unit 8 kaji daya bahan

DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/1

DAYA RICIH & MOMEN LENTUR

Objektif am : Mempelajari dan memahami tentang momen lentur dan gambarajah momen lentur.

Objektif Khusus : Di akhir unit ini, pelajar akan dapat :-

menerangkan dan memilih tanda lazim bagi momen lentur

mengira magnitud dan menentukan tanda bagi momen lentur

membina gambarajah momen lentur bagi rasuk

UNIT 8

OBJEKTIF


8.0 PENGENALAN

Momen lentur ialah jumlah aljabar momen daya yang bertindak disebelah kanan atau kiri di sesuatu keratan rasuk. Ia biasanya ditandai dengan M.

8.1 TANDA LAZIM BAGI MOMEN LENTUR

Daya yang bertindak di sebelah kiri atau kanan di keratan rasuk menghasilkan momen kearah ikut jam atau lawan jam. Seperti daya ricih, tanda lazim bagi momen lentur juga perlu ditetapkan untuk memastikan tanda yang sama digunakan bagi sebelah kiri atau kanan keratan yang dipertimbangkan.

Rajah 8.1 menunjukkan tanda lazim yang akan digunakan bagi momen lentur.

Momen lentur diambil positif jika paduan momen ke sebelah kiri bertindak kearah ikut jam kesebelah kanan kearah lawan jam. Oleh itu bagi momen lentur negatif paduan momen bertindak kearah lawan jam kesebelah kiri dan kearah ikut jam kesebelah kanan. Sebaliknya momen lentur positif melendutkan rasuk manakala momen lentur negatif meledingkan rasuk.

Paduan momen Momen lentur M

(a) Momen lentur positif

X

X

Paduan momen Momen lentur M

X

X

(b) Momen lentur negatif

Rajah 8.1: Tanda Lazim Bagi Momen Lentur


8.2 MAGNITUD MOMEN LENTUR

Contoh-contoh berikut menunjukkan kaedah yang digunakan untuk mencari tindak balas

di penyokong sesuatu rasuk. Persamaan keseimbangan iaitu ∑ F = 0 dan

∑ M = 0 digunakan.

Contoh 8.1

Sebatang rasuk disokong secara mudah di A dan C dan bebankan seperti Rajah 8.2 . Dapatkan daya ricih dan momen lentur tersebut.

Rajah 8.2: Rasuk Yang Disokong Mudah Dan Dikenakan Beban Timpu

Penyelesaian :

Rajah Jasad Bebas

3 m1 m

CA B

10 kN

1 m

RA

A

RC

3 m

C B

10 kN


Daya tindakbalas disangga ∑ AM = ∑ AM

F∑ = F∑

RA + R C = 10 kN 10(1) = RC (4)

RC = 4

10 = 2.5 kN

RA = 10 – 2.5 = 7.5 kN

Daya Ricih Momen Lentur

A : 7.5 kN 0 < x < 1

B : 7.5 – 10 = -2.5 kN M = 7.5x

C : -2.5 + 2.5 = 0 kN pada, x =0, M=0

x =1, M=7.5

1 < x < 4

M – 7.5x + 10(x-1)

M = 7.5x – 10(x-1)

pada, x =1, M=7.5

x =4, M=0

Contoh 8.2

Sebatang rasuk disokong secara mudah di A dan D dan bebankan seperti Rajah 8.3. Dapatkan daya ricih dan momen lentur tersebut.

∩∩∩∩∩∩∩

Rajah 8.3: Rasuk Disokong Mudah Dan Dikenakan Beban Teragih Seragam

Penyelesaian :

