Download - 08 Getaran Bebas MDOF
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
1/33
Getaran BebasSistem Multi Degree of
FreedomKL3201, Kelas 02
Semester II 2015/2016
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
2/33
[m] : matriks massa
[c] : matriks redaman [k ] : matriks kekakuan : vektor perpindaan,
ke!epatan, dan per!epatan "F # : vektor $a%a luar
Persamaan Gerak
[ ] { } [ ] { } [ ] { } { }m u c u k u F + + =&& &
{ } { } { }, ,u u u& &&
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
3/33
'ersamaan $erak
Solusi dimisalkan dalam (entuk
Su(stitusi ke persamaan $erakmen$asilkan
Getaran Bebas TakTeredam
di mana "φ # merupakan vektor amplitudosimpan$an %an$ tidak merupakan )un$si*aktu+
[ ] { } [ ] { } { }0m u k u+ =&&
{ } { } ( )sinu t φ ω θ = +
[ ] [ ]( ) { } ( ) { }2 sin 0k m t ω φ ω θ − + =
[ ] [ ]( ) { } { }2
0k mω φ − =
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
4/33
entuk -[k ] . ω 2[m] "φ # dise(ut eigenvalue problem+
Solusi nontrivial diperole ika
ilainilai ω 2 %an$ memenui persamaankarakteristik di atas dise(ut eigenvalue+
ektor "φ #i %an$ memenui:
dise(ut eigenvector +
Eigenvalue Problem
atau
[ ] [ ]2 0k mω − =
[ ] [ ]( ) { } { }2 0i ik mω φ − = [ ] { } [ ] { }2
ii ik mφ ω φ =
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
5/33
'ersamaan karakteristik 4[k ] . ω 2[m]4 0(er(entuk persamaan polinomial deraat N den$an varia(el ω 2, di mana N adala
umla deraat ke(e(asan struktur+ en$an demikian akan terdapat N (ua ω
%an$ akan memenui persamaankarakteristik terse(ut -diam(il %an$ positi)
saa+ alam dinamika struktur, ω i merupakan
)ekuensi alami dari struktur MDOF %an$ditinau+
Eigenvalue dan Frekuensi Alami
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
6/33
7rekuensi alami (iasan%a diurutkan darinilai terke!il:
Eigenvector "φ #i %an$ sesuai den$an)rekuensi alami ω i dalam dinamika struktur
dise(ut ra$am $etar -mode shape kei daristruktur+
en$an demikian, se(ua struktur den$anN deraat ke(e(asan akan memiliki N pasan$ )rekuensi alami dan ra$am $etar+
Frekuensi Alami dan RagamGetar
1 2 N ω ω ω < <
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
7/33
Susun persamaan $erak dan tentukan)rekuensi alami serta ra$am $etar darimodel (an$unan $eser den$an 2 deraatke(e(asan seperti ter$am(ar+
Contoh
2k
u1
2m
m u2
k
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
8/33
8odel mekaniku1
2k 2m
u2
k m
Free-body diagram
'ersamaankeseim(an$an
2ku1 k(u1 . u2
8assa 1 :
8assa 2 :
12mu&
2mu&
( )
( )
1 1 1 2
2 1 2
2 2 0
0
mu ku k u u
mu k u u
+ + − =
− − =
&&
&&
1 1
2 2
2 0 3 0
0 0
u um k k
u um k k
− + = −
&&
&&
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
9/33
'ersamaan karakteristik:
Eigenvalue:
7rekuensi alami:
[ ] [ ]2 0k mω − =
2
2
3 20
k m k
k k m
ω
ω
− −=
− −
4 2 2 22 5 2 0m km k ω ω − + =
2 21 2
2;
2k k m m
ω ω = =
1 2
2;
2
k k
m mω ω = =
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
10/33
9a$am $etar 1, ω ω 1:
ilai amplitudo ra$am $etar φ 1 , φ 2 , dst+ tidakla
unik, akan tetapi rasio antara masin$masin$adala unik+
le karena itu, !ukup dimisalkan suatu nilai untuksala satu koordinat -misaln%a φ 1 1, maka nilai φ i %an$ lain akan dapat ditentukan+
;atatan:
9a$am $etar 2, ω ω 2:
1
2 1
2 1
20 2
0.5
k k
k k
φ φ φ
φ
− = ⇒ =
1
2 1
1
2
φ
φ
=
1 1
2 22 2
10
1
k k
k k
φ φ
φ φ
− − = ⇒ = − − −
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
11/33
φ 1
φ 2
9a$am $etar 1:"φ #1
9a$am $etar 2:"φ #2
φ 1
φ 2
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
12/33
Kem(ali ke pemisalan a*al:
Karena terdapat N solusi, maka solusilen$kapn%a (erupa kom(inasi linier masin$masin$ solusi:
Respons Getaran BebasTak Teredam
di mana
iperlukan 2N kondisi a*al untuk menentukankonstanta Ai dan Bi, %aitu simpan$an a*al dan
ke!epatan a*al pada setiap deraat ke(e(asan+
{ } { } ( ) { } ( )sin cos sinu t A t B t φ ω θ φ ω ω = + = +
{ } { }1
N
iii
u qφ =
