modul statistik

1

DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI

1. Pengertian

Populasi ialah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang, benda-benda, dan

ukuran lain yang menjadi objek perhatian atau kumpulan seluruh objek yang menjadi

perhatian.

Populasi Terbatas unsurnya terbatas berukuran N

contoh: populasi bank, populasi perusahaan reksa dana, dsb

Populasi Tidak terbatas yaitu suatu populasi yang mengalami proses secara

terus-menerus sehingga ukuran N menjadi tidak terbatas perubahan nilainya

Sampel merupakan suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian.

Sampel Probabilitas merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa

dari populasi sehingga masing-masing anggota populasi memiliki probabilitas

atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.

Sampel Nonprobabilitas merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian

rupa dari populasi sehingga setiap anggota tidak memiliki probabilitas atau

peluang yang sama untuk dijadikan sampel

2. Metode Sampling

Sebelum melakukan penelitian, diperlukan sampilng agar penelitian dapat

berjalan dengan lancar dan cepat. Untuk mendapatkan sampel yang diambil dari

populasi banyak sekali peluang terjadinya kombinasi-kombinasi sampel yang akan

diteliti. Maka para peneliti perlu tahu berapa banyak sampel yang mungkin diambil

dari populasi tersebut.

Prosedur sampling berfokus pada pengumpulan sebagian kecil anggota

(sampel) dari populasi yang lebih besar. Dimana sampel tersebut kemudian digunakan

untuk memperkirakan karakteristik dari seluruh populasi.

Teknik Sampling Dengan Pengembalian adalah metode sampling dimana

setiap anggota dari suatu populasi dapat dipilih lebih dari satu kali. Sampling Tanpa

Pengembalian adalah metode sampling dimana setiap anggota dari suatu populasi

tidak dapat dipilih lebih dari satu kali.

2

3. Distribusi Sampling

Distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel adalah suatu distribusi

probabilitas yang terdiri dari seluruh kemungkinan rata-rata hitung sampel dari suatu

ukuran sampel tertentu yang dipilih dari populasi, dan probabilitas terjadinya

dihubungkan dengan setiap rata-rata hitung sampel. (Suharyadi)

Sedangkan menurut Sudjana, Distribusi Sampling merupakan kumpulan nilai-

nilai statistika yang sejenis lalu disusun dalam suatu daftar sehingga terdapat hubungan

antara nilai statistik dan frekuensi statistika. (Sudjana, 2001 :87)

Distribusi Sampling terdiri dari:

Distribusi Sampling Rata-rata

Distribusi Sampling Proporsi

Distribusi Sampling Selisih Rata-rata

Distribusi Sampling Selisih Proporsi

DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA

Sudjana (2001 : 87) mendefenisikan Distribusi sampling rata-rata adalah

kumpulan dari bilangan-bilangan yang masing-masing merupakan rata-rata hitung

dari samplenya.

Notasi Dalam Distribusi Sampling Rata-rata:

n : ukuran sampel N : ukuran populasi

x : rata-rata sampel µ : rata-rata populasi

s : standar deviasi sampling : standar deviasi populasi

x : rata-rata pada distribusi sampling rata-rata x : standar deviasi pada distribusi sampling rata-rata

3

Ket: √ disebut dengan faktor koreksi

Contoh Soal

ABC Company memproduksi ‘Remote Control’ dengan menggunakan dua baterai.

Rata-rata umur baterai yang digunakan di produk ini adalah 35 jam. Distribusi umur baterai

mendekati distribusi probabilitas normal dengan standar deviasi 5,5 jam. Sebagai bagian dari

program pengujian, diambil sampel sebanyak 25 baterai. Hitunglah probabilitas umur baterai

lebih dari 36 jam?

Penyelesaian

Dik: = µ = 35

= 5,5

n = 25

Dit: P( >36)?

Jawab: = √ =

√ = 1,1

a. z = =

= 0,91

x

x

x

xx

x

Rumus Distribusi Sampling Rata-rata:

Populasi tidak terbatas ≤ 5% Populasi terbatas > 5%

Rata-rata x = µ x = µ

Standar Deviasi x √ x √ . √

Nilai Baku z =

x x

x z = x

x x

4

b.

0 z

Lihat tabel z:

luas sebelah kanan 0 = 0,5000

luas antara 0 - z = 0,3186 -

luas sebelah kanan z = 0,1814

Kesimpulan : Jadi, dari 25 baterai yang dipilih, probabilita umur baterai lebih dari

36 jam adalah sebesar 0,1814 atau 18,14%.

DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI

Menurut Sudjana (2001 : 95), distribusi sampling proporsi adalah kumpulan

atau distribusi semua perbandingan samplenya untuk suatu peristiwa.

Notasi Dalam Distribusi Sampling Proporsi:

` : rata-rata pada distribusi sampling proporsi

: standar deviasi pada distribusi sampling proporsi

Jika nilai π dari populasi tidak diketahui, dalam hal ini π dianggap sama dengan 0,5 yaitu

nilai π(1-π) yang maksimum.

Rumus Distribusi Sampling Proporsi

Populasi tidak terbatas

( ≤ 5%)

Populasi terbatas

( 5%)

Rata-rata = π = π

Standar Deviasi = √ = √ . √

Nilai Baku z =

z =

5

CONTOH SOAL

Sebuah Bakery Store “BT” menemukan bahwa pembelian dilakukan oleh 20% dari

pelanggan yang memasuki tokonya. Suatu pagi terdapat sampel acak sebanyak 180 orang

memasuki toko. Berapa probabilita pelanggan yang membeli kurang dari 15%?

Penyelesaian:

Dik: n = 180

π(membeli)= 20% = 0,20

Dit: a. P ( < 15%)?

Jwb: = π = 0,20

= √ = √ = 0,029814239

a. z =

=

= -1,68

z 0

lihat tabel z:

luas sebelah kiri 0 = 0,5000

luas antara z-0 = 0,4535-

luas sebelah kiri z = 0,0465

Kesimpulan:

Jadi, probabilita bahwa diantara 180 orang yang masuk ke toko, pelanggan

yang membeli kurang dari 15% adalah sebesar 0,0465 atau 4,65%

6

SOAL DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI

1. 250 peserta dijadikan sebagai sampel dalam lomba karya tulis ilmiah. Ternyata terdapat

beberapa karya tulis ilmiah yang merupakan tindakan plagiarism yang dilakukan oleh para

peserta di lomba tersebut. Jika pada kenyataannya, 30% dari hasil karya tulis tersebut

merupakan hasil plagiarism, berapakah probabilita bahwa akan terdapat antara 25% dan

35% dari karya tulis tersebut benar-benar hasil plagiarism?

Penyelesaian

Diketahui : n = 250

π(plagiarism)= 30% = 0,30

Ditanyakan : P ( 25% < < 35%)?

Jawaban : = π = 0,30

= √ = √ = 0,028982753

=

=

= -1,73

=

=

= 1,73

Lihat tabel z:

luas antara -0 = 0,4582

luas antara 0- = 0,4582 + 0

luas antara = 0,9164

Kesimpulan : Jadi, probabilita bahwa akan terdapat antara 25% dan 35% dari hasil

karya tulis tersebut benar-benar plagiarism adalah sebesar 0,9164 atau 91,64%

2. Sebuah perusahaan telekomunikasi memiliki 100 anak perusahaan. Berdasarkan hasil

observasi terhadap anak perusahaan ternyata mempunyai rata-rata pendapatan sebesar Rp.

150.000.000 per bulan dengan varians Rp. 400.000.000.000.000. Jika diambil sampel

random sebanyak 9 anak perusahaan. Berapa probabilita pendapatan per bulan anak

perusahaan maksimal Rp168.000.000?

7

Penyelesaian

Dik: = µ = 150.000.000

= √ = 20.000.000

n = 9

Dit: P( ≤ 168.000.000)?

Jawab: = √ =

√ = 6666666.66666667

a. z = =

= 2,7

b.

0 z

Lihat tabel z:


luas antara 0 - z = 0,4965 +


Kesimpulan : Jadi, probabilita pendapatan per bulan anak perusahaan maksimal

Rp168.000.000 ialah sebesar 0,9965 atau 99,65%

3. The mean age at which women in the United Kingdom marry for the first time is 24,8

years. For a random sample of 60 women, answer the following question.

a. Assume that the population is 460 women and the standard deviation of the sample is

2,8 years, what is the probability that the age which they were married for the first

time is less than 25,1 years ?

b. If the probability that the age which they were married for the first time is less than

25,1 years is 82,38%, what is the standard deviation of the sample ?

x

x

x

xx

x

8

Solution

A. Given : x = µ = 24,8 n = 60 N = 460 s = 2,8

Determine : P( < 25,1) ?

Answer : x √ . √ = √ . √ = 0,387220866

z = x

x x

= 0,774751637 / 0,77

lihat tabel z:

luas sebelah kiri 0= 0,5000

luas antara 0 – z = 0,2794 +

luas sebelah kiri z= 0,7794

0 z

Jadi probabilita bahwa wanita di UK menikah pertama kali pada umur kurang dari 25,1 tahun

dengan standar deviasi 2,8 dan populasi 460 wanita adalah sebesar 77,94%

B. Given : x = µ = 23,5 n = 50 P( > 25) = 1,7%

Determine : S = ?

Answer :

lihat tabel z:

luas sebelah kanan 0= 0,5000

luas antara 0 – z = 0,3238 +

0 Z luas sebelah kanan z= 0,8238

z = x x x

= 0,9295160031 / 0,93

x √ = √ =

s=2,5

So, If the probability that the sample mean is less than $25,10 is 82,38% , the standard

deviation of the sample is $2,50.

4. Glassware Company has just received 5000 cristal bottles. Before accepting the bottles,

the headoffice insists that 9 of the cristal bottles be randomly selected for testing. He

x

x

9

intends to measure the maximum capabilty of each bottle and reject the shipment if the

mean capability for the sample is greater than the 300 newton listed on the product label.

Unknown the manager, the bottles on the truck require an average of 295 newton, with a

standard deviation of 12 newton. Stating any additional assumptions you are using, find

the probability that the cristal bottles will be rejected.

Penyelesaian

Dik: N = 5000

µ = 295

n = 9

= 12

if the mean capability for the sample is greater than the 300 the cristal bottles

will be rejected

Dit: The probability that the cristal bottles will be rejected,

P( > 300)?

Jwb: = = 0,0018 < 5% (tidak menggunakan faktor koreksi)

x = µ = 295

x √ =

√ = 4

z = x x x =

= 1,25

lihat tabel z:


luas antara 0 - z = 0,3944 -


0 z

Conclusion: so, the probability that the cristal bottles will be rejected is 0,1056 or

10,56%

5. Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran menerima mahasiswa baru pada tahun 2011

sebanyak 528 orang dan 211 orang diantaranya telah membawa netbook pribadi ke

kampus. Sebanyak 120 mahasiswa baru diambil sebagai sampel acak. Hitunglah:

a. Standar deviasi?

x

10

b. probabilita mahasiswa yang membawa netbook antara 50% dan 60%?

