ps_02&03_deskripsi numerik data_2015_ok.pdf

101
Deskripsi Numerik Data Ahmad Chirzun Dosen Tetap Teknik Industri Fakultas Sains dan Teknologi 2015 Pengantar Statistika Pertemuan ke : 02 & 03

Upload: sangga-buana-komara

Post on 18-Dec-2015

44 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

  • Deskripsi Numerik Data

    Ahmad Chirzun

    Dosen Tetap Teknik Industri

    Fakultas Sains dan Teknologi

    2015

    Pengantar Statistika Pertemuan ke : 02 & 03

  • Sasaran Kuliah :

    Deskripsi Numerik Data

    1. Ukuran Pemusatan Data (Mean- Median-modus Dan Relasinya, Quartil, Desil, Persentil) data berkelompok & tidak berkelompok dan aplikasinya.

    2. Ukuran Penyebaran Data (Variansi, Standar Deviasi, Variansi, Sebaran Normal Baku Z)

    3. Ukuran Kemiringan Data (Skew) Dan Kelancipan(kurtosis) Distribusi.

  • Istilah dalam Statistika

    Obyek Benda hidup atau mati yg diuji unsur-unsur, sifat dan kelakuannya melalui pengamatan, pengukuran dan penilaian guna mendpt info atau nilai-nilai yg berguna mengenai benda tsb

    Variabel Suatu sifat dari obyek atau unsur dari obyek yg dpt diamati atau diukur shg menghasilkan nilai, ukuran atau criteria lain yg dpt bervariasi

    Variate Angka/nilai ukuran/kriteria lain yg dicapai suatu variabel pada suatu individu atau unit statistika

  • Istilah dalam Statistika

    Variasi Adanya perbedaan antar nilai/variate/ukuran dll dari suatu variabel pada populasi atau sampel

    Variabilitas Kemungkinan untuk bervariasi dari nilai suatu variable pada suatu populasi atau sample

    Parameter Suatu variabel terukur yg digunakan sebagai kriteria untuk mengevaluasi suatu populasi atau sistem

  • Istilah dalam Statistika

    Nilai Parametrik Suatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dari perhitungan atau data sensus, masih harus di analisis.

    Nilai Statistik Suatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dari perhitungan atau data sensus.

  • Istilah dalam Statistika

    Statistika Parametrik : a. Membutuhkan pengukuran kuantitatif dengan data interval atau rasio b. mempertimbangkan jenis sebaran/distribusi data, yaitu apakah data

    menyebar normal atau tidak. c. Contoh metode statistika parametrik: uji-z (1 atau 2 sampel), uji-t (1

    atau 2 sampel), korelasi pearson, Perancangan Percobaan (1 or 2-way ANOVA parametrik), dll.

    Statistika Nonparametrik a. Membutuhkan data dengan data ordinal dan nominal b. Merupakan statistika bebas sebaran (tdk mensyaratkan bentuk

    sebaran parameter populasi, baik normal atau tidak). c. Contoh metode Statistika non-parametrik:Binomial test, Chi-square

    test, Median test, Friedman Test, dll.

  • Ukuran Pemusatan Data

    Ukuran Lokasi Data Berkaitan dengan Akurasi

  • Ukuran Pemusatan Data

    Yang termasuk ukuran pemusatan :

    1. Rata-rata hitung, Median, Modus untuk Data Tidak Berkelompok

    2. Rata-rata hitung, Median, Modus untuk Data Berkelompok

    3. Karakteristik, Kelebihan dan Kekurangan Ukuran Pemusatan

    4. Ukuran Letak (Kuartil, Desil dan Persentil)

  • Rata-rata hitung, Median, Modus untuk Data Tidak Berkelompok

  • Pengantar

    1. Ukuran Pemusatan

    Nilai tunggal yang mewakili suatu kumpulan data dan menunjukkan karakteristik dari data. Ukuran pemusatan menunjukkan pusat dari nilai data.

    2. Contoh pemakaian ukuran pemusatan

    (a) Berapa rata-rata harga saham?

    (b) Berapa rata-rata inflasi pada tahun 2003?

    (c) Berapa rata-rata pendapatan usaha kecil dan menengah?

    (d) Berapa rata-rata tingkat suku bunga deposito?

  • Rata Rata Hitung

    Rata-rata Hitung Sampel

    Rata-rata Hitung Populasi N

    X

    n

    XX

  • Contoh Rata Rata Hitung Populasi

    No

    Perusahaan

    Harga Per Lembar Saham

    1

    Mustika Ratu Tbk.

    550

    2

    Kimia Farma Tbk.

    160

    3

    Bank Buana Nusantara Tbk.

    650

    4

    Heru Supermarket Tbk.

    875

    5

    Berlian Laju Tangker Tbk.

    500

    6

    Hexindo Adi Perkasa Tbk.

    360

    7

    Bank Lippo

    370

    8

    Jakarta International Hotel Tbk.

