04 e statistik dan peluang mgmp smk

If you can't read please download the document

Upload: tri-cahyani

Post on 13-Apr-2017

296 views

Category:

Education

1 download

Report

Download

Embed Size (px):

TRANSCRIPT

BAHAN BELAJAR:

STATISTIKA DAN PELUANG

POLA MGMP

JENJANG SMK

DIKLAT PASCA UKG BERBASIS MGMP DENGAN POLA MGMP

Penulis:

Theresia Widyantini

Marsudi Raharjo

Layouter:

Titik Sutanti

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (PPPPTK) MATEMATIKA

YOGYAKARTA

2015

TTD-Widodo_BiruKATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karunia-Nya, bahan ajar ini dapat diselesaikan dengan baik. Bahan ajar ini diharapkan dapat menjadi salah satu rujukan dalam usaha peningkatan mutu pengelolaan pembelajaran matematika di sekolah serta dapat dipelajari secara mandiri oleh peserta diklat di dalam maupun di luar kegiatan diklat. Diharapkan dengan mempelajari bahan ajar ini, peserta diklat dapat menambah wawasan dan pengetahuan sehingga dapat mengadakan refleksi sejauh mana pemahaman terhadap mata diklat yang sedang/telah diikuti.

Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah berpartisipasi dalam proses penyusunan bahan ajar ini. Kepada para pemerhati dan pelaku pendidikan, kami berharap bahan ajar ini dapat dimanfaatkan dengan baik guna peningkatan mutu pembelajaran matematika di negeri ini.

Demi perbaikan bahan ajar ini, kami mengharapkan adanya saran untuk penyempurnaan di masa yang akan datang. Saran dapat disampaikan kepada kami di PPPPTK Matematika dengan alamat: Jl. Kaliurang KM. 6, Sambisari, Condongcatur, Depok, Sleman, DIY, Kotak Pos 31 YK-BS Yogyakarta 55281, Telepon (0274) 881717, 885725, Fax. (0274) 885752, email: [email protected]

Sleman, 19 Mei 2015

Kepala PPPPTK matematika

Prof. Dr. rer. nat. Widodo, M.S.

NIP 196210311989031002

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .................................................................................................................................. ii DAFTAR ISI ................................................................................................................................................ iii PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN BELAJAR.................................................................................. v STATISTIKA ............................................................................................................................................... 1 BAGIAN I PENDAHULUAN ...................................................................................................................... 1 A. Pengantar Isi ............................................................................................................................... 1 B. Target Kompetensi ................................................................................................................... 2 C. Strategi ......................................................................................................................................... 2 D. Penilaian ...................................................................................................................................... 2 BAGIAN II AKTIVITAS KEGIATAN ....................................................................................................... 3 A. Aktivitas ....................................................................................................................................... 3 BAGIAN III TUGAS MANDIRI ................................................................................................................ 7 BAGIAN IV BAHAN BACAAN STATISTIKA ...................................................................................... 9 A. Pengertian Statistika................................................................................................................ 9 B. Penyajian Data ........................................................................................................................ 11 C. Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran data serta penafsirannya .............................................................................................................. 24 BAGIAN V PENUTUP ............................................................................................................................. 38 A. Rangkuman .............................................................................................................................. 38 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................................ 40 KOMBINATORIK DAN PELUANG ................................................................................................... 41 BAGIAN I PENDAHULUAN ................................................................................................................... 41 A. PENGANTAR ISI ...................................................................................................................... 41 B. TARGET KOMPETENSI ........................................................................................................ 44 C. STRATEGI PEMBELAJARAN ............................................................................................... 45 BAGIAN II AKTIVITAS ........................................................................................................................... 46 BAGIAN III BAHAN BACAAN .............................................................................................................. 56 BAHAN BACAAN I KOMBINATORIK (TEKNIK MENGHITUNG) BANYAKNYA ANGOTA RUANG SAMPEL .................................................................................................. 56 A. Konsep Peluang dan Frekuensi Harapan ............................................................. 56 B. Ruang Sampel, Titik Sampel, Peristiwa, dan Relasi Antar Peristiwa ......... 62 C. Prinsip Perkalian ........................................................................................................... 64 D. Peluang Pada Pengundian .......................................................................................... 67 E. Relasi Antar Peristiwa ................................................................................................. 71 BAHAN BACAAN II KOMBINATORIK DAN PELUANG PADA PENGAMBILAN SAMPEL ..................................................................................................................................... 76 A. Notasi Faktorial .............................................................................................................. 76 B. Permutasi......................................................................................................................... 77 C. Kombinasi ......................................................................................................................... 79 D. Terapan Pemecahan Masalah Dalam Pengambilan Sampel ......................... 83 E. Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama (Penggunaan Aturan Kombinasi) ............................................................................................................................... 86 F. Aturan/Prinsip Kombinasi ........................................................................................ 89 G. Identifikasi Masalah Pada Pengambilan Sampel .............................................. 94 BAGIAN IV UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT ...................................................................101 A. RANGKUMAN ......................................................................................................................... 101 B. EVALUASI ............................................................................................................................... 104 C. TINDAK LANJUT ................................................................................................................... 108 DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................................................................109

PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN BELAJAR

1. Bahan belajar Statistika dan Peluang ini memuat materi statistika yang meliputi konsep dasar statistika, penyajian data, ukuran pemusatan, dan ukuran penyebaran serta materi Peluang dan Kombinatorika yang terdiri atas kombinatorik banyaknya anggota ruang sampel dan kombinatorik dan peluang pada pengambilan sampel. 2. Bahan belajar Statistika dan Peluang ini terdiri dari dua (2) bagian:

Bagian I STATISTIKA

Bagian II KOMBINATORIK DAN PELUANG

3. Bahan bacaan terkait materi Statistika dan Peluang diharapkan dibaca sebelum kegiatan tatap muka dilaksanakan. 4. Setelah selesai diklat, peserta diharapkan mengerjakan tugas-tugas mandiri yang disediakan dalam bahan belajar ini.

STATISTIKA

BAGIAN I PENDAHULUAN

A. Pengantar Isi

Merujuk pada Peraturan Menteri Pendayagunaan Aparatur Negara dan Reformasi Birokrasi (Permenpan dan RB) Nomor 16 tahun 2009 tentang Jabatan Fungsional Guru dan Angka Kreditnya memuculkan paradigma baru profesi guru. Guru tidak lagi dianggap sekedar pelaksana teknis di kelas, tetapi dianggap sebagai suatu jabatan fungsional. Jabatan fungsional guru adalah jabatan fungsional yang mempunyai ruang lingkup, tugas, tanggung jawab, dan wewenang untuk melakukan kegiatan mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada pendidikan anak usia dini jalur pendidikan formal, pendidikan dasar, dan pendidikan menengah sesuai dengan peraturan perundang-undangan yang diduduki oleh Pegawai Negeri Sipil (Pasal 1 ayat 1). Konsekuensinya adalah guru dituntut melakukan pengembangan keprofesian berkelanjutan (PKB) sehingga guru dapat menjalankan tugas dan fungsinya secara profesional. Masih merujuk pada Permenpan dan RB, pengembangan keprofesian berkelanjutan meliputi:

1. Pengembangan diri

a. diklat fungsional

b. kegiatan kolektif

2. Publikasi ilmiah

a. Presentasi pada forum ilmiah b. Publikasi ilmiah atas hasil penelitian atau gagasan ilmu di bidang pendidikan formal. c. Publikasi buku pelajaran, buku pengayaan dan pedoman guru 3. Karya Inovatif a. Menemukan teknologi tepat guna b. Menemukan/menciptakan karya seni

c. Membuat/memodifikasi alat pelajaran/peraga/praktikum d. Mengikuti pengembangan penyusunan standar, pedoman, soal, dan sejenisnya

Dengan demikian sebenarnya guru pasti akan mencari kegiatan seperti yang tertuang dalam peraturan tersebut.

B. Target Kompetensi

Hasil pembelajaran yang diharapkan

1. Peserta diklat atau pembaca mampu menjelaskan konsep dasar statistika. 2. Peserta diklat atau pembaca mampu menyajikan data dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram garis dan diagram lingkaran 3. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan ukuran pemusatan. 4. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan ukuran penyebaran

C. Strategi

Untuk memanfaatkan bahan belajar ini, strategi pembelajaran yang digunakan sebelum kegiatan tatap muka, maka diharapkan bahan belajar statistika ini dipelajari terlebih dahulu. Selanjutnya pada saat kegiatan tatap muka, dapat dilakukan tanya jawab dan diskusi serta presentasi.

D. Penilaian

Penilaian untuk mata diklat statistika ini didasarkan pada bukti fisik yang menunjukkan pencapaian hasil pembelajaran berupa penyelesaian tugas masing-masing peserta diklat.

LK-1

Pengerjaan

BAGIAN II AKTIVITAS KEGIATAN

A. Aktivitas

1. Bacalah kegiatan di bawah ini kemudian kerjakan tugas pada pada LK-1. Untuk membantu penyelesaian LK-1 lihat pada bahan bacaan.

Lengkapi tabel di bawah ini dengan menambah kolom untuk tepi bawah, tepi atas, titik tengah, frekuensi kumulatif dari, dan frekuensi kumulatif lebih dari.

Data

Frekuensi

32 - 37

38 - 43

44 -49

50 - 55

56 - 61

62 - 67

68 - 73

2. Bacalah kegiatan di bawah ini kemudian kerjakan tugas pada pada LK-2. Untuk membantu penyelesaian LK-2 lihat pada bahan bacaan.

Data di bawah ini adalah nilai ulangan matematika sebanyak 50 siswa SMK kelas III Akutansi.

40 49 56 61 64 69 71 79 89 96

41 51 56 61 65 69 71 79 96 90

96 86 77 70 69 64 60 54 46 41

41 50 56 61 64 69 71 78 87 96

91 84 76 70 68 64 60 54 46 40

Dari data di atas, tentukan

a. Jangkauan(range) b. Banyak interval kelas dengan aturan Sturges c. Interval kelas d. Susun data tersebut ke dalam tabel frekuensi kelompok.

3. Bacalah kegiatan di bawah ini kemudian kerjakan tugas pada pada LK-3. Untuk membantu penyelesaian LK-3 lihat pada bahan bacaan.