Penyelesaian

Dik: N= 528

x = 211

n = 120

Dit: a. ? b. P (50% < < 60%)?

Jwb: π = = 0,3996

= = 0,227 > 5% (gunakan faktor koreksi)

= √ √ = √ . √ = 0,039342978 = π = = 0,3996

=

=

= 2,55

=

=

= 5,09

0

Lihat tabel z:

luas antara 0- = 0,5000

luas antara 0- = 0,4946-

luas antara - = 0,0054

Kesimpulan: probabilita mahasiswa yang membawa netbook antara 50% dan 60%

adalah sebesar 0,0054 atau 0,54%

6. Of the 629 passenger vehicles imported by a South American Country in a recent year

117 were Volvos. A simple random sample of 300 passenger vehicles imported during that

year is taken with a standar deviation 40. What is the probability that at least 15% of

vehicles in this sample will be Volvo?

11

Solution

Given : N = 629

x = 117

n = 300

7. Tentukanlah probabilita bahwa diantara 200 anak yang akan lahir, terdapat:

a. Kurang dari 40% adalah bayi laki-laki?

b. Lebih dari 54% adalah bayi laki-laki?

Asumsi : probabilita kelahiran untuk bayi laki-laki dan perempuan setara

Penyelesaian

Dik: n = 200

π(lahir bayi laki-laki)= 50% = 0,50

Dit: a. P ( < 40%)?

b. P ( > 54%)?

Jwb: = π = 0,50

= √ = √ = 0,035355339

a. z =

=

= -2,83

lihat tabel z:

luas sebelah kiri 0 = 0,5000

luas antara z-0 = 0,4977-

luas sebelah kiri z = 0,0023

z 0

Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa diantara 200 anak yang lahir, kurang dari 40 % adalah

bayi laki-laki adalah sebesar 0,0023 atau 0,23%

b. z =

=

= 1,13

12

0 z

lihat tabel z:


luas antara 0-z = 0,3708-


Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa diantara 200 anak yang lahir, lebih dari 54 %

adalah bayi laki-laki adalah sebesar 0,1292 atau 12,92%

13

DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI

Statistik merupakan salah satu hal terpenting dalam proses pengambilan keputusan

pada bidang ekonomi, bisnis maupun ilmu pengetahuan. Statistik mengacu pada estimasi dan

uji hipotesis. Agar estimasi atau uji hipotesis mendekati kondisi sebenarnya pada populasi

maka perlu diambil sampel-sampel yang dapat mewakili populasi. Hal ini dapat dilakukan

dengan cara random sampling, dimana setiap elemen dari populasi memiliki peluang yang

sama untuk terpilih menjadi sampel. Dari pengambilan sampel ini kita dapat mempelajari

karakteristik populasi berdasarkan sampel yang diambil dari populasi itu. Berdasarkan sifat-

sifat sampel yang diambil dari sebuah populasi, statistika akan membuat kesimpulan umum

yang diharapkan berlaku untuk populasi itu.

Jika nilai-nilai statistik yang sejenis dikumpulkan, lalu disusun dalam suatu daftar

sehingga terdapat hubungan antarnilai statistik dan frekuensi statistik yang didapat, maka

diperoleh kumpulan statistik yang disebut distribusi sampling (Sudjana, 2004: 87).

1. Distribusi Sampling Selisih Rata-Rata

Distribusi sampling selisih rata-rata adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi

dari selisih rata-rata dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua sampel tertentu dari

ukuran parameter dua populasinya.

Untuk ukuran sampel n1 dan n2 yang cukup besar (n1, n2 > 30), maka distribusi

sampling selisih rata-rata sangat mendekati distribusi normal, untuk mengubahnya ke dalam

bentuk normal standar maka diperlukan rumus :

Dimana :

a. Rata-rata ( Means )

b. Simpangan baku ( standard deviation )

√

Jika dan tidak diketahui, maka dapat menggunakan standar deviasi dari sampel.

14

Contoh soal :

Pegawai perusahaan Global Network Inspectionpada Divisi Inspeksi Pembongkaran

mempunyai gaji rata-rata sebesar $4300/bulan, sedangkan Divisi Inspeksi Pengangkutan

mempunyai gaji $3750/bulan. Setelah dihitung, diperoleh rata-rata hitung dari deviasi kuadrat

setiap gaji terhadap gaji rata-rata Divisi Inspeksi Pembongkaran $52.000, sedangkan Divisi

Inspeksi Pengangkutan sebesar $19.500. Bila diasumsikan diambil sampel random pada

Divisi Inspeksi Pembongkaran sebanyak 90 orang dan Divisi Inspeksi Pengangkutan75,

berapakah probalilita selisih rata-rata gaji dari dua sampel lebih besar dari $ 500 ?

Jawab :

Dik :

Divisi Inspeksi Pembongkaran : μ1 = $ 4300 = $ 52.000 n1 = 90

Divisi Inspeksi Pengangkutan : μ2= $ 3750 = $ 37.000 n2 = 75

Dit : 5 ?

Jawab : 4300 – 3750= 550

√ √5 5 5 55 5 5

Z 0

Luas kanan 0 = 0,5000

Luas 0 - Z = 0,4370 –

Luas Kanan Z = 0,9370

Jadi, probabilita selisih rata-rata gaji dari dua sampel lebih besar dari $ 500

adalah 0,9370 atau 93,70 %.

15

2. Distribusi Sampling Selisih Proporsi

Distribusi sampling selisih proporsi adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi

dari selisih proporsi dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua sampel tertentu dari

ukuran parameter dua populasinya, adapun rumus distribusi sampling selisih proporsi

dinyatakan dalam :

a. Rata-rata proporsi

b. Simpangan baku proporsi

√

Distribusi sampling selisih proporsi inipun akan mendekati distribusi normal bila

ukuran-ukuran sampel cukup besar (n1, n2> 30), maka untuk merubahnya menjadi bentuk

normal standar diperlukan rumus :

岾峇

Jika tidak diketahui dan dianggap sama maka nilai : = p =

sehingga standar baku proporsinya menjadi :

√

Contoh soal :

Alya dan Deasy akan melakukan sebuah pertandingan pelemparan sekeping uang logam,

Deasy akan menang bila memperoleh 8 sisi gambar lebih banyak dari pada Alya, jika

diasumsikan mereka diberi kesempatan masing-masing melempar uang logam sebanyak 40

kali, berapa peluang Deasy memenangkan pertandingan ini ? Berilah saran apakah Deasy

akan ikut dalam pertandingan atau tidak, jika harapan kemenangannya harus sebesar 15%

atau lebih?

16

Jawab :

Dik : π1 =π2 = 50%

n1=n2 = 40

Dit : a. 岾 5 %峇

Jwb : a. = ( 0,5 – 0,5 ) = 0

√

√

岾峇 5

0 Z


Luas 0- Z = 0,3665 –


Jadi, peluang Deasy memenangkan pertandingan ini adalah 0,1335 atau

13,35%. Karena peluang Deasy menang kurang dari harapan menangnya

(13,35% <15%), maka Deasy disarankan tidak mengikuti pertandingan ini.

17

Jadi, peluang bahwa rata-rata ekspor dan impor Taufik Plastics Co. berbeda kurang dari 21.740 MT per tahun adalah sebesar 0,9382 atau 93,82%.

SOAL DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI

1. Taufik Plastics Co. adalah perusahaan yang memproduksi produk olahan plastik. Setiap

tahunnya, perusahaan ini melakukan kegiatan ekspor-impor. Seorang analis meneliti

kegiatan ekspor-impor perusahaan ini dengan mengambil sampel sebanyak 60 jenis

produk yang diekspor dan 35 jenis produk yang diimpor. Selama beberapa tahun

terakhir, rata-rata ekspor yang dilakukan adalah sebanyak 43.500 Metric Ton (MT) per

tahun, dengan deviasi kuadrat sebesar 4700 MT per tahun. Sedangkan rata-rata impor

yang dilakukan adalah 21.800 MT per tahun dengan standar deviasi 130 MT per tahun.

Berapakah peluang bahwa rata-rata ekspor dan impor berbeda kurang dari 21.740 MT

per tahun ?

Jawab :

Dik :

Ekspor : μ1 = 43.500 MT = 11.400 MT n1 = 60

Impor : μ2= 21.800 MT = 130 MT MTn2 = 35

Dit : ?

Jwb : 43.500 – 21.800= 21.700

√ √ 5

5

0 Z

Luas kiri 0 = 0,5000

Luas 0- Z = 0,4382 +


18

Jadi, peluang banyaknya penumpang “Devaney Air” berbeda antara 300 sampai 500 orang dengan “Pickerill Air” setiap bulannya adalah 0,5521 atau 55,21%.

2. Beberapa bulan lalu, di Lombok telah dibuka tempat rekreasi fantasi bernama

Statfantastic Land. Maskapai penerbangan keberangkatan Bandung, “Devaney Air” dan

“Pickerill Air”– keberangkatan Jakarta, mempunyai rute penerbangan ke Lombok dan

pimpinan kedua maskapai ini mempunyai data olahan jumlah penumpang ke Lombok

selama tahun 2012. Rata-rata penumpang “Pickerill Air” dan “Devaney Air” adalah 2880

dan 3370 orang per bulan. Sedangkan standar deviasi penumpang “Devaney Air” dan

“Pickerill Air” yaitu 501 dan 510 penumpang per bulan. Untuk merencanakan strategi

persaingannya, perusahaan mengambil sampel wisatawan yang datang ke Lombok dari

kota Bandung sebanyak 100 orang dan wisatawan asal Jakarta sebanyak 105 orang.

Hitunglah peluang bahwa banyaknya penumpang “Devaney Air” berbeda antara 300

sampai 500 orang dengan “Pickerill Air” setiap bulannya !

Jawab :

Dik :

“Devaney Air” : μ1 = 3370 Penumpang = 501 Penumpang n1 = 100

“Pickerill Air” : μ2= 2880 Penumpang = 510 Penumpang n2 = 105

Dit : 5 ?

Jawab : 3370 - 2880= 490

√ √5 5 5

5

Z1 0 Z2

Luas Z1 - 0 = 0,4964

Luas 0 – Z2 = 0,0557 +

Luas Z1 – Z2 = 0,5521

19

3. Karina’s Chocolate Factory mempekerjakan 1200 pegawai yang terdiri dari 75%

pegawai pria dan sisanya pegawai wanita. Berdasarkan catatan bagian personalia, rata-

rata waktu terlambat masuk kerja pegawai pria adalah 34 menit dan simpangan baku 8,7

menit. Sedangkan rata-rata waktu terlambat masuk kerja pegawai wanita adalah 26 menit

dengan simpangan baku 11 menit. Suatu ketika, Karina sebagai pimpinan perusahaan

melakukan sidak, dengan mengambil secara acak 40% pegawai pria dan 50% pegawai

wanita. Tentukanlah probabilita jika :

(a) Waktu terlambat pegawai pria berbeda paling sedikit 10 menit dari pegawai wanita

(b) Waktu terlambat pegawai pria berbeda kurang dari 7 menitdari pegawai wanita

(c) Waktu terlambat pegawai pria berbedaantara 5 hingga 11 menit dari pegawai wanita

Jawab :

Dik : N = 1200

N1 = 75%N = 900 n1 = 40%N1 = 360 μ1 = 34

N2 = 25%N = 300 n2 = 50%N2 = 150 μ2= 26

Dit : a. b. c. 5

Jawab : a. 34 – 26= 8

√ √ 5

0 Z


Luas 0- Z = 0,4761 –


Jadi, probabilita waktu terlambat pegawai pria berbeda paling sedikit 10

menit dari pegawai wanita adalah sebesar 0,0239 atau 2,39%.

