tugas pemodelan matematika
DESCRIPTION
Tugas Mata Kuliah Pemodelan MatematikaTRANSCRIPT
Flow Problems dan Pendinginan~ 1 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika
Tugas – 3 Mata Kuliah: PEMODELAN MATEMATIKA
HUKUM PENDINGINAN NEWTON
DAN
FLOW PROBLEMS
Dikerjakan Oleh:
Nama : YUSRI
Nim : 809715022
Kelas : A - Reguler
Prodi : Pendidikan Matematika
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCA SARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2010
Flow Problems dan Pendinginan~ 2 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika
1. Sebuah adonan kue mula-mula bersuhu 300C, dimasukkan kedalam oven yang bersuhu tetap 1400C. Setelah 5 menit suhu adonan menjadi 400C. Pada menit ke berapakah suhu adonan menjadi 1000C. Penyelesaian: Diketahui: Suhu adonan mula-mula = T (0) = 30 0C Suhu lingkungan (oven) tetap =𝜀 = 140 0C Suhu adonan setelah 5 menit =T (5) = 40 0C Ditanya: Suhu adonan menjadi 1000C saat t =.....? Atau: T (t) = 1000C pada t =...? Jawab:
𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘 (𝑇 − 𝜀) ......................................................................................... (1)
⟺𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘 (𝑇 − 140)
⟺ ℒ𝑑𝑇
𝑑𝑡= ℒ𝑘(𝑇 − 140)
⟺ ℒ𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘ℒ𝑇 − ℒ140)
⟺ 𝑠𝑇 𝑠 − 𝑇 0 = 𝑘. 𝑇 𝑠 − 140
𝑠. 𝑘
⟺ 𝑠𝑇 𝑠 − 30 = 𝑘. 𝑇 𝑠 − 140.𝑘
𝑠
⟺ 𝑠𝑇 𝑠 − 𝑘. 𝑇 𝑠 = 30 − 140.𝑘
𝑠
⟺ (𝑠 − 𝑘)𝑇 𝑠 = 30 − 140.𝑘
𝑠
⟺ 𝑇 𝑠 =30
𝑠 − 𝑘−
140. 𝑘
𝑠(𝑠 − 𝑘)
⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 30
𝑠−𝑘−
140.𝑘
𝑠 𝑠−𝑘
Flow Problems dan Pendinginan~ 3 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika
⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 30
𝑠 − 𝑘 − ℒ−1
140. 𝑘
𝑠 𝑠 − 𝑘
⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 30
𝑠 − 𝑘 − ℒ−1
𝐴
𝑠+
𝐵
𝑠 − 𝑘
Pencarian A dan B:
140𝑘
𝑠 𝑠 − 𝑘 =
𝐴
𝑠+
𝐵
𝑠 − 𝑘
140𝑘
𝑠 𝑠−𝑘 =
𝐴𝑠−𝐴𝑘+𝐵𝑠
𝑠(𝑠−𝑘)
140𝑘
𝑠 𝑠−𝑘 =
𝐴+𝐵 𝑠−𝐴𝑘
𝑠(𝑠−𝑘)
−𝐴 = 140 ⟺ 𝐴 = −140
𝐴 + 𝐵 = 0 ⟺ 𝐴 = −𝐵
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐵 = 140
⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 30
𝑠 − 𝑘 − ℒ−1
−140
𝑠+
140
𝑠 − 𝑘
⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 30
𝑠 − 𝑘 + ℒ−1
140
𝑠 − ℒ−1
140
𝑠 − 𝑘
⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 140
𝑠 −ℒ−1
110
𝑠 − 𝑘
⟺ 𝑇 𝑡 = 140. ℒ−1 1
𝑠 −110.ℒ−1
1
𝑠 − 𝑘
⟺ 𝑇 𝑡 = 140 − 110𝑒𝑘.𝑡 ................................................................. (1-a)
Untuk solusi khusus t = 5, T (5) = 40 maka
40 = 140 − 110𝑒𝑘 .5
⟺ 110𝑒𝑘 .5= 100
⟺ 𝑒𝑘 .5= 100
110
Flow Problems dan Pendinginan~ 4 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika
⟺ 𝐿𝑛(𝑒𝑘 .5)=Ln ( 100
110)
⟺ 5𝑘= −0,095311179
⟺k = -0, 019062235........................................................................ (1-b)
Untuk solusi khusus T (t) = 100 maka
𝑇 𝑡 = 140 − 110𝑒𝑘.𝑡
⟺ 100 = 140 − 110𝑒−0,019062235 .t
⟺ 110𝑒−0,019062235 .t= 140 − 100
⟺ 𝑒−0,019062235 .t = 40
110
⟺ 𝐿𝑛 𝑒−0,019062235 .t = 𝐿𝑛 40
110
⟺ −0,019062235. t = −1,011600922
⟺ 𝑡 =−1,011600922
−0,019062235
⟺t = 53, 06832707............................................................................ (1-b)
Maka pada menit ke – 53 suhu adonan menjadi 1000C
Flow Problems dan Pendinginan~ 5 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika
2. A tank initially holds 10 galloons of fresh water. At t=0, brine solution containning ½ lb of salt per gallon is poured in to the tank off rate of 2 gallon per minute while the well stined mixture leaves the tank at the same. Find the amount of salt in the tank at anytime t.
