DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR........................................................................................................... i

DAFTAR ISI.......................................................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN................................................................................................. 1

A. Latar Belakang................................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah............................................................................................ 1

C. Tujuan.............................................................................................................. 1

BAB II PEMBAHASAN................................................................................................... 2

A.Pengertian Elips................................................................................................. 2

B. Persamaan Elips................................................................................................ 3

1. Persamaan elips dengan pusat di O (0,0).................................................... 3

2. Persamaan elips yang berpusat di P((α,β)................................................... 6

C. Persamaan Garis singgung elips....................................................................... 10

BAB III PENUTUP............................................................................................................. 14

A. Kesimpulan...................................................................................................... 14

DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................ 15

ii

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai: tempat kedudukan titik-titik pada

sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F (yang

disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah

garis tetap L(disebut direktriks) yang tidak mengandung F.

Irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi,

yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Salah satu jenis irisan

kerucut yang dapat terjadi adalah elips. Irisan yang terbentuk berupa elips terjadi jika

bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak sejajar

sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, bidang pengiris tidak tegak lurus pada

kerucut dan sudutnya membentuk kurang dari 90 ° .

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik

tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik fokus / titik api.

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor,

dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang

tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu

minor.

B. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan elips?

2. Bagaimana bentuk persamaan elips dengan pusat di O (0,0)?

3. Bagaimana bentuk persamaan elips dengan pusat di P (α, β)?

4. Bagaimana bentuk persamaan garis singgung elips?

C. Tujuan

1. Mengetahui arti dan unsur-unsur dari elips.

2. Mengetahui bentuk persamaan elips dengan pusat di O (0,0).

3. Mengetahui bentuk persamaan elips dengan pusat di P (α, β).

4. Mengetahui bentuk persamaan garis singgung elips.

1

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik

tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.

Elips juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan

jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik

itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks. Untuk suatu elips, jarak terjauh

antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor

disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor

menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

2

L   y

  0   

A 

  

  x

Unsur – unsur elips yaitu :

1. Pusat elips O (0,0)

2. Sumbu simetri adalah sumbu X dan sumbu Y

3. Fokusnya F1 (c, 0) dan F2 (-c, 0)

4. Panjang sumbu mayor = 2a, panjang sumbu minor = 2b

5. LL2 = Latus Rectum = 2b2

a

6. PF1 + PF2 = 2a

7. Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik focus dengan ke garis

direktris g disebut eksentrisitas (e) atau e=ca

. persamaan garis direktriks

g1=−ae

=−a2

cdan g2=

ae=a

2

c

8. c=√a2−b2

B. Persamaan Elips

1. Persamaan elips dengan pusat di O (0,0)

Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips.

a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan :

3

Keterangan gambar :Koordinat titik pusat O (0,0)Koordinat titik fokus F1 (c,0) dan F2 (-c,0)AA1 disebut sumbu mayor (sumbu panjang)BB1 disebut sumbu minor (sumbu pendek)

b2 x2 +a2 y2 = a2 b2 ataux2

a2+ y2

b2= 1 , a ¿ b¿

- Pusat (0,0)

- Fokus F1 (-c, 0) dan F2 (c,0)

b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah :

a2 x2 +b2 y2 = a2 b2 ataux2

b2+ y

2

a2= 1 , a ¿ b¿

Dengan :

- Pusat (0,0)

- Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)

Catatan : c = √a2 − b2

Contoh 1

Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu

mayor 10 satuan.

Jawab :

Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x )

Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5

b = √ a2−c2=√ 25−16= √ 9= 3

Persamaan elipsnya :

x2

a2+ y

2

b2= 1 ⇔ x2

52+ y

2

32= 1 ⇔ x2

25+ y

2

9= 1

Jadi persamaan elipnya adalah

x2

25+ y2

9= 1

Contoh 2

4

Diketahui persamaan elips

x2

16+ y2

9= 1

, tentukan koordinat titik puncak, koordinat

titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan

panjang lactus rectum !

Jawab :

Dari persamaan elips

x2

16+ y2

9= 1

, diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b2 = 9, maka b = 3.

c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c = √7 .