    450

    No

    Perusahaan

    Harga Per Lembar Saham

    9

    Indosiar Visual Mandiri Tbk.

    525

    10

    Timah Tbk.

    700

    11

    Bank Danpac Tbk.

    500

    12

    United Tractor Tbk.

    285

    13

    Great River Int. Tbk.

    550

    14

    Asuransi Ramayana Tbk.

    600

    15

    Dankos Laboratories Tbk.

    405

    16

    Ultra Jaya Milik Tbk.

    500

    17

    Matahari Putra Prima Tbk.

    410

    18

    Lippo Land Development Tbk.

    575

    19

    Bank Swadesi Tbk.

    300

    20

    Ades Alfindo Tbk.

    550

    = X/N = 9.815/20 = 490,75

  • Contoh Rata Rata Hitung Sampel

    X = X/n = 85.959/8 = 9.551

    No

    Nama Perusahaan

    Total Aset (Rp. Miliar)

    Laba Bersih (Rp. Miliar)

    1

    PT Ind. Satelit Corp.

    22.598

    436

    2

    PT Telkom

    42.253

    7.568

    3

    PT Aneka Tambang

    2.508

    123

    4

    PT Astra Agro Lestari

    2.687

    180

    5

    PT Bimantara Citra

    4.090

    392

    6

    PT Alfa Retailindo

    603

    25

    7

    PT HM Sampurna

    10.137

    1.480

    8

    PT Mustika Ratu

    287

    15

    9

    PT Astra Graphia

    796

    65

  • Rata Rata Hitung Tertimbang

    4.038 Rata-rata hitung tertimbang

    347.092.736 85.959 Jumlah

    51.740 796 65 PT Astra Graphia 9

    4.305 287 15 PT Mustika Ratu 8

    15.002.760 10.137 1.480 PT HM Sampurna 7

    15.075 603 25 PT Alfa Retailindo 6

    1.603.280 4.090 392 PT Bimantara Citra 5

    483.660 2.687 180 PT Astra Agro Lestari 4

    308.484 2.508 123 PT Aneka Tambang 3

    319.770.704 42.253 7.568 PT Telkom 2

    9.852.728 22.598 436 PT Ind. Satelit Corp. 1

    wi . Xi wi Xi Nama Perusahaan No

  • Rata Rata Hitung Tertimbang

    Definisi: Rata-rata dengan bobot atau kepentingan dari setiap data berbeda. Besar dan kecilnya bobot tergantung pada alasan ekonomi dan teknisnya. Rumus: Xw = (w1X1 + w2X2 + + wnXn)/(w1 + w2 + +wn)

  • Rata-rata hitung, Median, Modus untuk Data Berkelompok

  • Rata Rata Hitung Data Berkelompok

    1. Data berkelompok adalah data yang sudah dibuat distribusi frekuensinya.

    2. Rumus nilai tengah = f. X/n

    Interval

    Nilai Tengah (X)

    Jumlah Frekuensi (f)

    f.X

    160-303

    231,5

    2

    463,0

    304-447

    375,5

    5

    1.877,5

    448-591

    519,5

    9

    4.675,5

    592-735

    663,5

    3

    1.990,5

    736-878

    807,0

    1

    807,0

    Jumlah

    n = 20

    Nilai Rata-rata ( fX/n)

    490,7

    f = 9.813,5

  • Rata Rata Hitung Data Berkelompok

    1. Setiap kelompok baik dalam bentuk skala interval maupun rasio mempunyai rata-rata hitung.

    2. Semua nilai data harus dimasukkan ke dalam perhitungan rata-rata hitung.

    3. Satu kelompok baik kelas maupun satu kesatuan dalam populasi dan sampel hanya mempunyai satu rata-rata hitung.

    4. Rata-rata hitung untuk membandingkan karakteristik dua atau lebih populasi atau sampel.

  • Sifat Rata Rata Hitung

    1. Rata-rata hitung sebagai satu-satunya ukuran pemusatan, maka jumlah deviasi setiap nilai terhadap rata-rata hitungnya selalu sama dengan nol.

    2. Rata-rata hitung sebagai titik keseimbangan dari keseluruhan data, maka letaknya berada di tengah data.

    3. Rata-rata hitung nilainya sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim yaitu nilai yang sangat besar atau sangat kecil.

    4. Bagi data dan sekelompok data yang sifatnya terbuka (lebih

    dari atau kurang dari) tidak mempunyai rata-rata hitung.

