Flow Problems dan Pendinginan~ 1 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika

Tugas – 3 Mata Kuliah: PEMODELAN MATEMATIKA

HUKUM PENDINGINAN NEWTON

DAN

FLOW PROBLEMS

Dikerjakan Oleh:

Nama : YUSRI

Nim : 809715022

Kelas : A - Reguler

Prodi : Pendidikan Matematika

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCA SARJANA

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2010

Flow Problems dan Pendinginan~ 2 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika

1. Sebuah adonan kue mula-mula bersuhu 300C, dimasukkan kedalam oven yang bersuhu tetap 1400C. Setelah 5 menit suhu adonan menjadi 400C. Pada menit ke berapakah suhu adonan menjadi 1000C. Penyelesaian: Diketahui: Suhu adonan mula-mula = T (0) = 30 0C Suhu lingkungan (oven) tetap =𝜀 = 140 0C Suhu adonan setelah 5 menit =T (5) = 40 0C Ditanya: Suhu adonan menjadi 1000C saat t =.....? Atau: T (t) = 1000C pada t =...? Jawab:

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘 (𝑇 − 𝜀) ......................................................................................... (1)

⟺𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘 (𝑇 − 140)

⟺ ℒ𝑑𝑇

𝑑𝑡= ℒ𝑘(𝑇 − 140)

⟺ ℒ𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘ℒ𝑇 − ℒ140)

⟺ 𝑠𝑇 𝑠 − 𝑇 0 = 𝑘. 𝑇 𝑠 − 140

𝑠. 𝑘

⟺ 𝑠𝑇 𝑠 − 30 = 𝑘. 𝑇 𝑠 − 140.𝑘

𝑠

⟺ 𝑠𝑇 𝑠 − 𝑘. 𝑇 𝑠 = 30 − 140.𝑘

𝑠

⟺ (𝑠 − 𝑘)𝑇 𝑠 = 30 − 140.𝑘

𝑠

⟺ 𝑇 𝑠 =30

𝑠 − 𝑘−

140. 𝑘

𝑠(𝑠 − 𝑘)

⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 30

𝑠−𝑘−

140.𝑘

𝑠 𝑠−𝑘

Flow Problems dan Pendinginan~ 3 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika

⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 30

𝑠 − 𝑘 − ℒ−1

140. 𝑘

𝑠 𝑠 − 𝑘

⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 30

𝑠 − 𝑘 − ℒ−1

𝐴

𝑠+

𝐵

𝑠 − 𝑘

Pencarian A dan B:

140𝑘

𝑠 𝑠 − 𝑘 =

𝐴

𝑠+

𝐵

𝑠 − 𝑘

140𝑘

𝑠 𝑠−𝑘 =

𝐴𝑠−𝐴𝑘+𝐵𝑠

𝑠(𝑠−𝑘)

140𝑘

𝑠 𝑠−𝑘 =

𝐴+𝐵 𝑠−𝐴𝑘

𝑠(𝑠−𝑘)

−𝐴 = 140 ⟺ 𝐴 = −140

𝐴 + 𝐵 = 0 ⟺ 𝐴 = −𝐵

𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐵 = 140

⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 30

𝑠 − 𝑘 − ℒ−1

−140

𝑠+

140

𝑠 − 𝑘

⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 30

𝑠 − 𝑘 + ℒ−1

140

𝑠 − ℒ−1

140

𝑠 − 𝑘

⟺ 𝑇 𝑡 = ℒ−1 140

𝑠 −ℒ−1

110

𝑠 − 𝑘

⟺ 𝑇 𝑡 = 140. ℒ−1 1

𝑠 −110.ℒ−1

1

𝑠 − 𝑘

⟺ 𝑇 𝑡 = 140 − 110𝑒𝑘.𝑡 ................................................................. (1-a)

Untuk solusi khusus t = 5, T (5) = 40 maka

40 = 140 − 110𝑒𝑘 .5

⟺ 110𝑒𝑘 .5= 100

⟺ 𝑒𝑘 .5= 100

110

Flow Problems dan Pendinginan~ 4 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika

⟺ 𝐿𝑛(𝑒𝑘 .5)=Ln ( 100

110)

⟺ 5𝑘= −0,095311179

⟺k = -0, 019062235........................................................................ (1-b)

Untuk solusi khusus T (t) = 100 maka

𝑇 𝑡 = 140 − 110𝑒𝑘.𝑡

⟺ 100 = 140 − 110𝑒−0,019062235 .t

⟺ 110𝑒−0,019062235 .t= 140 − 100

⟺ 𝑒−0,019062235 .t = 40

110

⟺ 𝐿𝑛 𝑒−0,019062235 .t = 𝐿𝑛 40

110

⟺ −0,019062235. t = −1,011600922

⟺ 𝑡 =−1,011600922

−0,019062235

⟺t = 53, 06832707............................................................................ (1-b)

Maka pada menit ke – 53 suhu adonan menjadi 1000C

Flow Problems dan Pendinginan~ 5 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika

2. A tank initially holds 10 galloons of fresh water. At t=0, brine solution containning ½ lb of salt per gallon is poured in to the tank off rate of 2 gallon per minute while the well stined mixture leaves the tank at the same. Find the amount of salt in the tank at anytime t.