Dari data diatas diperoleh :

- Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)

- Titik focus ( -c,0) = (- 7 ,0 ) dan ( c,0)=( √11 ,0 )

- Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8

- Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6

- Eksentrisitas:e= ca=√7

4

- Persamaan direktriks :

x = ae= 4

√74

=16

√7=16

7√7

- Panjang lactus rectum =

2 b2

a=2 . 9

4=18

4=4

12

Contoh 3

Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan

eksentrisitas dari persamaan elips berikut : 9x2 + 25y2 = 900

Jawab:

Pertama nyatakan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk baku dengan membagi

masing-masing ruas dengan 900 dan diperoleh bentuk baku

x2

100+ y

2

36=1

5

a = 10, b = 6, c = 8

pusat O(0,0)

Fokus (8, 0) dan (-8, 0)

Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y

Sumbu panjang = 2a = 20

Sumbu pendek = 2b = 12

Direktriks : x =

±a2

c =

±1008

=

±1212

Eksentrisitas : e =

ca= 8

10=4

5

2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)

a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar

sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan :

- Pusat (α,β)

- Titik fokus di F1 ¿ F2 (α + c, β)

- Titik puncak (α – a, β) & (α + a, β)

- Panjang sumbu mayor = 2a

- Panjang sumbu minor = 2b- Persamaan direktriks

b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar

sumbu y, persamaan elipsnya adalah

6

Dengan :

- Pusat (α,β)

- Titik fokus di F1 (α, β - c) & F2 (α, β + c)

- Titik puncak (α, β - a) & (α, β + a)- Panjang sumbu mayor = 2a- Panjang sumbu minor = 2b- Persamaan direktriks

Contoh 4

Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor

dari persamaan elips

Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku

7

Dari persamaan diatas diperoleh : α = 2, β = 1, a2 = 9 maka a = 3, b2 = 4 maka a = 2,

- Pusat ( α,β ) = ( 2,1 )

- Titik fokus di F1 ( α-c, β ) = ( 2 - ,1 ) & F2 ( α+c, β ) =( 2+ ,1 )

- Titik puncak ( α-a, β ) = ( 2-3,1 ) = ( -1,1 ) & ( α+a, β ) = ( 2+3,1 ) = ( 5,1 )

- Panjang sumbu mayor = 2a = 2.3 = 6

- Panjang sumbu minor = 2b = 2.2 = 4

Contoh 5

Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks,

dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0Jawab :

x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0(x – 2)2 – 4 + 4(y + 3)2 – 36 = -4(x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 36( x−2 )2

36+

( y+3)2

9=1

pusat (2, -3)

8

a = 6, b = 3, c = √a2−b2=√39−9=√27=3√3

Fokus (3√3 2, -3)Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3

Sumbu panjang = 2a = 12

Sumbu pendek = 2b = 6

Direktriks : x =

a2

c+α

= ±36

3√3+2=±4 √3+2

Eksentrisitas : e =

ca=3√3

6=1

2√3

Contoh 6

Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (5,3) dengan sumbu mayor dan sumbu

pendek berturutturut 6 dan 4.

Jawab :

Sumbu panjang = 6, berarti a = 3

Sumbu pendek = 4, berarti b = 2

Jadi persamaan ellipsnya adalah :

9

( x−5 )2

32 +( y− (−3 ) )2

22 =1

( x−5 )2

9+

( y+3 )2

4=1

C. Persamaan Garis Singgung Elips

1. Garis Singgung dengan gradien m pada pusat O (0,0)

Jika garis h : y = mx + n menyinggung elips x2

a2 + y2

b2 =1, maka besarnya

diskriminan D = 0. Kita sudah mengetahui bahwa diskriminan dari

persamaan kuadrat yang dihasilkan oleh kedua persamaan di atas

adalah D = -4a2b2 (n2-b2 – a2m2), sehingga diperoleh -4a2b22 (n2-b2 –a2m2) = 0 n2 - b2 – a2m2 = 0 n2 = b2 + a2m2 n = ± √a2m2+b2

10

Jadi, persamaan garis singgung pada elips x2

a2 + y2

b2 =1 dengan gradient

m didefinisikan dengan persamaan :

y = mx ± √a2m2+b2

1. Persamaan garis singgung dengan gradient m dengan pusat

P(α,β)

Dengan cara yang serupa dengan di atas dapat ditemukan persamaan garis singgung

ellips yang tidak berpusat di (0,0)misal di P (α,β) yaitu:

( y−β )=m ( x−α )±√a2m2+b2

2. Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik pada elips

dengan pusat O (0,0)

y

h

P

x

+

Perhatikan gambar diatas yang memperlihatkan sebuah garis h yang

menyinggung elips x2

a2 + y2

b2 = 1 di titik P (x1, y1).Persamaan garis singgung elips

x2

a2 + y2

b2 = 1 di titik P (x1, y1) didefinisikan

dengan persamaan.

x1 x

a2 + y1 y

b2 = 1

3. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada elips

dengan pusat P (α,β)

( x−α )(x1−α)

a2 +( y−β ) ( y1−β )

b2 =1

11

Contoh :

Persamaan garis singgung pada elips x2

42 +y2

162 = 1, dengan gradient m = 3. Tentukan

persamaan garis singgung tersebut!