  • Median

    Definisi: Nilai yang letaknya berada di tengah data di mana data tersebut sudah

    diurutkan dari terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. Median Data tidak Berkelompok: (a) Letak median = (n+1)/2, (b) Data ganjil, median terletak di tengah, (c) Median untuk data genap adalah rata-rata dari dua data yang

    terletak di tengah. Rumus Median Data Berkelompok: n/2 - CF Md = L + x i f

  • Contoh Median Data Tidak Berkelompok

    Nomor urut

    Total Aset (Rp miliar)

    Nomor urut

    Laba Bersih (Rp miliar)

    1

    42.253

    1

    7.568

    2

    22.598

    2

    1.480

    3

    10.137

    3

    436

    4

    4.090

    4

    392

    5

    2.687

    5

    MEDIAN = 180

    6

    2.508

    6

    123

    7

    796

    7

    65

    8

    603

    8

    25

    9

    287

    9

    15

  • Contoh Median Data Berkelompok

    Letak median n/2 = 20/2=10; jadi terletak pada frek. kumulatif antara 7-16

    Nilai Median

    Md = 447,5 + (20/2) - 7 x143 9 = 495,17

    Interval

    Frekuensi

    Tepi Kelas

    Frek. Kumulatif

    160 - 303

    2

    159,5

    0

    304 - 447

    5

    303,5

    2

    448 - 591

    447,5

    7 Letak Median

    592 - 735

    3

    591,5

    16

    736 - 878

    1

    735,5

    878,5

    19

    20

  • Modus

    Definisi: Nilai yang (paling) sering muncul.

    Rumus Modus Data Berkelompok:

    Mo = L + (d1/(d1+d2)) x i

  • Contoh Modus Data Berkelompok

    24

    9

    Interval

    Frekuensi

    Tepi Kelas

    160 - 303

    2

    159,5

    304 - 447

    5

    303,5

    448 - 591

    d1

    9

    447,5 Letak

    Modus

    592 - 735

    d2 3

    591,5

    736 - 878

    1

    735,5

    878,5

    Letak modus pada frekuensi kelas paling besar = 9 kelas 448-591.

    Nilai Modus

    Mo = 447,5 + (4/(4+6)) x 143 = 504,7

  • Hubungan Rata-rata-median-modus

    1.Kurva simetris X= Md= Mo

    2. Kurva condong kiri

    Mo < Md < X

    3. Kurva condong kanan

    X < Md < Mo

    02468

    1012

    375 519

    Rt=Md

    =Mo

    663 807

    0

    5

    10

    15

    231 Mo Md Rt 663 807

    0

    5

    10

    15

    231 375 Rt Md Mo 807

  • Ukuran Letak (Kuartil, Desil dan Persentil)

  • Ukuran Letak: Kuartil

    Definisi: Kuartil adalah ukuran letak yang membagi 4 bagian yang sama. K1 sampai 25% data, K2 sampai 50% dan K3 sampai 75%. Rumus letak kuartil: Data Tidak Berkelompok Data Berkelompok K1 = [1(n + 1)]/4 1n/4 K2 = [2(n + 1)]/4 2n/4 K3 = [3(n + 1)]/4 3n/4

    0 K1 K2 K3 n

    0% 25% 50% 75% 100%

  • Contoh Kuartil Data Tidak Berkelompok

    1

    Kimia Farma Tbk.

    160 2

    United Tractor Tbk.

    285 3

    Bank Swadesi Tbk.

    300 4

    Hexindo Adi Perkasa Tbk.

    360 5

    Bank Lippo

    (K1)

    370 6

    Dankos Laboratories Tbk.

    405 7

    Matahari Putra Prima Tbk.

    410 8

    Jakarta International Hotel Tbk.

    450 9

    Berlian Laju Tangker Tbk.

    500 10

    Mustika Ratu Tbk.

    (K2)

    550 11

    Ultra Jaya Milik Tbk.

    500 12

    Indosiar Visual Mandiri Tbk.

    525 13

    Great River Int. Tbk.

    550 14

    Ades Alfindo Tbk.

    550 15

    Lippo Land Development Tbk.

    (K3)

    575 16

    Asuransi Ramayana Tbk.

    600 17

    Bank Buana Nusantara Tbk.

    650 18

    Timah Tbk.

    700 19

    Hero Supermarket Tbk.

    875

    Letak Kuartil K1 = [1(19 + 1)]/4 = 5 = 370 K2 = [2(19 + 1)]/4 = 10 =550 K3 = [3(19 + 1)]/4 = 15 =575

  • Contoh Kuartil Data Berkelompok

    Rumus: NKi = L + (i.n/4) Cf x Ci Fk Letak K1= 1.20/4 = 5 (antara 2-7) Letak K2=2.20/4=10 (antara 7-16) Letak K3 = 3.20/4 = 15 (antara 7-16) Jadi: K1 = 303,5 +[5-2)/5] x 143 = 389,3 K2 = 447,5 +[(10-7)/9] x 143 = 495,17 K3 = 447,5 +[(15-7)/9] x 143=574,61