Tentukan rata-rata, median dan modus berat badan dari 60 siswa pada tabel berikut

Tabel Berat Badan

Berat badan(kg)

frekuensi

33-38

39 -44

45-50

51-56

57-62

63-68

Jumlah

4. Buatlah instrumen berupa tugas proyek terkait materi statistika. Proyek adalah tugas-tugas belajar(learning tasks) yang meliputi kegiatan perancangan, pelaksanaan dan pelaporan secara tertulis maupun lisan dalam waktu tertentu. Tugas proyek adalah tugas penyelidikan terhadap sesuatu yang dikaitkan dengan permasalahan nyata sehari-hari sehingga memerlukan data lapangan. Tahap tugas proyek mencakup perencanaan, pelaksanaan dan pelaporan. Tahap perencanaan tugas proyek dapat memanfaatkan waktu pada beban belajar tatap muka dan/atau tugas terstruktur. Tahap pelaksanaan tugas proyek dapat memanfaatkan waktu pada beban belajar tugas terstruktur dan/atau tugas mandiri tidak terstruktur. Tahap pelaporan tugas proyek dapat memanfaatkan waktu pada beban belajar tatap muka dan/atau tugas terstruktur dan/atau tugas mandiri tidak terstruktur.

BAGIAN III TUGAS MANDIRI

Bacalah kegiatan di bawah ini kemudian kerjakan tugas mandiri ini di luar jam tatap muka. Untuk membantu penyelesaiantugas mandiri, lihat pada bahan bacaan

1. Diketahui beberapa bilangan 9,8,15,12,3,4 dan 7. a. Tentukan satu bilangan lagi agar median data menjadi . b. Tentukan satu bilangan lagi pada data seluruhnya agar mediannya .

2. Diketahui berat badan 40 siswa dalam kg adalah sebagai berikut ini.

45 65 50 55 45 65 50 45 55 65

50 50 45 50 55 50 55 55 60 55

55 55 50 55 50 45 45 60 65 50

60 65 55 45 65 65 65 60 45 50

a. Buatlah tabel distribusi frekuensinya

b. Tentukan modus, median dan rata-ratanya kemudian bandingkan ketiga nilai ini.

3. Tentukan kuartil bawah, median dan kuartil atas dari tabel distribusi frekuensi pada tabel berikut.

Berat badan

Frekuensi(f)

50 52

53 55

56 58

59 61

62 64

Jumlah

4. Tentukan modus dari tabel distribusi frekuensi berikut

Nilai

Frekuensi

38-42

43-47

48-52

53-57

58-62

63-67

Jumlah

5. Tentukan jangkauan, jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil, simpangan baku dan variansi (ragam) dari tabel distribusi frekuensi berikut

Kecepatan kendaraan

(km/jam)

Banyak kendaraan

(frekuensi)

60-64

65-69

70-74

75-79

80-84

BAGIAN IV BAHAN BACAAN STATISTIKA

A. Pengertian Statistika

Penggunaan istilah statistika berasal dari bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus"). Gottfried Achenwall (1749) menggunakan statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama untuk kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama Statistics dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, istilah statistika mula-mula hanya terkait data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat. Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah adalah statistika inferensi, yang dikembangkan pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Karl Pearson (27 Maret 185727 April 1936) adalah kontributor utama perkembangan awal statistika hingga sebagai disiplin ilmu tersendiri. Ia mendirikan Departemen Statistika Terapan di University College London pada tahun 1911, menjadikannya sebagai jurusan statistika pertama kali di dunia untuk tingkat perguruan tinggi. Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, misalnya astronomi, linguistika, bidang ekonomi, biologi dan psikologi serta cabang-cabang terapannya banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika.

Hasil suatu penelitian ataupun pengamatan baik yang dilakukan khusus ataupun berbentuk laporan, dinyatakan dan dicatat dalam bentuk bilangan atau angka. Kumpulan angka itu sering disusun, diatur atau disajikan dalam bentuk daftar atau tabel. Sering pula daftar atau tabel disertai dengan gambar yang biasanya disebut diagram atau grafik. Pada umumnya orang menamakan ini semua dengan statistik. Jadi kata statistik telah dipakai untuk menyatakan kumpulan fakta. Selain itu kata statistik mengandung pengertian lain yaitu untuk menyatakan ukuran sebagai wakil dari kumpulan data mengenai suatu hal. Ukuran ini didapat berdasarkan perhitungan dari sebagian kumpulan data.

Dari hasil penelitian atau pengamatan, baik yang dilakukan khusus atau berbentuk laporan sering memerlukan uraian atau penjelasan atau kesimpulan tentang penelitian tersebut. Sebelum kesimpulan dibuat, data yang telah terkumpul dipelajari terlebih dahulu, dianalisis atau diolah. Semua yang diuraikan di atas merupakan pengetahuan yang diberi nama statistika. Fase statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan dinamakan statistika induktif. Fase dimana hanya berusaha melukiskan dan menganalisis kelompok yang diberikan tanpa menarik kesimpulan tentang kelompok yang lebih besar dinamakan statistika deskriptif. Kompetensi dasar-kompetensi dasar yang dipelajari siswa di sekolah terkait dengan materi statistika merupakan statistika deskriptif.

Tahap awal pada kegiatan statistika adalah pengumpulan data. Data adalah keterangan atau fakta mengenai suatu masalah. Data dapat berbentuk kategori misal rusak, baik, senang, gagal dsbnya. Data dapat juga berbentuk bilangan. Datum adalah keterangan yang diperoleh melalui suatu pengamatan dapat berupa angka, lambang ataupun sifat. Kumpulan datum dinamakan data. Data merupakan bentuk jamak dari datum. Data yang dikumpulkan sangat bergantung dari kebutuhan, sarana dan prasarana yang tersedia. Ada 2 cara pengumpulan data yaitu pengumpulan data secara keseluruhan dan pengumpulan data berdasar sampel. Pengumpulan data dapat dilakukan dengan mencacah, mengukur dan mencatat data dengan turus(tally).

B. Penyajian Data

Setelah data terkumpul agar mendapat gambaran tentang apa yang diteliti dilakukan penataan dan pengolahan data diantaranya adalah menyajikan data dalam bentuk diagram atau tabel. Tujuan penyajian data adalah untuk memberikan gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian atau observasi, data yang disajikan mudah dimengerti oleh pengguna data, memudahkan dalam membuat analisa data serta mempercepat proses pengambilan kesimpulan. Menyajikan data dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran dan ogif serta penafsirannya.

Ketika Anda membaca surat kabar atau majalah, sering dijumpai tabel atau diagram dalam bentuk batang, garis, atau lingkaran yang menyajikan informasi tertentu. Perhatikan contoh penyajian data dalam bentuk tabel berikut ini

1. Tabel

Penyajian data dalam bentuk tabel akan lebih mudah dipahami dari pada data yang disajikan dalam bentuk deskripsi/narasi. Penyajian data dalam bentuk tabel (daftar) akan lebih mudah dibaca dari pada data yang disajikan dalam bentuk naskah. Secara garis besar tabel(daftar) yang dikenal ada tiga macam yaitu tabel baris-kolom, tabel kontingensi dan tabel distribusi frekuensi.

Banyak Peserta Didik di Daerah B Pada Tahun 2011

Tingkat Pendidikan

Jumlah Peserta Didik

5.000

SMP

4.500

SMA

4.000

Perguruan Tinggi

2.000

Jumlah

15.500

Dari tabel di atas jika kita baca menunjukan informasi banyak peserta didik di daerah B, pada tahun 2011. Untuk tingkat pendidikan SD di daerah B pada tahun 2011, jumlah peserta didik ada 5000 orang sedangkan untuk tingkat pendidikan perguruan tinggi (PT) ada 2.000 orang.

2. Tabel distribusi frekuensi

Tabel Distribusi Frekuensi Tinggi Badan Siswa Kelas IX SMP

Tinggi Badan (cm)

Frekuensi (f)

140 - 145

146 - 151

152 - 157

158 - 163

164 - 169

170 - 175

Jumlah

Tabel di atas jika kita baca menunjukan informasi tinggi badan 30 siswa kelas IX SMP, sebagai contoh untuk siswa yang tinggi badan dari 152 cm sampai dengan 157 cm terdapat 8 siswa. Selanjutnya data tersebut dibuat dalam tabel distribusi frekuensi kelompok. Untuk membuat tabel distribusi frekuensi kelompok, jika kita mempunyai data-data maka dibuat kelas-kelas dengan panjang interval tertentu. Kemudian ditentukan frekuensi untuk masing-masing kelas. Untuk membuatnya dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.

a) Menentukan jangkauan data (J)

J = nilai tertinggi nilai terendah

b) Menentukan banyak kelas (k)

Pada umumnya banyak kelas ditentukan dengan menggunakan aturan Sturges yaitu banyak kelas = 1 + 3,3 log n, dengan n adalah banyak data dan hasil akhirnya dibulatkan.

c) Menentukan panjang interval kelas (p) dengan rumus dengan p = panjang interval kelas k= banyak kelas kJp.d) Diambil pembulatan p ke atas dengan alasan titik tengah kelas adalah bulat karena batas bawah kelas diambil nilai minimum e) Menentukan batas bawah kelas pertama

Batas bawah kelas pertama adalah nilai minimum dari data (tetapi tidak harus, dapat juga digunakan bilangan lain).

f) Sehingga diperoleh tabel distribusi frekuensi kelompok. g) Beberapa istilah yang berhubungan dengan tabel frekuensi kelompok adalah: 1) Batas bawah kelas dan batas atas kelas

Misal untuk kelas pertama yaitu kelas 140 145, batas bawah kelas adalah 140 dan batas atas kelas adalah 145.

2) Tepi bawah kelas dan tepi atas kelas

Untuk kelas 140 145, tepi bawah kelas adalah 139,5 dan tepi atas kelas adalah 145,5. Tepi bawah diperoleh dari batas bawah kelas dikurangi setengah satuan pengukuran terkecil. Sedangkan tepi atas kelas diperoleh dari batas atas kelas ditambah setengah satuan pengukuran terkecil.

3) Panjang interval kelas

Panjang interval kelas adalah selisih positif antara batas bawah kelas yang berurutan atau batas atas kelas yang berurutan.

4) Titik tengah kelas

Untuk kelas 140 145, titik tengah kelas adalah 5,1422145140..

5) Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan tabel distribusi frekuensi kelompok ini adalah: . Hindari kelas interval yang tidak menampung nilai data . Semua data harus tertampung dalam tabel distribusi frekuensi

3. Menyajikan data dalam bentuk diagram Batang

Dari diagram batang di atas menunjukkan informasi mengenai jumlah siswa di SMP SARIMULYO. Sebagai contoh pada tahun 2008 2009 jumlah siswa di SMP SARIMULYO untuk siswa pria ada 250 siswa dan siswa wanita ada 200 siswa. Jadi jumlah seluruh siswa di SMP tersebut pada tahun 2008 -2009 adalah 450 siswa.