B C

0.5 m

D

15 kN/m

2 m2 m

A


Rajah Jasad Bebas

∩∩∩∩∩∩∩

∑ AM = ∑ AM F∑ = F∑

RD (4.5) – 15 (2) (2

2+ 0.5) = 0 RA + RD – F = 0

4.5 RD – 30 (1.5) = 0 RA + (10) – (15×2) = 0

RD = 5.4

45 = 10 kN RA = 20 kN

∩∩∩∩∩∩∩

Jadual 8.1 : Jadual daya ricih dan momen lentur

RD

RA

B C

0.5 m

D

15 kN/m

2 m2 m

A

RD = 10R

A = 20

B C

0.5 m

D

15 kN/m

2 m2 m

A

RA = 20 kN V

M

x


Julat Rajah Jasad Bebas Daya Ricih & Momen Lentur

0 ≤ x ≤ 0.5

V = 20x = 0, V = 20x = 0.5, V = 20

M = 20xx=0, M=0x=0.5, M=10

0.5 ≤ x ≤ 2.5

15 kN/m

∩∩∩∩∩

0.5 x-0.5

V = 20 – 15(x-0.5)X = 0.5, V = 20X = 2.5, V = -10

M=20x -15(x-0.5)(x-0.5) 2 x=0.5, M=10x=2.5, M=20

2.5 ≤ x ≤ 4.5

15 kN/m

∩∩∩∩∩0.5 2 x-2.5

V

V = 20-30 = -10x = 2.5, V = -10x = 4.5, V = -10

M=20x-15(2)(x-1.5)M=20x-30(x-1.5)x=2.5, M=20x=4.5, M=0

8.3 GAMBARAJAH MOMEN LENTUR

M

RA = 20 kN

V

RA = 20 kN

M


Keratkan rasuk pada jarak x dari A. Gambarajah jasad bebas bagi sebelah kiri dan kanan keratan ini adalah seperti Rajah 8.4 (b).

Kita perlu menentukan nilai momen lentur di beberapa keratan rasuk dan bagi julat

MM

x

V

10 kN

V

RA

= 5 kNR

B = 5 kN

Rajah 8.4 (b): Kedududkan Daya Ricih Dan Momen LenturPada Keratan X-X

C A

F = 10 kN

B

5 m 5 m

X

X N

N

x

Rajah 8.4 (a): Rasuk Disokong Mudah Yang Dipotong Pada Kedudukan X-X


0 < x < 5. Kita keratkan rasuk di XX. Rasuk Rajah 8.4(a). Mengambil momen pada keratan ini memberi

∑ MNN = 0

M – 5x = 0M = 5x

pada x = 0, M = 0x = 5, M= 25

Persamaan ini memberi hubungan momen lentur (M) dengan jarak dari A (x). Nyatakan bahawa di atas GML kita perlu melukiskan satu garis lurus yang bercondong dengan kecerunan +5 diantara titik A hingga ke titik C.Diantara 5 m hingga ke 10 m, rasuk dikerat pada NN. Rujuk Rajah 8.4(c). Mengambil momen pada keratan ini memberi

∑MNN = 0

M + 10(x-5) – 5x = 0 M = 50 – 5x

pada, x = 5, M = 25x = 10, M= 0

N

N

M

V

RA

= 5 kN

10 kN

x

Rajah 8.4 (c): Kedudukan Daya Ricih Dan Momen Lentur Pada Keratan N-N


Oleh itu kita melukiskan garis bercondong ke kiri dengan kecerunan –5 di atas GML. GMLnya adalah seperti Rajah 8.5.

Rajah 8.5: Gambarajah Momen Lentur

F = 10 kN

5 m 5 m

F = 10 kN

RA

= 5 kN RB = 5 kN

GDR

GML

5

-525 kNm


Merujuk kepada Rajah 8.6 (a) dan mengambil momen pada keratan XX, kita dapati,

∑ MXX = 0

dan M + 4x ( 2x ) – 16 (x) = 0 M = 16x – 2x2

Persamaan ini menunjukkan bahawa perhubungan di antara momen lentur dan x berbentuk parabola. Tanda negatif dihadapan kuantiti x2 iaitu –2 menunjukkan bahawa parabola ini bentuk cembung.

Pada, x = 0, M = 0pada, x = 4, M = 32pada, x = 8, M = 0

∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

Rajah 8.6 (a)

Di sini tindak balas RA = RB = 16 kN

Pertimbangkan gambarajah jasad bebas bagi keratan XX.

∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

W = 4 kN/m

8 m

AB

M

RA

= 16 kN

V

4x

2

x

2

x

Rajah 8.6 (b)


GML boleh dilukiskan dan adalah seperti Rajah 8.7.

Rajah Jasad Bebas

∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

G/rajah Daya Ricih (kN)

G/rajah Momen Lentur

RA = 16 kN

B

RB = 16 kN

32 kN

Rajah 8.7

-16

32 kNm

16


Contoh 8.3

Lakarkan gambarajah daya ricih dan momen lentur untuk rasuk Rajah 8.8.