    Interval Frekuensi

    Tepi Kelas

    160 - 303

    2

    0

    159,5

    304 - 447

    5

    2 K1

    303,5

    448 - 591

    9

    7 K2 dan K3

    447,5

    592 - 735

    3

    16

    591,5

    736 - 878

    1

    19

    20

    735,5

    878,5

    Frekuensi Kumulatif

  • Ukuran Letak: Desil

    Definisi: Desil adalah ukuran letak yang membagi 10 bagian yang sama. D1 sebesar 10% D2 sampai 20% D9 sampai 90% Rumus Letak Desil: Data Tidak Berkelompok Data Berkelompok D1 = [1(n+1)]/10 1n/10 D2 = [2(n+1)]/10 2n/10 . D9 = [9(n+1)]/10 9n/10

  • Grafik Letak Desil

    0%

    0

    20%

    D2

    40%

    D4

    60%

    D6

    80%

    D'8

    100%

    n

  • Contoh Desil Data Tidak Berkelompok

    1

    Kimia Farma Tbk.

    160 2

    United Tractor Tbk.

    D1 285 3

    Bank Swadesi Tbk.

    300 4

    Hexindo Adi Perkasa Tbk.

    360 5

    Bank Lippo

    370 6

    Dankos Laboratories Tbk.

    D2

    405 7

    Matahari Putra Prima Tbk.

    410 8

    Jakarta International HotelTbk.

    450 9

    Berlian Laju Tangker Tbk.

    500 10

    Mustika Ratu Tbk.

    550 11

    Ultra Jaya Milik Tbk.

    500 12

    Indosiar Visual Mandiri Tbk.

    525 13

    Great River Int. Tbk.

    550 14

    Ades Alfindo Tbk.

    550 15

    Lippo Land Development Tbk.

    575 16

    Asuransi Ramayana Tbk.

    600 17

    Bank Buana Nusantara Tbk.

    650 18

    Timah Tbk.

    D3

    700 19

    Hero Supermarket Tbk.

    875

    Letak Desill D1 = [1(19+1)]/4 = 2 = 285 D3 = [3(19+1)]/4 = 6 = 405 D9 = [9(19+1)]/4 = 18 =700

  • Contoh Desil Data Berkelompok

    Rumus: NDi = L + (i.n/10) cf x Ci Fk Letak D1= 1.20/10= 2 (antara 0-2) Letak D5= 5.20/10= 10 (antara 7-16) Letak D9 = 9.20/10=18(antara 16-19)

    Jadi: D1= 159,5 +[(20/10) - 0)/2] x 143=302,5 D5= 447,5 +[(100/10) - 7)/9] x143=495,17 D9 = 591,5 +[(180/10) - 16)/3] x 43= 686,83

    Interval

    Fre kuensi

    Frek. Kumulatif

    Tepi Kelas

    160-303

    2

    0

    D1

    159,5

    304-447

    5

    2

    303,5

    448- 591

    9

    7 D5

    447,5

    592-735

    3

    16

    D9

    591,5

    736- 878

    1

    19

    20

    735,5

    878,5

    9

  • Ukuran Letak: Persentil

    Definisi: Ukuran letak yang membagi 100 bagian yang sama. P1 sebesar 1%, P2 sampai 2% P99 sampai 99% Rumus Letak Persentil: DATA TIDAK BERKELOMPOK DATA BERKELOMPOK P1 = [1(n+1)]/100 1n/100 P2 = [2(n+1)]/100 2n/100 . P99 = [99(n+1)]/100 99n/100

  • Contoh Ukuran Letak Persentil

    1%

    P1

    3%

    P3

    99%

    P99

  • Contoh Persentil Data Tidak Berkelompok

    36

    Carilah persentil 15,25,75 dan 95? Letak Persentil P15= [15(19+1)]/100 = 3 = 300 P25= [25(19+1)]/100 = 5 = 370 P75= [75(19+1)]/100 = 15 = 575 P95= [95(19+1)]/100 = 19 = 875

    1

    Kimia Farma Tbk.

    160 2

    United Tractor Tbk.

    285 3

    Bank Swadesi Tbk.

    300 4

    Hexindo Adi Perkasa Tbk.

    360 5

    Bank Lippo

    P25

    370 6

    Dankos Laboratories Tbk.

    405 7

    Matahari Putra Prima Tbk.

    410 8

    Jakarta International Hotel Tbk.

    450 9

    Berlian Laju Tangker Tbk.

    500 10

    Mustika Ratu Tbk.

    550 11

    Ultra Jaya Milik Tbk.

    500 12

    Indosiar Visual Mandiri Tbk.

    525 13

    Great River Int. Tbk.

    550 14

    Ades Alfindo Tbk.

    550 15

    Lippo Land Development Tbk.

    575 16

    Asuransi Ramayana Tbk.

    600 17

    Bank Buana Nusantara Tbk.

    650 18

    Timah Tbk.

    700 19

    Hero Supermarket Tbk.

    875

    P15

    P95

    P75

  • Contoh Persentil Data Berkelompok

    37

    Carilah P22, P85, dan P96!

