11/23/200611/23/2006 11

PenggunaanPenggunaan TransformasiTransformasi –– z z padapada AnalisaAnalisa ResponRespon FrekuensiFrekuensi SistemSistem FIRFIR

OlehOleh::Tri Budi SantosoTri Budi Santoso

EE--mail:tribudi@eepismail:tribudi@eepis--its.eduits.eduLab Lab SinyalSinyal, EEPIS, EEPIS--ITSITS

11/23/200611/23/2006 22

konsepkonsep pemikiranpemikiran““domains of representationdomains of representation””

Domain-n (discrete time):Sequence, impulse response, persamaanbeda

Domain-wFreq. Response, spectral representation

Domain-zOperator dan pole-zero

Apabila suatu kasus sulit dipecahkanpada suatu domain tertentu,maka transformasi ke domain yang lainakan mudah menyelesaikannya.

11/23/200611/23/2006 33

1. 1. DefinisiDefinisi TransformasiTransformasi ––z z

domaindomain--nn domaindomain--zzx[nx[n] = d[n] = d[n--nn00]] 0)( nzzX −=

[ ] [ ]∑=

−=N

kknkxnx

0][ δ [ ]

[ ]( )∑

∑

=

−

=

−

=

=

N

k

k

N

k

zkx

zkxzX

0

1

0

1)(

11/23/200611/23/2006 44

ProsesProses pengolahanpengolahan audio audio secarasecara digital:digital:

-- analisisanalisis langsunglangsung sulitsulit::transformasitransformasi z z untukuntuk mendapatmendapat analitisanalitis mudahmudah

dengandengan operasioperasi aljabaraljabar (domain(domain--z)z)

-- analisisanalisis frekuensinyafrekuensinyadalamdalam domaindomain--ww

-- implementassinyaimplementassinya::dalamdalam domaindomain--nn

11/23/200611/23/2006 55

ContohContoh 1:1:Dapatkan bentuknya dalam domain z

Penyelesaian:Ditabelkan….

]4[2]3[4]2[6]1[4][2][ −+−+−+−+= nnnnnnx δδδδδ

002464200x[n]

n>5543210-1n<-1n

Untuk domain – z akan didapatkan sebagai:4321 24642)( −−−− ++++= zzzzzH

11/23/200611/23/2006 66

ContohContoh 2:2:DiketahuiDiketahui suatusuatu sistemsistem dalamdalam domaindomain--z z memilikimemiliki bentukbentuk sepertiseperti berikutberikut::

PenyelesaianPenyelesaian::DenganDengan caracara yang yang samasama akanakan kitakita dapatkandapatkan bentukbentuk sebagaisebagai berikutberikut::

531 2321)( −−− −+−= zzzzH

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>=−====−=<

=

50151403320120100

][

nnnnnnnn

nxKita dapati bentuk dalam domain-n sebagai:

]5[]3[3]1[2][][ −−−+−−= nnnnnx δδδδ

11/23/200611/23/2006 77

2. 2. TransformasiTransformasi--zz padapada SuatuSuatu Filter FIRFilter FIRSuatuSuatu filter FIR filter FIR dalamdalam persamaanpersamaan bedabeda::

∑=

−=M

kk knxbny

0][][

yang merupakan operasi konvolusi y[n]=x[n]*h[n]

Mengapa ???Dalam hal ini penjelasannya adalah:

h[n] = bk = bn; yang merupakankoefisien-koefisien ∑

=

−=M

kk knbnh

0][][ δ

11/23/200611/23/2006 88

Jika x[n]=zn berlaku untuk semua nilai n, maka:

∑ ∑

∑ ∑

= =

−−

= =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

=−=

M

k

nM

k

kk

knk

M

k

M

k

kkk

zzbzzbny

zbknxbny

0 0

0 0

][

][][

System Function Filter

∑∑=

−

=

− ==M

k

kM

k

kk zkhzbzH00

][)(

11/23/200611/23/2006 99

Maka:

[ ] ∑∑=

−

=

=−=M

k

kk

M

kk zbzHknbnh

00)()( δ

sehingga:

nn zzHznhny )(*][][ ==

11/23/200611/23/2006 1010

ContohContoh 3 3 Suatu filter FIR dinyatakan sebagai:

]2[]1[][6][ −+−−= nxnxnxnyDapatkan bentuk dalam domain-z dan nilai zeronya

Penyelesaian:Dengan cara yang sama dengan logika pada contoh 1 maka didapatkan bentukdalam domain–z sebagai berikut:

( )( ) 21121 2

131

62356)(z

zzzzzzzH

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−−=+−= −−−−

Dengan mengacu pada bentuk terakhir persamaan diatass, didapatkan bahwa nilai zero terjadi pada z = 1/3 dan z = ½

11/23/200611/23/2006 1111

ContohContoh 4:4:Suatu filter FIR memiliki system function dalam domain–n sebagai berikut:

]3[3]2[7][][ −−−−= nnnnh δδδDapatkan representasinya dalam domain-z.