Penyelesaian :

F = 10 kN

RA = 5 kN R

B = 5 kNRajah 8.8

x

X

X

F = 10 kNN

Rajah Jasad Bebas

NRA = 5 kN R

B = 5 kN

5

GDR

-5

25 kN/m

GML


8.4 MOMEN LENTUR MAKSIMUM

Dalam kes-kes di mana sebatang rasuk dibebankan dengan beban-beban mudah, kedudukan dan nilai momen lentur maksimum boleh didapati secara pemeriksaan gambarajah momen lentur. Bagi bebanan gabungan nilai dan kedudukan momen lentur maksimum sukar diperolehi daripada gambarajah momen lentur. Oleh itu hakikat bahawa nilai maksimum atau minimum sesuatu fungsi diberi apabila dxdy = 0 digunakan. Bagi momen lentur persamaan dxdM = 0 digunakan untuk menentukan kedudukan nilai maksimum.

8.5 TITIK KONTRALENTUR

Bagi rasuk yang dibebankan seperti Rajah 8.9 di bawah, momen lentur adalah positif di antara bahagian AB dan negatif di antara bahagian BC.

2m 2m 2m

10 kN 4 kN

A B C D

RA = 3 kN R

C = 11 kN

A B C D

melendut

meleding

K

Rajah 8.9

GML


Dari Rajah pepesongan rasuk didapati bahagian AB melendut (momen lentur positif) manakala bahagian BC meleding (momen lentur negatif). Titik K di mana kelengkungan berubah dari keadaan meleding ke melendut disebutkan sebagai titik kontralentur iaitu titik di mana momen lentur bertukar tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya. Kedudukan titik ini boleh didapati dengan menyelesaikan persamaan M = 0 bagi julat yang berkenaan.

Dari Rajah 8.9, kita dapati titik kontralentur berlaku di antara julat 2 < x < 4. Di sini momen lentur M = 3x – 10 (x – 2) = -7x + 20

Untuk menentukan titik kontralentur, kita letakkan M = 0, oleh ituM = -7x + 20 = 0

x = 7

20 = 2.86 m

Contoh 8.4

Sebatang rasuk ABCD berukuran panjang 9 m disokong secara mudah di B dan C dengan AB = 2m dan BC = 6m. Lihat Rajah 8.10 Rasuk ini membawa beban teragih seragam 12 kN/m ke atas keseluruhan rasuk. Lakarkan GDR dan GML bagi rasuk ini dan tentukan:

a) Kedudukan dan nilai momen lentur maksimumb) Kedudukan titik kontralentur

∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

RC = 45 kN

B

RB = 63 kN

12 kN/m

2 m 6 m 1 m

Rajah 8.10


Penyelesaian:

Mengambil momen pada B

∑ MB = 0

-6RC + 12 (9) ( 29 - 2) = 0

∴ RC = 45 kN

Mengambil momen pada C

∑ MC = 0

6RB - 12 (9) ( 29 - 1) = 0

∴ RB = 63 kN

Semakan,

-24-33

39

12

GDR (kN)

GML(kN/m)

39.38

X1

X2

X3

-24

-6


RA + RC = 108

45 + 63 = 108

Kiraan adalah betul.

Jadual 8.2 : Jadual Daya Ricih Dan Momen Lentur

Julat x Gambarajah Jasad Bebas Daya Ricih (kN) & Momen Lentur (kNm)

0 < x < 2 ∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

V = -12xx = 0, V = 0x = 2, V = -24

M = 2

12 2x−

x = 0, M = 0x = 2, M = -24

2 < x < 8 ∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

V = -12x + 63x = 2, V = 39x = 8, V = -33

M = 2

12 2x− + 63 (x-2)

x = 2, M = -24x = 8, M = -6

8 < x < 9

∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

V = -12x + 63 + 45x = 8, V = 12x = 9, V = 0

M = 2

12 2x− + 63 (x-2)

