bab 2 integrasi numerik-1

1

06/10/2013

Matematika Teknik Kimia II

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

2

Metode Integrasi Numerik→metode integrasi yg berhubungan

langsung dgn data percobaan.

Integrasi

Numerik

Gauss’ Method

Simpson’s Rule

Trapezoidal’s

Rule


UNLAM


3

Gambar disamping

menunjukkan penerapan

integrasi numeris dgn

cara trapezoidal yg

dilakukan beruntun pd

daerah harga peubah

(variabel) batas yg

ditinjau.

y

Δx

x

x0=a x1 x2 xi xi+1 xn=b


UNLAM


4

Utk menghitung dgn cara Trapezoidal, daerah harga antara x=a dan x=b dibagi menjadi interval yg sama sebanyak n.∆x

Harga ditunjukkan sebagai jumlah luas trapesium yg terbentuk.

Tinjau bagian luasan antara xi dan xi+1 pd gambar yg merupakan salah satu trapesium yg terbentuk.

b

dxy a

b

dxy a


UNLAM


5

Integral dpt didekati dgn luas trapesium yg terbentuk.

Sehingga:

Integral dpt didekati dgn jumlah luas semua

trapesium yg terbentuk seperti terlihat pd gbr di atas.

atau

Cara ini disebut Cara Trapezoidal n+1 titik, krn

menggunakan n+1 titik ordinat.

xxi

dxy xi

1ii1ii21

xxi

yy2

xyy

n

a-bdxy

xi

b

dxy a

2

y...yy

2

y

n

a-bdxy n

21

0

bx

ax

n1-n210

bx

yy...y2y2y2

xdxy

ax


UNLAM

Matematika Teknik Kimia II 5

6

Contoh:

Diket data hubungan y dan x ditunjukkan dlm tabel.

Tentukan dgn cara Trapezoidal 2 ttk, 3 ttk dan

5 ttk.

x 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

y 0.343 0.512 0.729 1.0 1.331

1.1x

7.0

dxy x


UNLAM


Penyelesaian:

Trapezoidal 2 ttk:

Trapezoidal 3 ttk:

Trapezoidal 5 ttk:

Trapezoidal→hasil makin baik dgn makin kecilnya ∆x, atau

makin banyaknya jumlah ttk ordinat x yg diperhitungkan.

3348.0331.1343.02

7.01.1dxy

1.1x

7.0

x

3132.0331.1)729.0(2343.04

7.01.1dxy

1.1x

7.0

x

3078.0331.1)1(2)729.0(2)512.0(2343.08

7.01.1dxy

1.1x

7.0

x


UNLAM

7 Matematika Teknik Kimia II

8

Cara Simpson menggunakan persamaan

polynomial order-3 dan yg melalui 3 ttk yg

equidistant (berjarak sama). Bentuk

persamaannya: y=a0+a1x+a2x2+a3x

3

Substitusikan peubah baru z dgn

menggunakan persamaan: z=(x-x1)/h,

sehingga dz=(1/h) dx


UNLAM


9

Integrasi fungsi y pd daerah

harga x dari x=x0 sampai x=x2

dpt ditulis:

Dan 3 ttk ordinat y0, y1, y2

berturut2 pd z=-1, z=0 dan z=+1

y

y1

y0

h

x

h

x2x1x0

y2


UNLAM

9

Jika interval (x) besar dan penurunan dari nilai

y tidak tajam, maka cara Simpson lebih baik

y 4y y3

x dxy mn0

xm

xn


UNLAM

10

y

y1

y0

h

x

h

x2x1x0

y2

xn xm

n1-n2-n654432210

xm

xny 4y y

3

x...y 4y y

3

xy 4y y

3

x y 4y y

3

x dxy

)yy4y2...y4y2y4y(3

x dxy n1-n2-n3210

xm

xn

Contoh soal

Tentukan hasil integrasi dari

Dengan x= 0.5

Penyelesaian:


UNLAM


4

1

2 dx 1) (x

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

)yy4y2y4y2y4y(3

x dx 1)(x 43,532,521,51

4

1

2

))116()125,12(4)19(2)125,6(4)14(2)125,2(4)11((3

0,5 dx 1)(x

4

1

2

24)1753202910102(3

0,5 dx 1)(x

4

1

2

Bagaimana hasil soal di atas jika diselesaikan dengan

metode trapezoidal ?