Diagram batang pada umumnya digunakan untuk menyajikan informasi nilai-nilai suatu obyek pengamatan yang sejenis dengan berbagai kategori. Kegunaannya untuk membandingkan nilai-nilai dari suatu obyek pengamatan. Penyajian data menggunakan gambar berbentuk batang dilengkapi dengan skala, sehingga nilai dapat dibaca.

Langkah-langkah dasar dalam pembuatan diagram batang adalah sebagai berikut.

a) Untuk menggambar diagram batang diperlukan sumbu mendatar dan sumbu tegak yang saling tegak lurus. b) Sumbu mendatar dibagi menjadi beberapa skala bagian yang sama, demikian pula sumbu tegaknya: Skala pada sumbu mendatar dengan skala pada sumbu tegak tidak perlu sama. c) Jika diagram batang dibuat tegak, maka sumbu mendatar menyatakan keterangan atau fakta mengenai kejadian (peristiwa). Sumbu tegak menyatakan frekuensi keterangan.

d) Jika diagram batang dibuat secara horizontal, maka sumbu tegak menyatakan keterangan atau fakta mengenai peristiwa. Sumbu mendatar menyatakan frekuensi keterangan. e) Tunjukkan 1 batang untuk mewakili frekuensi data tertentu. f) Arsir atau warnai batang yang memenuhi frekuensi data. g) Beri judul diagram batang. h) Variasi diagram batang, dapat dibuat sesuai keinginan siswa.

4. Menyajikan data dalam bentuk diagram garis

Berikut ini diagram garis fluktuasi nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari 2008 sampai dengan 22 Februari 2008

Sumber data: http://www.google.co.id/imgres/..... diakses tanggal 11 juni 2012

Dari diagram garis di atas menunjukkan informasi mengenai fluktuasi nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari 2008 sampai dengan 22 Februari 2008 artinya informasi mengenai perubahan turun naik nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari 2008 sampai dengan 22 Februari 2008. Sebagai contoh cara membacanya perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar untuk kurs beli dari tanggal 18 Februari 2008 ke tanggal 19 Februari 2008, dari Rp. 9.091,00 menjadi Rp. 9.093,00 sedangkan untuk kurs jual dari tanggal 18 Februari 2008 ke tanggal 19 Februari 2008 dari Rp. 9.181,00 menjadi Rp. 9.185,00.

Sedangkan untuk menafsirkannya terjadi kenaikan nilai tukar rupiah baik beli maupun jual dari tanggal 18 Februari 2008 ke tanggal 19 Februari 2008. Penyajian data dengan menggunakan gambar berbentuk garis dinamakan diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan suatu informasi yang menggambarkan perkembangan pengamatan dari waktu ke waktu secara terus menerus. Melalui diagram garis kita dapat menafsirkan kecenderungan dari data serta dapat memperkirakan suatu nilai yang belum diketahui. Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus.

Langkah-langkah dalam membuat diagram garis adalah sebagai berikut :

a) Untuk menggambar diagram garis yang diperlukan sumbu mendatar (sumbu X) dan sumbu tegak (sumbu Y) yang saling tegak lurus. b) Sumbu mendatar menyatakan waktu pengamatan, sedang sumbu tegak menyatakan nilai data pengamatan. c) Gambar titik sesuai waktu dan nilai data pengamatan. d) Hubungkan titik-titik yang ada sehingga diperoleh suatu garis lurus.

Olahraga

25 %

Pramuka

Memasak 25 %

Menyanyi

10%

5. Menyajikan data dalam bentuk diagram lingkaran

Berikut ini diagram lingkaran jenis ekstrakurikuler di suatu SMP yang diikuti oleh 500 siswa.

Dari diagram lingkaran di atas menunjukkan informasi mengenai jenis ekstrakurikuler di suatu SMP. Banyak siswa yang memilih ekstrakurikuler olahraga ada 25 % dari 500 siswa SMP. Jadi terdapat 125 siswa yang memilih ekstrakurikuler olahraga di SMP tersebut. Penyajian data dengan menggunakan gambar berbentuk daerah lingkaran dinamakan diagram lingkaran. Dalam membuat diagram lingkaran didasarkan pada sebuah lingkaran yang dibagi menjadi juring-juring sesuai dengan data yang ada. Luas juring-juring sebanding dengan sudut pusat lingkaran dan banyak data yang ada. Diagram lingkaran lebih cocok untuk menyatakan perbandingan jika data itu terdiri dari beberapa kategori.

Langkah-langkah dalam membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut:

a) Buat lingkaran dengan menggunakan jangka. b) Tentukan juring sudut dari masing-masing data yang ada dengan rumus: a. .360...data seluruh frekuensidata frekuensidatasudutJuringxx

c) Tentukan persentase dari masing-masing data yang ada dengan rumus: d) %100...data seluruh frekuensidata frekuensidataPersenxxe) Gambar beberapa juring sudut data sesuai perhitungan di atas. f) Masing-masing sudut pusat juring diberi keterangan sesuai data yang ada. g) Alternatif untuk memudahkan membuat tabel seperti berikut:

Kategori data

Frekuensi

Derajat

Persen

6. Ogif

Ogif adalah grafik distribusi frekuensi kumulatif. Grafik distribusi frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif sedangkan grafik distribusi frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif. Sebelum membahas tentang ogif, terlebih dulu dibahas tabel distribusi frekuensi. Untuk data yang relatif banyak tentu tidak mungkin untuk menulis semua nilai berjajar, oleh karena itu dibuat yang lebih ringkas yang disebut tabel frekuensi

Berikut ini adalah data mengenai nilai ulangan bahasa Indonesia dari 50 siswa kelas X di suatu SMA

31 31 50 50 60 60 60 60 60 65

65 65 65 70 70 70 70 70 70 75

75 75 75 75 75 75 75 75 75 75

75 80 80 80 80 80 80 80 80 80

80 85 85 85 95 95 95 95 95 98

Data tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi tunggal dengan dua kolom yaitu kolom x = nilai ulangan bahasa Indonesia dan kolom f adalah kolom frekuensi sebagai berikut.

Tabel distribusi Frekuensi Nilai Ulangan Bahasa Indonesia

Nilai Ulangan Bahasa Indonesia (x)

Frekuensi (f)

100

Jumlah

Selanjutnya data tersebut dibuat dalam tabel distribusi frekuensi kelompok. Untuk membuat tabel distribusi frekuensi kelompok, dibuat kelas-kelas dengan panjang interval tertentu. Kemudian ditentukan frekuensi untuk masing-masing kelas. Untuk membuatnya dengan menggunakan langkah-langkah yang telah diuraikan di atas

Tabel frekuensi kelompok seperti berikut ini.

Nilai Ulangan Bahasa Indonesia

Turus (Tally)

Frekuensi (f)

31 - 40

41 - 50

51 - 60

Llll

61 -70

llll llll

71 - 80

llll llll llll llll ll

81 - 90

lll

91 - 100

llll l

Jumlah

Beberapa istilah yang berhubungan dengan tabel frekuensi kelompok adalah:

a) Batas bawah kelas dan batas atas kelas b) Misal untuk kelas pertama yaitu kelas 31 40, batas bawah kelas adalah 31 dan batas atas kelas adalah 40. c) Tepi bawah kelas dan tepi atas kelas d) Untuk kelas 31 40, tepi bawah kelas adalah 30,5 dan tepi atas kelas adalah 40,5. Tepi bawah diperoleh dari batas bawah kelas dikurangi setengah satuan pengukuran terkecil. Sedangkan tepi atas kelas diperoleh dari batas atas kelas ditambah setengah satuan pengukuran terkecil. e) Panjang interval kelas f) Untuk kelas 31 40, panjang interval kelas adalah 10 g) Titik tengah kelas h) Untuk kelas 31 40, titik tengah kelas adalah = 35,5 24031.i) Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan tabel distribusi frekuensi kelompok ini adalah: . Hindari kelas interval yang tidak menampung nilai data . Semua data harus tertampung dalam tabel distribusi frekuensi

Selanjutnya untuk membuat ogif perlu dibahas tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Tabel ini menyatakan jumlah frekuensi semua nilai yang kurang dari atau sana dengan tepi atas tiap kelas dan diberi lambang dengan fk .. Dari data di atas dibuat tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari seperti berikut.

Nilai ulangan Bahasa Indonesia

Frekuensi kumulatif (fk .)

. 40,5

. 50,5

. 60,5

. 70,5

. 80,5

. 90,5

. 100,5

Berikutnya dibahas tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Tabel ini menyatakan jumlah frekuensi semua nilai yang lebih dari atau sama dengan tepi bawah tiap kelas dan diberi lambang dengan fk . . Dari data di atas dibuat tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari seperti berikut.

Nilai ulangan Bahasa Indonesia

Frekuensi kumulatif (fk =)

. 30,5

.40,5

.50,5

.60.5

.70,5

.80,5

. 90,5

Dari data tentang nilai ulangan bahasa Indonesia 50 siswa tersebut di atas akan dibuat histogram dan poligon frekuensi serta ogif kurang dari dan ogif lebih dari.

Histogram adalah grafik distribusi frekuensi yang digunakan untuk menunjukkan sebaran atau distribusi frekuensi suatu data. Bentuk histogram mirip dengan diagram batang tetapi dalam histogram tidak terdapat ruang diantara batang-batangnya atau batang-batangnya berhimpitan. Batang berbentuk persegi panjang dengan panjang batang menyatakan frekuensi sedangkan lebar batang menyatakan panjang interval. Histogram digambarkan dalam sebuah bidang yang memiliki dua sumbu yaitu sumbu tegak untuk menyatakan frekuensi sedangkan sumbu mendatar untuk menyatakan kelas interval. Masing-masing sumbu dibuat skala. Untuk menggambar histogram, nilai yang digunakan adalah nilai tepi kelas. Untuk memudahkan dibuat tabel penolong berikut ini:

30,5

40,5

50,5

60,5

70,5

80,5

nilai

90,5

100,5

Frekuensi

Histogram Nilai Ulangan Bahasa Indonesia Kelas X

Nilai

Ulangan Bahasa Indonesia

Frekuensi

(f)

Tepi bawah kelas

Tepi atas kelas

Titik tengah kelas

31 40

30,5

40,5

35,5

41 50

40,5

50,5

45,5

51 60

50,5

60,5

55,5

61 70

60,5

70,5

65,5

71 80

70,5

80,5

75,5

81 90

80,5

90,5

85,5

91 100

90,5

100,5

95,5

Jumlah

Jika titik tengah setiap sisi atas persegi panjang histogram dihubungkan akan diperoleh grafik yang disebut poligon frekuensi. Untuk menggambar poligon frekuensi diperlukan titik tengah masing-masing kelas.