Jawab:

x2

42 +y2

162 = 1, diperoleh a2= 4 ⟶ a = 2 b2 = 16 ⟶ b = 4Persamaan garis singgungnya adalah:

y=mx±√b2+a2m2

¿3 x±√b2+a2m2

¿3 x±√16+4×9

¿3 x±√16+36

¿3 x±√52

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 3x ±√36+16

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung pada elips x2+2 y2−16=0, dititik P(2√2,2) ?

Jawab:

x2 + 2y2 - 16 = 0 ⟶ x2 + 2y2 = 16 x2

16+ y

2

8=1

Di titik P (2√2,2 ) ⟶ x2

16+ y

2

8=1 ⟶¿¿¿

ini artinya P(2√2,2) terletak pada elips x2

16+ y

2

8=1, jadi persamaan garis singgungnya:

x x1

a2 +y y1

b2 =1 ⟶ (2√2)2

16+

(2)2

8=¿ 1

2√2 x + 4y = 1 6

√2 x + 2y = 8 ⟺ 2y = 8 −√2

12

y = 4−12

√2

4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Elips dari Suatu Titik di Luar Elips.

Untuk menentukan garis singgung elips melalui titik di luar elips, tidak terdapat

rumus yang baku, untuk menentukannya dapat digunakan rumus pada butir a dan b

sebagai dasar pertolongan perhitungan.

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung pada elips

x2

100+ y

2

25=1

melalui titik p (2,7),

tentukan titik singgungnya?

Jawab :

xx1a2

+yy1b2

=1

⟺x .2100

+ y .725

=1 ⟺

y=−1

4x+ 25

7

x2

100+ y

2

25=1

⟺

x2

100+(−1

4x+ 25

7 )2

25 ¿1

x2 – 2x - 48 = 0 ( x - 8) (x + 6) = 0

x = 8 dan x = -6untuk

x=8 maka

y=− 114

. 8+257

=3

untuk x=−6

maka

y=− 114

(−6 )+257

=4

titik singgungnya adalah (8,3 )

dan (−6,4 )

13

Persamaan garis singgung melalui titik

(8,3 ) dan titik

(−6,4 )adalah

xx1a2

+yy1b2

=1

⇔ x .8100

+ y . 325

=1

⇔2 x+3 y−25=0xx1a2

+yy1b2

=1

⇔x (−6 )100

+y . 425

=1

⇔3 x−8 y+50=0

14

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik

tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor,

dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang

tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu

minor.

1. Persamaan elips dengan pusat di O (0,0)

o Untuk elips yang berfokus pada sumbu x.

b2 x2 +a2 y2 = a2 b2 ataux2

a2+ y

2

b2= 1 , a ¿ b¿

o Untuk elips yang berfokus pada sumbu y.

a2 x2 +b2 y2 = a2 b2 ataux2

b2+ y

2

a2= 1 , a ¿ b¿

2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)

15

o Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar

sumbu x, persamaan elipsnya adalah

o Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar

sumbu y, persamaan elipsnya adalah

3. Persamaan garis singgung elips.

o Persamaan garis singgung elips dengan pusat O (0,0) dengan gradient m

y=mx±√a2m2+b2

o Persamaan garis singgung elips dengan pusat α ,β dengan gradient m

( y−β)=m(x−α)±√a2m2+b2

DAFTAR PUSTAKA

https://www.google.co.id/url?

sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CB8QFjAA&url=http%3A%2F

%2Ftoermoedy.files.wordpress.com%2F2010%2F11%2Fbab-v-

ellips.pdf&ei=YZZtVKjhLcjAmAXs1IGQCA&usg=AFQjCNFuL-PpV7-

cIgOPLovpjk4dSdTJbw&sig2=LZikCxQICTBrMRv5fPz0KA

Di kutip pada 14 November 2014

https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CDIQFjAD&url=http

%3A%2F%2Fgis.fns.uniba.sk%2Fvyuka%2Fkzga

%2Fellipse_app2.pdf&ei=YZZtVKjhLcjAmAXs1IGQCA&usg=AFQjCNFtQ0p6nwGANzJGIkS468a0uu7laA&sig

2=hVqJSRcGjoCaI9H4s_z6Ig

Di kutip pada 20 November 2014

http://andisudarmansulnas.blogspot.com/2013/12/modul-tentang-persamaan-elips.html

Di akses pada 20 November 2014

16

17