INTEGRASI NUMERIK

TEORI DASAR

1. Metode Gauss Quadrature

Tinjauan Gauss dalam perhitungan integral =b

a

dxxfI )( berdasarkan nilai F(x)

dalam sub-interval yang tidak berjarak sama, melainkan simetris terhadap titik tengah

interval. Jika =b

a

dxxfI )( sebagai fungsi integran, maka dengan mengubah variabeL bebas

x dengan t dalam hubungan 2

)()( tabbax

++= , batasan integrasi menjadi 1=t dan

1=t . Nilai )(xf menjadi

)(2

)()()( tftabbafxf =

++= (1)

Karena dtabdx2

)( = , maka I menjadi

=

1

1

)(2

)( dttfabI (2)

Dengan menyatakan

1

1

)( dttf sebagai

++++=1

1332211 )(...)()()()( nn tfwtfwtfwtfwdttf (3)

Dengan ntttt ,...,, 321 adalah titik dalam interval t=-1 ke t=1 dengan hubungan variabel x

dengan t :

11 2)()(

tabba

x++

= , 22 2)()(

tabba

x++

= , dan seterusnya, maka

+++

=

b

a

nn tfwtfwtfwabdxxf )](...)()([2)()( 2211 (4)

Atau persamaan (4) diatas dapat ditulis sebagai

=

=

b

a

n

iii tfwabdxxf

1)(

2)()( (5)

a) untuk orde 1 = 0.33332

b) untuk orde 2 =0.495447

c) untuk orde 3 = 7.819479

2. Metode Monte Carlo

Dengan menggunakan metode ini, kita bisa mengatur kehalusan data yang dihasilkan dengan mengubah-ubah jumlah segmentasi yang diinginkan

n

xfxf

xfxf

xfabdxxfIb

a

=

=

==

)()(

)()(

,)()()(

HASIL PRAKTIKUM

Didapatkan hasil integrasi dari fungsi-fungsi berikut :

Didapatkan hasil integrasi dari fungsi-fungsi berikut : Waktu Komputasi

Metoda GK (t1) Waktu Komputasi Metoda MC (t2)

t1 : t2

dxx1

0

2 0.000000 0.016 dengan jumlah

segmentasi 1 0:0.016

dydxxy 1

0

2

1

2 0.000000 55.578 dengan

jumlah segmentasi 1

0:55

Nilai Integral Metoda Gauss

Waktu Komputasi Metoda MC (t2)

dxx1

0

2 2.3333333 2.4012

dydxxy 1

0

2

1

2 13.999999 13.881316

// Integrasi Numerik //Metode Gauss Quadrature //Integral lipat 1 untuk fungsi f(x)=x^2 terhadap dx #include #include #include #include #include /* Daftar Variable a,b : batas integral n : orde */ int main() { clock_t awal, akhir; float w[10], t[10], a, b, f; int i,n; printf("Fungsi yang akan diintegrasikan adalah f(x)=x*x\n"); printf("Masukkan batas bawah : "); scanf("%f",&a); printf("Masukkan batas atas : "); scanf("%f",&b); printf("Masukan orde n yang akan dipilih 2 atau 3 \n"); scanf("%i",&n); if (n == 2){ w[1]= 1.; w[2]= 1.; t[1]= -0.577350269; t[2]= 0.577350269; f=0.; awal = clock(); for(i=1;i

f=0.; awal = clock(); for(i=1;i

awal = clock(); for(i=1;i

//Modul 6 Integrasi Numerik Metode Monte Carlo //Integral lipat untuk fungsi f(x)=x*x terhadap dx #include #include #include #include #include int main () { clock_t awal, akhir; printf ("Diketahui Bentuk Fungsi: f(x)=x*x\n\n"); float a,b,Fo,F,dF; int i,n; printf ("Tentukan batas bawah :"); scanf ("%f",&a); printf ("Tentukan batas atas :"); scanf ("%f",&b); printf ("Tentukan jumlah segmentasi awal :"); scanf ("%i",&n); Fo = 0.; awal = clock(); do { F = 0; for (i=1;i1e-3); akhir = clock(); printf ("\n\nHasil Integral = %f", F); printf("\nWaktu : %f detik\n",(akhir-awal)*1./CLK_TCK); getch(); return 0; }

