dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga
0
0
g(x)
f(x)lim
a x
maka harus dikalikan dengan nilai satu dari faktor sekawannya.
(a + b) sekawannya : (a – b) atau sebaliknya
(a – b) sekawannya : (a + b)
Contoh :
1. 2x
2 x
2 x lim
→ substitusi langsung :
22
22
=
0
0 (tidak boleh)
2x
2 x
2 x lim
=
2x
2 x
2 x lim
.
2x
2x
=
)2(x
)2x( . 2) (x
2 x lim
= 2x 2 x
lim
= 2 + 2
= 2 2
2. 3
21lim
3 x
x
x substitusi langsung :
0
0
0
22
33
213
(tidak boleh)
3
21lim
3 x
x
x =
3
21lim
3 x
x
x .
21
21
x
x =
)21)(3(
4)1(lim
3 x
xx
x
= )21)(3(
)3(lim
3 x
xx
x =
)21(
1lim
3 x x =
213
1
= 4
1
22
1
Jika
f(x)lim x
dan
g(x)lim x
, sehingga
g(x)
f(x)lim
x maka harus dibagi dengan
pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebutnya.
Contoh :
1. 3x 4x - x
8 -6x 2x
23
2
x lim
substitusi langsung :
.3.4
8.6.223
2
(tidak boleh)
f (x) atas dan bawah harus dibagi dengan pangkat tertinggi.
3x 4x - x
8 -6x 2x
23
2
x lim
=
33
2
3
3
333
2
x
x
x3
x
x4
x
x
x
8
x
6x
x
2x
lim
=
2
32
x
x
3
x
41
x
8
x
6
x
2
lim
Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 3
= 01
0
0 0 - 1
0 - 00
341
862
2. xxx
xxx
362
453lim
23
23
x
substitusi langsung :
)(3)(6)(2
)(4)(5)(323
23
=
(tidak boleh)
xxx
xxx
362
453lim
23
23
x
=
33
2
3
3
33
2
3
3
462
453
lim x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
2
2
462
453
lim x
xx
xxx
=
362
453
= 002
003
=
2
3
Untuk menjawab soal pilihan ganda :
Untuk soal : 0
0
g(x)
f(x)lim
0 x
maka yang harus dilihat x pangkat terendahnya.
Jika ada diatas hasilnya = ∞, jika ada dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah pangkat
terendahnya sama maka hasilnya lihat angka didepan x.
3x - x
6x 5x - x
0 x lim
2
23
=
3
6
= -2
Untuk soal :
g(x)
f(x)lim
x maka harus dilihat pangkat tertingginya
Jika diatas hasilnya = ∞, jika pangkat tertingginya dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan
bawah pangkat tertingginya sama maka hasilnya lihat angka di depan x.
3x 4x - x
8 -6x 2x
23
2
x lim
= 1
0 = 0 ;
3 4x - 3x
5x - 7x 3x
2
23
x lim
= 0
3 = ∞ ;
2 7x - 2x
4x - 6x 3x
3
23
x lim
= 2
3
b. Limit Fungsi Trigonometri
1 x sin
x
x
x sin limlim
0 x 0 x
atau 1 ax sin
ax
ax
ax sin limlim
0 x 0 x
1 x tan
x
x
x tan limlim
0 x 0 x
atau 1 ax tan
ax
ax
ax tan limlim
0 x 0 x
Untuk bentuk yang lainnya, jika dimasukan langsung hasilnya 0
0 funsi f (x) harus diuraikan
dengan aturan rumus trigonometri.
Contoh :
1. 3x
5xsin
0 x lim
= 3x
5xsin
0 x lim
. 5
5 =
3
5 .
5x
5xsin
0 x lim
= 3
5 . 1 =
3
5
atau : 3x
5xsin
0 x lim
= 3
5
Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 4
2. 3xtan
4xsin
0 x lim
= 3xtan
4xsin
0 x lim
. 4x
4x .
3x
3x =
3x
4x .