20

Jadi, probabilita waktu terlambat pegawai pria berbedaantara 5 hingga 11

menit dari pegawai wanita adalah sebesar 0,9970 atau 99,70%.

b. 34 – 26= 8

√ √ 5

Z 0

c. 34 – 26= 8

√ √ 5

5

Z1 0 Z2

Luas Kiri 0 = 0,5000

Luas Z - 0 = 0,3389 –


Luas Z1 - 0 = 0,4985

Luas 0 – Z2 = 0,4985 –

Luas Z1 - Z2 = 0,9970

Jadi, probabilita waktu terlambat pegawai pria berbeda kurang dari 7 menit

dari pegawai wanita adalah sebesar 0,1611 atau 16,11%.

21

4. Brightman Co. and Fulton Co.,enganging in property business in Jakarta.These two

companies have been finished their expansion inBandung. Around this year,

Brightman’s real estate collected USD 67.930 monthly average collection for their

customers with standard error of USD 103. Fulton’s Apartment reached USD 85.140

monthly average collection with USD 146 standard error. If we take 35 real estate’s

customers and 40 apartement’s customer, find out :

a. The difference of monthly average collection of Fulton’s and Brightman’s samples, if

we need to know its value in our currency

b. The likelihood that the monthly average collection of Fulton Co. will be differ at least

Rp 171.095.620over Brightman Co.

(Assume the spot exchange rate is Rp 9959/USD)

Jawab :

Dik : n1 = 40 μ1 =USD 85.140

n2 = 35 μ1 = USD 67.930

Dit : a. in Rupiah b. 5

Jawab : a. USD 85.140 – USD 67.930 = USD 17.210

Convert USD to Rupiah = USD 17.210 x Rp 9959 / USD

= Rp 171.394.390

b. 5 Covert Rupiah to USD = Rp 171.095.620 / Rp 9959 / USD

= USD 17.180 5 √ √ 5

So, the difference of monthly average collection of Fulton’s and

Brightman’s samples is USD 17.210, and its value in our currency is

Rp 171.394.390, if we assume that the spot exchange rate is Rp 9959/USD.

22

So, the likelihood that the monthly average collection of Fulton Co. will be

differ at least Rp 171.095.620 over Brightman Co. is 0,8508 or 85,08%.

Z 0

5. Apple dan Samsung berlomba-lomba mengeluarkan produk yang inovatif. Di dunia,

Apple telah menguasai pangsa pasar sebanyak 63% dan sisanya dikuasai Samsung.

Jika diambil sampel pangsa pasar dari 50 negara untuk memastikan pangsa pasar

Samsung yang lebih akurat, dan 60 negara untuk memastikan pangsa pasar Apple,

hitunglah peluang bahwa pangsa pasar Apple dan Samsung akan berbeda 10%

sampai 19% !

Jawab :

Dik :π1 = 63% π2 = 37%

n1 = 60 n2 = 50

Dit : 岾 % %峇

Jawab : = ( 0,63 – 0,37 ) = 0,26

√ √ 5

0,09244998648

岾峇


Luas Z - 0 = 0,3508 –

Luas Z1 - Z2 = 0,8508

23

( )

Z1 Z2 0

6. Pengamatan yang dilakukan selama setahun terakhir menunjukkan bahwa investor

yang memegang saham sektor properti memiliki probabilita kenaikan harga saham

sebesar 88%. Sedangkan investor lain yang memegang saham sektor barang

konsumsi memilik peluang kenaikan harga saham sebesar 44%. Apabila investor

memiliki 500 lot saham sektor properti dan 450 lot saham sektor barang konsumsi,

berapa peluang beda persentase harga saham sektor properti meningkat 50% lebih

kecil dibandingkan dengan kenaikan harga saham sektor barang konsumsi ?

Jawab :

Dik :π1 = 88% π2 = 44%

n1 = 500 n2 = 450

Dit : 岾 5 %峇

Jawab : = ( 0,88 – 0,44 ) = 0,44

√

√ 5 5

Luas Z1 - 0 = 0,4582

Luas Z2 - 0 = 0,2764 –

Luas Z1 – Z2 = 0,1818

Jadi, peluang bahwa pangsa pasar Apple dan Samsung akan berbeda 10%

sampai 19% adalah sebesar 0,1818 atau 18,18%.

24

岾峇 5 5 55

0 Z

7. PT Goodfood ingin melihat kinerja produksi karyawan lama dan karyawan barunya.

Dalam memproduksi 50 biskuit cokelat, Taufik sebagai karyawan baru,

menghasilkan 70% produk yang cetakannya sempurna, dan dalam memproduksi 100

biskuit keju, Rudolf menghasilkan 15% biskuit yang ukurannya tidak sesuai.

Hitunglah probabilitas :

a. Biskuit gagal yang dibuat oleh Taufik lebih banyak 10% daripada Rudolf

b. Biscuit gagal produksi kedua karyawan tersebut berbeda antara 5% sampai 15% ?

Jawab :

Dik : π1 = 30% π2 = 15%

n1 = 50 n2 = 100

Dit : a. 岾 %峇

b. 岾5% 5%峇

Luas Kiri 0 = 0,5000

Luas 0 – Z1 = 0,4854+

Luas Z1 – Z2 = 0,9854

Jadi, peluang beda persentase harga saham sektor properti meningkat 50%

lebih kecil dibandingkan dengan kenaikan harga saham sektor barang

konsumsi adalah sebesar 0,9854 atau 98,54%.

25

Jawab : a. = ( 0,30 – 0,15 ) = 0,15

√ √ 5 5 5

岾峇 5

0 Z

b. = ( 0,30 – 0,15 ) = 0,15

√ √ 5 5 5

岾峇 5 5 5 岾峇 5 5


Luas 0- Z = 0,2517 –


Jadi, probabilitas biskuit gagal yang dibuat Taufik lebih banyak 10%

daripada Rudolf adalah 0,2483 atau 24,83%.

26

Z1 0=Z2

8. In the competitive area of retail consumer goods, advertising serves to clarify product

distinctiveness and increase market penetration. Before adopting a new advertising

campaign, large-volume vintner conducted a product preference survey among 1000

regular buyers of wine in the supermarket chain that serves his primary channel of

distribution. From that survey, they found that 33% of those contacted were regular

purchasers of his wine. Six months after the institution of a revised advertising

campaign, 1200 buyers were surveyed, with 44% indicating preference for the

vintner’s product. Find the percentage of customer’s preference for the vintner’s

product after advertising campaign less than the percentage of customer’s preference

for the vintner’s product before advertising campaign, if the left area of Z score is

0,9997.

Jawab

Dik : n1 = 1200 n2 = 1000

= 44% = 33% 岾峇 = 0,9997

Dit : X ?

Jawab :

0 Z Z = 3,39

Luas Z1 - 0 = 0,4115

Luas 0 – Z2 = 0,0000 +


Jadi, probabilitas biskuit gagal yang dibuat kedua karyawan tersebut

berbeda 5% sampai 15% adalah 0,4115 atau 41,15%.

Luas Kiri Z = 0,9997

Luas Kiri 0 = 0,5000 +

Luas 0 - Z = 0,4997

27

= 0,44 – 0,33 = 0,11

√ √

岾峇

5

So, the percentage of customer’s preference for the vintner’s product after

advertising campaign less than the percentage of customer’s preference for

the vintner’s product before advertising campaign, if the left area of Z

score is 0,9997, is 0,18 or 18%. [ 岾 %峇]

28

PENAKSIRAN RATA-RATA DAN PROPORSI

1. Pengertian

Penaksiran adalah keseluruhan proses menduga suatu parameter pada populasi yang

tidak diketahui nilainya dengan menggunakan statistik sampel (Statistika Untuk Ekonomi dan

Keuangan Modern, Suharyadi). Pada penaksiran, kita mengambil sample untuk dianalisis

sehingga hasil analisis tersebut dapat digunakan untuk memperkirakan ukuran populasi

( parameter populasi).

2. Jenis Penaksiran Statistik

Ada 2 jenis penaksiran/pendugaan yang dilakukan terhadap populasi, yaitu:

a. Pendugaan Titik (Point Estimation)

Contoh : Dari sample acak rata – rata berat badan mahasiswa FEB Unpad ialah

65kg

b. Pendugaan Interval (Interval Estimation).

Contoh : Dari sample acak rata – rata berat badan mahsiswa FEB unpad ialah 65 ±

1 kg

3. Kriteria Penaksir yang Baik

Statistik sampel yang digunakan untuk menduga parameter populasi harus

memenuhi tiga kriteria berikut, yaitu:

Tidak bias

Statistik sampel yang digunakan sebagai penduga harus sama atau mendekati

parameter populasi yang diduga.

Efisien

Statistik sampel memiliki standar deviasi yang kecil.

Konsisten

Jika ukuran sampel meningkat, maka statistik sampel akan semakin mendekati

parameter populasinya.

29

4. Penaksiran Titik (Point Estimation)

Pada penaksiran titik, kita menggunakan suatu nilai untuk menduga parameter

populasi.

Contoh:

Mahasiswa Berat Badan Alya 65

Taufik 70 Karina 64 Deasy 61

Yessica 60 Untuk menduga rata-rata berat badan Asisten Statistik diambil 5 orang Asisten statistik

sebagai sample 5 5

Maka dugaan untuk rata – rata berat badan asisten statistik adalah 64

5. Penaksiran Interval (Interval Estimation)

Macam-macam penaksiran interval:

1. Penaksiran Rata-rata

Ada 3 rumus pendugaan interval rata-rata µ.

a. √ √

Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi yang tak terbatas

(infinite population) atau dari populasi terbatas (finite population) namun ≤ 0,05.

b. √ √ √ √

Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi terbatas dengan >

0,05.

c. √ √

Rumus ini berlaku bagi sampel kecil (n < 30)

30

Contoh Soal :

Sebanyak 300 perusahaan swasta nasional berdiri di Indonesia, seorang pejabat perbankan

berpendapat bahwa dari 75 perusahaan swasta nasional di Indonesia yang ia selidiki, modal

perusahaan swasta nasional Rp 750 juta. Standar deviasi modal tersebut sebesar Rp 30 juta.

Dengan tingkat keyakinan sebesar 99%, berapakah taksiran rata-rata modal perusahaan

swasta nasional?