//Modul 6 Integrasi Numerik Metode Monte Carlo //Integral lipat 2 untuk fungsi f(x)=x*y*y terhadap dxdy #include #include #include #include #include

int main () { clock_t awal, akhir; printf ("Diketahui Bentuk Fungsi: f(x,y)=x*y*y\n\n"); double a,b,c,d,Fo,F,dF,x,y; int nx, ny, i, j; printf ("Tentukan batas bawah integrasi x :"); scanf ("%lf",&a); printf ("Tentukan Batas atas integrasi x :"); scanf ("%lf",&b); printf ("Tentukan jumlah segmentasi awal x:"); scanf ("%i",&nx); printf ("Tentukan batas bawah integrasi y :"); scanf ("%lf",&c); printf ("Tentukan batas atas integrasi y :"); scanf ("%lf",&d); printf ("Tentukan jumlah segmentasi awal y:"); scanf ("%i",&ny); Fo = 0.; awal = clock(); do { F = 0.; for (i=1;i

METODE DEKOMPOSISI MATRIKS LU

Contoh aplikasi dari system persamaan linear yaitu sebagai berikut :

Gambar 1. rangkaian dengan 8R dan 4E

Dari hukum Kirchoff I dan II diperoleh :

Loop I :

]2....[]1...[

00

321

1443311

1443311

iiiERiRiRiERiRiRi

iRE

+=

=++

=++

=+

Loop II :

]4...[)3...(

00

652

2335522

2335522

iiiERiRiRiERiRiRi

iRE

+=

=+

=+

=+

Loop III :

]6...[)5...(

00

741

3778844

3778844

iiiERiRiRiERiRiRi

iRE

+=

=++

=++

=+

Loop IV :

)8...()7...(

00

867

4668855

4668855

iiiERiRiRi

ERiRiRiiRE

+=

=+

=++

=+

Dari 8 persamaan tersebut, kita dapatkan 4 persamaan linear dengan 8 variabel. Untuk dapat

membentuk sebuah matrik bujur sangkar, maka kita harus mereduksi 4 persamaan dengan 8

variabel tersebut menjadi 4 persamaan linear dengan 4 variabel. Sehingga persamaan-

persamaan diatas menjadi :

Loop I : 1443311 ERiRiRi =++ (9)

Loop II : 2445322 2 ERiRiRi =+ (10)

Loop III : 37448322871 )()( ERRiRiRiRRi =++ (11) Loop IV : 4654865386211 )()()( ERRiRRRiRRiRi =+++++++ (12) Persamaan-persamaan tersebut dapat dibuat matrik sebagai berikut :

=

++++

++

4

3

2

1

4

3

2

1

65865861

748287

452

431

)()()()()(

200

EEEE

iiii

RRRRRRRRRRRRRR

RRRRRR

Dan matriks tersebut dapat diselesaikan menggunakan metode dekomposisi LU dengan

rumusan sebagai berikut :

ELYYUI

LURERI

=

=

=

=

(13)

Untuk menghitung besarnya masing-masing arus, digunakan program devC++ yaitu :

//Sistem Persamaan Linear //Rangkaian dengan 8 buah sumber tegangan (baterai) dan 4 buah tegangan #include #include #include #include int main() { float R[8], E[4], A[4][4], U[4][4], L[4][4], I[8], Y[4], D, X, F, G; int i, j, k; FILE *coba; if((coba = fopen("candra.txt", "w")) == NULL){ printf("File tidak dapat dibuka\n"); } printf ("C! \n"); for (i=1;i

{ F = F + L[i][k]*U[k][j]; } U[i][j] = A[i][j] - F; } for (i=j+1;i

printf("I=%f",I[4]); for (i=3;i>=1;i--) { X=0.; for (j=i+1;j

} printf ("\n"); fprintf (coba,"\n"); } printf ("\nMaka Matriks U: \n"); fprintf (coba,"\nMaka Matriks U: \n"); for (i=1;i

PERSOALAN NILAI EIGEN

Pada pengerjaan ini saya menggunakan nilai dari A adalah 2 sehingga vektornya menjadi:

=

/4/3/2/1

/4/3/2/1

2/00002/002/00002/

E

AAAAA

A

=

/4/3/2/1

/4/3/2/1

1000012002100001

E

Secara analitik kita mendapatkan nilai eigen dari persamaan di atas adalah dengan cara

menghitung determinan matriks berikut:

0

1000012002100001

=

EE

EE

Determinan dari matriks ini akan didapat:

3211

0)3()1()3()1(

3

3

=

=

=+

+=

EEsehingga

EE

EEDet

Metode Shifted-Inverse Power Method ini hanya bisa menghitung nilai eigen yang berbeda. Jika nilai eigen ada yang sama maka kita harus menggunakan cara yang lain.

Secara analitik maka kita akan dapatkan nilai vektor eigen adalah

Untuk nilai eigen 1:

Vektor eigen =

222221212121

)1()1()1()1(||1||1||1||11

+++

>>+>>++>+>+>+>+=

zzzzzzzzX

Untuk nilai eigen 3:

Vektor eigen =

222121

)1()1(||1||11

+

>>+>+>=

zzzzX

Dengan menggunakan program dan nilai tebakan X mula-mula adalah [1 1 1 1]. Kita dapat memperoleh nilai eigen yang cocok dengan teori asalah kita menebak nilai alfa yang cukup dekat dengan nilai eigen tersebut (jangan tebak sama dengan nilai eigennya, hal ini akan membuat perhitungan error). Misalkan kita tebak alfa= 1.1 maka kita akan dapatkan nilai eigen 1 sedangkan kita tebak alfa =-3.1 maka kita akan dapatkan nilai eigen -3.

Vektor eigen yang didapat dari perhitungan program adalah sama dengan teori yaitu Untuk nilai eigen 1

222221212121

)1()1()1()1(||1||1||1||11

+++

>>+>>++>+>+>+>+=

zzzzzzzzX

Untuk nilai eigen -3

222121

)1()1(||1||11

+

>>+>+>=

zzzzX

Sebenarnya perhitungan dari computer tidaklah memberikan nilai yang selalu tepat 1. terkadang nilainya adalah 0.99999, namun kita pahami bahwa dalam numeric kita melakukan pendekatan, jadi tidak eksak lagi 100%.

Dari semua hal ini dapat disimpulakan bahwa perhitungan nilai dan vektor eigen yang dilakukan dengan computer adalah benar karena cocok dengan hasil teori.

#include #include #include #include

int main()

{ int i,j,k,l; float A[5][5],X0[5],Y0[5],X1[5],Y1[5],alfa,B[5][5],L[5][5],U[5][5],Y[5],C1,C0,delta,lamda;

for(i=1;i

U[i][j]= B[i][j];

for(k=1;k

for(j=4;j>=(i+1);j--){

Y0[i]=Y0[i]-U[i][j]*Y0[j]; } Y0[i]=Y0[i]/U[i][i]; }

C1=Y0[1]; for(i=2;i

Persamaan Differensial Biasa : Shooting Method

DATA

Shooting Method merupakan metode numerik untuk menerapkan syarat betas pada

solusi persamaan differensial biasa.

Diberikan contoh soal sebagai berikut : Benda bermassa 1 kg diikatkan pada pegas tak bermassa secara horizontal dengan

konstanta pegas 50 N/m, pegas tersebut diikatkan pada sebuah dinding kemudian system benda pegas disimpangkan sejauh 10 cm, jika tidak ada gesekan antara benda dengan lantai tentukan berapa sajakah kelajuan awal yang mungkin diberikan agar pada saat 10 detik dari simpangan awal tersebut benda berada pada titik kesetimbangan.

