Laporan Praktikum Pemodelan Oseanografi I(OS3103)Modul IIPENYELESAIAN NUMERIK METODE BEDA HINGGA PERSAMAAN ADVEKSI 1 DIMENSIOleh :

Nama :Trie Lany Putri Y (12909003)

Zahra Akbari Ariadji (12909006)

Shift: 1

Asisten Praktikum: Putri Kemili (12907014)

PROGRAM STUDI OSEANOGRAFI

FAKULTAS ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

BANDUNG

2009

BAB ITEORI DASAR

1.1. FTCS

Persamaan beda hingga dengan metode FTCS ini adalah pendekatan beda maju untuk turunan waktu dan beda pusat untuk turunan ruang ( Forward in Time and Central in Space FTCS). Bila :

Indeks n untuk waktu

Indeks m untuk ruang

u adalah kecepatan aliran yang dianggap konstan terhadap ruang dan waktu

maka persamaannya dideskritisasikan menjadi :

Pada dasarnya metode beda hingga ini tidak stabil secara numerik1.2. Leapfrog

Persamaan beda hingga dengan metoda ini adalah pendekatan beda pusat untuk turunan waktu dan beda pusat untuk turunan ruang (Central in Time and Central in Space CTCS), persamaannya dapat dideskritisasi menjadi :

Khusus pada awal langkah (t = 0) deskritisasi persamaan diatas menggunakan beda maju untuk waktu dan beda pusat untuk ruang (metode FTCS) maka pada t = t atau n =1 desritisasi yang digunakan adalah :

Dimana F0 diambil dari nilai awal yang diberikan di semua ruang

Kriteria stabilitas untuk menyelesaikan persamaan adveksi dengan menggunakan metode beda hingga eksplisit adalah :

1.3. Upstream

Pada metode ini digunakan pendekatan metode beda maju untuk turunan terhadap waktu, sedangkan untuk turunan terhadap ruang dilakukan dengan melihat arah kecepatan u.

Jika u > 0, turunan terhadap ruang menggunakan pendekatan beda mundur

Jika u < 0, turunan terhadap ruang menggunakan pendekatan beda maju

Jika kedua persamaan tersebut digabungkan, maka deskritisasi persamaan adveksi dengan metode upstream menjadi :

Kriteria stabilitas yang harus dipenuhi :

1.4. Implisit Crank NicholsonKelemahan dari metoda eksplisit adalah adanya kriteria stabilitas yang harus dipenuhi, untuk mengurangi ketidakbergantungan pada kriteria stabilitas itu, digunakan metoda crank nicholson, yaitu metoda implisit dimana turunan kedua fungsi didekati dengan harga rata-rata pada langkah waktu ke-(n+1) dan ke-n.

Metoda ini menggunakan beda maju untuk turunan terhadap waktu dan beda pusat untuk turunan terhadap ruang (FTCS) dengan perata-rataan terhadap waktu.

Persamaannya didesritisasikan jadi :

BAB II

METODOLOGI

1.1 Flowchart1.1.1. FTCS

1.1.2. Leapfrog

1.1.3. Upstream

1.1.4. Crank Nicholson

1.2 SkenarioKelompok 11L (m): 1000dx (m): 50

dt (s): 2u1 (m/s): 0.45

u2 (m/s): -0.75Konsentrasi polutan

kontinu di grid (2,10): 50diskontinu di grid (2,13): 1001.3 Print Screen1.1.1. FTCS

1.1.1.1. Diskontinu

1.1.1.2. Kontinu

1.1.1.3. Diskontinu-Kontinu

1.1.2. Leapfrog

1.1.2.1. Diskontinu

1.1.2.2. Kontinu

1.1.2.3. Diskontinu-Kontinu

1.1.3. Upstream

1.1.3.1. Diskontinu

1.1.3.2. Kontinu

1.1.3.3. Diskontinu-Kontinu

1.1.4. Crank Nicholson

1.1.4.1. Diskontinu

1.1.4.2. Kontinu

1.1.4.3. Diskontinu-Kontinu

BAB III

HASIL DAN ANALISIS1.2. Grafik

1.2.1. FTCS

1.2.2. Leapfrog

1.1.1. Upstream

1.2.3. Crank Nicholson

1.3. Analisis

Analisis Trie Lany Putri Y (12909003)a. Yang mana yang lebih stabil?

Menurut teori, urutan metode dari yang paling stabil sampai paling tidak stabil yaitu crank nicholson, upstream, leapfrog, dan FTCS.b. Bagaimana pengaruh syarat kestabilan?

Syarat kestabilan terlihat berfungsi ketika melihat perbedaan kestabilan grafik FTCS dan leap frog, dimana FTCS menghasilkan grafik yang lebih tidak stabil daripada metode leapfrog karena tidak memiliki syarat kestabilan. Metode upstream yang memiliki nilai syarat kestabilan menghasilkan grafik yang lebih stabil dibandingkan dengan kedua metode sebelumnya, sedangkan crank nicholson yang memiliki kemampuan untuk mengurangi kebergantungan terhadap syarat kestabilan dengan cara pendekatan harga rata-rata pada langkah n+1 dan n menghasilkan grafik yang paling stabil dibandingkan dengan metode yang lain.c. Bagaimana hasil untuk kontinu, diskontinu, maupun diskontinu-kontinu?Terdapat perbedaan lamanya simulasi.d. Bagaimana pengaruh kecepatan positif dan negatif?