Dik: N = 300

n = 75

= 750

s = 30

= 0,25 (menggunakan faktor koreksi)

Zα/2 = Z0,495 = 2,575

Dit: P( √ √ √ √ ) = 0,99

Jawab:

5 5 5 √ 5√ 5 5 5 5 √ 5√ 5

750 – 7,737907277 < µ < 750 + 7,737907277

742,2620927 < µ < 757,737907277

Jadi, dengan tingkat signifikansi 1% rata-rata modal perusahaan swasta nasional berkisar

antara Rp 742,2620927 juta dan Rp 757,737907277 juta.

2. Penaksiran Proporsi

Kata proporsi menunjukkan persentase dari suatu bagian atau unsur dari suatu

bagian. Proporsi menunjukkan jumlah bagian tertentu dari suatu kelompok.

Rumus penaksiran proporsi:

√ √

31

Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi yang tak terbatas

(infinite population) atau dari populasi terbatas (finite population) namun ≤ 0,05.

Jika > 0,05, gunakan faktor koreksi √

√ √ √ √

Jika sampel kecil (n < 30), ganti Zα/2 menjadi tα/2.

√ √

Contoh Soal :

Survei terhadap 25 calon pemilih menunjukkan bahwa 80% akan memilih Bill Clinton.

Buatlah dugaan sebesar 95% confidence level untuk proporsi calon yang akan memilih Bill

Clinton!

Dik: n = 25

tα/2 = t0,025; 24 = 2,0639

= 0,8

Dit: P( √ √ 5

Jawab:

√ 5 √ 5

0,8 – 0,165112 < π < 0,8 + 0,165112

0,634888 < π < 0,965112

Jadi, dengan tingkat signifikansi 5% proporsi calon yang akan memilih Bill Clinton berkisar

antara 63,4888% dan 96,5112%.

32

SOAL PENAKSIRAN RATA-RATA DAN PROPORSI

1. Untuk mengetahui rata – rata IPK mahasiswa Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas

Padjadjaran, tim peneliti memanggil 29 mahasiswa. Ternyata rata – rata IPK dari 29

mahasiswa tersebut ialah 3,40 dengan simpangan baku 1,20. Buatlah pendugaan rata – rata

IPK mahasiswa FEB Unpad yang sebenarnya dengan tingkat keyakinan 90%.

Dik: n = 29

= 3,40 s = 1,20

tα/2 = t0,05; 28 = 1,7011

Dit: P ( √ √ ) = 0,90

Jawab: √ √

3,020936 < µ < 3,779063608

Jadi, dengan tingkat signifikansi 10% rata-rata IPK mahasiswa FEB Unpad ialah antara

3,020936 sampai dengan 3,779060638

2. Lapeto Company want to know how much persentation their employes use bicycle to this

office. Therefore, from 200 employes have been taken for the sample, found 50

employes use bicycle to office. With significant level 5% please make interval estimate

of proportion the employes use bicycle to office.

Dik: n = 200 x = 50 =

= 0,25 Zα/2 = Z0,475 = 1,96

Dit: P( √ √ 5

Jawab:

5 √ 5 5 5 √ 5 5

0,1899875013 < π < 0,3100124987

So with Significant level 5% interval estimate of proportion the employes use bicycle to

office is between 18,99875013% until 31,00124987%

33

3. PT AI Motor sells 700 car every year in 2010. Some of them are export to Japan and

China. From 300 cars have been choosen, there are 120 cars qualified for export to Japan

and China. Please calculate interval estimation car have qualified for export to China and

Japan in 2010 with confidence level 98%.

Dik: N = 700

n = 300

x = 120

= = 0,4

= = 0,4285714286

Dit: P( √ √ √ √

Jawab:

√ √ √ √

0,3503608443 < π < 0,4496391557

So with significant level 2% interval estimation car have qualified for export to China

and Japan in 2010 is between 35,03608443% until 44,96391557%

4. Doll and Wall Company want to make a research about what make people be survive in

their college especially to achieve high GPA. For this research Doll and Wall Company

choose University of Padjadjaran for the area to be researched. Taken 5 students for the

sample there are Andy with GPA 3.63, Dedy 3.70, Any 3.90, Rudi 3.87, Riri 3.70 with

standart deviation 0,2. The first step, Doll and Wall Company want to make an estimate

of the average student’s GPA. From the sample above, please help Doll and Wall

Company to make an estimate average of GPA of students in University of Padjadjaran

with significant level 10%.

Given: n = 5

= 3,76

s = 1,2

tα/2 = t0,025; 4 = 2,1318

Asked: P ( √ √ ) = 0,95

34

Answer: √5 √5

3,569326011 < µ < 3,950673989

So, with the significance level of 10% the estimate average of GPA of students in

University of Padjadjaran between 3,569326011 until 3,950673989

5. PT Lima setiap harinya memproduksi 500 sepatu. Sepatu - sepatu tersebut dijual dengan

harga yang berbeda – beda, untuk mengetahui pendugaan interval rata – rata harga sepatu

tersebut, diambil 200 sepatu sebagai sample untuk mengatahui rata – rata harga sepatu

tersebut. Ternyata , dari 200 sepatu tersebut diperoleh rata – rata harga sepatu tersebut

ialah Rp 45.000 dengan standar deviasi Rp 5000. Dari data diatas, hitunglah taksiran

interval rata – rata harga sepatu yang diproduksi oleh PT Lima Persada dengan tingkat

signifikansi 1%.

Jawab: N = 500

n = 200

= 45.000

s = 5000

= = 0,4 (menggunakan faktor

koreksi)

Zα/2 = Z0,495 = 2,575

Dit: P( √ √ √ √ ) = 0,99

Jawab:

5 5 5 5 √ √5 5 5 5 5 5 √ √5 5

44294,10095 < µ < 45705,89905

Jadi taksiran interval rata – rata harga sepatu yang diproduksi oleh PT Lima Persada

dengan tingkat signifikansi 1% ialah antara Rp 44.294,10095 sampai Rp 45.705,89905

6. 20 mahasiswa akan dikirim ke Amerika untuk menjadi delegasi Indonesia pada

Konfrensi perdamaian dunia. Salah satu syarat untuk menjadi delegasi tersebut ialah

harus memiliki TOEFL lebih dari 500. Haxe sebagai salah satu dari 20 mahasiswa

tersebut ingin mengetahui taksiran rata – rata TOEFL dari 20 mahasiswa tersebut.Oleh

karena itu, ia menanyakan kepada 10 temannya mengenai score TOEFL mereka masing-

35

masing. Diperoleh rata – rata TOEFL Haxe dan 10 temannya tersebut ialah 550 dengan

standar deviasi 10. Dengan tingkat keyakinan sebesar 99%, berapakah rata – rata taksiran

score TOEFL mahasiswa – mahasiswa tersebut?

Dik: N = 20

n = 11

= 550

s = 10

=

(menggunakan faktor koreksi)

tα/2 = t0,005; 10 = 3,1693

Dit: P( √ √ √ √ ) = 0,99

Jawab:

55 √ √ 55 √ √

543,423248 < µ < 556,576752

Jadi, Dengan tingkat signifikansi sebesar 1%, rata – rata taksiran score TOEFL mahasiswa –

mahasiswa tersebut ialah antara 543,423248 sampai 556,576752

7. Pada pemilihan calon presiden BEM FEB Unpad, dilakukan survey terhadap 100 orang

pemilih mengenai bagaimana pilihan mereka terhadap calon presiden BEM, dari survey

tersebut menunjukkan ternyata 60% menyatakan akan memilih nomor urut 1 sedangkan

40% lainnya akan memilih nomor urut 2. Dengan tingkat dugaan 90% buatlah dugaan

interval proporsi para pemilih akan memilih no urut 2.

Dik: n = 100 Zα/2 = Z0,45 = 1,645 = 0,4

Dit: P( √ √ )= 0,90

Jawab:

5√ 5√

0,3194117874 < π < 0,4805882125

Jadi, dengan tingkat signifikansi 10% dugaan interval proporsi para pemilih akan

memilih no urut 2. Adalah antara 31,94117874% sampai dengan 48,05882125%

36

PENAKSIRAN SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI

Penaksiran Selisih Rata-Rata

Apabila kita hedak menaksir perbedaan rata-rata )( 21 pada dua populasi, maka kita bisa

menaksir rata-rata populasi tersebut dengan menggunakan statistik sampel rata-rata )( 21 xx . Jika sampel yang diambil dari populasi ke satu berukuran n1 dan simpangan baku s1 dengan

rata-rata 1x dan sample yang diambil dari populasi ke dua berukuran n2 dan simpangan

baku s2 dengan rata-rata 2x , maka titik taksiran selisih rata-rata populasi )( 21 adalah

)( 21 xx .

1. Untuk sample besar )30&30( 21 nn

2. Untuk sample kecil )30&30( 21 nn

Catatan :

Digunakan bila dan tidak diketahui nilainya

Digunakan bila dan tidak diketahui nilainya dan diketahui

Digunakan bila dan tidak diketahui nilainya dan diketahui

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 )()(

nnZxx

nnZxx

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 )()(

n

s

n

sZxx

n

s

n

sZxx

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 )()(

nntxx

nntxx

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 )()(

n

s

n

stxx

n

s

n

stxx *)*2; 21 nndf

)11

(2

)1()1()()

11(

2

)1()1()(

2121

222

211

22121

2121

222

211

221

nnnn

snsntxx

nnnn

snsntxx

**)*

*)

*)

*)*

**)*

37

Contoh Soal

Sekelompok kolektor barang-barang unik melakukan penelitian terhadap umur 2 buah

kamera dari merk yang berbeda. Merk A memiliki rata-rata umur 4.500 jam dengan

simpangan baku 300 jam, sedangkan Merk B memiliki rata-rata umur 3.800 jam dengan

simpakan baku 200 jam. Apabila diambil sampel acak sebanyak 150 unit, berapakah selisih

rata-rata umur kedua merk tersebut dengan CI 5%?

Penyelesaian

Dik : = 150 = 4500 = 90.000 = 150 = 3800 = 40.000

Dan untuk tingkat signifikansi 95%, maka: 5 5 ⇒ ⁄ Maka selisih rata-ratanya:

(4500– 3800) – 1.96 √ < µx - µy < (4500– 3800) +1.96 √

700 – 57.70083766 < µx - µy < 700 + 57.70083766

642.2991623 < µx - µy < 757.7008377

maka selisih rata-rata daya tahan kedua barang tersebut dengan tingkat kepercayaan 95%

adalah 642.299 jam sampai dengan 757.7 jam.

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 )()(

nnZxx

nnZxx

38

(Komputer dengan software minitab)

Langkah-langkahnya :

1. Pilih menu Stat, kemudian basic statistik, kemudian 2 sample t

2. Pilih summarized data, masukkan jumlah sample, mean, standar deviasi masing-masing

data kedalam kolom first dan second. Sesuaikan dengan soal.