Metode ini memilih harga v1 awal dan v2 awal. Kemudian solusi y1 dan y2 dicari dari persamaan euler. Sehingga secara analitik dapat dianalisis sebagai berikut :

y = f (x,y,y) dimana y (x1) = y1 dan y(x2) = y2 Persamaan gerak diturunkan 2 kali terhadap waktu t, yaitu :

vdtdyyvtf ==),,(1 Dan y

m

kdt

ydyvtf == 22

2 ),,(

Dengan k = 50 N/m dan m = 1 kg, maka didapatkan persamaan Euler (untuk orde pertama) yaitu,

tyvtyvtfvv iiii =+=+ 50),,(21 dan,

tvytyvtfyy iiii +=+=+ ),,(11

Simpangan awal pada saat t = 0, adalah y = 0.1 dan saat t = 10, y = 0. kecepatan awal dalam persoalan kali ini ditebak jadi setelah mendapatkan nilainya digunakanlah persamaaan dibawah untuk mengetahui kecepatan awalnya :

112

1210 yyy

vvvv

=

Setelah didapatkan kecepatan awalnya, dengan metode euler dihitung simpangannya untuk setiap dx tertentu dengan progam yang telah dibuat. Dari penghitungan komputasi yang dilakukan didapatkan bahwa kecepatan awal yang diperlukan agar pada saat t = 10 simpangan y = 0, yaitu v = Nilai v = 0.052989959717, v = 0.0201873, v = 0.013320922, v = 0.01264953 m/s. Nilai kecepatan awal ini selalu didapatkan untuk setiap tebakan dua kecepatan yang berbeda tanda karena program

dibuat seperti itu, dengan nilai dt yang berbeda-beda didapatkan nilai kecepatan yang berbeda pula dan terdapat 4 nilai kecepatan yang memenuhi syarat , Dari penghitungan

secara komputasi menggunakan didapatkan plot grafik simpangan terhadap waktu sebagai berikut:

Pada percobaan kali ini, diberi suatu permasalahan nilai eigen yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Dari grafik ini dapat dilihat bahwa pada saat waktu adalah 10 detik maka simpangannya adalah 0. Ini sesuai dengan syarat batas yang diberikan. Satu hal yang juga membuktikan bahwa metode komputasi yang digunakan

Grafik t terhadap y dengan v = 0.0529899

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 2 4 6 8 10 12

waktu (s)

Sim

pan

gan

Pe

gas

(m)

benar adalah dari hasilnya yaitu grafik simpanganya sinusoidal. Hasil ini sesuai dengan teori bahwa persamaan untuk benda adalah persamaan osilasi. // Shooting methode #include #include #include #include double f(double v) { double y,t,dt,k ; //masukan variable yang diketahui //dengan simpangan pegas = 10cm = 0.1 m y = 0.1; t = 0; dt = 0.00001; k = 50; do { v = v - k*y*dt; y = y + v*dt; t = t + dt; } while(t0) { printf ("Maaf anda coba lagi!\n"); goto coba; } do { y1 = f(v1);

y2 = f(v2); printf ("y1=%lf\tv1=%lf\ty2=%lf\tv2=%lf\n",y1,v1,y2,v2); if(fabs(y2)>fabs(y1)) { v2 = (v1+v2)/2; } else { v1 = (v1+v2)/2; } } while(fabs(y2)>1e-6&&fabs(y1)>1e-6); printf ("Maka didapat hasil:\ny1=%5.12lf\t\tv1=%5.12lf\ny2=%5.12lf\t\tv2=%5.12lf",y1,v1,y2,v2); getch (); return 0; }

INTERPOLASI DATA

Pada percobaan kali ini mengenai Interpolasi yang memiliki pengertian yang lebih luas

merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak

diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan analitiknya

dengan masalah umum interpolasi ini yaitu menjabarkan data-data fungsi dalam fungsi

dekatan.

Berikut ini adalah tabel data dari hasil eksperimen :

NO Besaran Fisis X

Besaran Fisis Y

1 1 2.5 2 3 2.5 3 4 3.0 4 6 8.0 5 9 12.0 6 12 16.0 7 20 18.0 8 25 17.5 9 30 15.5 10 40 8.5 11 50 1.5

Maka dari bantuan Microsoft excel didapatkan grafik sebagi berikut :

Grafik 1. Grafik data hasil analitik

Setelah dibuat dari grafik tersebut, Langkah-langkah selanjutnya dalam melakukan

interpolasi pada data adalah membagi data-data sesuai dengan karakteristiknya untuk didekati

dengan interpolasi tertentu. Pada praktikum disini kita membagi data-data menjadi empat

bagian yaitu untuk range x dari 1 sampai 3, dilakukan interpolasi linier. Untuk range x dari 4

sampai 9, dilakukan interpolasi Lagrange dengan polinomial tingkat 2. Begitu juga dengan

data x dari 10 sampai 30 menggunakan interpolasi Lagrange polinomial tingkat 2. Kemudian,

data x dari 30 sampai 50 menggunakan interpolasi Linier. Hal tersebut untuk mendefinisikan

fungsi dekatan.