Penyelesaian:Dengan cara yang sama kita dapatkan bentuk domain-z sebagai:

32 371)( −− −−= zzzH

11/23/200611/23/2006 1212

ContohContoh 5:5:Dapatkan bentuk respon impulse suatu filter FIR dengan system function yang direpresentasikan dalam domain–z sebagai berikut:

( )( )( )111 8,01114)( −−− ++−= zzzzH

Penyelesaian:

( )( )( )( )( )

]3[2,3]2[4]1[2,3][4)(2,342,348,08,014

8,08,11148,08,0114)(

321

321

211

2111

−−−−−+=−−+=

−−+=

++−=

+++−=

−−−

−−−

−−−

−−−−

nnnnnHzzzzzz

zzzzzzzzH

δδδδ

11/23/200611/23/2006 1313

3. 3. TransformasiTransformasi--zz sebagaisebagai SuatuSuatu Operator Unit DelayOperator Unit Delay

Dalam domain waktu, unit-delay operator D didefinisikan sebagai:

y[n] = D{x[n]}= x[n-1]

semua tahu kalau x[n]=zn bagi semua nilai nmaka:

[ ]{ } { }][

][111 nxzzzz

zDnxDnynn

n

−−− ===

==

maka:

y[n]=z-1{x[n]}=x[n-1]

11/23/200611/23/2006 1414

NotasiNotasi OperatorOperator

y[n]=x[n]-x[n-1] dikenal sebagai “first difference” case

Operator dalam transformasi-z:

( ) [ ]{ }nxzny 11][ −−=

11/23/200611/23/2006 1515

Diagram Diagram BlokBlok

x[n] y[n]Unit Delay

X(z) z-1X(z)z-1

Realisasi untuk first difference y[n] = b0x[n] + b1x[n-1]Adalah dalam bentuk seperti dibawah ini

x[n]

z-1

x[n-1]

y[n]b0

b1

11/23/200611/23/2006 1616

4. 4. HubunganHubungan antaraantara domaindomain--z z dandan domaindomain--ωωdalam hal ini kita tetapkansebagai besaran frekuen dalam satuan radian

ωωω ˆ== s

ωω

ω

ω

ω

jezj

M

k

kk

M

k

kjk

zHeHH

zbzHebH

=

==

−

==

=⇔= ∑∑

)()()(

)()(00

maka formulasinya kita dapatkan sebagai

Jika suatu sinyal input zn masuk ke suatu filter LTI,outputnya adalah y[n]=H(z)zn

Jika nilai

kjez ω=

ωjez = maka ( ) njj eeHny ωω=][

11/23/200611/23/2006 1717

BidangBidang--zz dandan Unit CircleUnit Circle

• Respon frekuensi periodik dengan periode 2π,sehingga kita perlumelakukan evaluasi sepanjang satu periode −π<ω<π

• Kita miliki nilai z 1 satuan magnitudoω bervariasi dari −π sampai π

nilai ωjez = ada di suatu circle (lingkaran) dengan radius 1disebut sebagai “unit circle”

Matlab Command:zplane(0.5*sqrt(2)+j*0.5*sqrt(2),0)gridtitle('bidang-z')

11/23/200611/23/2006 1818

11/23/200611/23/2006 1919

Zero Zero dandan Pole Pole padapada H(zH(z))

Suatu filter FIR dicirikan oleh nilai-nilai zero-nya.Misal sebuah filter FIR memiliki system function dalam domain-z sebagai berikut:

321 221)( −−− −+−= zzzzHBagimana lokasi zero dan pole pada sistem ini?