4x
4xsin
0 x lim
. 3xtan
3x
0 x lim
= 3
4
atau : 3xtan
4xsin
0 x lim
= 3
4
3. sin x x cos
2x cos
4 x
lim
= oo
o
45sin 45 cos
45 . 2 cos
=
oo
o
45sin 45 cos
90 cos
=
22
12
2
1
0
= 0
0
fungsi x harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.
cos 2x = cos2 x – sin
2 x = (cos x – sin x) (cos x + sin x)
sin x x cos
2x cos
4 x
lim
= sin x) x (cos
sin x) x (cos sinx) x (cos
4 x
lim
= sin x) x(cos
4 x
lim
= cos 45o + sin 45
o =
2
12 +
2
12 = 2
4. sin x5x
2x cos 1lim
0 x
substitusi langsung :
0
0
0.0
11
0sin).0(5
0cos1
o
o
(tidak boleh)
f(x) harus diuraikan dengan menggunakan rumus trigonometri
sin x5x
2x cos 1lim
0 x
=
sin x5x
x)2sin (1 1lim
2
0 x
cos 2x = 1 – 2sin
2 x
= sin x5x
x2sin 1 1lim
2
0 x
=
sin x5x
x2sinlim
2
0 x =
sin x
sin xlim .
x
sin xlim
5
2
0 x 0 x
= 5
2 . 1 . 1
= 5
2
Pembahasan soal-soal :
1. 3 -x
27 x lim
3
3 x
= ….
A. 9 B. 12 C. 18 D. 21 E. 27
UN 03/04
Jawab : E
Penyelesaian :
3 -x
27 x lim
3
3 x
=
3) -x (
3) -(x . 9)3x (x lim
2
3 x
= 9) 3x (x lim 2
3 x
= 32 + 3 . 3 + 9
= 9 + 9 + 9
= 27
atau dengan cara diturunkan.
3 -x
27 x lim
3
3 x
=
1
3x lim
2
3 x
= 3 . 32
= 3 . 9
= 27
2. 2 x 85x
5x103x lim
3
3
x
= ….
Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 5
A. 5
2 B.
5
3 C.
3
5 D.
2
5 E. ∞
UN 03/04
Jawab : B
Penyelesaian :
2 x 85x
5x103x lim
3
3
x
=
333
3
333
3
x
x
2
x
8x
x
5x
x
5
x
x10
x
3x
lim
=
32
32
x
x
2
x
85
x
5
x
103
lim
=
285
5103
lim x
= 005
003
= 5
3
atau dengan cara langsung, yaitu jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka lihat
angka didepan x pangkat tertinggi
2 x 85x
5x103x lim
3
3
x
=
5
3
3. 2 x
2 3x x lim
2
2 x
= ….
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E.
UN 04/05
Jawab : A
Penyelesaian :
2 x
2 3x x lim
2
2 x
=
2 x
2 3x x lim
2
2 x
.
2 x
2 x
= 2) (x
2 x 1) (x 2) (x lim2 x
= 2 x 1) (x lim2 x
= (2 – 1) . 22
= 1 . 0
= 0
4. 20 x 5x
2x cos 1 lim
= ….
A. 2
5 B.
2
3 C.
3
2 D.
5
2 E.
UN 04/05
Jawab : D
Penyelesaian :
Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 6
20 x 5x
2x cos 1 lim
=
2
2
0 x 5x
x)sin 2 (1 1 lim
= 2
2
0 x 5x
xsin 2 lim
= 5
2 .
x
sin x lim
0 x .
x
sin x lim
0 x
= 5
2 . 1 . 1
= 5
2
5. Nilai dari 7 4x x
5 2x 3x 2x lim
3
23
x
= ….
A. 0 B. C. 2 D. 3 E. 4
UN 05/06
Jawab : C
Penyelesaian :
Untuk limit dengan batas x , yang harus diperhatikan adalah pangkat tertingginya.
7 4x x
5 2x 3x 2x lim
3
23
x
=
1
2 = 2
6. 2x cotg .2x sin 4 lim0 x
= ….