Maka setelah langkah tersebut dilakukan pemograman menggunakan dev C++ yaitu

sebagai berikut :

#include

#include

#include

#include

int main()

{

int i ;

float x1[100], x2[100], y1[100], y2[100], c0, c1, c2, L0, L1, L2;

Grafik Besaran Fisis X terhadap Y (Analitik)

0.02.04.06.08.0

10.012.014.016.018.020.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Besaran Fisis X

Be

sara

n Fi

sis

Y

FILE *hasil_candra;

if((hasil_candra = fopen("hasil.txt", "w")) == NULL){

printf("file tidak dapat dibuka\n");

}

//Dari hasil grafik kita menggunakan 4 range data yaitu sebagai berikut ini :

//1.grafik linier dengan Range data (1 - 3)

y1[1] = 2.5; x1[1] = 1.;

y1[3] = 2.5; x1[3] = 3.;

c0 = ((y1[1]*x1[3])-(y1[3]*x1[1]))/(x1[3]-x1[1]);

c1 = (y1[3]-y1[1])/(x1[3]-x1[1]);

for(i=1; i

//Grafik yang Linier dengan Range data (30 - 50)

y1[30] = 15.5; x1[30] = 30;

y1[50] = 1.5; x1[50] = 50;

c0 = ((y1[30]*x1[50])-(y1[50]*x1[30]))/(x1[50]-x1[30]);

c1 = (y1[50]-y1[30])/(x1[50]-x1[30]);

for(i=30; i

28 16.606060

29 16.090910

30 15.500000

31 14.800000

32 14.100000

33 13.400001

34 12.700001

35 12.000000

36 11.300000

37 10.600000

38 9.900001

39 9.200001

40 8.500000

41 7.800001

42 7.100000

43 6.400001

44 5.700001

45 5.000000

46 4.300001

47 3.600001

48 2.900001

49 2.200001

50 1.500001

Maka kembali dengan bantuan Microsoft excel kita dapat membuat grafik yaitu :

Grafik 2. Grafik data hasil pemograman

Grafik Besaran Fisis X terhadap Y (Hasil Program)

0.02.04.06.08.0

10.012.014.016.018.020.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55Besaran Fisis X

Be

sa

ran

Fi

sis

Y

ANALISIS

Dari grafik dapat dilihat bahwa grafik data diatas yang didapat dari hasil

pemrograman mendekati atau hampir sama dengan hasil analitik. Dari praktikum ini dengan

melakukan pendekatan interpolasi pada data-data diatas, maka kita dapat memperoleh nilai

dari tiap x yang belum diketahui. Jadi kita dapat melakukan interpolasi pada data dengan

menggunakan interpolasi linier, dan Interpolasi lagrange, Namun dalam pemograman,

praktikan tidak menggunakan Interpolasi kuadratik disebabkan menghindari rumitnya

program eliminasi gauss untuk mencari konstanta c0, c1, dan c2 secara berturut-turut,

sehingga resolusi dari hasil pemograman mungkin tidak seakurat menggunakan Interpolasi

kuadratik. Namun dalam hal ini praktikan mengetahui bahwasanya kita dapat menggunakan

pendekatan dengan Interpolasi Linier dan Interpolasi Lagrange.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

DATA

Metode Euler merupakan metode numerik yang paling sederhana untuk menyelesaikan

persamaan differensial. Dengan persamaan rekursifnya :

dxdyyxf

xyxfyy iiii=

++=+

),(

)(1..........................(1)

Pada percobaan ini diberikan kasus sebagai berikut :

Seorang penerjun payung memiliki massa efektif 80 kg, apabila gaya tahanan udara yang

dialaminya sebanding dengan laju jatuhnya penerjun dengan koefisien gesekan udara b=0.1.