+ 45 (x-8)x = 8, M = -6x = 9, M = 0

GDR dan GML adalah seperti ditunjukkan. Momen lentur maksimum Mm berlaku di antara 2 < x < 8

x

12x

M

V

x

12x

M

V 2 m

63 kN

M

V63 kN 45 kN

x

12x


Di sini M = 2

12 2x− + 63 (x-2)

dx

dM = -12x + 63 = 0

∴ x = 5.25

Momen lentur maksimum Mm = 2

)25.5(12 2− + 63 (5.25 - 2) = 39.38 kNm

Untuk menentukan titik kontralentur, letakkan M = 0

∴ M = 2

12 2x− + 63 (x-2) = 0

∴ -6x2 + 63x – 126 = 0

6x2 – 63x + 126 = 0

∴ x = a

acbb

2

42 −±−

= 62

126646363 2

×××−±

dan x = 7.81 atau 2.69

AKTIVITI 8

C B

1 m

RA

A

RC

3 m

C B

10 kN


UJI KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA.

SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DIHALAMAN BERIKUTNYA.

8.1 Apakah momen lentur ?

8.2 Sebatang rasuk disokong secara mudah di A dan D dan bebanan seperti Rajah 8.2. Kirakan daya ricih dan momen lentur rasuk tersebut.

Rajah 8.2

8.3 Lukiskan gambarajah daya ricih dan momen lentur bagi rajah di bawah;

Rajah Jasad Bebas

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 m

D

20 kN

1 m2 m

A

10 kN


Rajah 8.3

8.4 Lukiskan gambarajah daya ricih dan momen lentur untuk pembebanan rasuk seperti

Rajah 8.4

∩∩∩∩∩∩∩

MAKLUM BALAS 8

RD = 10 kNR

A = 20 kN

B C

0.5 m

D

15 kN/m

2 m2 m

A

Rajah 8.4


TAHNIAH KERANA ANDA TELAH MENCUBA.!!!!!!!!!

Maklum balas

8.1 Momen lentur ialah jumlah aljabar momen daya yang bertindak disebelah kanan atau kiri di sesuatu keratan rasuk.

8.2 Rajah Jasad Bebas

∑ DM = ∑ DM

-RA (4) + 10 (3) + 20 (1) = 04RA = 50

RA = 4

50 = 12.5 kN

F∑ = F∑

RA + RD = 10 + 20

RD = 17.5 kN

Daya Ricih Momen Lentur

A : 12.5 kN 0 < x < 1

RD

A D

20 kN

1 m2 m1 m

C

RA

B

10 kN


B : 12.5 – 10 = 2.5 kN M = 12.5x

C : 12.5 –10 – 20 = -17.5 kN pada, x =0, M=0

D : 12.5 – 10 – 20 + 17.5 = 0 x =1, M=12.5

1 < x < 3

M= 12.5x - 10(x-1)

pada, x =1, M=12.5

x =3, M=17.5

3 < x < 5

M = 12.5x - 10(x-1)-20(x-3)

pada, x =3, M=17.5

x =4, M=0

8.3Daya tindakbalas di sangga Daya Ricih

F∑ = F∑ A : 7.5 kN

RA + R C = 10 kN B : 7.5 – 10 = -2.5 kN

RA = 10 – 2.5 = 7.5 kN C : -2.5 + 2.5 = 0 kN

∑ AM = ∑ AM

10(1) = RC (4)

RC = 4

10 = 2.5 kN

Momen Lentur 0 < x < 1 1 < x < 4

RA = 20 kN V

M

x


M = 7.5x M – 7.5x + 10(x-1)

pada, x =0, M=0 M = 7.5x – 10(x-1)

x =1, M=7.5 pada, x =1, M=7.5

x =4, M=0

7.5

-2.5

8.4 Jadual 8.4 : Jadual daya ricih dan momen lentur

Julat Rajah Jasad Bebas Daya Ricih (kN) & Momen Lentur

(kNm)V = 20x = 0, V = 20

1 m

A

RC = 2.5 kN

3 m

C B

10 kN

G/RajahDaya Ricih (kN)

RA = 7.5kN

G/rajahMomen Lentur

7.5 kNm


0 ≤ x ≤ 0.5

x = 0.5, V = 20

M = 20xx=0, M=0x=0.5, M=10

0.5 ≤ x ≤ 2.5

15 kN/m

∩∩∩∩∩

0.5 x-0.5

V = 20 – 15(x-0.5)X = 0.5, V = 20X = 2.5, V = -10

M=20x -15(x-0.5)(x-0.5) 2 x=0.5, M=10x=2.5, M=20

2.5 ≤ x ≤ 4.5

15 kN/m

∩∩∩∩∩0.5 2 x-2.5

V

V = 20-30 = -10x = 2.5, V = -10x = 4.5, V = -10

M=20x-15(2)(x-1.5)M=20x-30(x-1.5)x=2.5, M=20x=4.5, M=0

∩∩∩∩∩∩∩

RD = 10R

A = 20

B C

0.5 m

D

15 kN/m

2 m2 m

A

10 kNm20 kNm

GDR (kN)