3. Klik options dan masukkan confidence level 95,0

4. Terakhir klik OK

Output:

Two-Sample T-Test and CI

SE

Sample N Mean StDev Mean

1 150 4500 300 24

2 150 3800 200 16

Difference = mu (1) - mu (2)

Estimate for difference: 700.000

95% CI for difference: (642.029, 757.971)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 23.78 P-Value = 0.000 DF = 259

Penaksiran Selisih Proporsi

Begitu juga dengan taksiran selisih proporsi )( 21 . Jika sample yang diambil dari

populasi ke satu berukuran n1 dan terdapat kejadian dari n1 sampel atau percobaan dan

sample yang diambil dari populasi ke dua berukuran n2 dan terdapat kejadian dari n2

39

sampel atau percobaan, maka titik taksiran selisih proporsi populasi )( 21 adalah

)( 21 pp dimana 1

11 n

xp dan

2

22 n

xp

1. Untuk sample besar )30&30( 21 nn

2. Untuk sample kecil )30&30( 21 nn

Catatan :

1.Bila x1, x2, n1 & n2 masing-masing dinyatakan dengan bilangan bulat positif, persoalan

penaksiran tersebut dapat diselesaikan atau dipecahkan dengan menggunakan rumus *)

atau **).

2.Akan tetapi bila x1/n1, x2/n2 masing-masing dinyatakan dengan bilangan dalam bentuk

rasio atau persen maka hanya digunakan rumus *).

)11

)(1()()11

)(1()(21

22

2

1

121

212

2

2

1

1

nnZ

n

x

n

x

nnZ

n

x

n

x

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

121

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1(

)(

)1()1(

)(n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

*)*

*)

2; 21 nndf

)11

)(1()()11

)(1()(21

22

2

1

121

212

2

2

1

1

nnt

n

x

n

x

nnt

n

x

n

x

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

121

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1(

)(

)1()1(

)(n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

tn

x

n

x

n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

tn

x

n

x

*)*

*)

40

Contoh Soal :

Perusahaan elektronik AH mengambil sampel random produk radio sebanyak 200 buah

dan 20 diantaranya adalah cacat. Sampel yang lain dari perusahaan EC yang juga

mengambil random produk radio sebanyak 250 radio dan 25 diantaranya cacat. Dengan

mengetahui bahwa kualitas produksi radio kedua perusahaan ialah sama, berapa beda 2

proporsi kerusakan produk dengan CL 95%?

Penyelesaian

(manual)

Dik :

= 20 C.l = 95 % 5 = 25 ⁄ = 1.96

Solusi:

岾峇 - 1.96 √岾峇 < π1 – π2 < 岾峇 + 1.96 √岾峇

0.1 – 0.0867729 < π1 – π2 < 0.1 + 0.0867729

0.013223 < π1 – π2 < 0.1867729

Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, rentang taksiran selisih proporsi kerusakan

antara dua produk makanan tersebut adalah sebesar 1.32% sampai dengan 18.68 %.

(Komputer dengan software minitab)

Langkah-langkahnya :

1. Pilih menu Stat, kemudian basic statistik, kemudian 2 proportions

2. Pilih summarized data, masukkan jumlah trials dan events masing-masing data ke

dalam kolom first dan second. Sesuaikan dengan soal..

3. Klik options dan masukkan confidence level 95,0

4. Terakhir klik OK

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

121

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1(

)(

)1()1(

)(n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

41

Output:

Test and CI for Two Proportions

Sample X N Sample p

1 20 100 0.200000

2 25 250 0.100000

Difference = p (1) - p (2)



Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = 2.26 P-Value = 0.024

42

SOAL PENAKSIRAN SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI

1. Selama 15 tahun terakhir rata-rata curah hujan di suatu daerah selama bulan Mei adalah

4,93 cm dengan standar deviasi 1,14 cm. Di daerah lain, catatan serupa selama 10 tahun

terakhir menunjukkan bahwa rata-rata curah hujan selama bulan Mei adalah 2,64 cm

dengan standar deviasi 0,66 cm. Tentukan CL 95% bagi beda rata-rata curah hujan

selama bulan Mei di kedua daerah tersebut!

(Asumsi : pengamatan berasal dari dua populasi normal dengan ragam yang berbeda)

Penyelesaian

Diket : x1 = 4,93 s1 = 1,14 n1 = 15

X2 = 2,64 s2 = 0,66 n2 = 10

Jawab :

Kesimpulan : Jadi selisih rata-rata curah hujan yang sebenarnya selama bulan Mei

di kedua daerah tersebut berada dalam selang 1,54 cm sampai 3,04 cm

2. Untuk mengetahui apakah ada perbedaan rata-rata gaji bulanan bagi para karyawan dari 2

perusahaan yaitu perusahaan A dan B, maka dilakukan wawancara terhadap 9 orang

karyawan yang dipilih secara acak sebagai sampel masing-masing perusahaan. Hasilnya

sebagai berikut :

Karyawan 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Gaji/bln A 40 46 50 36 38 34 42 44 30

(Rp 10.000) B 30 24 16 25 35 40 46 38 34

43

Tentukan penaksiran interval dari selisih rata-rata gaji tersebut:

Penyelesaian

Jadi dengan CL 95%, interval rata-rata gaji/bulan karyawan perusahaan A dan B antara

Rp 12.380,00 sampai dengan Rp 158.800,00

3. Where people turn for news is different for various age groups suppose that a study

conducted on this issue was based on 200 respondents who were between the ages of 35

and 50. And 200 respondent who were above ages 50. Old 200 respondents who were

between age of 36 and 50, 82 got their news primarily from newspaper. Of 200

respondents who were above 50, 104 got their news primarily from newspaper. Construct

and interpret a 95% confidence interval estimate for the difference between the

population proportion of respondents who get their news primarily from newspaper

between those respondent 30 to 50 years old and those who above 50 years old.

44

Solution

Given : n1 = 200 n2 = 200

x1 = 82 x2 = 104

Determine : interval estimate for the difference between the population

proportion?

Answer : 5

⁄ 5% 5 ⁄

0.41 0.52 1.96√ 0.41 (0.59)200

+ 0.52 (0.48)

200<π1 π2< 0.41 0.52 + 1.96√ 0.41 (0.59)

200+ 0.52 (0.48)

200

So, with 5% significance level, the interval estimation for the difference for the

population proportion of respondents who get their news primarily from newspaper

between those respondent 30 to 50 years old and those who above 50 years old is between

1.28% and 20.72%

4. Seorang peneliti ingin meneliti sebuah sampel yang terdiri dari 500 pelanggan toko yang

dipilih di Garut untuk menentukan macam-macam informasi mengenai kebiasaan

pelanggan. Diantara pertanyaan yang diajukan, terdapat pertanyaan ”apakah kamu senang

berbelanja pakaian?” dari 240 laki-laki, 136 menjawab ya. Dari 260 perempuan, 36

menjawab tidak. Dari data tersebut, peneliti ingin menentukan selisih antara proporsi laki-

laki dan perempuan yang menyenangi berbelaja pakaian. Tentukanlah selisih proporsi

tersebut jika peneliti ingin taraf nyatanya 1%!

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

121

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1(

)(

)1()1(

)(n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

n

n

x

n

x

n

n

x

n

x

Zn

x

n

x

45

Penyelesaian

Dik: = 240 = 260 = 5

= = 0.862 ⁄ = 2.575

(manual)

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

121

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1()(

)1()1()(

n

nx

nx

n

nx

nx

Zn

x

n

x

n

nx

nx

n

nx

nx

Zn

x

n

x

5 – 2.575 √ < π1 – π2 <

5 + 2.575 √ or

-0.295 - 0.0990785 < π1 – π2 < -0.295 + 0.0990785

-0.394079 < π1 – π2 < -0.1959215

Jadi, dengan tingkat signifikansi 1% selisih antara proporsi laki-laki dan perempuan

yang menyenangi berbelaja pakaian adalah diantara 19.59% dan 39.41% proporsi

perempuan yang menyenangi berbelanja pakaian lebih besar dibanding proporsi laki-

laki.

(Komputer dengan software Minitab)


Sample X N Sample p

1 136 240 0.566667

2 224 260 0.861538


Estimate for difference: -0.294872

99% CI for difference: (-0.394031, -0.195712)

Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = -7.66 P-Value = 0.000

46

5. The results of a study conducted as part of a yield-improvement effort at a semiconductor

manufacturing facility provided defect data for a sample of 450 wafers. The following

contingency table presents a summary of the responses to two questions: ”was a particle

found on the die that produced the wafer?” and “is the wafer good or bad?”

Quality of water

PARTICLES Good Bad Total

Yes 14 36 50

No 320 80 400

Total 334 116 450

Construct and interpret a 95% confidence interval estimate of the difference between the

population proportion of good and bad wafers that contain particles!

Solution

Given: = 334 = 116 =

= = 0.3103 ⁄ = 1.96

Jawab:

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

121

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

22

2

1

1

)1()1()(

)1()1()(

n

nx

nx

n

nx

nx

Zn

x

n

x

n

nx

nx

n

nx

nx

Zn

x

n

x

– 1.96 √ < π1 – π2 <

– 1.96 √ or

-0.2684 - 0.0443299 < π1 – π2 < -0.2684 + 0.0443299

-0.31273 < π1 – π2 < -0.2241

With 5% significance level, interval estimate of the difference between the population

proportion of good and bad wafers that contain particles is between 22.41% and

31.27%, the proportion of bad wafers that contain particles larger than proportion of

good wafers.

47


Sample X N Sample p

1 17 334 0.050898

2 36 116 0.310345


Estimate for difference: -0.259447

95% CI for difference: (-0.346873, -0.172020)

Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = -5.82 P-Value = 0.000

6. Dari hasil sebuah proses produksi dikirim ke lokasi X sebanyak 15 buah barang, ternyata

rata-rata masa pakainya 150 menit dengan deviasi standar 10 menit. Barang itu juga

dikirim ke lokasi Y sebanyak 10 barang dan ternyata mempunyai rata-rata masa pakainya

120 menit dengan deviasi standar 12 menit. Tentukanlah selisih rata-rata masa pakai

barang yang dikirim pada kedua lokasi tsb dengan derajat kepercayaan 1% ?

Penyelesaian

Dik : = 15 = 150 = 100 = 10 = 120 = 144

Dan untuk tingkat signifikansi 95%, maka: 5 ⇒ ⁄

Maka selisih rata-ratanya:

(150– 120) – 2,67 √ < µx - µy < (150– 120) +2,67 √

30 – 12,254883118073 < µx - µy < 30 + 12,254883118073

17,745116881927 < µx - µy < 42,254883118037

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 )()(

nnZxx

nnZxx

48

Maka selisih rata-rata masa pakai barang yang dikirim kedua lokasi dengan tingkat

kepercayaan 99% adalah 17,745116881927 menit sampai dengan 42,254883118037

menit.