Persamaan system function diatas dapat dimodifikasi:

( )( )( )13/13/1

321

111221)(

−−−−

−−−

−−−=

−+−=

zezezzzzzH

jj ππ

11/23/200611/23/2006 2020

Bisa juga dengan cara lain

( )( )

( )( )( )3

3/3/

3

23

3

3321

3

3

1

122

221)(

zezezz

zzzz

zzzzz

zzzH

jj ππ −

−−−

−−−=

−+−=

−+−=×

Kita ketahui lokasi zero adalah

3/3/ ,,1 ππ jj ezezz −=== atau z3 = z2* komplek konjugate

Nilai z dimana H(z) = infinite disebutsebagai pole pada H(z), maka dalamhal ini pole terletak di z=0

Matlab Command:B=[1;exp(j*pi/3);exp(-j*pi/3)];A=[0;0;0];zplane(B,A)gridtitle('bidang-z')

11/23/200611/23/2006 2121

zero

pole

11/23/200611/23/2006 2222

NullingNulling FilterFilterJika pada bidang-z hanya mampu me-nol-kan sinyal dengan bentuk khusus x[n] = z0

n

Sehingga untuk me-nol-kan input x[n] = cos(ω0n) kita perlu proses cascade sebab:

( ) njnj eennx 00

21

21cos][ 0

ωωω −+==

Masing-masing eksponensial komplek ini dapat dibuang (di-nol-kan) dengan suatu first-order FIR filter, sehingga perlu dua filter first order untuk me-nol-kan sinyal cos(ω0n).

Maka filter yang dibutuhkan:

memiliki dua zero pada

sebagai second order FIR filter

njnj ezdanez 0021

ωω −==

11/23/200611/23/2006 2323

Sinyal z1n dinolkan oleh ( )

( )( ) ( )

011

zz1 zH

zzpada0 zHzz -1 zH

11111

111

-111

=−=−=

===

−

Sinyal z2n dinolkan oleh H2(z) = 1- z2

n z -1

Maka nulling filter second order akan memiliki bentuk:

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) 2-1-

0

2-j-j1-j-j

2-21

1-21

1-2

1-1

21

zzcos21zeezee1

zzzzzz1zz-1zz-1

zH zH zH

0000

+−=

++−=

++−==

=

ω

ωωωω

11/23/200611/23/2006 2424

Zero terjadi pada nilai 4/πjez ±=

Persamaan diatas ( ) ( )21

-2-10

21

zzcos21 zH−− +−=

+−=

zz

ω

Sehingga filter ini akan me-nol-kan sinyal cos(0,25π) darisuatu input yang masukke FIR filter yang memiliki bentukdalam persamaan beda sebagai berikut:

]2[]1[2][][ −+−−= nxnxnxny

11/23/200611/23/2006 2525

11/23/200611/23/2006 2626

RelasiRelasi secarasecara GrafikGrafik bidangbidang--zz dengandengan bidangbidang--ωωSuatu FIR filter dengan system function sebagai berikut:

( ) ∑=

−=10

0k

kzzH

– punya zero yang terletak di unit circle, yaitu ω = 2πk/11 untuk nilai k =1,2,…10– pole di z = 0

( ) ( )( ) ( )11/

111/20111/4111/2 .1....11kjkjk

jjj

eezzezezezH

πω

πππ

−−−

−−−−−−

=→

−−−=

w=-pi:.01:pi;H_w = 1 + exp(-j*w) + exp(-j*w*2) + exp(-j*w*3)+ exp(-j*w*4)+ exp(-j*w*5)+ exp(-j*w*6)+ exp(-j*w*7)+ exp(-j*w*8)+ exp(-j*w*9)+ exp(-j*w*10);plot(0.5*w/pi,abs(H_w),'linewidth',2)grid

Memiliki zero yang tersebar di 10 titik secara uniform pada unit circle dalam bidang-z.Dalam bidang−ω respon frekuensinya adalah sbb:

11/23/200611/23/2006 2727

11/23/200611/23/2006 2828

11/23/200611/23/2006 2929

5. 5. Band Pass FilterBand Pass FilterSebelum kita masuk ke band pass filter, kita bicara duluyang namanya running-sum filter.

L-Point Running Sum FilterBentuk umum:

∑−

=

−=1

0][][

L

kknxny

Memiliki fungsi system sebagai:

∑−

=

−=1

0][

L

k

kzzH

Suatu deret geometri

)1(1

11)( 1

1

0 −−

=−−

== −

−−

=

−∑ zzz

zzzzH L

LLL

k

k

Numerator (pembilang)

Denumerator(penyebut)

(1)

11/23/200611/23/2006 3030

Juga dikenal sebagai“the L-th roots of unity”Zero pada H(z):z-L -1 =0 zL =1

Juga dikenal sebagai“the L-th roots of unity”

dengan ej2πk =1 untuk nilai k integermaka z = ej2πk/L untuk k=0,1,2,…..L-1

Pada denominator 0 terjadi pada z = 0 atau z = 1Karena akar ke-L adalah satu satuan z = 1, maka zero pada numerator yangmeng-cancell yang terjadi pada z = 1. Sehingga pole pada z = 0.