40,5

50,5

60,5

70,5

80,5

90,5

100,5

Ogif Positif Nilai Ulangan Bahasa Indonesia Kelas X

Nilai

Dari tabel distribusi frekuensi kelompok ini dicari titik tengah kelas interval dengan rumus: 2kelasatasbataskelasbawahbatasinterval kelas tengah titik..

Ogif positif dari data di atas seperti berikut

Ogif Negatif Nilai Ulangan Bahasa Indonesia Kelas X

40,5

50,5

60,5

70,5

80,5

90,5

Nilai

30,5

Ogif negatif dari data di atas seperti berikut

C. Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran data serta penafsirannya

1. Ukuran Pemusatan

a. Mean

1). Mean data tunggal

Mean = atau , dengan = jumlah nilai data nxxxn......21nxxnii...1_..niix1

n = banyak data, xi = data ke-i

2). Mean data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi

Mean data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi tunggal, dengan menggunakan rumus berikut ini: dengan fi adalah frekuensi untuk nilai xi dan xi adalah data ke-i .....niiniiifxfx11_

3). Mean data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok dapat dicari dengan menggunakan cara langsung atau dengan menggunakan rata-rata sementara

1). menggunakan cara langsung

Rumus mean = , dengan fi adalah frekuensi untuk nilai xi dan xi adalah titik tengah interval kelas ke-i.

Contoh:

Tentukan mean dari nilai matematika 30 siswa kelas X dalam tabel berikut

Nilai Matematika

Frekuensi (fi)

Titik tengah interval kelas (xi)

40 49

44,5

178

50 59

54,5

327

60 69

64,5

645

70 79

74,5

298

80 89

84,5

338

90 99

94,5

189

=30 ..61iif

=1975 ..61iiixf

Mean = 65,8301975.......niiniiifxfx11_

2). Dengan menggunakan rata-rata sementara

Menentukan mean dengan menggunakan rata-rata sementara digunakan rumus:

Mean = T + ..iiiiifsf

dengan T adalah rata-rata sementara dan adalah jumlah frekuensi . simpangan ..niiixf1

Langkah mencari mean dengan rata-rata sementara adalah sebagai berikut:

a) Tentukan rata-rata sementara misal T b) Tentukan simpangan si dari rata-rata sementara c) Tentukan mean yaitu T + ..iiiiifsf

Contoh

Dari data nilai matematika 30 siswa kelas X dalam tabel di atas, akan dicari mean dengan menggunakan rata-rata sementara sesuai langkah-langkah yang telah dijelaskan di atas. Pilih rata-rata sementara sembarang, salah satu dari nilai Xi misal T = 64,5 dan buat tabel dengan tambahan kolom titik tengah (xi), simpangan (si), dan kolom fi .si

Nilai

Frekuensi (fi)

Titik Tengah (xi)

Simpangan si = xi . T

fi.si

40 49

44,5

. 20

. 80

50 59

54,5

. 10

. 60

60 69

64,5 = T

70 79

74,5

80 89

84,5

90 99

94,5

Jumlah

Sfi= 30

Sfi si=40

Mean = T + = 64,5 + = 65,8 3040

b. Median

1. Median untuk data tunggal

Median adalah suatu nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Median dilambangkan dengan Me.

Untuk menentukan median dari data tunggal dilakukan dengan cara:

a). Urutkan data dari kecil ke besar, kemudian dicari nilai tengahnya

b). Jika banyak data besar, setelah diurutkan digunakan rumus

1). Untuk n ganjil Me = )1(21.nx

2). Untuk n genap Me = 2122..nnxx

Contoh

Tentukan median dari data yang terdapat dalam tabel berikut

Nilai

Frekuensi

Penyelesaian:

Banyaknya data n = 50 (genap), dan karena data dalam tabel sudah urut untuk mencari median digunakan rumus: Me = 2122..nnxx

Sehingga diperoleh: = = 6 22625xx.266.

Wide upward diagonalFrekuensi

Kelas Median

Nilai

2. Median untuk data yang sudah dikelompokkan

Perhatikan gambar histogram berikut.

A = median

L = tepi bawah kelas median

Persegi panjang yang diarsir mewakili frekuensi dengan:

Jumlah luas persegi panjang warna kelabu = fk (jumlah frekuensi sebelum kelas median).

Jumlah luas persegi panjang warna kelabu ditambah dengan luas persegi panjang yang diarsir adalah = n (setengah dari jumlah frekuensi) 21

Luas persegi panjang yang diarsir adalah n . fk

Dengan demikian median = L + LA = L+ x

Kelas median mempunyai frekuensi fmed dan panjang interval kelas i.

Jadi,

medkffnix..21

. x = iffnmedk)21(.

Jadi rumus median adalah:

Me = iffnLmedk).21(..

L = tepi bawah kelas median

n = jumlah frekuensi

fk = jumlah frekuensi sebelum kelas median

fmed = frekuensi kelas median

i = panjang interval kelas

Contoh

Tentukan median dari data 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel berikut.

Nilai Matematika

Frekuensi (fi)

40 49

50 59

60 69

70 79

80 89

90 99

=30

Penyelesaian

Setengah dari seluruh data (30) = 15. Jadi median akan terletak di kelas 60 69. Oleh karena itu kelas median adalah kelas 60- 69.

Untuk tabel soal di atas

L = tepi bawah kelas median = 59,5

n = jumlah frekuensi= 30

fk = jumlah frekuensi sebelum kelas median = 4 + 6 = 10

fmed = frekuensi kelas median = 10

i = panjang interval kelas= (69 60) + 1 = 10

Me = = 59,5 + = 59,5 + 5 = 64,5 10).101015(.

Frekuensi

Nilai

c. Modus

1. Modus dari data tunggal

Modus adalah nilai dari data yang mempunyai frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan dengan Mo. Jika suatu data mempunyai satu modus disebut unimodus dan bila memiliki dua modus disebut bimodus, sedangkan jika memiliki lebih dari dua modus disebut multimodus.

Contoh:

Berikut ini adalah data nilai ulangan Bahasa Inggris dari 30 siswa kelas X:

Nilai Ulangan Bahasa Inggris

Frekuensi

Berdasarkan tabel di atas, nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi adalah nilai 6. Jadi modusnya adalah 6.

2. Modus dari data yang sudah dikelompokkan

Perhatikan histogram diatas. Tinggi persegi panjang frekuensi (f) dan lebarnya menyatakan panjang interval kelas (i). Persegi panjang yang paling tinggi adalah kelas modus karena frekuensinya tertinggi (terbesar). Kelas ini mempunyai tepi bawah kelas L dan modus data (Mo) dihitung sebagai berikut: Mo = L + x = L + EF.

Untuk mecari nilai EF perhatikan dua segitiga sebangun ABF dan DCF.

AB = frekuensi kelas modus frekuensi kelas sebelum kelas modus = d1

CD = frekuensi kelas modus - frekuensi kelas setelah kelas modus = d2

EF + FG = i

= ABEFCDFG

. = 1dEF2)(dEFi.

. d2 EF = d1(i EF)

. (d1+d2) EF = d1 i

. EF = iddd).(211.

Sehingga diperoleh, Mo = L + x = L + EF = L +

dengan,

Mo = modus

L = tepi bawah kelas modus

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

i = panjang interval kelas

Contoh:

Tentukan modus dari 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel berikut.

Nilai Matematika

Frekuensi (fi)

40 49

50 59

60 69

70 79

80 89

90 99

=30

Penyelesaian:

Kelas modus adalah kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi, yaitu kelas 60 69

L = tepi bawah kelas modus = 59,5

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya= 10 6 = 4

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya = 10 -4 = 6

i = panjang interval kelas = (69 60) + 1

Modus = L + = 59,5 + = 59,5 + 4 = 63,5 10).644(.

3. Ukuran letak

Ukuran letak digunakan untuk menggambarkan letak data terhadap keseluruhan data. Ukuran letak diantaranya adalah kuartil (Q), desil (D) dan presentil (P).

a. Kuartil (Q)

Kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak, setelah data diurutkan dari kecil ke besar. Jadi terdapat tiga nilai yang menjadi batas masing-masing bagian. Ketiga nilai itu disebut kuartil 1 (Q1) disebut kuartil bawah, kuartil 2 (Q2) disebut kuartil tengah atau median, kuartil 3 ( Q3) disebut kuartil atas

1). Kuartil data tunggal

Cara pertama:

a) Tentukan median dulu atau Q2, setelah data diurutkan b) Tentukan datum yang membagi dua data sebelah kiri median. Datum ini adalah Q1. Selanjutnya tentukan datum yang membagi dua data sebelah kanan median Datum ini adalah Q3.

Cara kedua dengan menggunakan rumus urutan:

. Menggunakan rumus urutan kuartil alternatif 1

{ ( ) untuk ganjil ( ) untuk genap

{ ( ) untuk ganjil ( )untuk genap

{ ( )

. Menggunakan rumus urutan kuartil alternatif 2

Qi = 4)1(.niY

Qi = kuartil ke i

n = banyak data

Q1 = kuartil ke-1 disebut kuartil bawah

Q2 = kuartil ke-2 disebut kuartil tengah atau median

Q3 = kuartil ke-3 disebut dengan kuartil atas

2). Kuartil dari data yang dikelompokkan

Rumus dari kuartil data yang dikelompokkan sebagai berikut Qk = Lk + iffknkQk).4(.

Qk = kuartil ke-k dengan k=1,2,3

Lk = tepi bawah kelas kuartil ke-k

n = banyak data

fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-k

= frekuensi kelas kuartil ke-k kQf

i = panjang interval kelas

Q1 = kuartil ke-1 disebut kuartil bawah

Q2 = kuartil ke-2 disebut kuartil tengah atau median

Q3 = kuartil ke-3 disebut dengan kuartil atas

b. Desil

Desil membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar, setelah data diurutkan.

1). Desil data tunggal

Di = 10)1(.niY

Di = Desil ke i, i = 1,2,...9

n = banyak data

2). Desil untuk data yang sudah dikelompokkan

Rumus:

Dk = Lk + iffknkDk).10(.

Dk = desil ke-k dengan k = 1,2,3, ... 9

Lk = tepi bawah kelas desil ke-k

n = banyak data

fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-k

= frekuensi kelas desil ke-k kDf

i = panjang interval kelas

c. Presentil

Presentil membagi data menjadi 100 bagian yang sama banyak, setelah data diurutkan.