Pengaruh kecepatan positif dan negatif adalah arah persebarannya.e. Bagaimana dengan lamanya simulasi?

Lama penyebaran konsentrasi polutan hingga konsentrasi polutan menjadi sangat kecil pada jarak grid ruang dan waktu tertentu, sesuai dengan syarat batas yang ditentukan sehingga kita dapat mengetahui pada jarak berapa dan berapa lama polutan menyebar sampai dia mengecil pada suatu aliran. Dan besarnya kecepatan memengaruhi lamanya simulasi. Semakin besar nilai kecepatan persebaran, semakin cepat waktunya.1.3.1. FTCS

Metode FTCS merupakan metode pendekatan yang paling tidak stabil di antara empat metode. Karena metode ini tidak memiliki syarat kestabilan yang harus dipenuhi. Oleh karena itu terdapat persebaran polutan pada grid ruang yang seharusnya tidak terkena persebaran dan bernilai negatif.

Terlihat dari grafik bahwa nilai konsentrasi polutan semakin bertambah seiring bertambahnya waktu pengamatan. Lalu polutannya tersebar ke segala arah walau telah ditentukan arah kecepatannya itu karena tidak adanya syarat kestabilan yang harus dipenuhi.1.3.2. Leapfrog

Metode Leapfrog lebih stabil dibanding FTCS karena memiliki syarat kestabilan yang harus dipenuhi sehingga walaupun nilai total persebaran polutan juga terus membesar terhadap waktu. Terlihat dari grafik bahwa masih terdapat penyebaran di sisi grid lain. Maksudnya, dalam penyebaran polutan ke kanan, masih terdapat polutan yang tersebar ke arah kiri.1.3.3. Upstream

Lebih stabil dibanding leapfrog karena memiliki pendekatan yang berbeda untuk arah kecepatan yang berbeda sehingga tidak ada perembesan ke arah sebaliknya dari arah kecepatan persebaran polutan yang dikehendaki karena metode upstream menggunakan pedekatan beda maju dan mundur secara terpisah. Nilai total konsentrasi polutan fluktuatif namun masih tidak berbeda jauh. Contoh pada persebaran diskontinu, nilai total konsentrasi polutan berkisar dari 99-101 mg.1.3.4. Crank Nicholson

Metode ini paling stabil karena nilai total konsentrasi polutan berkurang terhadap waktu. Kalaupun ada nilai pertambahan konsentrasi polutan, tidak sebesar metode lain. Ini karena metode Crank Nicholson menghilangkan ketergantungan terhadap syarat kestabilan, metode ini menggunakan metode implisit dimana turunan kedua fungsi turunan kedua fungsi didekati dengan harga harga rata-rata pada langkah ke n+1 dan ke n.

Analisis Zahra Akbari Ariadji (12909006)

Dalam penulisan syntax program, ketelitian dalam menulis rumus/formula metode sangat diperlukan. Jika salah sedikit, maka persebaran polutan akan menjadi sangat tidak masuk akal. Pada setiap program, nilai awal n ditulis 1, karena jika kita menuliskan persebaran polutan pada saat ke n=1 adalah nol, maka langkah waktu selanjutnya adalah untuk n=2, 3, dst. Contohnya pada penulisan program metode ctcs, di rumus metode ctcs pada konsentrasi n-1 tidak diketahui, sehingga kita harus menggunakan metode ftcs pada waktu ke 2 dan 3, lalu ctcs pada waktu ke-4.

Metode FTCS (Forward Time Central Space) adalah metode yang paling tidak stabil, konsentrasi polutan tersebar merata dari detik polutan itu mulai diberikan, namun arah persebarannya tidak sesuai dengan yang seharusnya. FTCS tidak stabil karena tidak adanya syarat kestabilan, dimana syarat itu bisa menahan agar hasil-hasil pendekatan numerik tidak melenceng jauh. Hasil persebaran polutan untuk FTCS diskontinu-kontinu agak tersebar tidak masuk akal, karena disamping grid yang polutannya 50 secara kontinu (dengan kecepatan positif), diakhir-akhir waktu polutannya berkisar diantara 100. Ini menunjukan bahwa metode FTCS mendekati gelombang numerik secara tidak konsisten. Pada hasil persebaran konsentrasi diskontinu, dengan konsentrasi awal 100 mg, lalu berkurang seiring waktu. Dengan kecepatan u1 (positif) seharusnya arah persebaran konsentrasi ke kanan, tetapi masih ada yang persebarannya ke kiri. Begitu pun dengan hasil persebaran konsentrasi kontinu.