Penyelesaian:

Diketahui:

Volume tangki = V0 = V (0) =10𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛.

Jumlah garam dalam tangki mula-mula=Q (0) = 0 (karena Fresh water)

et = 2 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡.

ft = 2𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

a untuk fresh water = 0

b = 1

2

𝑙𝑏

𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛

Ditanya:

Q (t) = jumlah garam dalam tangki setiap saat?

Jawab:

⟺𝑑𝑄

𝑑𝑡 = b.e – f. [

𝑄

𝑣0+𝑒𝑡−𝑓𝑡]

⟺𝑑𝑄

𝑑𝑡 =

1

2

𝑙𝑏

𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛.2

𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 – 2

𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 [

𝑄

10𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛 +2 𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡−2

𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

]

⟺𝑑𝑄

𝑑𝑡 =

1

2

𝑙𝑏

𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛 .2

𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 – 2

𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 [

𝑄

10galon]

⟺𝑑𝑄

𝑑𝑡 = 1

𝑙𝑏

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 – 2

𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 [

𝑄

10galon]

Flow Problems dan Pendinginan~ 6 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika

⟺𝑑𝑄

𝑑𝑡 = 1

𝑙𝑏

𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 –[

𝑄

5 menit]

⟺𝑑𝑄

𝑑𝑡 = 1 −

𝑄

5 .......................................................................................... (2)

⟺𝑑𝑄

1− 𝑄

5

= 𝑑𝑡

𝑑𝑄

1− 𝑄

5

= 𝑑𝑡

⟺-5 ln (1 − 𝑄

5) = t +c

⟺Ln (1 − 𝑄

5) =

t +c

−5

⟺ 1 − 𝑄

5= 𝑒

t +c−5

⟺𝑄

5= 1 − 𝑒−

t 5 . 𝑒𝑐

⟺ 𝑄 = 5(1 − C𝑒−t

5) ....................................................................... (2-a)

Untuk solusi khusus Q t=0=0 maka

0 = 5 (1 – C. 𝑒−0

5 )

⟺0 = 5 (1 – C. 𝑒0)

⟺0 = 5 (1 – C. 𝑒0)

⟺C = 1.................................................................................................. (2-b)

Maka diperoleh solusi umum jumlah garam dalam tangki setiap saat adalah:

Q (t) = 5(1 − 𝑒−t

5 )

Flow Problems dan Pendinginan~ 7 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika

3. A metal bar at a temperature of 100 0F is placed in a room at a constant temperature of 00 F. If after 20 minutes the temperatures of bar is 50 0F. Find an expression for temperature of the bar at anytime! Penyelesaian: Diketahui: Suhu batangan mula-mula = T (0) = 100 0F Suhu lingkungan (ruangan) =𝜀 = 0 0F Suhu batangan setelah 20 menit =T (20) = 50 0F Ditanya: Suhu batangan setiap saat = T (t) Jawab:

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘 (𝑇 − 𝜀) ........................................................................................ (3)

⟺𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘 (𝑇 − 0)

⟺𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘 𝑇

⟺𝑑𝑇

𝑇= 𝑘 𝑑𝑡

𝑑𝑇

𝑇= 𝑘𝑑𝑡

⟺ 𝑑𝑇

𝑇=𝑘 𝑑𝑡

⟺ Ln T= kt +c

⟺ 𝑇 = 𝑒𝑘𝑡+𝑐

⟺ 𝑇 = 𝑒𝑘𝑡 . 𝑒𝑐

⟺ 𝑇 = C𝑒𝑘𝑡 ....................................................................................... (3-a)

Untuk solusi khusus T t=0=100 maka

100= C𝑒𝑘 .0

⟺100= C. 𝑒0

Flow Problems dan Pendinginan~ 8 ~ Tugas 2 Pemodelan Matematika

⟺100 = C. 1

⟺C = 100............................................................................................. (3-b)

Untuk solusi khusus T t=20=50 maka

50 = 100𝑒𝑘 .20

⟺50

100 = 𝑒20𝑘

⟺Ln 0,5= 𝑒20𝑘

⟺-0, 6934718 = 20k

⟺ 𝑘 =−0,6934718

20

⟺k = -0, 034657359......................................................................... (3-c)

Maka diperoleh solusi umum jumlah garam dalam tangki setiap saat adalah:

T (t) = 100𝑒−0,034657359 𝑡