1). Presentil data tunggal

Dengan menggunakan rumus urutan: Pi = 100)1(.niY

Pi = Presentil ke i, i = 1,2,...99, n = banyak data

P1 = presentil ke 1 adalah data yang terletak pada urutan ke - dan seterusnya sampai dengan P9 = presentil ke 9 adalah data yang terletak pada urutan ke - . 100)1(1.n100)1(9.n

2). Presentil dari data yang telah dikelompokkan

Nilai presentil ke- k (Pk) dari data yang dikelompokkan dirumuskan

Pk = Lk +

Pk = presentil ke-k dengan k =1,2,3, ... 99

Lk = tepi bawah kelas presentil

n = banyak data

fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas presentil ke-k

= frekuensi kelas presentil ke-k kPf

i = panjang interval kelas

4. Ukuran Penyebaran

Ukuran penyebaran memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dari titik pemusatan. Ukuran penyebaran meliputi jangkauan (range), jangkauan antarkuartil/Rentang antarkuartil/Hamparan, simpangan kuartil/rentang semi antarkuartil, simpangan baku(deviasi standar), ragam(variansi) dan simpangan kuartil.

a. Jangkauan (range)

. Jangkauan (range) data tunggal

J = selisih data terbesar dengan data terkecil

. Jangkauan (range) dari data yang dikelompokkan

Untuk data yang dikelompokkan jangkauan (range) adalah selisih dari titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah

Contoh:

Tentukan jangkauan (range) dari data 30 nilai matematika siswa kelas X dalam tabel berikut

Nilai Matematika

Frekuensi (fi)

40 49

50 59

60 69

70 79

80 89

90 99

Penyelesaian:

Titik tengah kelas terendah = 45,5

Titik tengah kelas tertinggi = 95,5

J = 95,5 . 45,5 = 50

b. Jangkauan antarkuartil/Rentang antarkuartil/Hamparan

Definisi

Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara kuartil ketiga( Q3) dengan kuartil pertama (Q1), ditulis dengan notasi H

H = Q3 - Q1

c. Simpangan kuartil/Rentang semi antarkuartil

Definisi

Simpangan kuartil/Rentang semi antarkuartil adalah setengah kali panjang satu hamparan, ditulis dengan notasi Qd

Qd = H = (Q3 - Q1)

d. Langkah

Definisi

Langkah adalah satu setengah kali panjang satu hamparan, ditulis dengan notasi L

L = 1 H =1 (Q3 - Q1)

e. Pagar dalam

Definisi

Pagar dalam adalah sebuah nilai yang letaknya satu langkah di bawah kuartil pertama (Q1). Pagar dalam = Q1 - L

f. Pagar Luar

Definisi

Pagar Luar adalah sebuah nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil ketiga (Q3)

Pagar Luar = Q3 + L

Pagar dalam dan pagar luar digunakan sebagai batas penentu normal atau tidaknya nilai data. Untuk menentukan nilai suatu data normal atau tidak dengan menggunakan cara berikut ini:

1) Untuk setiap nilai data xi yang terletak di antara batas-batas pagar dalam dan pagar luar disebut data normal ditulis dengan ( Q1 L = xi = Q3 + L )

Data disebut normal jika nilai data yang satu dengan nilai data yang lain tidak jauh berbeda

2) Untuk setiap nilai data xi yang kurang dari pagar dalam ( xi . Q1 L) atau lebih dari pagar luar (xi . Q3 + L ) disebut data tak normal. Data yang tak

normal ini disebut juga pencilan. Jadi data pencilan adalah data yang tidak konsisten dalam kelompoknya

Data disebut normal jika nilai data yang satu dengan nilai data yang lain tidak jauh berbeda

g. Simpangan baku(deviasi standar)

Simpangan baku (deviasi standar) dilambangkan dengan s

1) Simpangan baku data tunggal dirumuskan:

atau nxxsnii....12_)(221_12)()(nxxnsninii......

dengan xi = data ke-i

2) Simpangan baku dari data yang dikelompokkan dirumuskan

atau nxxsnii....12_)(21212)()(nxxnsniinii......

dengan xi = titik tengah interval kelas i

h. Ragam atau variansi

Ragam atau variansi dilambangkan dengan s2

1) Ragam atau variansi data tunggal, dirumuskan:

atau dengan xi = data ke-i 211222)()(nxxnsniniii......nxxsnii21_2)(....

2) Ragam atau variansi dari data yang sudah dikelompokkan, dirumuskan

atau dengan xi = titik tengah interval kelas i nxxsnii21_2)(....

BAGIAN V PENUTUP

A. Rangkuman

Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, misalnya astronomi, linguistika, bidang ekonomi, biologi dan psikologi serta cabang-cabang terapannya banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika.

Tahap awal pada kegiatan statistika adalah pengumpulan data. Datum adalah keterangan yang diperoleh melalui suatu pengamatan dapat berupa angka, lambang ataupun sifat. Kumpulan datum dinamakan data. Data merupakan bentuk jamak dari

datum. Ada 2 cara pengumpulan data yaitu pengumpulan data secara keseluruhan dan pengumpulan data berdasar sampel. Pengumpulan data dapat dilakukan dengan mencacah, mengukur dan mencatat data dengan turus(tally). Setelah data dikumpulkan,langkah berikutnya adalah menyajikan data.

Tujuan penyajian data adalah untuk memberikan gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian atau observasi, data yang disajikan mudah dimengerti oleh pengguna data, memudahkan dalam membuat analisa data serta mempercepat proses pengambilan kesimpulan.

Ukuran pemusatan dari data adalah suatu nilai yang dapat mewakili data tersebut. Suatu data biasanya mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi atau terpusat pada nilai pemusatan ini. Ukuran statistik yang menjadi pusat dari data dan dapat memberikan gambaran singkat tentang data disebut ukuran pemusatan data. Ukuran pemusatan data terdiri dari mean, median dan modus. Ukuran letak digunakan untuk menggambarkan letak data terhadap keseluruhan data. Ukuran letak diantaranya adalah kuartil (Q), desil (D) dan presentil (P). Ukuran penyebaran memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dari titik pemusatan. Ukuran penyebaran meliputi jangkauan (range/rentang), jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil, langkah, pagar dalam, pagar luar, simpangan baku(deviasi standar),dan ragam(variansi).

DAFTAR PUSTAKA

Husein Tampomas, 2007, Seribu Pena Matematika untuk SMA/MA Kelas XI, Jakarta: Erlangga.

Ismail, 2002, Statistika, Jakarta: Direktorat PLP

Kurniawan dan Suryadi, 2007, Olimpiade Matematika SMP, Jakarta: Erlangga

Kusrini. 2003. Statistika. Jakarta: Direktorat Pendidikan Lanjutan Pertama

Nugroho Budiyuwono. 1990. Pelajaran Statistik. Yogyakarta: BPFE

Iryanti, Puji, 2006, Statistika. Yogyakarta: PPPPTK Matematika

Suryo Guritno. 1996. Hand Out Pengantar Statistik matematika. Jogjakarta: Program Pasca sarjana Universitas Gadjah Mada

Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, Subagya. 2005. Matematika Kelas XI Program Studi Ilmu Alam SMA & MA. Jakarta: Bumi Aksara

Sudjana, 1996. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito

Sugiman. 2006. Soal Cerita Bagi Penggemar Matematika. Yogyakarta: PPPPTK Matematika

Widyantini. 2007. Statistika. Yogyakarta: PPPPTK Matematika

Wirodikromo Sartono, 2007, Matematika untuk SMA kelas XI, Semester I, Jakarta: Erlangga.

https://ansimath.wordpress.com/2010/06/10/tokoh-tokoh-bidang-statitstika/ diakses tanggal 20 februari 2015.

KOMBINATORIK DAN PELUANG

BAGIAN I PENDAHULUAN

A. PENGANTAR ISI

Bahan bacaan ini diperuntukkan bagi guru matematika sekolah menengah meliputi guru SMP, SMA, dan SMK. Materi kombinatorik dan peluang yang diberikan pada bahan bacaan ini terdiri dari 2(dua) macam. Bahan bacaan I dengan topik Kombinatorik dan peluang pada pengundian, dan bahan bacaan II dengan topik Kombinatorik dan peluang pada pengambilan sampel. Bahan bacaan I lebih banyak terkait dengan materi peluang di SMP dan bahan bacaan II lebih banyak terkait dengan materi peluang di SMA dan SMK. Peluang adalah ukuran ketidakpastian munculnya suatu peristiwa dalam suatu ruang sampel hasil dari sebuah eksperimen. Eksperimen yang dimaksud dalam ilmu peluang adalah percobaan acak dimana si pelaku eksperimen dijamin tidak dapat mengatur hasil eksperimennya. Sehingga jika tidak ada jaminan bahwa si pelaku eksperimen tidak dapat mengatur hasil eksperimennya maka dikatakan bahwa eksperimen yang dilakukannya tidak fair atau tidak adil.

Ukuran ketidakpastian yang dimaksud merupakan nilai frekuensi relatif munculnya peristiwa itu jika eksperimen yang dilakukannya berulang sampai dengan tak hingga kali. Namun karena ketidakmungkinan seseorang melakukan eksperimen sampai dengan tak hingga kali, maka biasanya orang (si pelaku eksperimen) hanya akan melakukannya sampai dengan ribuan kali tertentu saja. Sebagai contoh misalnya untuk mengetahui berapa peluang munculnya masing-masing sisi mata uang logam jika diadakan eksperimen melalui tossing dengan cara melambungkannya ke udara dan membiarkannya jatuh ke sebuah lantai bersemen.

Untuk mengetahui nilai peluangnya penulis mengutip dari buku rujukan Applied Finite Mathematics karangan Prof. Howard Anton untuk eksperimen tehadap sekeping mata uang logam. Terinspirasi dengan eksperimen tersebut penulis di tahun 2001 mencoba untuk melakukannya secara pribadi atas sebuah paku payung

warna putih gilap yang biasa digunakan untuk menata taplak-taplak meja pada kegiatan hajatan. Paku payung semacam ini selanjutnya kita sebut/definisikan sebagai paku payung standar.

Kini seperti yang akan saudara ketahui nantinya pada bahan bacaan I, setelah dilakukan eksperimen berulang mulai dari 1.000 kali, 5.000 kali, 10.000 kali, 15.000 kali, hingga 20.000 kali akan tampak bahwa nilai frekuensi relatifnya memiliki nilai kecenderungan ke bilangan 0,5 untuk munculnya muka angka (A) pada mata uang logam dan memiliki nilai kecenderungan ke bilangan 0,31 untuk munculnya hasil miring pada paku payung standar. Selanjutnya dengan pembulatan yang sudah dianggap cukup baik dan mendekati ketepatan hingga 1 tempat desimal akan diperolah nilai kecenderungan frekuensi relatif munculnya masing-masing hasil adalah 0,5 untuk munculnya muka angka pada mata uang logam dan 0,3 untuk munculnya hasil miring pada paku payung standar. Dalam bentuk pecahan biasa peluang masing-masing adalah

dan 21.103

Kedua obyek eksperimen ini (mata uang logam dan paku payung) sengaja diangkat sebagai contoh obyek eksperimen agar kesalahan persepsi selama ini bahwa berbicara masalah peluang selalu dianggap bahwa peluang munculnya peristiwa A dalam ruang sampel S yakni AS adalah .