= ∑
cos sini i i i iq A t B t ω ω = +
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
13/33
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
14/33
=inau u(un$an )rekuensi dan ra$am $etar(erikut:
>ika i , kedua persamaan di atas elasidentik tanpa s%arat+
>ika i ≠ , diperlukan u(un$an:
a$ar kedua persamaan di atas identik+
Orthogonalitas RagamGetar
{ } [ ] { } { } [ ] { }
{ } [ ] { } { } [ ] { }
2
2
T T
i j i j i
T T
ji j i j
k m
k m
φ φ ω φ φ
φ φ ω φ φ
=
=
{ } [ ] { } { } [ ] { }0 ; 0T T
i j i jk mφ φ φ φ = =
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
15/33
rto$onalitas ra$am $etar:
?ki(at si)at orto$onalitas ra$am $etar ini,perkalian (erikut:
akan men$asilkan matriks [! ] dan [M]%an$ dia$onal+
Orthogonalitas RagamGetar
{ } [ ] { }
{ } [ ] { }
0
0
T
i j
T
i j
k
m i j
φ φ
φ φ
=
= ≠
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
T
T
k K
m M
Φ Φ =
Φ Φ =
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
16/33
8atriks [! ] dan [M] %an$ dia$onal akan(er(entuk:
di mana
Diagonalisasi Massa danKekakuan
[ ] [ ]
1 1
2 2
0 0 0 0
0 0 0 0;
0 0 0 0 N N
K M
K M K M
K M
= =
L L
L L
8 8 : 8 8 8 : 8L L
{ } [ ] { }{ } [ ] { }
T
i i i
T
i i i
K k
M m
φ φ
φ φ
=
=
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
17/33
entuk solusi $etaran (e(as MDOF
dapat dian$$ap se(a$ai ekspansi ra$amuntuk perpindaan "u#+
8aksudn%a, setiap (entuk perpindaan "u#dapat din%atakan se(a$ai kom(inasi linier
dari ra$am $etar "φ #i den$an "i se(a$ai)aktor pen$ali+
kspansi Ragam untukPerpindahan
φ 11
φ 21
u1
u2
"1 @ A "2 @ φ 12
φ 22
{ } { }1
N
iii
u qφ =
= ∑
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
18/33
>ika "u# dan "φ #i diketaui, nilai "i dapatdi!ari melalui:
8eman)aatkan si)at orto$onalitas ra$am$etar, (entuk di atas dapat disederanakan
menadi:
sein$$a
kspansi Ragam untukPerpindahan
{ } { }
{ } [ ] { } { } [ ] { }
1
1
N
j j j
N T T
ji i j j
u q
m u m q
φ
φ φ φ
=
=
=
=
∑
∑
{ } [ ] { } { } [ ] { }T T ii i im u m qφ φ φ =
{ } [ ] { }
{ } [ ] { }
{ } [ ] { }T T
i ii T
ii i
m u m uq
M m
φ φ
φ φ
= =
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
19/33
Modal superposition method dimulai den$antrans)ormasi koordinat dari perpindaan "u#menadi modal coordinate ""#:
entuk ini sama den$an ekspansi ra$am %an$lalu:
en$an trans)ormasi ini, persamaan $erak
(eru(a menadi:
Metode Superposisi Ragam
{ } [ ] { }u q= Φ
[ ] [ ] { } [ ] [ ] { } { }0m q k qΦ + Φ =&&
{ } { } { } { } { } [ ] { }
1
2
1 21
N
ii N i
N
q
qu q q
q
φ φ φ φ =
= = = Φ
∑ L8
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
20/33
'erkalian a*al den$an [Φ]# men$asilkan:
'ersamaan di atas dapat disederanakanmenadi:
Ini merupakan persamaan $erak $DOF %an$
suda terpisa -uncoupled, sein$$a dapatdiselesaikan satu persatu:
Metode Superposisi Ragam
atau
di mana
[ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } { }0T T
m q k qΦ Φ + Φ Φ =&&
[ ] { } [ ] { } { }0 M q K q+ =&&
0i i i i M q K q+ =&&
20i i iq qω + =&&
ii
i
K
M ω =
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
21/33
ari analisis $DOF , tela diperole solusimasin$masin$ persamaan $erak dalamkoordinat ra$am:
'erlu dilakukan trans)ormasi kondisi a*aldari dan menadidan +
Metode Superposisi Ragam
( ) ( )
cos sin
00 cos sin
i i i i i
i
i i i
i
q A t B t
qq t t
ω ω
ω ω ω
= +
= + &
{ } 0u&
{ }0
u
( )0iq ( )0iq&
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
22/33
Kondisi a*al dalam modal coordinate dapatdiperole dari u(un$an "i dan "u# %an$
tela diperole se(elumn%a:
Kondisi A!al dalam Koord"Ragam
( ) { } [ ] { }
{ } [ ] { }
{ } [ ] { }
( ) { } [ ] { }
{ } [ ] { }
{ } [ ] { }
0 0
0 0
0
0
T T
i ii T
ii i
T T
i ii T
ii i
m u m uq
M m
m u m uq
M m
φ φ
φ φ
φ φ
φ φ
= =
= =
& &
&
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
23/33
=entukan respons $etaran (e(as daristruktur 27 pada ;onto 1 ika di(erisimpan$an a*al dan ke!epatan a*al(erikut:
Contoh #
-a
-(
-!