UNLAM


Tentukan hasil integrasi dari x= 0.5

Dengan metode Trapizoidal Rule dan Simpson Rule


UNLAM


5

1dx2x ln x

Efisien→menggunakan 3 ttk ordinat dapat menghitung integral dari fungsi polynomial berpangkat linier.

Dgn n ttk data ordinat yg diket, hanya integral fungsi polynomial berpangkat 2n-1 dpt dihitung dgn cara Gauss.

Cth: penjabaran utk menghitung integral fungsi polynomial berpangkat linier→3 ttk ordinat→2(3)-1=5. Bentuk fungsi polynomial berpangkat linier:y=a0+a1x+a2x

2+a3x3+a4x

4+a5x5


UNLAM


15

Bagaimana cara Gauss menghitung

Substitusikan peubah baru u dgn persamaan:

Dgn N→harga rata2 dari y pd daerah harga x

antara x=a dan x=b.

b

dxy a

a-bN du y 2

a-b dx y

dandu 2

a-b dx sehinggau

2

a-b

2

ba x

1

1-

b

a


UNLAM


Karena x linier thd n,maka:

y=a0’+a1’u+a2’u2+a3’u

3+a4’u4+a5’u

5 dan bila

selanjutnya disubstitusikan ke persamaan,

diperoleh:

Setelah diselesaikan lebih lanjut, didapat:

1

1

5

5

4

4

3

3

2

210 a-bN du u'au'au'au'au'a'a2

a-b

5

'a

3

'a 'a N 42

0


UNLAM


N adalah harga rata2 dr y pd daerah x=a sampai

x=b dan utk dpt dipenuhi oleh 3 ttk, maka:

N=K1y1+K2y2+K3y3, dengan K1,K2,K3 adalah

konstanta dan y1,y2,y3 adalah harga ordinat 3 ttk

yg berhub dgn harga u pd x1,x2,x3 yg akan

ditetapkan harganya pula.


UNLAM


Prinsip identik berlaku utk N, sehingga:

Persamaan di atas diselesaikan secara simultan,

diperoleh:

5

33

5

22

5

115

4

33

4

22

4

114

3

33

3

22

3

113

2

33

2

22

2

1123322111321042

0

5

55

4

44

3

33

2

323103

5

25

4

24

3

23

2

222102

5

15

4

14

3

13

2

12110142

0

xK xKxK'a xK xKxK'a xK xKxK'a

xK xKxK'axK xKxK'aK KK'a 5

'a

3

'a 'a

x'ax'ax'ax'ax'a'aK

x'ax'ax'ax'ax'a'aKx'ax'ax'ax'ax'a'aK 5

'a

3

'a 'a

5

3 x0 x

5

3- x

18

5K

9

4 K

18

5 K

321

321


UNLAM


19

Harga2 K dan u utk cara Gauss dgn 2,3,4 dan 5 ttk ordinat, sbb:

n=2

K1=1/2 u1=-√1/3

K2=1/2 u2=√1/3

n=3

K1=5/18 u1=-√3/5

K2=4/9 u2= 0

K3=5/18 u3=√3/5

n=4

K1=0.1739 u1=-0.8611

K2=0.3261 u2=-0.34

K3=0.3261 u3=0.34

K4=0.1739 u4=0.8611

n=5

K1=0.118436 u1=-0.906180

K2=0.239314 u2=-0.538469

K3=0.284444 u3=0

K4=0.239314 u4=0.538469

K5=0.118436 u5= 0.906180


UNLAM


Contoh:

Diket pers polynomial y=10+x-x2+x3-x4+x5.

Tentukan dgn cara Gauss 3 ttk.

Penyelesaian: utk a=0 dan b=2,maka:

Dgn 3 ttk ordinat maka harga u:

u1u2

02

2

20 u

2

a-b

2

ba x

7746.15

3 1x

5

3u

101x 0u

2254.0)5

3(- 1x

5

3-u

33

22

11

2

0

dxy


UNLAM


Utk x1=0.2254

y1=10+0.2254-(0.2254)2+(0.2254)3-

(0.2254)4+(0.2254)5=10.18

dgn cara yg sama diperoleh:y2=11 dan y3=21.9

Dgn K1=5/18, K2=4/9, K3=5/18

Maka

N=(5/18)(10.18)+(4/9)(11)+(5/18)(21.9)=13.8

27.60)-13.8(2a)-N(bdxxxxx-x10

2

0

5432


UNLAM


bab 2 integrasi numerik-1

Documents