P(A) = selalu benar padahal tidak selalu benar. )()(SnAn

Rumus nilai peluang tersebut benar jika obyek eksperimennya berdistribusi (tersebar secara) seragam dan tidak benar jika obyek eksperimennya tidak berdistribusi seragam. Berdistribusi seragam artinya masing-masing hasil yang mungkin muncul pada setiap sisi obyek eksperimennya berpeluang sama untuk muncul. Contohnya misal masing-masing sisi pada obyek eksperimen yang berupa mata uang logam, dadu, dan kartu gambar (sisi sebaliknya kosong/tak bergambar) berpeluang sama untuk muncul.

Perhitungan nilai peluang untuk setiap peristiwa AS selalu benar jika kita gunakan

10021 s2

1009 s1

10049 s4

Gambar 1.a

41 s2

Gambar 11.b

prinsip penjumlahan, yakni peluang munculnya peristiwa AS sama dengan jumlah peluang munculnya masing-masing titik sampel yang terdapat pada peristiwa A.

Sebagai contoh selidiki bahwa pada contoh ini peluang munculnya ruang sampel S adalah

P(S) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + P({s4})

= + + + 1009100211002110049

= = 1. 100100

Dengan cara yang sama akan diperoleh

P(A) = P(B) = dan P(AB) = ,10058,10091..10049

Kini perbedaannya dengan ruang sampel S yang berdistribusi tak seragam seperti di atas dibanding dengan ruang sampel S yang berdistribusi dapat diberikan gambaran seperti berikut.

Perhatikan kedua peristiwa A, BS dengan nilai-nilai peluang munculnya masing-masing peristiwa elementer {si}S adalah P({si}) = seperti berikut ini. .41

Perhatikan dari diagram Venn bahwa:

P(A) = P({s1}) + P({s2})

= + = = 42.21

P(B) = P({s2}) + P({s4})

= + = =

P(AB) = P({s2}) = ..41

Karena ruang sampel berdistribusi seragam maka selain berlakunya prinsip penjumlahan juga berlaku rumus P(A) = untuk setiap peristiwa AS. Kita coba betulkah )()(SnAn

P(A) = dan P(B) = )()(SnBn

= = = =

Ternyata benar. Yakni untuk ruang sampel S yang berdistribusi seragam maka untuk setiap peristiwa A, BS berlaku:

P(A) = dan P(B) =

B. TARGET KOMPETENSI

Target kompetensi yang hendak dicapai dari bahan diklat ini adalah Peserta diklat pasca Uji Kompetensi Guru (UKG) dapat menentukan (1) ruang sampel, titik sampel, peristiwa, banyak anggota, dan (2) nilai peluang munculnya peristiwa yang mungkin pada setiap eksperimen (percobaan acak) yang diketahui.

Himpunan semua hasil (eksperimen) yang mungkin dari suatu eksperimen yang diberikan (diketahui) didefinisikan sebagai Ruang Sampel dan umumnya dilambangkan dengan huruf kapital S. Sedangkan masing-masing hasil yang mungkin terjadi itu yang merupakan elemen-elemen dari S disebut sebagai titik sampel. Sementara himpunan bagian dari S yang mungkin terjadi sepoerti AS disebut sebagai peristiwa atau kejadian dalam ruang sampel S.

Kini jika jika dalam ruang sampel S peristiwa A memuat lebih dari 1 (satu) titik sampel maka A disebut sebagai peristiwa majemuk dan jika A memuat tepat 1(satu) titik sampel maka A disebut sebagai peristiwa sederhana atau peristiwa elementer (elementary event).

Selain itu peserta diklat dapat menentukan banyak angota (banyak titik sampel yang terdapat pada setiap peristiwa yang didefinisikan dalam ruang sampel S) seperti peristiwa A, BS dalam bentuk kata-kata/kalimat, menentukan nilai peluangnya, serta mengidentifikasi relasi antar peristiwa dalam ruang sampel S tersebut untuk eksperimen yang berupa:

1. Pengundian (tidak melibatkan perhitungan permutasi dan kombinasi) 2. Pengambilan Sampel (melibatkan perhitungan permutasi dan kombinasi)

Pengundian yang dimaksud adalah eksperimen (percobaan acak) yang melibatkan sejumlah obyek seperti misalnya: mata uang logam, dadu, paku payung, kartu gambar yakni kartu-kartu yang salah (kartu yang satu sisinya bergambar dan sisi lainnya kosong/tidak bergambar), dan lain-lain. Sementara pengambilan sampel yang dimaksud adalah pengambilan acak dari sebagian obyek (sampel) dari sejumlah obyek yang jumlahnya lebih banyak (populasi). Bedakan antara konsep sampel dengan konsep ruang sampel. Sampel adalah sebagian dari keseluruhan (populasi), sedangkan ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam suatu eksperimen (percobaan acak/tindakan acak).

C. STRATEGI PEMBELAJARAN

Pembelajaran Diklat Pasca Uji Kompetensi Guru (UKG) untuk materi Kombinatrik dan Peluang dibagi dalam 3(tiga) tahapan kegiatan. Yakni Tahap In I (Inservice I), Tahap on (on the job learning) dan Tahap In II (Inservice II). Tahap I (Inservice I) di MGMP peserta diklat mendapatkan reviu materi kombinatorik dan peluang dari fasilitator, tanya jawab, dan arahan-arahan tertentu antara lain apa yang harus dilakukan pada kegiatan Onservice setelah kembali ke tempat tugas mengajarnya. Tahap Onservice (sekitar 2 bulan) peserta diklat mempraktekkan hasil-hasil yang diperoleh di tempat kerja dan Tahap III (Inservice II) peserta diklat melaporkan (melalui kegiatan presentasi) pengalaman mengajarnya saat kegiatan Onservice di tempat tugas/tempat mengajar masing-masing.

BAGIAN II AKTIVITAS

Untuk materi peluang ini aktivitas para peserta diklat dibagi dalam 3(tiga) tahap, yakni: tahap Inservice I, tahap Onservice, dan tahap Inservice II. Untuk memudahkan dalam mengingat-ingat selanjutnya dipersingkat menjadi kegiatan In - On - In. Aktivitas pada tahap Inservice I (In I) adalah tatap muka antara peserta diklat dengan fasilitator. Peserta mendapatkan materi pembelajaran yang diperlukan untuk kelancaran memandu kegiatan onservicenya di tempat kerja (sekolah) serta tugas menyelesaikan masalah sesuai dengan hasil undian. Tugas kelompok menyelesaikan masalah merupakan tugas proyek yang hasilnya dikumpulkan pada fasilitator diklat untuk dipresentasikan pada kegiatan tatap muka In II bersamaan dengan presentasi penyelesaian tugas yang dibebankan secara kelompok dalam bentuk LK (Lembar Kerja).

Aktivitas pada tahap Onservice (praktek di sekolah atau diskusi di MGMP) selama kurun waktu sekitar 2 bulan ditambah dengan tugas kelompok penyelesaian masalah dalam bentuk LK (Lembar Kerja) yang nantinya akan dipresentasikan pada kegiatan In II, diharapkan dapat meningkatkan kompetensi pengetahuan dan ketrampilan peserta dalam melaksanakan tugas mengajarnya di sekolah masing-masing. Selanjutnya dalam rangka mencapai efektifitas dan efisiensi tujuan pembelajaran, tugas-tugas penyelesaian masalah berikut ini meskipun fokus utamanya pada masalah sesuai hasil undian tetapi akan lebih baik jika tiap kelompok mengusahakan untuk dapat mengerjakan semuanya. Tujuannya agar tiap peserta diklat In - On - In lebih dapat menghayati tingkat kesulitan masalah yang diberikan sebelum dan sesudah presentasi serta klarifikasi hasil kerja kelompok saat kegiatan In II.

Dengan alur kegiatan In - On - In seperti di atas diharapkan peserta diklat pasca UKG akan meningkat kompetensi profesionalnya secara signifikan di bidang pembelajaran matematika khususnya materi kombinatorik dan peluang yang selama ini dirasakan belum mantap dan belum meyakinkan. Selamat bekerja!

Masalah 1 (Pengundian)

Tiga keping mata uang logam diundi sekaligus. Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon. Dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir. Pertanyaannya adalah:

a. Misalkan S adalah ruang sampel yang dihasilkan pada eksperimen ini, A adalah peristiwa munculnya muka angka minimal 1 kali dan B adalah peristiwa munculnya muka gambar minimal 1 kali. Tuliskan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan s1, s2, s3, ... dan seterusnya. b. Tuliskan nilai-nilai peluang di masing-masing cabang yang ada kemudian tentukan P(S), P(A), P(B), dan P(AB) yakni nilai peluang munculnya masing-masing dari ruang sampel S, peristiwa A, peristiwa B, dan peristiwa AB. .c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah diagram Venn. d. Selidiki relasi antara peristiwa A dan peristiwa B (pilih salah satu: lepas, komplemen, bebas, atau tak bebas) berikan alasannya.

Masalah 2 (Pengundian)

Tiga buah paku payung diundi sekaligus. Gambarkan semua hasil yang mungkin dalam bentuk diagram pohon. Dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin terjadi dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir. Pertanyaannya adalah:

a. Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen ini, A adalah peristiwa munculnya hasil maksimal 2 paku payung diantaranya miring, dan B adalah peristiwa munculnya hasil minimal 1 paku payung diantaranya terlentang. Tuliskan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan dari titik-titik sampel s1, s2, s3, ... dan seterusnya.

b. Tuliskan nilai-nilai peluang di masing-masing cabang yang ada kemudian tentukan P(S), P(A), P(B), dan P(AB) yakni nilai peluang munculnya masing-masing dari ruang sampel S, peristiwa A, peristiwa B, dan peristiwa AB. c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah diagram Venn berikut nilai-nilai peluangnya. d. Selidiki relasi antara peristiwa A dan peristiwa B (pilih salah satu: lepas, komplemen, bebas, atau tak bebas) berikan alasannya.

Masalah 3 (Pengambilan Sampel)

Sebuah kotak berisi 4(empat) bola homogin (sama bentuk dan sama ukuran) bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak 2(dua) bola sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut, A adalah peristiwa terambilnya kedua bola bernomor genap, B adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.