{ } { }0 00.5 0
;1 0u u
= = &
{ } { }0 0
1 0;
1 0u u
− = =
&
{ } { }0 0
0.5 0;
2 0u u
− = =
&
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
24/33
7rekuensi dan matriks ra$am asilperitun$an terdaulu
ia$onalisasi matriks massa dankekakuan
'ersamaan $erak dalam koordinatra$am
atau
[ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 2 0 1 1 6 0
1 1 0 2 1 0 3
T m m M m
m m
= Φ Φ = =
− −
[ ]1 21 12
; ;
2 12
k k
m m
ω ω
= = Φ = −
[ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 3 1 1 3 0
1 1 2 1 0 6
T k k k K k
k k k
− = Φ Φ = = − − −
1 1
2 2
6 3 0
3 6 0
mq kq
mq kq
+ =
+ =
&&
&&
2
1 1 1
2
2 2 2
0
0
q q
q q
ω
ω
+ =
+ =
&&
&&
-
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
25/33
=rans)ormasi kondisi a*al ke koordinatra$am
-a
( ) { } [ ] { } [ ]
( ) { } [ ] { }
[ ]
( ) { } [ ] { }
[ ]
( )
1 0
1
1
2 02
2
1 01
1
2
2 0 0.51 2
0 10 0.56
2 0 0.51 1
0 10 03
2 0 01 2
0 0
0 06
0 0
T
T
T
m
m u mq M m
m
m u mq M m
m
m u mq M m
q
φ
φ
φ
= = =
−
= = =
= = =
=
&
&
&
-
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
26/33
9espons dalam koordinat ra$am
9espons perpindaan
-a
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1 1 1 1 1
1
2
2 2 2 2
2
00 cos sin 0.5cos
00 cos sin 0
qq q t t t
qq q t t
ω ω ω
ω
ω ω ω
= + =
= + =
&
&
{ } [ ] { } 1
1 1
2 1
1 1 0.5cos
2 1 0
0.5coscos
t u q
u t u t
ω
ω ω
= Φ = −
=
-
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
27/33
-a
-(
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
28/33
=rans)ormasi kondisi a*al ke koordinatra$am
-(
( )[ ]
( ) { } [ ] { } [ ]
( ) ( )
1
2 0
2
2
1 2
2 0 1
1 2 0 10 0
6
2 0 11 1
0 10 1
3
0 0 0
T
m
mq
m
m
m u mq M m
q q
φ
− = =
− −
= = = −
= =& &
-(
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
29/33
9espons dalam koordinat ra$am
9espons perpindaan
-(
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1 1 1 1
1
2
2 2 2 2 2
2
00 cos sin 0
00 cos sin cos
qq q t t
qq q t t t
ω ω
ω
ω ω ω ω
= + =
= + = −
&
&
{ } [ ] { }2
1 2
2 2
01 1
cos2 1
coscos
u qt
u t u t
ω
ω ω
= Φ = −−
− =
-(
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
30/33
-(
-
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
31/33
=rans)ormasi kondisi a*al ke koordinatra$am
-!
( )[ ]
( ) { } [ ] { } [ ]
( ) ( )
1
2 0
2
2
1 2
2 0 0.5
1 2 0 20 0.5
6
2 0 0.51 1
0 20 13
0 0 0
T
m
mq
m
m
m u mq M m
q q
φ
−
= =
− −
= = = −
= =& &
-!
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
32/33
9espons dalam koordinat ra$am
9espons perpindaan
-!
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
1 1 1 1 1
1
2
2 2 2 2 2
2
00 cos sin 0.5cos
00 cos sin cos
qq q t t t
qq q t t t
ω ω ω ω
ω ω ω ω
= + =
= + = −
&
&
{ } [ ] { } ( )1
2
1 1 2
2 1 2
1 1 0.5cos
2 1 cos
0.5cos coscos cos
t u q
t
u t t u t t
ω
ω
ω ω ω ω
= Φ = − −
− = +
-!
-
8/17/2019 08 Getaran Bebas MDOF
33/33
-!