7. Dalam mengerjakan skripsinya, seorang mahasiswa ingin mengadakan sebuah survey

dengan tujuan mengetahui waktu tunggu layanan perbankan dan rumah sakit. Untuk itu

dilakukan pengamatan pada data-data waktu tunggu setiap pelanggan selama satu periode

yang didapat dari dua sektor usaha tersebut. Data berikut merupakan waktu tunggu dari

sampel yang dipilih secara acak 11 pelanggan :

Waktu tunggu (dalam menit)

Perbankan 9,66 5,9 8,02 5,79 8,73 3,82 8,01 8,35 10,1 6,6 5,6

Rumah Sakit 4,21 5,55 3,02 5,13 4,77 2,34 3,54 3,2 4,5 6,1 0,3

Asumsikan varians populasinya sama, tentukanlah batas-batas taksiran selisih rata-rata

waktu tunggu hasil survei mahasiswa tersebut dengan tingkat sigifikansi 5%?

Jawab :

Dik: = 11 = 11 = 7.326 = 3.878 = 3.730287273 = 2.707076364

C.l = 95 % ⁄ = 2.0860 (df = 11 + 11 -2 = 20)

Solution

)11

(2

)1()1()()

11(

2

)1()1()(

2121

222

211

22121

2121

222

211

221 nnnn

snsntxx

nnnn

snsntxx

(7.326-3.878) - 2.0860√ < µ1 - µ2<

(7.326-3.878) - 2.0860√

1.851< µ1 - µ2 < 5.043

Dengan tingkat sigifikansi 5%, maka batas-batas taksiran selisih rata-rata waktu

tunggu hasil survei mahasiswa tersebut antara 1.851 menit dan 5.043 menit.

49

Two-Sample T-Test and CI: Garut, Bandung

Two-sample T for Garut vs Bandung

N Mean StDev SE Mean

Garut 11 7.33 1.93 0.58

Bandung 11 3.88 1.65 0.50

Difference = mu (Garut) - mu (Bandung)



T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 4.51 P-Value = 0.000 DF = 20

Both use Pooled StDev = 1.7941

50

UJI HIPOTESIS RATA-RATA DAN PROPORSI

Hipotesis adalah sebuah dugaan atau referensi yang dirumuskan serta diterima untuk

sementara yang dapat menerangkan fakta-fakta yang diamati dan digunakan sebagai petunjuk

dalam pengambilan keputusan.(Suharyadi; 2009).

Pengujian Hipotesis

Pengujian Hipotesis adalah prosedur yang didasarkan pada bukti sampel yang dipakai

untuk menentukan apakah hipotesis merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh

karenanya tidak ditolak, atau hipotesis tersebut tidak wajar dan area itu ditolak.

Perumusan Hipotesis

Perumusan hipotesis dikembangkan menjadi hipotesis nol dan hipotesis alternatif.

a. Hipotesis Nol(Ho)

- Hipotesis nol dilambangkan dengan Ho dan diformulasikan untuk ditolak sesudah

pengujian.

- Memprediksi tidak adanya perbedaan antara satu kondisi dengan kondisi yang lain.

b. Hipotesis Alternatif (Ha)

- Hipotesis alternatif (Ha) merupakan hipotesis yang diterima ketika menolak hipotesis

nol (Ho) dan berlaku sebaliknya.

- Memprediksi adanya perbedaan antara satu kondisi dengan kondisi lain.

Contoh :

1. Ho : Rata-rata nilai Bahasa Inggris mahasiswa kelas A sama dengan rata-rata nilai

Bahasa Inggris mahasiswa kelas B

2. Ha : Rata-rata nilai Bahasa Inggris mahasiswa kelas A tidak sama dengan rata-rata

nilai Bahasa Inggris mahasiswa kelas B

51

Uji Hipotesis Rata-Rata

Adalah pengujian mengenai hipotesis rata-rata suatu populasi yang didasarkan atas

informasi sampelnya.

Langkah-Langkah Menguji Rata-Rata Populasi (µ):

1. Rumuskan Hipotesis

a. : = (pengertian sama/uji 2 pihak) : : > : <

b. : ≤ (uji 1 pihak kanan/ pengertian max) : >

c. : (uji 1 pihak kiri/ pengertian min) : <

2. Perhitungan Z stat dan t stat

Perhitungan Z stat:

bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan 5,

gunakan faktor koreksi √

√ √

bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan ≤ 5 atau bila

populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui nilainya)

√

Bila standar deviasi populasi ( ) tidak diketahui dapat diganti dengan standar deviasi

sampelnya (s).

52

Perhitungan t stat:

bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan 5,

gunakan faktor koreksi √

√ √

bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan ≤ 5 atau

bila populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui nilainya) √

Bila standar deviasi populasi ( ) tidak diketahui dapat diganti dengan standar deviasi

sampelnya (s).

3. Menentukan batas daerah penerimaan dan penolakan:

a. n > 30, tentukan nilai Z table

Z1/2α = Zα = 5 α

Ket : Z1/2α = Z table untuk uji 2 pihak

Zα = Z table untuk uji 1 pihak

n≤ 30, tentukan nilai t table dengan derajat kebebasan (degree of freedom/df)

t1/2α = t table untuk uji 2 pihak

tα =t table untuk uji 1 pihak

df = n -1

b. Gunakan α (tingkat signifikasi)

c. Gambarkan daerah penolakan dan penerimaan hipotesis nol berdasarkan

langkah 1

i. Uji 2 pihak

Daerah penerimaan

H

-Z1/2α Z1/2α

Daerah penolakan H ( daerah kritis )


?

53

ii. Uji 1 pihak kanan

iii. Uji 1 pihak kiri

Keterangan :

Daerah yang diasir adalah daerah penolakan Ho dan untuk n ≤30, Z diganti dengan t.

4. Menentukan kriteria penerimaan atau penolakan

(1) Untuk uji 2 pihak : Z <-2

atau Z >2

Ho ditolak

Jika 2

≤ Z ≤ 2

Ho tidak dapat ditolak

(2) Uji 1 pihak kanan : Z > , Ho ditolak

Z ≤ , Hotidak dapat ditolak

(3) Uji 1 pihak kiri : Z < Ho ditolak

Z ≥ Hotidak dapat ditolak

Nilai Z diganti dengan t jika n ≤ 30.

5. Bandingkan nilai Z atau t (yang diperoleh pada tahap 2) dengan Z atau t table serta

simpulkan apakah Ho tidak dapat ditolak atau ditolak berdasarkan kriteria

penerimaan/penolakan.

6. Membuat kesimpulan secara komprehensif/lengkap


Daerah penerimaan H

Zα

Daerah penerimaan H

-Zα


54

Contoh Soal :

Berat dari buku yang diproduksi oleh PT X memiliki rata-rata 1900 gram dengan

standar deviasi 100 gram. Dengan menggunakan teknik produksi baru, PT X

mengklaim bahwa berat buku dapat dikurangi. Untuk menguji klaim ini, diambil

sampel sebanyak 50 buah buku, dan diketahui bahwa rata-rata berat buku adalah 1850

gram. Dapatkan klaim dari PT X dibenarkan pada tingkat signifikansi 1%?

Jawab :

Dik : n = 50 α = 1%

= 1850 σ = 100

1. Ho : μ = 1900

Ha : μ < 1900

2. √ √ = -3,535

3. = 2,33

4. Kriteria Uji : Uji 1 pihak kiri : Z < Ho ditolak


5.

6. Ternyata -3,535 < 2,33 maka Ho ditolak 7. Kesimpulan : Pada tingkat signifikansi 1%, klaim PT X mengenai berat buku dapat

dikurangi dengan menggunakan teknik produksi baru adalah benar.

Daerah penerimaan Ho

-Zα

(

Daerah penolakan Ho

55

Uji Hipotesis Proporsi

Adalah pengujian hipotesis mengenai proporsi/perbandingan suatu populasi yang

didasarkan atas informasi sampelnya.

Langkah – langkah menguji proporsi populasi ( : a. Rumuskan Hipotesis

a. : = (uji 2 pihak) :

: >

: <

b. : (uji 1 pihak kanan/ pengertian max)

: >

c. : (uji 1 pihak kiri/ pengertian min)

: <

2) Perhitungan Z stat dan t stat (Z hitung atau t hitung)

Perhitungan Z stat:

bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan ,

gunakan faktor koreksi

Z = 岾峇 √

bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan atau bila


Ket : x/n = proporsi sampel

56

π = proporsi populasi

Perhitungan t stat:

bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan ,

gunakan faktor koreksi

t = 岾峇 √

bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan atau bila


t = 岾峇 √ ; df : n – 1

3) Menentukan batas daerah penerimaan dan penolakan

a. n > 30, tentukan nilai Z table

Z1/2α = Zα = 5 α

Ket : Z1/2α = Z table untuk uji 2 pihak

Zα = Z table untuk uji 1 pihak

n≤ 30, tentukan nilai t table dengan derajat kebebasan (degree of freedom/df)

t1/2α = t table untuk uji 2 pihak

tα =t table untuk uji 1 pihak

df = n -1

a. Gunakan tingkat signifikansi (

b. Gambarkan daerah penolakan dan penerimaan hipotesis nol berdasarkan

langkah 1.

i. Uji 2 pihak

Daerah penerimaan

H

-Z1/2α Z1/2α



?

57

ii. Uji 1 pihak kanan

iii. Uji 1 pihak kiri

Keterangan :

Daerah yang diasir adalah daerah penolakan Ho dan untuk n ≤30, Z diganti dengan t.

4. Menentukan kriteria penerimaan atau penolakan

(1) Untuk uji 2 pihak : Z <-2

atau Z >2

Ho ditolak

Jika 2

≤ Z ≤ 2

Ho tidak dapat ditolak

(2) Uji 1 pihak kanan : Z > , Ho ditolak

Z ≤ , Hotidak dapat ditolak

(3) Uji 1 pihak kiri : Z < Ho ditolak


Nilai Z diganti dengan t jika n ≤ 30.

5. Bandingkan nilai Z atau t (yang diperoleh pada tahap 2) dengan Z atau t table serta

simpulkan apakah Ho tidak dapat ditolak atau ditolak berdasarkan kriteria

penerimaan/penolakan.


Daerah penerimaan H

Zα

Daerah penerimaan H

-Zα


58

6. Membuat kesimpulan secara komprehensif/lengkap

Contoh Soal :

Para dosen di suatu perguruan tinggi sangat yakin bahwa dengan adanya praktikum maka

nilai akhir mahasiswa akan meningkat. Pada tahun 2011 dari 30 kelas yang mengikuti

praktikum, sebanyak 26 kelas menunjukan peningkatan nilai dan 4 kelas lainnya mengalami

penurunan. Dari data tersebut ujilah pernyataan bahwa 90% lebih kelas mengalami

peningkatan nilai dengan taraf nyata 5%!

Dik : x = 26 α = 5% π = 90% n = 30

Dit : Ujilah pernyataan tersebut

Jawab :

1. : π ≥ 0.9

: π < 0.9

2. t = 岾峇 √ =

0 0 0√0 0 0 10 0

t = - 0,6086

3. tα df : n – 1 = 29 Lihat table t; maka tα = 1,6991

α= 0,05

4. Kriteria uji : Uji 1 pihak kiri : t < tα , ditolak

t tα , tidak dapat ditolak

5. Ternyata : - 0,6086> -1,6691; maka t >tα , tidak dapat ditolak

Daerah penerimaan Ho

-tα

Daerah Penolakan Ho

59

Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 5%, maka pernyataan bahwa bahwa 90% lebih

kelas mengalami peningkatan nilai adalah benar.