    Rumus: NDi = L + (i.n/100) cf x Ci Fk Letak P22= 22.20/100=4,4 (antara 2-7) Letak P85=85.20/100=17 (antara 16-19) Letak P96=96.20/100=19,2 (antara 19-0)

    Jadi: P22 = 303,5 +[(440/100)-2)/5] x 143=372,14 P85 = 591,5 +[(1700/100)-16)/3] x 143= 639,17 P96 = 735,5 +[(1920/100)-19)/1] x 143=764,1

    Interval

    Frekuensi

    Frek. Kumulatif

    Tepi Kelas

    160 - 303

    2

    0

    159,5

    304 447

    5

    2 P22

    303,5

    448 - 591

    9

    7

    447,5

    592 - 735

    3

    16 P85

    591,5

    736 - 878

    1

    19 P96

    20

    735,5

    878,5

  • Rata Rata Hitung

    38

  • Rata Rata Hitung, 1

    Sifat Rata Rata Hitung : 1. Nilainya dipengaruhi oleh observasi dan pengamatan 2. Nilainya dapat menyimpang terlaju jauh, bila dipengaruhi oleh

    bilangan bilangan ekstrim (nilai sangat besar atau kecil), sehingga untuk distribusi dengan kecondongan jelek dan rata rata hitung kehilangan makna.

    3. Nilainya tidak dapat dihitung dari distribusi yang mempunyai kelas terbuka.

    4. Jumlah penyimpangan semua nilai pengamatan dengan nilai rata rata hitung sama dengan nol.

    5. Jika selisih semua nilai pengamatan dengan nilai rata rata hitung di kuadratkan maka jumlahnya lebih kecil dari penyimpangan kuadrat semua nilai pengamatan dari titik lain selain rata rata hitung.

  • Rata Rata Hitung, 2

    Rumus umumnya :

    1. Untuk data yang tidak mengulang

    2. Untuk data yang mengulang dengan frekuensi tertentu

    data nilai Banyaknya

    data nilai semuaJumlah hitung rata-Rata

    n

    X

    n

    X...XX X n21

    f

    Xf

    f...ff

    Xf...XfXf X

    n21

    nn2211

  • Rata Rata Hitung, 3

    Data Tak Berkelompok

    Xi = nilai pengamatan

    N = Jumlah nilai pengamatan

    N

    i

    XiN 1

    1

  • Rata Rata Hitung, 4

    Data Berkelompok

    Fi= Jumlah frekuensi nilai pengamatan i

    Xi = Nilai Pengamatan ke i

    k

    i

    k

    i

    fi

    Xifi

    X

    1

    1

    .

  • Rata Rata Hitung, 3

    Contoh Rata Rata Hitung : Dalam Tabel Distribusi Frekuensi

    Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi fX

    9-21

    22-34

    35-47

    48-60

    61-73

    74-86

    87-99

    15

    28

    41

    54

    67

    80

    93

    3

    4

    4

    8

    12

    23

    6

    45

    112

    164

    432

    804

    1840

    558

    f = 60 fX = 3955

    65,92 60

    3955

    f

    Xf X

  • Rata Rata Hitung, 4

    3. Dengan Pembobotan Masing-masing data diberi bobot

    Misal A memperoleh nilai 65 untuk tugas, 76 untuk mid dan 70 untuk ujian akhir. Bila nilai tugas diberi bobot 2, Mid 3 dan Ujian Akhir 4, maka rata-rata hitungnya adalah :

    70,89 432

    (4)70(3)76(2)65 X

  • Median

    45

  • Median, 1

    Sifat Sifat Median : 1. Dipengaruhi oleh banyaknya observasi atau pengamatan, namun

    tidak dipegaruhi oleh nilai pengamatan, sehingga nilai median tidak dipengaruhi oleh bilangan bilangan ekstrem.

    2. Dapat dihitung dari distribusi yang memiliki kelas terbuka, kecuali jika kelas mediannya berada pada kelas terbuka tersebut.

    3. Sering digunakan pada distribusi yang memiliki kecondongan yang sangat jelek.

    4. Lebih dipengaruhi oleh fluktuasi sampling, namun adakalanya untuk distribusi tertentu median lebih konstan terhadap fluktuasi sampling.

    5. Jumlah penyimpangan nilai nilai dari Median lebih kecil daripada jumlah penyimpangan nilai nilai dari titik lain.

  • Median, 2

    Untuk data berkelompok

    median kelas frekuens i f

    median mengandung yang kelas

    sebelum kelas semua frekuens i jumlah F

    median kelas bawah batas L

    kelas interval c

    f

    F - 2

    n

    c L Med

    0

    0

  • Median, 3

    Contoh Median : Letak median ada pada data ke

    30, yaitu pada interval 61-73, sehingga :

    L0 = 60,5 F = 19 f = 12

    Interval

    Kelas

    Frekuensi

    9-21

    22-34

    35-47

    48-60

    61-73

    74-86

    87-99

    3

    4

    4

    8

    12

    23

    6

    f = 60

    72,42 12

    19 - 2

    60

    13 60,5 Med

  • Modus

    49

  • Modus, 1

    Modus dari suatu kelompok nilai adalah nilai kelompok tersebut yang mempunyai frekuensi tertinggi, atau nilai yang paling banyak terjadi didalam suatu kelompok nilai. Untuk selanjutnya kita singkat Mod.