Metode Leapfrog adalah metode yang lebih baik daripada metode FTCS, lebih stabil walaupun tidak konsisten, dikarenakan ada pengaruh syarat kestabilan. Metode leapfrog pada awalnya menggunakan metode FTCS. Metode Leapfrog tidak konsisten karena pendekatan numeriknya fluktuatif. Dari grafik diskontinu-kontinu, kontinu, dan diskontinu, walaupun misalnya penyebaran polutan dimaksudkan ke kanan, tetapi masih ada penyebaran ke grid sebelah kiri.

Metode Upstream merupakan metode yang menggunakan pedekatan beda maju dan mundur secara terpisah, hal ini menghasilkan grafik yang lebih stabil dibandingkan dengan ftcs dan leap frog. Dari program, upstream menggunakan pendekatan arah kecepatan yang berbeda untuk kecepatan positif dan negatif sehingga hasil lebih stabil. Pada grafik diskontinu-kontinu, penyebaran konsentrasi diskontinu 100 mg dan kontinu 50 baik ke arah kiri maupun ke kanan, sesuai dengan hasil yang diharapkan. Lalu pada grafik diskontinu konsentrasi 100 mg ke arah kanan ataupun kiri, konsentrasi terus berkurang seiring dengan waktu bertambah dan tersebar secara merata. Begitupun dengan grafik kontinu 50 mg jika kecepatannya negatif, dapat dilihat bahwa penyebaran konsentrasi 50 mg secara terus menerus per detik menyebar ke kiri, tidak ada penyebaran ke arah kanan.

Metode Crank Nicholson adalah metode yang menghilangkan ketergantungan terhadap syarat kestabilan, dan menggunakan metode implisit dimana turunan kedua fungsi turunan kedua fungsi didekati dengan harga harga rata-rata pada langkah ke n+1 dan ke n. Seharusnya metode crank nicholson adalah metode yang hasil penyebaran konsentrasinya lebih baik dan stabil, tetapi terdapat kesalahan pada pemograman sehingga praktikan tidak mendapat hasil yang lebih baik daripada metode upstream.

Dari program-program yang menghasilkan grafik-grafik persebaran konsentrasi polutan, seharusnya metode yang paling stabil adalah metode Crank Nicholson. Kecepatan positif atau negatif berpengaruh terhadap arah persebaran saja, kecepatan positif persebarannya ke arah kanan, kecepatan negatif persebarannya ke arah kiri. Praktikan menggunakan kecepatan u1 0.45 dan u2 -0.75. Jika tidak dilihat tanda minus atau plusnya, maka bisa dilihat bahwa 0.75 lebih besar daripada 0.45, sehingga lama simulasi dengan menggunakan kecepatan u2 (-0.75) lebih cepat daripada program-program yang menggunakan u1 (0.45). Tanda negatif atau positif hanya menunjukan arah persebaran. Lama simulasi untuk persebaran kontinu u1 cenderung paling lama pada setiap metode, karena kecepatannya lebih kecil dan polutan diberi terus menerus sejumlah 50 mg setiap waktu, sehingga persebaran merata lebih lama.

BAB V

KESIMPULAN

Kesimpulan Trie Lany Putri Y (12909003)

Metode pendekatan numerik yang paling stabil adalah Metode Crank Nicholson dan metode pendekatan numerik yang paling tidak stabil adalah Metode FTCS.

Metode pemodelan numerik eksplisit membutuhkan syarat kestabilan agar grafik yang dihasilkan stabil.

Suatu syarat batas (bukan syarat batas yang berlaku untuk seluruh kondisi waktu) dapat digunakan untuk mengetahui seberapa lama dan panjang pengaruh dari suatu polutan hingga taraf yang aman sesuai ketetapan. Besar kecepatan persebaran memengaruhi kecepatan (waktu) polutan tersebar di seluruh grid.

Kesimpulan Zahra Akbari Ariadji (12909006)

1. Ada beberapa metode untuk menyelesaikan numerik metode beda hingga persamaan adveksi 1 dimensi, yaitu metode FTCS, Leap-Frog, Upstream, dan Crank Nicholson. Masing-masing mempunyai pendekatan numerik dengan cara yang berbeda-beda.

2. Metode pemodelan numerik yang paling baik adalah Metode Crank Nicholson, dan metode pemodelan numerik yang paling tidak stabil adalah Metode FTCS.

3. Upstream menggunakan pendekatan numerik berbeda-beda untuk kecepatan positif dan negatif, sehingga hasilnya lebih stabil dan lebih baik daripada metode FTCS dan Leap-Frog.

4. Kondisi syarat batas, nilai awal, dan pengkondisian akhir konsentrasi polutan diperlukan untuk mengetahui seberapa lama dan panjang pengaruh suatu polutan hingga dalam taraf aman yang diinginkan dalam pantauan.

BAB 6

PUSTAKA

DR.rer.nat. Mutiara R. Putri, Modul Praktikum OS 3103 Pemodelan Oseanografi

Lembar PenilaianAspek Pengujian

Teori dasar

Flowchart

Program

Output

Analisis

Kesimpulan

_1476879642.unknown

_1476879644.unknown

_1476879646.unknown

_1476879648.unknown

_1476879649.unknown

_1476879647.unknown

_1476879645.unknown

_1476879643.unknown

_1476879640.unknown

_1476879641.unknown

_1476879639.unknown