Perintahnya adalah:

a. Gambarkan semua hasil yang mungkin dalam bentuk diagram pohon dan dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir.. b. Nyatakan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan elemen-elemen s1, s2, s3, ... dan seterusnya. c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah diagram Venn. d. Tentukan peluang terjadinya ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B yakni nilai masing-masing dari P(S), P(A), dan P(B). e. Tentukan relasi antara peristiwa A dan peristiwa B.

Masalah 4 (Pengambilan Sampel)

Sebuah kotak berisi 4(empat) bola homogin (sama bentuk dan sama ukuran) bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak 3(dua) bola sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut, A adalah peristiwa terambilnya 2(dua) bola diantranya bernomor genap, B adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.

Perintahnya adalah:

a. Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon dan dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir.. b. Nyatakan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan elemen-elemen s1, s2, s3, ... dan seterusnya. c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah diagram Venn. d. Tentukan peluang terjadinya ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B yakni nilai masing-masing dari P(S), P(A), dan P(B). e. Tentukan relasi antara peristiwa A dan peristiwa B.

Masalah 5 (Pengambilan Sampel)

Sebuah kotak berisi 4(empat) bola homogin bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak 2(dua) bola satu demi satu tanpa pengembalian. Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut, A adalah peristiwa terambilnya kedua bola bernomor genap, B adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.

Perintahnya adalah:

Masalah 6 (Pengambilan Sampel)

Sebuah kotak berisi 4(empat) bola homogin (sama bentuk dan sama ukuran) bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak 3(dua) bola satu demi satu tanpa pengembalian. Misalkan S adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut, A adalah peristiwa terambilnya 2(dua) bola diantranya bernomor genap, B adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.

Perintahnya adalah:

a. Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon dan dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin dalam bentuk lambang s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir. b. Nyatakan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam bentuk himpunan elemen-elemen s1, s2, s3, ... dan seterusnya. c. Gambarkan ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B dalam sebuah diagram Venn. d. Tentukan peluang terjadinya ruang sampel S, peristiwa A, dan peristiwa B yakni nilai masing-masing dari P(S), P(A), dan P(B). e. Tentukan relasi antara peristiwa A dan peristiwa B.

Masalah 7 (Pengambilan Acak)

Gambarkan bentuk diagram pohon dari ruang sampel S dan diagram pohon dari peristiwa A S yakni = peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih dari eksperimen berupa pengambilan acak 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian dari obyek eksperimen 5 bola (terdiri dari 2 bola merah dan 3 bola putih) seperti yang digambarkan berikut ini. .

Gambar 3 S = Ruang sampel terambilnya secara acak 3 bola dari 5 bola. 5 bola 1 2 1 3 2 2m dan 3p Obyek Eksp Ambil acak 3 bola 1 1 tanpa pengemb Cara Eksp III II I m p p p m p p p m Total = P(A) = = P(A) A = peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih = {(1m dan 2p)} P(A) = artinya n(A) = 36 dan n(S) = 60.

Untuk diketahui bahwa A (peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih) adalah salah satu peristiwa partisi dari S. Peristiwa partisi adalah peristiwa saling lepas tetapi gabungannya sama dengan S. Peristiwa partisi selengkapnya adalah A, B dan C seperti yang digambarkan dalam bentuk diagram pohon berikut ini.

Gambar 4 5 bola 1 2 1 3 2 2m dan 3p Obyek Eksp Ambil acak 3 bola 1 1 tanpa pengembalian Cara Eksp S III II I m p p p m p p p m Total P(A) = = m p m m m p p m m p p p B C A B1 B2 B3 Keterangan 1. A, B, dan C adalah peristiwa-peristiwa partisi dalam ruang sampel S. Yakni peristiwa saling lepas yang gabungannya = S. 2. B1, B2, dan B3 adalah peristiwa-peristiwa subpartisi dari peristiwa partisi B.

Sementara ruang sampel S adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu eksperimen berupa pengambilan acak 3 bola dari 5 bola (terdiri dari 2 bola merah dan 3 bola putih) satu demi satu tanpa pengembalian. Gambarannya seperti berikut.

Gambar 5 n = 543 = (5 turun 1-1 sebanyak 3 faktor) = = 60 sn = s60. Sehingga n(S) = 60. 5 bola 1 2 1 3 2 2m dan 3p Obyek Eksp Ambil acak 3 bola 1 1 tanpa pengemb Cara Eksp m1 m2 p1 p2 p1 p2 p3 m1 m2 p1 p2 p3 m2 p1 p2 p3 (m1, m2, p1) = s1 (m1, m2, p2) = s2 (m1, m2, p3) = s3 (p3, p2, p1) = sn m1 m2 p1 S 5 cara 4 cara 3 cara Hasil-hasil yang Mungkin III I II

Tugas saudara sebagai peserta diklat adalah menggambar peristiwa AS yakni peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih dalam bentuk diagram pohon (boleh menggunakan diagram pohon tak lengkap seperti gambar 4 di atas) namun tetap dapat memperlihatkan bahwa n(A) = 36 seperti halnya gambar ruang sampel S yang tetap dapat memperlihatkan bahwa n(S) = 60 meski diagram pohonnya digambar dalam bentuk tak lengkap. .

Gambar 6 4 5 6 7 1 2 3 II I 8 9 10 III Pilih bebas 2 nomor soal diantaranya Pilih bebas 3 nomor soal diantaranya Pilih bebas 1 nomor soal diantaranya Masalah 8 (Prinsip Perkalian)

Misalkan dalam suatu ulangan harian disediakan 10 soal seperti yang digambarkan berikut ini.

Dari kesepuluh soal tersebut siswa diminta memilih secara bebas sebanyak 6 soal dengan ketentuan sebagai berikut. Sebanyak 2 soal diantaranya diminta untuk memilih dari soal nomor 1 s.d 3, sebanyak 3 soal diantaranya diminta untuk memilih dari soal nomor 4 s.d 7, dan sebanyak 1 soal diantaranya diminta memilih dari nomor-nomor soal sisanya. Ada berapa cara (banyaknya semua pilihan soal yang mungkin) rangkaian nomor-nomor soal yang mungkin untuk dapat dikerjakan oleh seorang siswa pada ulangan itu?

Perintahnya adalah:

a. Gambarkan kerangka berpikir penyelesaiannya dalam bentuk diagram pohon b. Tentukan banyak anggota ruang sampel S yakni banyaknya semua pilihan rangkaian nomor soal yang mungkin untuk dapat dikerjakan oleh seorang siswa pada ulangan itu. c. Nyatakan n(S) yakni banyaknya semua rangkaian pilihan nomor soal yang mungkin untuk dapat dikerjakan oleh seorang siswa itu dalam bentuk permutasi atau kombinasi.

Catatan:

Untuk dapat mengerjakan dengan baik silahkan saudara pelajari terlebih dahulu dengan cermat materi Kombinatorik dan Peluang yang ada pada bahan bacaan di Bagian III berikut ini.

BAGIAN III BAHAN BACAAN

BAHAN BACAAN I KOMBINATORIK (TEKNIK MENGHITUNG) BANYAKNYA ANGOTA RUANG SAMPEL

A. Konsep Peluang dan Frekuensi Harapan

Masalah 1 (Konsep Peluang)

Apa yang akan terjadi bila kita undi sekeping mata uang logam sebanyak 20.000 kali dan apa yang akan terjadi jika kita undi sebuah paku payung standar (warna putih gilap) sebanyak 20.000 kali?

Catatan

Untuk diketahui bahwa dalam praktek pengundian sekeping mata uang logam sebanyak 20.000 kali dapat diganti dengan pengundian 100 keping mata uang logam sekaligus sebanyak 200 kali. Mengapa? Sebab sejalan dengan mengundi sekeping mata uang logam sebanyak 3 kali bentuk ruang sampelnya relatif sama dengan mengundi 3 keping mata uang sekaligus. Secara diagram pohon (Gambar 7) pasangan hasil (I, II, III) misal s3 = (A, G, A) maka titik sampel s3 dibaca mata uang logam I muncul angka A, mata uang logam II muncul gambar G, mata uang logam III muncul angka A. Sementara untuk pengundian sekeping mata uang logam sebanyak 3 kali titik sampel s3 = (A, G, A) dibaca titik sampel s3 = pengundian I muncul muka angka A, pengundian II muncul muka gambar G, dan pengundian III muncul muka angka A. Cermati persamaan dan perbedaan arti sebuah titik sampel s3 pada pengundian 3 keping mata uang logam sekaligus dengan pengundian sekeping mata uang logam sebanyak 3 kali seperti yang ditunjukkan pada gambar 7.1 dan 7.2 berikut ini.

Perhatikan bahwa antara pengundian 3 keping mata uang logam sekaligus (gambar 7.1) ternyata menghasilkan ruang sampel yang sama (ekuivalen) dengan pengundian 1 keping mata uang logam sebanyak 3 kali.

Penyelesaian Masalah 1

Untuk diketahui bahwa hasil eksperimen yang pernah dilakukan oleh seseorang (Anton, 1982:79) dan eksperimen pribadi oleh penulis di tahun 2001 diperoleh hasil-hasil seperti berikut.

Dari kedua obyek eksperimen (percobaan acak) seperti yang diperlihatkan pada tabel di atas tampak bahwa semakin banyak eksperimen dilakukan maka frekuensi relatif munculnya muka angka (A) pada mata uang logam nilai frekuensi relatifnya akan semakin mendekati nilai 0,5000 sementara untuk eksperimen yang sama terhadap paku payung (fines) diperoleh hasil bahwa nilai frekuensi relatifnya akan semakin mendekati nilai 0,3100.