    Suatu distribusi mungkin tidak mempunyai Mod atau mungkin mempunyai dua Mod atau lebih. Distribusi disebut

    UniModal, Kalau mempunyai satu mod , Bimodal kalau mempunyai dua mod, atau multimodal , kalau mempunyai lebih dari satu mod.

  • Modus, 2

    Sifat Sifat Modus : 1. Bisa tidak ada dan bisa lebih dari satu. 2. Dapat ditempatkan pada distribusi yang memiliki kelas terbuka. 3. Tidak dipengaruhi oleh bilangan bilangan yang ekstrem, dari

    suatu distribusi. 4. Perhitungan Modus tidak didasarkan pada seluruh nilai

    pengamatan, tetapi didasarkan pada inidividu individu yang berada pada titik tempat terjadinya pemusatan terbanyak.

  • Modus, 2

    Untuk data berkelompok

    modus kelassesudah kelassatu tepat frekuensi

    dengan modus kelas frekuensi antaraselisih b

    modus kelas sebelum kelassatu tepat frekuensi

    dengan modus kelas frekuensi antaraselisih b

    kelas interval c

    modus kelasbawah batas L

    b b

    b c L Mod

    2

    1

    0

    21

    10

  • Modus, 3

    Contoh Modus : Data yang paling sering muncul adalah

    pada interval 74-86, sehingga : L0 = 73,5 b1 = 23-12 = 11 b2 = 23-6 =17

    Interval Kelas

    Frekuensi

    9-21

    22-34

    35-47

    48-60

    61-73

    74-86

    87-99

    3

    4

    4

    8

    12

    23

    6

    f = 60

    78,61 17 11

    11 13 73,5 Mod

  • Hubungan Empiris Antara Nilai Rata-rata Hitung, Median, Dan Modus, 1

    Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data :

    1. Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri.

    2. Jika Mod

  • Hubungan Empiris Antara Nilai Rata-rata Hitung, Median, Dan Modus, 2

    Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat hubungan : Rata-rata hitung-Modus = 3 (Rata-rata hitung Median)

    Med X3 Mod - X

  • Hubungan Empiris Antara Nilai Rata-rata Hitung, Median, Dan Modus, 3

    Modus Median Mean

    Modus Median

    ModusMedian

    Mean

    Mean

  • Tugas

  • Soal Tugas

    Menurut survei tahun 1998 yang dilakukan oleh sebuah lembaga dilaporkan bahwa gaji seorang karyawan pada saat masuk untuk tingkat sarjana dengan interval antara Rp 500.000,- sampai dengan Rp.800.000,- Perbulan. Sampel diambil dari 30 responden, dan diperoleh data gaji pada saat pertama kali masuk kerja dalam ribuan rupiah sebagai berikut:

  • Soal Tugas

    Data Gaji Pertama :

    Dibuat dalam Bentuk Data Tunggal

    a. Berapa rata-rata gaji karyawan pada saat masuk?

    b. Berapa Modus untuk gaji karyawan pada saat masuk?

    c. Berapa Median untuk gaji karyawan pada saat masuk ?

    700 600 725 500 770 820

    750 525 690 770 780 780

    800 575 680 700 650 860

    785 800 580 695 650 760

    650 750 550 750 700 540

  • Soal Tugas

    Data Gaji Pertama :

    Dibuat dalam Bentuk Data Kelas

    a. Berapa rata-rata gaji karyawan pada saat masuk?

    b. Berapa Modus untuk gaji karyawan pada saat masuk?

    c. Berapa Median untuk gaji karyawan pada saat masuk ?

    700 600 725 500 770 820

    750 525 690 770 780 780

    800 575 680 700 650 860

    785 800 580 695 650 760

    650 750 550 750 700 540

  • Kuartil

    61

  • Kuartil, 1

    Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar.

    Ada 3 jenis yaitu

    a. Kuartil pertama (Q1) atau kuartil bawah,

    b. Kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah, dan

    c. Kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas.