SOAL UJI HIPOTESIS RATA-RATA DAN PROPORSI

1. PT. Otomotif Indonesia Jaya melakukan suatu sistem produksi baru dengan tujuan untuk

mengurangi masalah produk yang rusak. Perusahaan menginginkan bahwa tidak boleh ada

lebih dari 10 unit yang rusak dalam sehari. Selama pengamatan 32 hari ternyata rata-rata

jumlah produk yang rusak adalah 9 unit, dengan standar deviasi sebesar 2 unit. Dengan

menggunakan taraf nyata 1%, apakah target PT. Otomotif Indonesia Jaya tercapai?

Dik : n = 32 = 1% s = 2

= 9 μ = 10

Dit : Apakah target perusahaan tersebut tercapai?

Jawab :

: μ ≤ 10

: μ > 10

√

√

Z = -2,828

Zα = ヲ.ンン

Kriteria : Z > , ditolak

, tidak dapat ditolak

2.33

Ternyata : -2,828< 2.33, maka Z <, tidak dapat ditolak

Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 1%, maka PT Otomotif Indonesia Jaya dapat

menurunkan tingkat produknya yang rusak dengan menggunakan sistem

produksi baru.

60

2. Dalam dunia fashion, dengan memiliki suatu produk dari merk mewah merupakan suatu

hal yang dapat meningkatkan status sosial penggunanya. Dimana ini merupakan suatu

merk yang hanya dapat dimiliki oleh orang-orang dengan kemampuan keuangan yang

tinggi. Harga rata-rata produk dari merk mewah tersebut adalah Rp 50 juta. Dari hasil

survei yang dilakukan suatu lembaga sosial terhadap 30 merk mewah diperoleh hasil

bahwa rata-rata harga dari produknya adalah Rp 52 juta dengan standar deviasi 3 juta.

Dengan tingkat signifikansi 5% ujilah apakah harga produk dari merk mewah tersebut

sama dengan Rp 50 juta?

Dik : n = 30 = 5% s = 3

= 52 μ = 50

Jawab : : μ = 50

: μ ≠ 50

√

√

t = 3,651

t1/2α = 2,0452 (df = n – 1 = 30 -1 = 29)

Ternyata, t > t1/2α maka Ho ditolak

- t1/2α t1/2α

Kesimpulan dengan tingkat signifikansi 5%, maka harga produk dari merk mewah sebesar

Rp 50 juta adalah salah.

3. Dalam suatu konferensi internasional diperoleh hasil bahwa dengan adanya kerjasama

internasional dapat meningkatkan pendapatan masing-masing negara anggota konferensi.

Pada tahun 2011, dari 59 negara anggota, terdapat 50 negara yang mengalami peningkatan

pada pendapatan, sedangkan 9 negara lainnya mengalami penurunan. Dari data tersebut

61

ujilah pernyataan bahwa setidaknya terdapat kemungkinan 90% bahwa kerjasama

internasional dapat meningkatkan pendapatan negara dengan taraf nyata 5%?

Dik : = 90% x = 50 n = 59

: ≥ 90%

: < 90%

Z = √

= -1,344

Zα = 0.5-0.05 = 0.4500 = 1,645

Kriteria uji : uji 1 pihak kiri : Z < , ditolak

Z , tidak dapat ditolak

-1,645

Ternyata -1,344 > -1,645, Z > , tidak dapat ditolak

Kesimpulan : Pada tingkat signifikansi 5% pernyataan perusahaan bahwa kerjasama

internasional dapat meningkatkan pendapatan negara setidaknya 90 % adalah benar.

4. Kementrian Keuangan menyatakan harapan bahwa pada akhir tahun 2012 terdapat 60%

saham dalam negeri yang terdapat di Bursa Efek Indonesia akan terus mengalami

peningkatan dalam penjualannya. Untuk melihat kinerja dari saham dalam negeri yang

terdapat di Bursa Efek Indonesia diambil sampel sebanyak 20 saham dari perusahaan

dalam negeri yang berbeda-beda, dan hasilnya didapatkan bahwa terdapat 45% saham

62

yang mengalami peningkatan dalam penjualannya. Dengan tingkat signifikansi 5%,

apakah harapan dari Kementrian Keuangan pada akhir tahun 2013 akan tercapai ?

Dik : = 60% x/n = 45% n = 20

: = 60%

: ≠ 60%

t = 岾峇 √

t = √

t = -1,369

t1/2α = 2,0930 (df = n – 1 = 20 -1 = 19)

Ternyata, -t1/2α < t < t1/2α maka Ho diterima

- t1/2α t1/2α

Kesimpulan dengan tingkat signifikansi 5%, maka harapan dari Kementrian Keuangan

pada akhir tahun 2013 akan tercapai.

5. The quality control manager at a lightbulb factory needs to determine whether the mean

life of a large shipment of lightbulbs is equal to the specified value of 375 hours. The

process standard deviation is known to be 100 hours. A random sample of 64 lightbulbs

indicates a sample mean life of 350 hours. At the 0,05 level of significance is the evidence

that the mean life is different from 375 hours ?

Dik : n = 64 = 5% σ = 100

= 350 μ = 375

Jawab :

: μ = 375

: μ ≠ 375

√

√

Z = -2 = 1.96

62

Kriteria uji : Two tailed test : Z < or Z > , rejected

, cannot be rejected

-1.96 1.96

In fact : -2 > -1.96 so rejected

Conclusion : At the 0,05 level of significance there is an evidence that the mean life is

different from 375 hours.

6. The mean weight of a small silver ring is 25 gram. There is concern that the adjustment of

the machine producing affected the weight of the ring. Fifteen ring were randomly

selected from production. The mean weight of the samples is 27 gram with standard

deviation is 4 gram. Test the hypothesis at 5%!

Given : n = 15 = 5% s = 4

= 27 μ = 25

Question : Test the hypothesis

Answer:

: μ = 25

: μ ≠ 25

√

√

t = 1,93649

tα/2 = 2,1448

Criteria : 2 tailed test : t < or t > , reject

, do not reject

64

-2,1448 2,1448

Fact : -2,1448 < 01,93649 < -2,1448 ; so Ho do not reject

Conclusion : with 5% significance level, we can conclude that the mean is 25 gram is

accepted. The adjustment of the machine producing doesn’t affect the weight of the silver

ring.

7. The National Safety Council reported that 52% of American Turnpike drivers are men. A

sample of 29 cars traveling eastbound on the Ohio Turnpike yesterday revealed that 16

were driven by men. At the significance 1%, can we conclude that a smaller proportion of

men were driving on the Ohio Turnpike than the National Safety Council indicates?

Given : n= 29 = 1%

x = 16 = 52%

Question : can we conclude that a smaller proportion of men were driving on the Ohio

Turnpike

Answer :

: = 52%

: <52%

t = 岾峇 √

t = √ = 0,3420

tα = 2,467

Criteria : one tailed test : t < , reject

t , do not reject

-2,467

65

0,3420 > -2,467; so t > , do not reject

Conclusion : So the null hypothesis is not rejected at the 1% significance level we can not

conclude that a smaller proportion of men were driving on the Ohio Turnpike than the

National Safety Council indicates (we can conclude that that 52% of American Turnpike

drivers are men).

UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI

A. UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA

Pengujian hipotesis selisih rata-rata digunakan ketika terdapat dua buah rata-rata

hitung. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah:

1. Beberapa populasi mempunyai rata-rata yang sama ataukah berbeda?

2. Beberapa buah sampel berasal dari sebuah populasi yang sama ataukah berlainan?

(Prof. Dr. Sudjana, M.A., M.Sc - Statistika Untuk Ekonomi dan Niaga Jilid II)

Perumusan Hipotesis:

Uji 2 Pihak

: μ μ

: μ μ

Kurva :

Kriteria :

≤ Z ≤ tidak dapat ditolak

Z < atau Z > ditolak

n > 30 dimana dengan df = n1 + n2 – 2

n ≤30 dimana Dimana dengan df = n1 + n2 – 2

Uji Pihak Kanan

: μ ≤ μ

: μ μ

66

Kurva :

Kriteria :

Z ≤ tidak dapat ditolak

Z > ditolak

n > 30 dimana 5 dengan df = n1 + n2 – 2

n ≤ 30 dimana Dimana dengan df = n1 + n2 – 2

Uji Pihak Kiri

: μ μ

: μ μ

Kurva :

Kriteria :

Z ≥ tidak dapat ditolak

Z < ditolak

n > 30 dimana 5 dengan df = n1 + n2 – 2

n ≤ 30 dimana Dimana dengan df = n1 + n2 – 2

Keterangan:

- Untuk sampel kecil ubah Z menjadi t

- Untuk proporsi ubah μ menjadi

Rumus: n>30 (sampel besar)

Z = 岾峇 (μ μ )√

67

Jika dan tidak diketahui nilainya, maka:

Z = 岾峇 (μ μ )√

n≤30 (sampel kecil)

t = 岾峇 (μ μ )√

Jika dan tidak diketahui nilainya, tetapi diketahui bahwa ≠ maka :

t = 岾峇 (μ μ )√

Jika dan tidak diketahui nilainya, tetapi diketahui bahwa = maka :

t = 岾峇 (μ μ )√ 岾峇

Contoh soal: Manajer HRD suatu perusahaan berpendapat bahwa prestasi kerja karyawan yang

mendapatkan training ternyata lebih bagus daripada karyawan yang tidak

mendapatkan training. Maka dari itu, diambil sampel dari karyawan, masing-masing

40 dn 30 orang dengan rata-rata dan simpangan baku 300 dan 4 untuk karyawan yang

mendapatkan training serta 302 dan 4.5 untuk karyawan yang tidak mendapatkan

training. Ujilah pendapat dari Manajer HRD tersebut dengan tingkat signifikansi 5%!

Dik: = 40 = 302 = 4

= 30 = 300 = 4.5

Dit: Ujilah pernyataan bahwa bahwa prestasi kerja karyawan yang mendapatkan

training ternyata lebih bagus daripada karyawan yang tidak mendapatkan

training (μ μ )!

Jawab: : μ ≤ μ

: μ μ

Z = 岾峇 √

68

Z = √ = 1.92897128869 1.9289

α = 0.05 = 0.5 – 0.05 = 0.45 = 1.645

Kriteria :


Z > ditolak

Ternyata:

2.4414 > 1.645

Z > ditolak

Kesimpulan:

Dengan tingkat signifikansi 5%, pernyataan tersebut benar yaitu prestasi kerja

karyawan yang mendapatkan training ternyata lebih bagus daripada karyawan yang

tidak mendapatkan training.

B. UJI HIPOTESIS SELISIH PROPORSI

Pengujian hipotesis selisih proporsi digunakan ketika terdapat dua buah

perbandingan. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah ada perbedaan

presentase yang menyolok ataukah tidak antara dua kelompok yang sedang dipelajari.