Perhatikan bahwa dalam 1 (satu) tempat desimal maka nilai frekuensi relatif munculnya muka angka (A) pada sekeping mata uang logam dan munculnya hasil miring (m) pada paku payung (paku pines) jika eksperimen dilakukan sampai dengan tak hingga kali masing-masing adalah seperti berikut.

fr (A) = = 0,5 dan fr ({m}) =. 21103

Peluang munculnya suatu hasil eksperimen yang selanjutnya disebut peluang secara teoritis didefinisikan sebagai nilai frekuensi relatif munculnya hasil itu jika eksperimen yang dilakukannya diulang-ulang sampai dengan tak hingga kali. Sementara peluang empiris didefinisikan sebagai frekuensi relatif munculnya hasil itu jika eksperimen yang dilakukannya diulang-ulang hingga banyak kali namun tidak tak hingga kali. Oleh sebab itu maka untuk selanjutnya dikatakan bahwa:

Peluang munculnya muka angka A Peluang munculnya hasil miring m

pada mata uang logam adalah: pada paku payung adalah:

P(A) = dan P({m}) = 21)(lim...Afrn.103})({lim...mfrn

Lebih lanjut karena hasil eksperimen yang mungkin untuk mata uang logam hanyalah muka angka A atau muka gambar G sementara untuk paku payumg hanyalah hasil miring m, atau terlentang t maka

P({m}) = 103

Peluang Miring

P({t}) = 1 = 103107

Peluang Terlentang

P(A) =

Peluang Muncul Muka Angka (A)

P(G) = 1 =

Peluang Muncul Muka Gambar (G)

Untuk Sekeping Mata Uang Logam

Untuk Sebuah Paku Payung

Gambar 8

Catatan

1. Obyek-obyek eksperimen yang menghasilkan nilai peluang yang sama jika diundi disebut obyek-obyek eksperimen yang seimbang (homogin) sementara obyek-obyek eksperimen yang menghasilkan nilai peluang yang tidak sama jika diundi disebut obyek-obyek eksperimen yang tak seimbang (non-homogin). Pada contoh di atas mata uang logam termasuk obyek eksperimen yang seimbang sementara paku payung termasuk obyek eksperimen yang tak seimbang. 2. Untuk selanjutnya peluang yang akan kita gunakan adalah peluang teoritik. 3. Untuk kasus-kasus lain seperti misalnya Diketahui peluang penduduk/warga suatu pulau berkata bohong 0,6. Jika kita ambil acak 2 orang penduduk. Tentukan peluang kedua orang yang terambil itu berkata bohong. Maka P(bohong) = 0,6 diasumsikan sebagai peluang teoritis. Artinya setelah melakukan pengamatan berulang hingga banyak kali maka frekuensi relatif bohong yakni fr(bohong)

P(S) = P(I jujurII jujur) + P(I jujurII bohong) + P(I bohong II jujur)

+ P(I bohong II bohong) = 1.

Gambar 9

Light upward diagonalHasil Berdiri

Mungkinkah?

{b}

cenderung menuju ke nilai 0,6. Maka P(bohong) = 0,6. Sehingga jika diambil acak sebanyak 2(dua) orang, maka P(kedua orang berkata bohong) adalah:

P(orang I bohong dan orang II bohong) = P(I bohongII bohong) = 0,60,6 = 0,36. ..

Tugas

Untuk meyakinkan kebenaran bahwa P(I bohongII bohong) = 0,36. Selidiki menggunakan diagram pohon bahwa jumlah peluang munculnya ruang sampel S yakni

Kini misalkan ada pertanyaan berapakah peluang munculnya hasil berdiri {b} jika sebuah paku payung standar diundi dengan cara melambungkannya ke udara dan membiarkannya jatuh di lantai bersemen?

Jika pada suatu eksperimen (percobaan acak) suatu peristiwa A pasti terjadi maka peristiwa itu disebut sebagai suatu kepastian. Sementara itu jika pada suatu eksperimen suatu peristiwa A tak mungkin terjadi maka peristiwa itu disebut sebagai suatu kemustahilan.

Sekarang kita sudah dapat mengidentifikasi manakah diantara obyek-obyek eksperimen mana diantara obyek-obyek eksperimen berikut ini yang merupakan obyek eksperimen setimbang dan tak setimbang. Setimbang berarti jika obyek eksperimen itu diundi masing-masing hasil yang mungkin berpeluang sama untuk muncul.

Gambar 10

(a)

(b)

(c)

terlentang (t)

miring (m)

Obyek Tak Setimbang

muka A

(angka)

muka G

(gambar)

Obyek Setimbang

Masalah 2 (Konsep Frekuensi Harapan)

Dari nilai-nilai peluang munculnya hasil-hasil yang mungkin pada sekeping mata uang logam dan sebuah paku payung (pines) jika diadakan pengundian kepada masing-masing obyek eksperimen itu bagaimana frekuensi harapan munculnya hasil yang mungkin jika pengundian dilakukan hingga 20.000 kali?

Penyelesaian

Jika pengundian dilakukan hingga 100.000 kali maka frekuensi harapan (fh) munculnya:

Muka Angka Muka Gambar

fh (A) = 100.000P(A) fh (A) = 100.000P(G) ..

= 100.000 = 100.000 .

= 50.000 kali. = 50.000 kali.

Hasil Miring Hasil Terlentang

fr (A) = 100.000P({m}) fr (A) = 100.000P({t})

=100.000 = 100.000

= 30.000 kali. = 70.000 kali.

Jadi jika pengundian atas sekeping mata uang logam dilakukan sebanyak 100.000 kali maka harapan munculnya muka angka adalah sebanyak50.000 kali dan munculnya muka gambar juga sebanyak50.000 kali. Sementara untuk sebuah paku payung jika pengundian dilakukan sebanyak 100.000 kali maka harapan munculnya hasil miring 30.000 kali dan hasil terlentang 70.000 kali.

Catatan

Frekuensi harapan (fh) munculnya banyak kali hasil A yang diharapkan jika eksperimen (percobaan acak) dilakukan sebanyak n kali didefinisikan sebagai

fh (A) = n P(A).

B. Ruang Sampel, Titik Sampel, Peristiwa, dan Relasi Antar Peristiwa

Masalah 1 (Konsep Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Peristiwa)

Misalkan 2 (dua) keping mata uang logam diundi sekaligus. Masalah yang ditanyakan adalah: (a) Hasil-hasil apa saja yang mungkin terjadi pada eksperimen tersebut? (b) Tentukan ruang sampel, titik-titik sampel, dan peristiwa A yang didefinisikan sebagai peristiwa munculnya muka gambar G tepat sebanyak 1 kali, serta peristiwa B yang didefinisikan sebagai peristiwa munculnya muka gambar G tepat sebanyak 2 kali.

Gambarkan kesemuanya itu dalam bentuk diagram pohon dan kemudian dalam bentuk diagram Venn.

Penyelesaian

a. Dalam Bentuk Diagram Pohon

Dalam bentuk diagram pohon gambaran selengkapnya dari eksperimen (percobaan acak) tersebut adalah seperti berikut.

Gambar 12b

Berdasarkan peragaan gambar 11b di atas maka:

Ruang sampelnya adalah S = {s1, s2, s3, s4} = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}

Hasil-hasil yang mungkin seperti s1, s2, s3, s4 masing-masing disebut titik sampel,

A = peristiwa munculnya muka gambar G tepat sebanyak 1 kali = {s2, s3}, dan

B = peristiwa munculnya muka gambar G tepat sebanyak 2 kali = {s4} masing-masing disebut peristiwa/kejadian dalam ruang sampel S. Peristiwa B dalam S yang tepat memiliki 1 titik sampel disebut sebagai peristiwa elementer atau peristiwa sederhana. Sementara peristiwa A yang memiliki lebih dari 1 titik sampel disebut sebagai peristiwa majemuk.

b. Dalam Bentuk Diagram Venn

S = Ruang sampel hasil eksperimen.

s1, s2, s3, dan s4 adalah titik-titik sampel dalam ruang sampel S.

A, B S masing-masing disebut peristiwa dalam ruang sampel S. .

Peristiwa A yang memiliki lebih dari 1 titik sampel disebut peristiwa majemuk dan peristiwa B yang memiliki tepat 1 titik sampel disebut peristiwa sederhana (peristiwa elementer/ elementary event).

C. Prinsip Perkalian

Masalah

Misalkan kita adakan eksperimen (percobaan acak) berupa pengundian sekaligus sebuah paku payung standar (warna putih gilap) dan sebuah dadu. Pertanyaannya adalah ada berapa macam (ada berapa cara) hasil yang mungkin terjadi pada eksperimen tersebut?

Penyelesaian

Amati bahwa dari masalah yang dikemukakan di atas, obyek eksperimen, cara eksperimen, dan hasil-hasil yang mungkin masing-masing adalah seperti yang digambarkan berikut.

Berdasarkan kerangka penyelesaian yang digambarkan di atas dapat kita lihat bahwa obyek eksperimen I adalah sebuah paku paying sementara obyek eksperimen II adalah sebuah dadu. Cara eksperimennya adalah diundi sekaligus. Sedangkan hasil-hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan (m, 1), (m, 2), (m, 3), dan seterusnya hingga (t, 6). Atau jika ditulis dalam bentuk lambang titik-titik sampel

n(S) = n1 n2 n3 nk ?

semuanya ada 12. Keduabelas titik sampel yang dimaksud adalah s1, s2, s3, ... dan seterusnya hingga s12. Sehingga ruang sampel S dari eksperimen di atas adalah:

S = {(m, 1), (m, 2), (m, 3), , (t, 6)} atau S = { s1, s2, s3, . , s12}. Maka n(S) = 12.

Kini pertanyaan selanjutnya adalah apa kira-kira hubungan antara n(S) = 12 dengan banyaknya hasil yang mungkin untuk obyek eksperimen I yakni n(I) = 2 dan banyaknya hasil yang mungkin untuk obyek eksperimen II yakni n(II) = 6?

Amati bahwa setelah dicermati secara seksama ternyata

n(S) = 12 = 2 6 = n(I) n(II). ..

Yakni n(S) merupakan hasil perkalian antara banyaknya cara munculnya hasil yang mungkin pada obyek eksperimen I dengan banyaknya cara munculnya hasil yang mungkin pada obyek eksperimen II. Yakni

n(S) = 2 6 = n1 n2. .

Kini bagaimana jika obyek eksperimennya sebanyak k. Yakni obyek eksperimen I, II, III, dan seterusnya hingga K. Misalkan masing-masing obyek dapat terjadi dalam n1 cara, n2 cara, n3 cara, dan seterusnya hingga nk cara. Berapakah banyak anggota ruang sampel S jika kesemua obyek eksperimen itu diundi sekaligus? Apakah saudara sepaka

Asas statistik

Bahan Ajar Statistik Peluang

MGMP Matematika SMA/SMK Bontang-Kaltim

Modul Statistik

Modul Tim Mgmp Ipa Kabupaten Klaten

SEBARAN PENARIKAN CONTOH · Sebaran Penarikan Contoh Sebaran peluang suatu statistik disebut sebaran penarikan contoh Sebaran penarikan contoh suatu statistik akan bergantung pada

1 Pertemuan 03 Peluang Kejadian Matakuliah: A0392 - Statistik Ekonomi Tahun: 2006

Perangkat Mengajar Hasil MGMP

STATISTIK (MAM 4137) SEBARAN PENARIKAN · PDF file•Sebaran peluang suatu statistik disebut ... peubah acak X yang memiliki sebaran peluang : f(x) ... 800 jam dan simpangan baku 40

2. Peluang Dan Distribusi Peluang

STATISTIK INFERENSI

Distribusi Peluang Diskrit dan Distribusi Peluang Kontinu