  • Kuartil, 2

    Untuk data tidak berkelompok

    Untuk data berkelompok

    c = lebar kelas

    L0 = batas bawah kelas kuartil

    F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Qi f = frekuensi kelas kuartil Qi

    1,2,3 i ,

    4

    1ni-ke nilai Qi

    1,2,3 i , f

    F -4

    i.n

    cL Q 0i

  • Kuartil, 3

    Contoh :

    Q1 membagi data menjadi 25 %

    Q2 membagi data menjadi 50 %

    Q3 membagi data menjadi 75 %

    Sehingga :

    Q1 terletak pada 48-60

    Q2 terletak pada 61-73

    Q3 terletak pada 74-86

    Interval Kelas

    Nilai Tengah (X)

    Frekuensi

    9-21

    22-34

    35-47

    48-60

    61-73

    74-86

    87-99

    15

    28

    41

    54

    67

    80

    93

    3

    4

    4

    8

    12

    23

    6

    f = 60

  • Kuartil, 3

    Untuk Q1, maka :

    Untuk Q2, maka :

    Untuk Q3, maka :

    54 8

    11 -4

    1.60

    1347,5 Q1

    72,42 12

    19 -4

    2.60

    1360,5 Q2

    81,41 23

    31 -4

    3.60

    1373,5 Q3

  • Desil

    66

  • Desil, 1

    Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar.

    Untuk data tidak berkelompok

    Untuk data berkelompok

    L0 = batas bawah kelas desil Di

    F = jumlah frekuensi semua

    kelas sebelum kelas desil Di

    f = frekuensi kelas desil Di

    91,2,3,..., i ,

    10

    1ni-ke nilai Di

    91,2,3,..., i , f

    F -10

    in

    cL D 0i

  • Desil, 2

    Contoh :

    D3 membagi data 30%

    D7 membagi data 70%

    Sehingga :

    D3 berada pada 48-60

    D7 berada pada 74-86

    Interval Kelas Nilai Tengah (X)

    Frekuensi

    9-21

    22-34

    35-47

    48-60

    61-73

    74-86

    87-99

    15

    28

    41

    54

    67

    80

    93

    3

    4

    4

    8

    12

    23

    6

    f = 60

  • Desil, 3

    Perhitungan :

    58,875 8

    11 -10

    3.60

    1347,5 D3

    79,72 23

    31 -10

    7.60

    1373,5 D7

  • Persentil

    70

  • Persentil

    Persentil

    Untuk data tidak berkelompok

    Untuk data berkelompok

    991,2,3,..., i ,

    100

    1ni-ke nilai Pi

    991,2,3,..., i , f

    F -100

    in

    cL P 0i

  • Ukuran Penyebaran Data

    Ukuran Variasi Data Berkaitan dengan Presisi

  • Ukuran Penyebaran Data

    Suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya.

    Ukuran penyebaran membantu mengetahui sejauh mana suatu nilai menyebar dari nilai tengahnya, semakin kecil semakin besar.

  • Penggunaan Ukuran Penyebaran Data

    Rata-rata bunga bank 11,43% per tahun, namun kisaran bunga antar bank dari 7,5% - 12,75%

    Rata-rata inflasi Indonesia 1995-2001 sebesar 18,2% dengan kisaran antara 6% - 78%

    Harga rata-rata saham Rp 470 per lembar, namun kisaran saham sangat besar dari Rp 50 - Rp 62.500 per lembar

  • Ukuran Variansi

    Seberapa besar penyebaran atau

    penyimpangan nilai data dari nilai rata-

    rata hitungnya.

  • Mengapa Ukuran Variasi Penting ?

    Nilai mean hanya menekankan pada pusat data, tidak memberikan informasi tentang bagaimana sebaran nilai datanya.

    Untuk membandingkan sebaran dari dua distribusi data secara lebih rinci.

  • Perhatikan Ilustrasi 1 ini :

    Nilai siswa dari dua Kelas A dan B dengan nilai mean sama.

    A 60 80 70 70 75 65 70

    Kelas Nilai Mean

    B 55 95 55 90 35 90 70

    Jika berdasarkan nilai Mean, siswa di kedua kelas tsb mempunyai kemampuan sama.

  • Namun, perhatikan sebaran data tiap kelas pada kedua diagram ini :

    78

    70

    80

    90

    100

    60

    50

    40

    30

    80

    90

    100

    60

    50

    40

    30

    Me =

    Kelas A Kelas B

    Cenderung Homogen Cenderung Heterogen

    70 Me =

  • Maka .

    Jadi dari dua rangkaian data yang memiliki nilai mean sama belum tentu

    mempunyai karakteristik sama, Karena besarnya penyimpangan nilai data dari nilai rata-ratanya untuk setiap kelas

    dapat berbeda.

    Siswa kelas A mempunyai kemampuan yang hampir seimbang, berbeda dengan kelas B. Seandainya syarat lulus min. nilai 60 maka siswa kelas B hanya 50% yang dapat lulus.