Rumus:

n>30 (sampel besar)

Z = 岾峇 √

Jika dan tidak diketahui, maka: 岾峇√

69

dimana, =

atau dapat juga digunakan rumus:

Z = 岾峇 √

n≤30 (sampel kecil)

t = 岾峇 √

Jika dan tidak diketahui, maka:

t = 岾峇√

dimana, =

atau dapat juga digunakan rumus:

t = 岾峇 √

Contoh soal:

Seorang ahli fermentasi mengadakan percobaan pada dua macam obat fermentasi dan

menyatakan bahwa perubahan obat pertama dan kedua pada gelas susu adalah sama.

Obat pertama diberikan pada 100 gelas susu dan ternyata 60 gelas susu menunjukkan

perubahan. Obat kedua diberikan pada 150 gelas susu yang lain dan ternyata 85 gelas

susu berubah. Ujilah dengan taraf nyata 5%!

Dik: = 60 = 85

= 100 = 150

Dit: π π

Jawab: : :

70

=

= = 0.58

岾峇√ 岾峇√ = 0.52419410927 0.5241

α = 0.05 = 1.96

- ⁄ ⁄

Kriteria :

≤ Z ≤ tidak dapat ditolak


Ternyata:

-1.96 ≤ 0.5241 ≤ 1.96 tidak dapat ditolak

Kesimpulan: Jadi, dengan taraf nyata 5% dapat disimpulkan bahwa pernyataan

perubahan obat pertama dan kedua pada gelas susu adalah sama dapat diterima,

karena tidak terdapat perbedaan yang signifikan.

71

SOAL UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI

1. Manajer produksi suatu perusahaan menyatakan bahwa persentase barang yang rusak dari dua jalur produksi (production lines) adalah sama. Untuk mrnguji pernyataan tersebut diambil sampel sebanyak 200 barang yang dihasilkan jalur produksi pertama dan ternyata terdapat 20 barang yang rusak. Sedangkan dari jalur produksi kedua diambil sampel sebanyak 300 barang, ternyata terdapat 45 barang yang rusak. Dengan α = 1%, apakah sampel yang diperoleh dapat digunakan sebagai bukti membenarkan pernyataan tersebut?

Dik: = 20 = 45 = 200 = 300

Dit: π π

Jawab: : :

=

= = 0.13

岾峇√ 岾峇√ = -0.6902097202 -0.6902

α = 0.01 =2.575

72

- ⁄ ⁄

Kriteria : ≤ Z ≤ tidak dapat ditolak


Ternyata:

-2.575 ≤ 0.6902 ≤ 2.575 tidak dapat ditolak

Kesimpulan: Jadi, dengan taraf nyata 1% dapat disimpulkan bahwa pernyataan

persentase barang yang rusak dari dua jalur produksi (production lines) adalah sama

dapat diterima, karena tidak terdapat perbedaan yang signifikan.

2. Forty employees at PT.A and 36 employees at PT.B randomly selected as a sample to test

that the average wage per day in PT.A lower than average wage per day in PT.B. Based on

the sample was obtained information that the average wage per day in PT.A is $80 with

standard deviation is $1.6 and PT.B is $78.2 with standard deviation is $2.1. At the level

of 5%, test the statement that the average wage per day in PT.A lower than average wage

per day in PT.B!

Unknown : = 40 = 80 = 1.6

= 36 = 78.2 = 2.1

Asked : test the statement that the average wage per day in PT.A lower than average wage per day in PT.B! (μ μ )

Answer : : μ μ (the average wage per day in PT.A is not lower than average wage per day

in PT.B) : μ μ (the average wage per day in PT.A lower than average wage per day in

PT.B)

Z = ( )

√

Z = √ = 4.16805160186 4.1680

73

α = 0.05 = 0.5 – 0.05 = 0.45 = 1.645

Criteria :

Z ≥

Z < rejected

Fact:

4.1680 > 1.645

Z > cannot be rejected

Conclusion:

With 0.05 significance level, the claim that the average wage per day in PT.A lower

than average wage per day in PT.B can’t be accepted.

3. Sebuah perusahaan menyatakan bahwa kekuatan rentangan rata-rata tali A melebihi kekuatan rentangan tali B. untuk menguji pernyataan ini, 50 tali dari masing-masing jenis tersebut diuji dibawah kondisi yang sama. Hasil uji memperlihatkan bahwa tali A mempunyai kekuatan rentangan rata-rata 86.7 kg dengan simpangan baku 6.28 kg, sedangkan tali B mempunyai rentangan rata-rata 77.8 kg dengan simpangan bak 5.61 kg. ujilah pernyataan perusahaan tersebut dengan menggunakan taraf nyata 0.01!

Dik: = 50 = 86.7 = 6.28

= 50 = 77.8 = 5.61

Dit: Ujilah pernyataan bahwa kekuatan rentangan rata-rata tali A melebihi kekuatan

rentangan tali B ( )!

Jawab: : ≤ (kekuatan rentangan rata-rata tali A tidak melebihi kekuatan rentangan

tali B) : (kekuatan rentangan rata-rata tali A melebihi kekuatan rentangan tali B)

Z = 岾峇 √

74

Z = √ = 7.47342596675 7.4734

α = 0.01

= 0.5 – 0.01 = 0.49 = 2.33

Kriteria :


Z > ditolak

Ternyata:

7.4734 > 2.33

Z > ditolak

Kesimpulan:

Dengan tingkat signifikansi 1%, ternyata benar bahwa kekuatan rentangan rata-rata tali A

melebihi kekuatan rentangan tali B.

4. A sample of 500 shoppers was selected in a large metropolitan area to determine verious

information concerning consumer behavior. Among the questions asked was “do you

enjoy shopping for clothing?” of 240 males, 136 answered yes. Of 260 females, 224

answered yes. Is there evidence of a significant difference between males an females in the

proportion who enjoy shopping for clothing at the 0.01 level of significance?

Unknown : = 136 = 224

= 240 = 260

Asked : Is there evidence of a significant difference between males an females in the

proportion who enjoy shopping for clothing at the 0.01 level of significance? Answer :

: (there are no significant difference between males an females in the

proportion who enjoy shopping for clothing)

75

: (there are significant difference between males an females in the proportion

who enjoy shopping for clothing)

=

= = 0.72

岾峇√ 岾峇√ = -7.33660863025 -7.3366

α = 0.01 =2.575

- ⁄ ⁄

Criteria : ≤ Z ≤ can’t rejected

Z < atau Z > rejected

Fact :

-7.3366 < -2.575 or 7.3366 > 2.575 rejected

Conclusion : So, with 0.01 level of significance, we can conclude that there are significant

difference between males an females in the proportion who enjoy shopping for clothing.

5. The A company are produce and assemble lawnmowers, which are sent to distributors

throughout the United States and Canada. Two different producers are advised to install

the motor in the frame of the machine. Then performed two procedures in which the two

pieces of the procedure will be seen time and movement. A sample of 5 employees

recorded the time it takes to use the procedure 1, and 6 employees who use the procedure

2. Obtained by procedure 1 the average is 4 with a variance of 8.5, while the second

76

procedure the average is 5 with variance 4.4. Is there a difference in median time to put the

motor in the frame of the machine, with a significance level of 5%?

Unknown : = 5 = 4 = 8.5

= 6 = 5 = 4.4

Asked :

Answer : : (there are no difference in median time to put the motor in the frame of the

machine) : (there are difference in median time to put the motor in the frame of the

machine)

t = 岾峇 (μ μ )√ √ 0.64106076519 -0.6410

5 df = (n1 + n2) -2 = (5 + 6 ) – 2 = 9

Curve :

Criteria :

≤ t ≤ can’t rejected

t < atau t > rejected

Fact :

-0.6410 < 2.2622 < 0.6410 Ho rejected

Conclusion : so, with 0.05 significance level there are difference in median time to put the

motor in the frame of the machine

6. Seorang direktur pemasaran berpendapat bahwa proporsi persentase barang yang tidak

laku untuk merk A lebih kecil dari merk B. setelah dilakukan pengecekan, barang merk A

77

sebanyak 25 buah dan yang tidak laku adalah 5 buah. Sedangkan barang merk B sebanyak

20 buah dan yang tidak laku adalah 6 buah. Dengan menggunakan α=5% ujilah pernyataan

tersebut!

Dik : = 50 = 60

= 250 = 200

Dit : Ujilah pernyataan tersebut!

Jawab :

: ≤ (proporsi persentase barang yang tidak laku untuk merk A tidak lebih kecil

dari merk B) : (proporsi persentase barang yang tidak laku untuk merk A lebih kecil dari

merk B)

=

岾峇√ 岾峇√ = 0.00166222017 0.0016

= 0.5-0.05 = 0,45 = 1,645

kriteria :

Z ≥

Z < ditolak

Ternyata :

0.0016 < 1.645

Z < ditolak

2

Kesimpulan : jadi, dengan tingkat signifiksni 5% dapat disimpulkan pernyataan bahwa

proporsi persentase barang yang tidak laku untuk merk A lebih kecil dari merk B adalah

benar.

7. Direktur pembelian untuk sedang menyelidiki kemungkinan pembelian mesin penggiling

baru. Dia menentukan bahwa mesin baru akan dibeli jika ada bukti bahwa bagian-bagian

yang diproduksi mesin baru memiliki rata-rata kekuatan yang lebih tinggi daripada yang

dihasilkan mesin tua. Standar deviasi untuk mesin tua adalah 10 kilogram dan untuk mesin

baru adalah 9 kilogram. Sebuah sampel dari 100 bagian yang diambil dari mesin tua

menunjukkan sampel dengan rata-rata 65 kilogram, sedangkan sampel yang sama 100 dari

mesin baru menunjukkan rata-rata 72 kilogram. Menggunakan tingkat signifikansi 0.05,

apakah ada buktinya bahwa direktur pembelian harus membeli mesin baru?

Dik : = 100 = 72 = 9

= 100 = 65 = 10

Dit : Ujilah pernyataan tersebut!

Jawab : ≤ (bagian-bagian yang diproduksi mesin baru tidak memiliki rata-rata

kekuatan yang lebih tinggi daripada yang dihasilkan mesin tua) (bagian-bagian yang diproduksi mesin baru memiliki rata-rata kekuatan yang

lebih tinggi daripada yang dihasilkan mesin tua)

Z = 岾峇 √

Z = √ = 5.20204734420 5.2020

α = 0.05

= 0.5 – 0.05 = 0.45 = 1.645

3

Kriteria :


Z > ditolak

Ternyata:

5.2020 > 1.645

Z > ditolak

Kesimpulan:

Dengan tingkat signifikansi 5%, ternyata bagian-bagian yang diproduksi mesin baru

memiliki rata-rata kekuatan yang lebih tinggi daripada yang dihasilkan mesin tua bahwa

hal tersebut merupakan suatu bukti sehingga direktur pembelian harus membeli mesin

baru.

modul statistik

Documents