08 getaran bebas mdof

8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF

1/33

Getaran BebasSistem Multi Degree of

FreedomKL3201, Kelas 02

Semester II 2015/2016


2/33

[m] : matriks massa

[c] : matriks redaman [k ] : matriks kekakuan : vektor perpindaan,

ke!epatan, dan per!epatan "F # : vektor $a%a luar

Persamaan Gerak

[ ] { } [ ] { } [ ] { } { }m u c u k u F + + =&& &

{ } { } { }, ,u u u& &&


3/33

'ersamaan $erak

Solusi dimisalkan dalam (entuk

Su(stitusi ke persamaan $erakmen$asilkan

Getaran Bebas TakTeredam

di mana "φ # merupakan vektor amplitudosimpan$an %an$ tidak merupakan )un$si*aktu+

[ ] { } [ ] { } { }0m u k u+ =&&

{ } { } ( )sinu t φ ω θ = +

[ ] [ ]( ) { } ( ) { }2 sin 0k m t ω φ ω θ − + =

[ ] [ ]( ) { } { }2

0k mω φ − =


4/33

entuk -[k ] . ω 2[m] "φ # dise(ut eigenvalue problem+

Solusi nontrivial diperole ika

ilainilai ω 2 %an$ memenui persamaankarakteristik di atas dise(ut eigenvalue+

ektor "φ #i %an$ memenui:

dise(ut eigenvector +

Eigenvalue Problem

atau

[ ] [ ]2 0k mω − =

[ ] [ ]( ) { } { }2 0i ik mω φ − = [ ] { } [ ] { }2

ii ik mφ ω φ =


5/33

'ersamaan karakteristik 4[k ] . ω 2[m]4 0(er(entuk persamaan polinomial deraat N den$an varia(el ω 2, di mana N adala

umla deraat ke(e(asan struktur+ en$an demikian akan terdapat N (ua ω

%an$ akan memenui persamaankarakteristik terse(ut -diam(il %an$ positi)

saa+ alam dinamika struktur, ω i merupakan

)ekuensi alami dari struktur MDOF %an$ditinau+

Eigenvalue dan Frekuensi Alami


6/33

7rekuensi alami (iasan%a diurutkan darinilai terke!il:

Eigenvector "φ #i %an$ sesuai den$an)rekuensi alami ω i dalam dinamika struktur

dise(ut ra$am $etar -mode shape kei daristruktur+

en$an demikian, se(ua struktur den$anN deraat ke(e(asan akan memiliki N pasan$ )rekuensi alami dan ra$am $etar+

Frekuensi Alami dan RagamGetar

1 2 N ω ω ω < <


7/33

Susun persamaan $erak dan tentukan)rekuensi alami serta ra$am $etar darimodel (an$unan $eser den$an 2 deraatke(e(asan seperti ter$am(ar+

Contoh

2k

u1

2m

m u2

k


8/33

8odel mekaniku1

2k 2m

u2

k m

Free-body diagram

'ersamaankeseim(an$an

2ku1 k(u1 . u2

8assa 1 :

8assa 2 :

12mu&

2mu&

( )

( )

1 1 1 2

2 1 2

2 2 0

0

mu ku k u u

mu k u u

+ + − =

− − =

&&

&&

1 1

2 2

2 0 3 0

0 0

u um k k

u um k k

− + = −

&&

&&


9/33

'ersamaan karakteristik:

Eigenvalue:

7rekuensi alami:

[ ] [ ]2 0k mω − =

2

2

3 20

k m k

k k m

ω

ω

− −=

− −

4 2 2 22 5 2 0m km k ω ω − + =

2 21 2

2;

2k k m m

ω ω = =

1 2

2;

2

k k

m mω ω = =


10/33

9a$am $etar 1, ω ω 1:

ilai amplitudo ra$am $etar φ 1 , φ 2 , dst+ tidakla

unik, akan tetapi rasio antara masin$masin$adala unik+

le karena itu, !ukup dimisalkan suatu nilai untuksala satu koordinat -misaln%a φ 1 1, maka nilai φ i %an$ lain akan dapat ditentukan+

;atatan:

9a$am $etar 2, ω ω 2:

1

2 1

2 1

20 2

0.5

k k

k k

φ φ φ

φ

− = ⇒ =

1

2 1

1

2

φ

φ

=

1 1

2 22 2

10

1

k k

k k

φ φ

φ φ

− − = ⇒ = − − −


11/33

φ 1

φ 2

9a$am $etar 1:"φ #1

9a$am $etar 2:"φ #2

φ 1

φ 2


12/33

Kem(ali ke pemisalan a*al:

Karena terdapat N solusi, maka solusilen$kapn%a (erupa kom(inasi linier masin$masin$ solusi:

Respons Getaran BebasTak Teredam

di mana

iperlukan 2N kondisi a*al untuk menentukankonstanta Ai dan Bi, %aitu simpan$an a*al dan

ke!epatan a*al pada setiap deraat ke(e(asan+

{ } { } ( ) { } ( )sin cos sinu t A t B t φ ω θ φ ω ω = + = +

{ } { }1

N

iii

u qφ =

= ∑

cos sini i i i iq A t B t ω ω = +


13/33


14/33

=inau u(un$an )rekuensi dan ra$am $etar(erikut:

>ika i , kedua persamaan di atas elasidentik tanpa s%arat+

>ika i ≠ , diperlukan u(un$an:

a$ar kedua persamaan di atas identik+

Orthogonalitas RagamGetar

{ } [ ] { } { } [ ] { }

{ } [ ] { } { } [ ] { }

2

2

T T

i j i j i

T T

ji j i j

k m

k m

φ φ ω φ φ

φ φ ω φ φ

=

=

{ } [ ] { } { } [ ] { }0 ; 0T T

i j i jk mφ φ φ φ = =


15/33

rto$onalitas ra$am $etar:

?ki(at si)at orto$onalitas ra$am $etar ini,perkalian (erikut:

akan men$asilkan matriks [! ] dan [M]%an$ dia$onal+

Orthogonalitas RagamGetar

{ } [ ] { }

{ } [ ] { }

0

0

T

i j

T

i j

k

m i j

φ φ

φ φ

=

= ≠

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

T

T

k K

m M

Φ Φ =

Φ Φ =


16/33

8atriks [! ] dan [M] %an$ dia$onal akan(er(entuk:

di mana

Diagonalisasi Massa danKekakuan

[ ] [ ]

1 1

2 2

0 0 0 0

0 0 0 0;

0 0 0 0 N N

K M

K M K M

K M

= =

L L

L L

8 8 : 8 8 8 : 8L L

{ } [ ] { }{ } [ ] { }

T

i i i

T

i i i

K k

M m

φ φ

φ φ

=

=


17/33

entuk solusi $etaran (e(as MDOF

dapat dian$$ap se(a$ai ekspansi ra$amuntuk perpindaan "u#+

8aksudn%a, setiap (entuk perpindaan "u#dapat din%atakan se(a$ai kom(inasi linier

dari ra$am $etar "φ #i den$an "i se(a$ai)aktor pen$ali+

kspansi Ragam untukPerpindahan

φ 11

φ 21

u1

u2

"1 @ A "2 @ φ 12

φ 22

{ } { }1

N

iii

u qφ =

= ∑


18/33

>ika "u# dan "φ #i diketaui, nilai "i dapatdi!ari melalui:

8eman)aatkan si)at orto$onalitas ra$am$etar, (entuk di atas dapat disederanakan

menadi:

sein$$a

kspansi Ragam untukPerpindahan

{ } { }

{ } [ ] { } { } [ ] { }

1

1

N

j j j

N T T

ji i j j

u q

m u m q

φ

φ φ φ

=

=

=

=

∑

∑

{ } [ ] { } { } [ ] { }T T ii i im u m qφ φ φ =

{ } [ ] { }

{ } [ ] { }

{ } [ ] { }T T

i ii T

ii i

m u m uq

M m

φ φ

φ φ

= =


19/33

Modal superposition method dimulai den$antrans)ormasi koordinat dari perpindaan "u#menadi modal coordinate ""#:

entuk ini sama den$an ekspansi ra$am %an$lalu:

en$an trans)ormasi ini, persamaan $erak

(eru(a menadi:

Metode Superposisi Ragam

{ } [ ] { }u q= Φ

[ ] [ ] { } [ ] [ ] { } { }0m q k qΦ + Φ =&&

{ } { } { } { } { } [ ] { }

1

2

1 21

N

ii N i

N

q

qu q q

q

φ φ φ φ =

= = = Φ

∑ L8


20/33

'erkalian a*al den$an [Φ]# men$asilkan:

'ersamaan di atas dapat disederanakanmenadi:

Ini merupakan persamaan $erak $DOF %an$

suda terpisa -uncoupled, sein$$a dapatdiselesaikan satu persatu:


atau

di mana

[ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { }0T T

m q k qΦ Φ + Φ Φ =&&

[ ] { } [ ] { } { }0 M q K q+ =&&

0i i i i M q K q+ =&&

20i i iq qω + =&&

ii

i

K

M ω =


21/33

ari analisis $DOF , tela diperole solusimasin$masin$ persamaan $erak dalamkoordinat ra$am:

'erlu dilakukan trans)ormasi kondisi a*aldari dan menadidan +


( ) ( )

cos sin

00 cos sin

i i i i i

i

i i i

i

q A t B t

qq t t

ω ω

ω ω ω

= +

= + &

{ } 0u&

{ }0

u

( )0iq ( )0iq&


22/33

Kondisi a*al dalam modal coordinate dapatdiperole dari u(un$an "i dan "u# %an$

tela diperole se(elumn%a:

Kondisi A!al dalam Koord"Ragam

( ) { } [ ] { }

{ } [ ] { }

{ } [ ] { }

( ) { } [ ] { }

{ } [ ] { }

{ } [ ] { }

0 0

0 0

0

0

T T

i ii T

ii i

T T

i ii T

ii i

m u m uq

M m

m u m uq

M m

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

= =

= =

& &

&


23/33

=entukan respons $etaran (e(as daristruktur 27 pada ;onto 1 ika di(erisimpan$an a*al dan ke!epatan a*al(erikut:

Contoh #

-a

-(

-!

{ } { }0 00.5 0

;1 0u u

= = &

{ } { }0 0

1 0;

1 0u u

− = =

&

{ } { }0 0

0.5 0;

2 0u u

− = =

&


24/33

7rekuensi dan matriks ra$am asilperitun$an terdaulu

ia$onalisasi matriks massa dankekakuan

'ersamaan $erak dalam koordinatra$am

atau

[ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 2 0 1 1 6 0

1 1 0 2 1 0 3

T m m M m

m m

= Φ Φ = =

− −

[ ]1 21 12

; ;

2 12

k k

m m

ω ω

= = Φ = −

[ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 3 1 1 3 0

1 1 2 1 0 6

T k k k K k

k k k

− = Φ Φ = = − − −

1 1

2 2

6 3 0

3 6 0

mq kq

mq kq

+ =

+ =

&&

&&

2

1 1 1

2

2 2 2

0

0

q q

q q

ω

ω

+ =

+ =

&&

&&

-


25/33

=rans)ormasi kondisi a*al ke koordinatra$am

-a

( ) { } [ ] { } [ ]

( ) { } [ ] { }

[ ]

( ) { } [ ] { }

[ ]

( )

1 0

1

1

2 02

2

1 01

1

2

2 0 0.51 2

0 10 0.56

2 0 0.51 1

0 10 03

2 0 01 2

0 0

0 06

0 0

T

T

T

m

m u mq M m

m

m u mq M m

m

m u mq M m

q

φ

φ

φ

= = =

−

= = =

= = =

=

&

&

&

-


26/33

9espons dalam koordinat ra$am

9espons perpindaan

-a

( ) ( )

( )

( ) ( )

1

1 1 1 1 1

1

2

2 2 2 2

2

00 cos sin 0.5cos

00 cos sin 0

qq q t t t

qq q t t

ω ω ω

ω

ω ω ω

= + =

= + =

&

&

{ } [ ] { } 1

1 1

2 1

1 1 0.5cos

2 1 0

0.5coscos

t u q

u t u t

ω

ω ω

= Φ = −

=

-


27/33

-a

-(


28/33


-(

( )[ ]

( ) { } [ ] { } [ ]

( ) ( )

1

2 0

2

2

1 2

2 0 1

1 2 0 10 0

6

2 0 11 1

0 10 1

3

0 0 0

T

m

mq

m

m

m u mq M m

q q

φ

− = =

− −

= = = −

= =& &

-(


29/33


9espons perpindaan

-(

( ) ( )

( ) ( )

( )

1

1 1 1 1

1

2

2 2 2 2 2

2

00 cos sin 0

00 cos sin cos

qq q t t

qq q t t t

ω ω

ω

ω ω ω ω

= + =

= + = −

&

&

{ } [ ] { }2

1 2

2 2

01 1

cos2 1

coscos

u qt

u t u t

ω

ω ω

= Φ = −−

− =

-(


30/33

-(

-


31/33


-!

( )[ ]

( ) { } [ ] { } [ ]

( ) ( )

1

2 0

2

2

1 2

2 0 0.5

1 2 0 20 0.5

6

2 0 0.51 1

0 20 13

0 0 0

T

m

mq

m

m

m u mq M m

q q

φ

−

= =

− −

= = = −

= =& &

-!


32/33


9espons perpindaan

-!

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1

1 1 1 1 1

1

2

2 2 2 2 2

2

00 cos sin 0.5cos

00 cos sin cos

qq q t t t

qq q t t t

ω ω ω ω

ω ω ω ω

= + =

= + = −

&

&

{ } [ ] { } ( )1

2

1 1 2

2 1 2

1 1 0.5cos

2 1 cos

0.5cos coscos cos

t u q

t

u t t u t t

ω

ω

ω ω ω ω

= Φ = − −

− = +

-!


33/33

-!

08 getaran bebas mdof

Documents