Hitunglah berapa lama waktu yang diperlukanya untuk mencapai tanah jika ia melompat dari

ketinggian 1000m.

PENGOLAHAN DATA

Secara analitik :

= maF

010

0

0

42

2

2

2

2

2

2

2

=+

=+

=+

=

gdtdy

tdyd

gdtdy

m

btdyd

mgdtdyb

tdyd

m

tdyd

mdtdybmg

........................................................................................................(2)

Dalam bentuk lain menjadi :

010 4 =+ gvdtdv

Untuk Menyelesaikan persoalan differensial diatas maka menggunakan metode Euler yang

secara analitik sebagai berikut :

( )yxf ,1 : dtdyf y = (3) dan 2

2

dtydf v = (4) ,dan untuk turunan keduanya yaitu

( )yxf ,2 : 22

dtydfff vy == dan

=

m

bvmgm

bff v ..(5)

Maka berdasarkan persamaan 1 dan 2 didapatkan nilai ketinggian, waktu dan kecepatan :

Misalkan kita menggunakan nilai awal dengan i=0

Ketinggian

2802.08.91000

2)(

2),,(),,(

2

1

2

1

2

1

tvtvy

t

m

bvmgtvyy

tvyxfftvyxfyy

o

iiyiiiyii

++=

++=

++=+

Dengan i=0,1,2,3,

Kecepatan

2802.08.9

802.0

802.08.9

2)()(

2),,(),,(

2

1

2

1

2

1

tvtvvv

t

m

bvmgm

bt

m

bvmgvv

tvyxfftvyxfvv

o

o

iiviiivii

+=

++=

++=+

Waktu

ttt ii +=+1

ttt += 01

tt

tt

=+=

1

1 0

dengan n

ttt awalakhir

=

n adalah jumalah partisi

Persamaan-persamaan diatas dapat kita masukkan kedalam sebuah program agar takhir dapat

diketahui. Programnya adalah sebagai berikut:

//Nama : Candra Mecca Sufyana

//NIM : 10204039

//Praktikum Fiskom Modul07 Persamaan diferensial biasa

#include

#include

#include

#include

int main()

{

float m,b,g,v0,v,y0,y,dt,t;

FILE *hasil_039;

// biar umum maka h di soal = y aja di pemograman = ketinggian ;makasih mosi-mosi.

v0=0; y0=1000; g=9.8; m=80; t=0;

hasil_039=fopen("hasil_039.csv","w");

printf("Masukkan selang waktu yang anda inginkan!");

scanf("%f", &dt);

printf("Masukkan koefisien gesekan kinetik udara!");

scanf("%f", &b);

do{

fprintf(hasil_039,"%f,%f,%f\n", t,v0,y0);

// ngitungnya disini ah...

v = v0-(g+b*v0/m)*dt;

y = y0 + (v0+v)*dt/2;

t = t + dt;

v0 = v;

y0 = y;

}while(y0>=0);

fprintf(hasil_039,"%f,%f,%f\n", t,v0,y0);

fclose(hasil_039);

}

Dari pemograman tersebut maka didapatkan nilai kecepatan, ketinggian dan waktu yang

dapat dilihat dari microsoft excel dengan dt = 0.01 dan b=0.1, tidak dicantumkan dalam

laporan karena ga tau jadi ngeheng.

Maka didapatkan grafik sebagai berikut :

Dari hasil grafik yang didapat dapat dianalisa bahwa hasil yang didapatkan dari pemograman sesuai dengan persoalan kasus gerak jatuh bebas yang diberikan dalam artian semakin lama waktu maka semakin rendah pula ketinggian, dan hubungan antara waktu dan kecepatan adalah linear walaupun seharusnya kecepatan bernilai positif, dalam hal ini kita tidak mengabsolutkan nilai kecepatan sehingga grafik kecepatan yang didapat negative.