  • 80

    Penyimpangan nilai data terhadap nilai mean (ukuran variasi) dari dua rangkaian data dapat berbeda,

    yaitu :

    Me1 = Me2 Ukuran Variasi Berbeda

    Me1 Me2 Ukuran Variasi Berbeda

  • Me1 Me2 Ukuran Variasi Sama

    Me1 = Me2 Ukuran Variasi Sama

  • Gambaran Penyebaran Data

    A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10 C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10

    Contoh :

    = 55 R = 100 10 = 90

    Rata-rata

    A B C

    x

  • Beberapa Bentuk Ukuran Penyebaran

    1. Rata-rata sama, penyebaran berbeda

  • Beberapa Bentuk Ukuran Penyebaran

    2. Rata-rata berbeda dengan penyebaran berbeda

    3. Rata-rata berbeda dengan penyebaran sama

  • Ukuran Penyebaran Data

    Ukuran penyebaran Data meliputi :

    Rentang (Range)

    Deviasi Rata Rata (Avarage Deviation)

    Variansi (Variance)

    Deviasi Standar (Standard Deviation)

  • Rentang

    86

  • Range

    Definisi: Selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data. Semakin kecil nilai R maka kualitas data akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai r, maka kualitasnya semakin tidak baik.

    Rumus : R = X maks X min

    Contoh : Tentukan range dari data : 10,6,8,2,4 Jawab : R = Xmaks Xmin = 10 2 = 8

  • Deviasi Rata - Rata

    88

  • Deviasi Rata Rata

    Definisi: Jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi dibagi dengan banyaknya data.

    a. Data tunggal Rumus :

    SR =

    n

    xx

  • Contoh Soal : Deviasi Rata Rata Data Tunggal

    Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa adalah :7,5,6,3,8,7. Tentukan simpangan rata-ratanya ! Jawab: = = 6 SR = = 8/6 SR = 1,33

    x6

    7+8+3+6+5+7

    6

    676863666567

  • Gambaran Deviasi Rata - Rata

    Nilai X X - X |X X|

    100 45 45

    90 35 35

    80 25 25

    70 15 15

    60 5 5

    50 -5 5

    40 -15 15

    30 -25 25

    20 -35 35

    10 -45 45

    Jumlah 0 250

    Nilai X X - X |X X|

    100 45 45

    100 45 45

    100 45 45

    90 35 35

    80 25 25

    30 -25 25

    20 -35 35

    10 -45 45

    10 -45 45

    10 -45 45

    Jumlah 0 390

    Kelompok A Kelompok B

    DR = 250 = 25 10

    DR = 390 = 39 10

    Rata-rata

    Rata-rata

  • Standar Deviasi, 1

    Akar pangkat dua dari Variansi.

    Disebut juga Simpangan Baku.

    1 -n n

    X - Xn Satau

    1 -n

    X - X S

    222

    Data tidak berkelompok :

    Data berkelompok :

    f n

    1 -n n

    2fX - fX2n Satau

    1 - f

    X - Xf S

    2

  • Standar Deviasi, 2

    Contoh 1 :

    Interval Kelas X f

    9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

    15 28 41 54 67 80 93

    3 4 4 8

    12 23 6

    2592,85 1437,93

    621 142,09

    1,17 198,25 733,33

    7778,55 5751,72

    2484 1136,72

    14,04 4559,75 4399,98

    f = 60 26124,76

    2X - X 2X - Xf

    21,04 442,79 S

    442,79 1-60

    76,26124 S2

  • Standar Deviasi, 3

    Menghitung Variansi dan Standar Deviasi juga dapat menggunakan Kode (U).

    1 -n n

    fU - fUnc S

    2222

    f n , 1 -n n

    fU - fUnc S

    22

  • Standar Deviasi, 4

    Contoh 2 : Interval Kelas X U f fU fU2

    9-21

    22-34

    35-47

    48-60

    61-73

    74-86

    87-99

    15

    28

    41

    54

    67

    80

    93

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    3

    4

    4

    8

    12

    23

    6

    -9

    -8

    -4

    0

    12

    46

    18

    27

    16

    4

    0

    12

    92

    54

    f = 60 fU = 55 205

    21,04 442,79 S

    442,79 1 - 6060

    55 - 2056013 S

    2

    22

  • Simpangan Rata - Rata

    96

  • Simpangan Rata Rata

    Definisi: Simpangan rata-rata dari sekumpulan bilangan adalah : nilai rata-rata hitung harga mutlak simpangan-simpangannya.

    a. Data tunggal Rumus :

    SR =

    n

    xx

  • Contoh Soal : Simpangan Rata Rata Data Tunggal

    Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa adalah :7,5,6,3,8,7. Tentukan simpangan rata-ratanya ! Jawab: = = 6 SR = = 8/6 SR = 1,33

    x6

    7+8+3+6+5+7

    6

    676863666567

  • Simpangan Rata Rata

    b. Data Berbotot/Kelompok Rumus :

    SR =

    x = data ke-i (data berbobot )

    = titik tengah kelas interval ke-i (data kelompok )

    F = frekuensi

    f

    xxf

  • Contoh Soal : Simpangan Rata Rata Data Berbobot

    Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut :

    Data Frekwensi x

    3 5 2 4

    6 8 4 7

    9 11 8 10

    12 - 14 6 13

    Jumlah 20

    [email protected]

  • END

    Senin : 10 11:40 13 14:40