A. B. –1 C. 0 D. 2 E. 4
UN 05/06
Jawab : E
Penyelesaian :
2x cotg .2x sin 4 lim0 x
cotg 2x = 2xsin
2x cos
2xsin
2x cos .2x sin 4 lim
0 x = 2x cos 4 lim
0 x
= 4 . cos 0o
= 4 . 1
= 4
7. Nilai 2
2
x 2x
2 x xlim
= ....
A. 0 B. 2
1 C. 1 D. 2 E.
UN 07/08
Jawab : B
Penyelesaian :
Untuk limit dengan batas tak terhingga, jika pangkat tertinggi antara atas dan bawah sama
maka lihat angka yang ada di depan pangkat tertinggi.
2
2
x 2x
2 x xlim
=
2
1
8. Nilai 3x sin .x
4x tan . 3xlim
2
2
0 x adalah ....
A. 4 B. 2 C. 3
5 D.
3
4 E.
3
1
UN 07/08
Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 7
Jawab : D
Penyelesaian :
3x sin .x
4x tan . 3xlim
2
2
0 x =
3xsin
3xlim
0 x .
3xsin
xlim
0 x .
x
4xtan lim
0 x
= 3xsin
3xlim
0 x .
3xsin
xlim
0 x .
3
3 .
x
4xtan lim
0 x .
4
4
= 3
4 .
3xsin
3xlim
0 x .
3xsin
3xlim
0 x .
4x
4xtan lim
0 x
= 3
4 . 1 . 1 . 1
= 3
4
Soal latihan :
1. 2
4lim
2
2 x
x
x = ….
A. -2 B. 0 C. 4 D. 6 E. 8
2. Nilai dari 4 2x
16 2x 3x lim
2
2 x
= ….
A. 7 B. 6 C. 4 D. 2 E. 0
3. 6 3x
14 5x x lim
2
2 x
= ….
A. –3 B. –3
4 C. 2 D. 6 E. 9
4. 16
4lim ....
16x
x
x
A. 8
1 B.
4
1 C.
2
1 D. 4 E. 8
5. 2 1 x
6 2x lim
3 x
= ....
A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 E.
6. x
x
3
9lim
9 x = ….
A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 E. 0
7. 2
2
(2 3) ( 4)lim ....
(4 3)(2 1)x
x x
x x
A. 4 B. 2 C. 4
3 D.
2
1 E.
3
1
8. )14(2
)13(lim
2
3
x
xx
x = ….
A. 8
3 B.
4
3 C.
2
3 D.
8
27 E. 3
9. 4x3x5
2x3x23
23
~xlim
= ....
A. 5
7 B.
5
4 C.
5
3 D.
5
2 E.
5
1
10. Nilai dari 32
23
4x 2x 8
3x 5x 2x lim
x
= ....
Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 8
A. –2
5 B. –
2
1 C. 0 D.
4
1 E.
11. Nilai dari sin x4x
1 -2x coslim
0 x = ….
A. 2
1 B.
4
1 C. 0 D.
4
1 E.
2
1
12. x tg. x cos 2lim
2 x
= ....
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E.
13. 2
0x x2
1x2coslim
= ….
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2
14. sin x x cos
2x cos lim
4 x
= ….
A. 2
12 B. 2 C. 2 D. 2 2 E.
15. xcos . tan x 2 lim
2 x
= ….
A. B. 2 C. 1 D. 0 E. –1
16. Nilai dari sin x4x
2x cos - 1lim
0 x = ….
A. 2
1 B.
4
1 C. 0 D.
4
1 E.
2
1
17. 8 2x x
4 x lim
24 x
= ….
A. 8
1 B.
6
1 C.
4
1 D.
3
1 E.
2
1
18. 12 x x
3 7x 2x lim
2
2
3 x
= ….
A. 3
5 B.
7
5 C.
5
2 D. –
5
2 E. –
3
5
19. 2 1 3x
2 2x lim
1 x
= ….
A. 3
2 B. 1
3
2 C. 2
3
1 D. 2
3
2 E. 3
3
1
20. 3 5x 2x
4 5x x lim
2
2
0 x
= ….
A. 3
4 B. 1 C.
2
1 D. –
2
1 E. –
3
4