GML(kNm)

M

RA = 20 kN

V

RA = 20 kN

M


20

0

-10

PENILAIAN KENDIRI


Anda telah menghampiri kejayaan. Sebelum mencuba cuba soalan dalam penilaian kendiri ini, anda perlulah memahami dan mahir didalam unit sebelumnya. Semak jawapan dari pensyarah modul anda.

Selamat mencuba dan semoga berjaya !!!!!!!!!!!!!

1. Sebatang rasuk dibebankan seperti Rajah 1. Kirakan nilai Daya Ricih, momen lentur dan lukiskan Gambarajah Daya Ricih dan momen lentur.

∩∩∩∩∩

2. Sebatang rasuk sepanjang 6 m disokong mudah pada A dan B. Beban-bebannya dikenakan seperti Rajah 2.

A B

a) Kirakan daya tindakbalas pada penyokong RA dan RB

b) Kirakan magnitud daya ricih dan momen lentur pada setiap titik A, C, D, E dan B

c) Lakarkan daya ricih dan momen lentur

d) Nyatakan momen lentur maksimum dan jaraknya dari titik A

5 kN

A B C

1 m

D

5 kN/m

1 m2 m

10 kN

Rajah 1

1.5 m1.5 m

3 m

6 m

2 kN 5 kN

2 kN/m 2 kN/m

Rajah 2

C DE


MAKLUMBALAS KENDIRI


Adakah anda telah mencuba ?

Adakah anda telah mencuba??????????????Jika “Ya”, sila semak jawapan anda.

Jawapan

1.

Rajah Jasad Bebas

∩∩∩∩∩

Julat Rajah Jasad Bebas Daya Ricih (kN) & Momen Lentur

(kNm) 5 kN/m

V = 10.625 – 5xx = 0, V = 10.625

5 kN

A B C D

5 kN/m

1 m 1 m2 m

10 kN

RA = 10.625 R

B = 9.375


0 ≤ x ≤ 1 ∩∩∩∩∩∩

RA = 10.625 kN

x = 1, V = 5.625

M=10.625x-5x (x/2)x =0, M=0x =1, M=8.125

1 ≤ x ≤ 3

5 kN/m

∩∩∩∩∩

1 m x-1 V

RA = 10.625 kN

V = 10.625 – 5 – 5 V = 0.625x = 1, V = 0.625x = 3, V = 0.625M=10.625x -5(1)(x -1/2) -5(x -1)x =1, M=8.125x =3, M=9.375

3 ≤ x ≤ 4 ∩∩∩

V = 10.625 – 5 – 5 – 10 V = -9.375 x = 3, V = -9.375x = 4, V = -9.375

M=10.625x -5(1)(x-1/2)-5(x-1) -10(x-3)x =3, M=9.375x =4, M=0

M

5 kN

A B C D

5kN/m

1 m 1 m2 m

10 kN

RA = 10.625 R

B = 9.375

8.125 kNm

9.375 kNm

G/rajah Daya Ricih(kN)

G/rajah Momen Lentur(kNm)

G/rajahJasad Bebas

V x

M

M

V

5 kN10 kN

RA = 10.625 kN

5 kN/m

1 m 2 m x-3


∩∩∩∩∩

10.625

5.6250.625

0

-9.375

2. a) RA = 6.875 kN ; RB = 9.125 kNb)

Titik Daya Ricih (kN) Momen Lentur (kNm)A + 6.875 0C + 1.875 8.060


D + 1.875 10.875E - 6.125 11.440B - 9.125 0

c) Gambarajah Daya Ricih

Gambarajah Momen Lentur

d) Mmaks = 11.75 kNm ; 3.94 m

6

3

-3

-6

-9

3 6L (m)

V (kN)

12

8

4

3 6L (m)

M (kNm)

unit 8 kaji daya bahan

Engineering