Penyelesaian:
Diketahui:
Volume tangki = V0 = V (0) =10𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛.
Jumlah garam dalam tangki mula-mula=Q (0) = 0 (karena Fresh water)
et = 2 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛
𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡.
ft = 2𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛
𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡
a untuk fresh water = 0
b = 1
2
𝑙𝑏
𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛
Ditanya:
Q (t) = jumlah garam dalam tangki setiap saat?
Jawab:
⟺𝑑𝑄
𝑑𝑡 = b.e – f. [
𝑄
𝑣0+𝑒𝑡−𝑓𝑡]
⟺𝑑𝑄
𝑑𝑡 =
1
2
𝑙𝑏
𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛.2
𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛
𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 – 2
𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛
𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 [
𝑄
10𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛 +2 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛
𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡−2
𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛
𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡
]
⟺𝑑𝑄
𝑑𝑡 =
1
2
𝑙𝑏
𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛 .2
𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛
𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 – 2
𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛
𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 [
𝑄
10galon]
⟺𝑑𝑄
𝑑𝑡 = 1
𝑙𝑏
𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 – 2
𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛
𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 [
𝑄
10galon]
Flow Problems dan Pendinginan~ 6 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika
⟺𝑑𝑄
𝑑𝑡 = 1
𝑙𝑏
𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 –[
𝑄
5 menit]
⟺𝑑𝑄
𝑑𝑡 = 1 −
𝑄
5 .......................................................................................... (2)
⟺𝑑𝑄
1− 𝑄
5
= 𝑑𝑡
𝑑𝑄
1− 𝑄
5
= 𝑑𝑡
⟺-5 ln (1 − 𝑄
5) = t +c
⟺Ln (1 − 𝑄
5) =
t +c
−5
⟺ 1 − 𝑄
5= 𝑒
t +c−5
⟺𝑄
5= 1 − 𝑒−
t 5 . 𝑒𝑐
⟺ 𝑄 = 5(1 − C𝑒−t
5) ....................................................................... (2-a)
Untuk solusi khusus Q t=0=0 maka
0 = 5 (1 – C. 𝑒−0
5 )
⟺0 = 5 (1 – C. 𝑒0)
⟺0 = 5 (1 – C. 𝑒0)
⟺C = 1.................................................................................................. (2-b)
Maka diperoleh solusi umum jumlah garam dalam tangki setiap saat adalah:
Q (t) = 5(1 − 𝑒−t
5 )
Flow Problems dan Pendinginan~ 7 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika
3. A metal bar at a temperature of 100 0F is placed in a room at a constant temperature of 00 F. If after 20 minutes the temperatures of bar is 50 0F. Find an expression for temperature of the bar at anytime! Penyelesaian: Diketahui: Suhu batangan mula-mula = T (0) = 100 0F Suhu lingkungan (ruangan) =𝜀 = 0 0F Suhu batangan setelah 20 menit =T (20) = 50 0F Ditanya: Suhu batangan setiap saat = T (t) Jawab:
𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘 (𝑇 − 𝜀) ........................................................................................ (3)
⟺𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘 (𝑇 − 0)
⟺𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘 𝑇
⟺𝑑𝑇
𝑇= 𝑘 𝑑𝑡
𝑑𝑇
𝑇= 𝑘𝑑𝑡
⟺ 𝑑𝑇
𝑇=𝑘 𝑑𝑡
⟺ Ln T= kt +c
⟺ 𝑇 = 𝑒𝑘𝑡+𝑐
⟺ 𝑇 = 𝑒𝑘𝑡 . 𝑒𝑐
⟺ 𝑇 = C𝑒𝑘𝑡 ....................................................................................... (3-a)
Untuk solusi khusus T t=0=100 maka
100= C𝑒𝑘 .0
⟺100= C. 𝑒0
Flow Problems dan Pendinginan~ 8 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika
⟺100 = C. 1
⟺C = 100............................................................................................. (3-b)
Untuk solusi khusus T t=20=50 maka
50 = 100𝑒𝑘 .20
⟺50
100 = 𝑒20𝑘
⟺Ln 0,5= 𝑒20𝑘
⟺-0, 6934718 = 20k
⟺ 𝑘 =−0,6934718
20
⟺k = -0, 034657359......................................................................... (3-c)
Maka diperoleh solusi umum jumlah garam dalam tangki setiap saat adalah:
T (t) = 100𝑒−0,034657359 𝑡