Grafik waktu terhadap ketinggian

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 2 4 6 8 10 12 14 16

waktu t

ketin

ggia

n y

Grafik waktu terhadap kecepatan

-160-140-120-100-80-60-40-20

00 2 4 6 8 10 12 14 16

waktu (s)

kece

pata

n

AKAR PERSAMAAN

Metode Newton Rapshon dan Iterasi Langkah langkah : Hal-hal yang diketahui : Benda 1 Benda 2

Massa : 1 kg

Mengalami gaya pegas dalam arah sumbu y dengan k =1 N/m

Kecepatan awal : jiv 5.01 +=

Massa : 1 kg

Mengalami gaya konstan sebesar 16 N dalam arah x

Kecepatan awal : jiv 242 +=

I. MENCARI PERSAMAAN GERAK BENDA I DAN BENDA II

Benda 1 :

022

2

2

2

2

2

=+

=

=

ydt

yd

dt

ydmky

dt

ydmF y

Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah : )sin( tAy =

dan

tx

tvx x

=

= ,1

Dari hukum kekekalan energi didapat :

22

2

1

2

1kymv =

Karena m=k=1, maka y=v1,x Sehingga persamaan gerak untuk benda 1 adalah

jtits )sin(2

11 +=v

Benda 2 :

1;016

16

2

2

2

2

2

2

==

=

=

mmdt

xd

dt

xdm

dt

xdmFx

162

2

=

dt

xd

Maka solusi persamaan tersebut adalah

ttx 48 2 += Dan

ty 2=

Sehingga persamaan gerak untuk benda 2 adalah

jtitts 2)48( 22 ++=v

Dengan mengeliminasi t didapatkan

xy

xy

212

1

2

1

)sin(2

1

2

1

++=

=

Karena benda tersebut bertemu disatu titik, berarti y1=y2, didapat

xxxxf 2)sin(2)(sin)( 2 +=

II. PROGRAM :

//MELIHAT GRAFIK DARI BENDA 1 DAN 2 dan MENENTUKAN TITIK TEMU KEDUA BENDA #include #include #include #include //MENENTUKAN TITIK int main () { float x, c, x0, y, y1, y2, dx, a, b, n, e, eps; int i; FILE *f; printf(" grafik lintasan kedua benda!\n"); printf (" Masukkan nilai x awal = "); scanf ("%f",&a); printf (" Masukkan nilai x akhir = "); scanf ("%f",&b); printf ("Silakan masukkan banyaknya titik yang akan digambar!\n"); printf (" n = "); scanf ("%f",&n); f = fopen ("plot39.xls","w"); for (i=0; i

printf (" x = %f y1 = %f y2 = %f \n",x,y1,y2); fprintf (f,"%f %f %f \n",x,y1,y2); }; fclose (f); //MENENTUKAN TITIK PERTEMUAN KEDUA BENDA printf ("\nGrafik dapat dilihat di file : grafik39.xls"); printf ("\n\n\n"); printf ("Saatnya menebak pertemuan kedua benda\n"); printf ("Tebak titik pertemuan kedua benda pada sumbu x!\n"); printf (" x = "); scanf ("%f",&c); e = 0.000001; do { x0 = c; c = c - (0.5*pow(sin(c),2.)+sin(c)-c)/(sin(c)*cos(c)+cos(c)-1.); eps = fabs(c-x0); } while (eps>e); y = 0.5*sin(c); printf ("\nmaka titik temu kedua benda tersebut adalah: \n"); printf (" x = %f y = %f \n\n",c,y); getch (); return 0; }

III. MENGGAMBAR GRAFIK KEDUA BENDA Untuk melihat r grafik kedua benda, dibutuhkan titik-titik yang melalui

persamaan garis diatas. Dan untuk menentukan titik-titknya digunakan komputasi dan dalam hal ini digunakan metode Newton Raphson. Dari program tersebut didapat 100 titik untuk membuat grafik. Kemudian 100 titik tersebut membentuk grafik seperti ini.

Gambar1. Grafik 2 benda

Grafik 2 benda

-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

11.2

0 1 2 3 4

x

f(x) Series1

Series2

IV. MENCARI TITIK TEMU KEDUA BENDA Didapatkan titik temu kedua benda menurut metode Newton Rapshon adalah x = 1.494129, y = 0498531 Sedangkan berdasarkan didapat : x = 1.48 dan y = 0.49