Persamaan system function bisa ditulis kembali sebagai:

( )∏∑−

=

−−

=

− −==1

1

1/21

01)(

L

k

LkjL

k

k zezzH π

(2)

(3)

(4)

11/23/200611/23/2006 3131

Misal pada kasus dimana L=10, system function ini menjadi

)1(1

11)( 9

10

1

109

0 −−

=−−

== −

−

=

−∑ zzz

zzzzH

k

k (5)

Dari persamaan (5) akan menghasilkan 10 titik zero yang tersebar secara uniform pada lingkaran (diagram-z) sesuai dengan z = ej2πk/L untuk nilai k = 0,1,2,…9.Karena suatu kondisi untuk z=1 antara pole dan zero saling meng-cancell(menghilangkan) maka tidak muncul dalam bidang–z.

Matlab Code: B=[exp(j*2*pi/10);exp(j*4*pi/10);exp(j*6*pi/10);exp(j*8*pi/10);exp(j*10*pi/10);exp(j*12*pi/10);exp(j*14*pi/10);exp(j*16*pi/10);exp(j*18*pi/10)];A=[0;0;0;0;0;0;0;0;0];figure(1)zplane(B,A)gridtitle('bidang-z')w=-pi:.01:pi;H_w = 1 + exp(-j*w) + exp(-j*w*2) + exp(-j*w*3)+ exp(-j*w*4)+ exp(-j*w*5)+ exp(-j*w*6)+ exp(-j*w*7)+ exp(-j*w*8)+ exp(-j*w*9);figure(2)plot(0.5*w/pi,abs(H_w),'linewidth',2)grid

11/23/200611/23/2006 3232

11/23/200611/23/2006 3333

11/23/200611/23/2006 3434

SuatuSuatu Band Pass Filter Band Pass Filter KomplekKomplekPada LPF posisi w=0 digeser sehingga polenya bergeser.

Saat bandpass filter

System function menjadi:

0≠ω

( )∏−

≠=

−−=1

1

1/21)(L

kokk

Lkj zezH π(6)

k0 menunjukkan kondisi 1/2 −= zez Lkj π

dihindari tidak munculMisal disini k0 = 2, dan L =10 akan memberikan: Interval

Lk02π

ω =

Peak pada k0 = 2 Band Pass Filter

11/23/200611/23/2006 3535

Matlab Code:

B=[1;exp(j*2*pi/10);exp(j*6*pi/10);exp(j*8*pi/10);exp(j*10*pi/10);exp(j*12*pi/10);exp(j*14*pi/10);exp(j*16*pi/10);exp(j*18*pi/10)];

A=[0;0;0;0;0;0;0;0;0];figure(1)zplane(B,A)gridtitle('bidang-z')w=-pi:.01:pi;H_w = (1 - exp(j*0*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*3*pi/10-j*w)).

*(1 - exp(j*2*4*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*5*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*6*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*7*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*8*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*9*pi/10-j*w)) ;

figure(2)plot(0.5*w/pi,abs(H_w),'linewidth',2)grid

11/23/200611/23/2006 3636

11/23/200611/23/2006 3737

11/23/200611/23/2006 3838

Perhatikan Persamaan (6) yang telah diberikandiatas…- efektif untuk melihat respon frekuensi- tidak efektif untuk mencari koefisien-koefisienpada Band Pass Filter

Solusinya ????.....

Solusi 1: Suatu Operator Baru H(z) = G(z/r)

Solusi 2: Dengan Menghitung Secara Langsung

11/23/200611/23/2006 3939

Solusi 1: Suatu Operator Baru H(z) = G(z/r)Misal G(z) = z2-3z + 2 = (z-2)(z-1)

2

2

22

2

))(2(

23

23)(

rrzrz

rrrzz

rz

rz

rzGzH

−−=

++=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2 Akar pada H(z) adalahz=2r dan z=r.

Pada kasus BPF G(z) running-sum system function: ∑−

=

−=1

0

1)(L

k

zzG

r = komplek exponensial = ej2πko/L

11/23/200611/23/2006 4040

Perkalian dengan eksponensial komplek, menghasilkan perputaran sudutdengan ej2πko/L perputaran (pergeseran) sebesar j2πko/L

∑−

=

−

−

=

==

1

0

/2

/2

0

0 )()2

()(

L

k

Lkkjk

Lkj

ez

zeGzGzH

π

π

sehingga koefisien-koefisien pada bandpass filter komplek adalah:

Lkkjk eb /2 0π= untuk nilai k=0,1,2,…L-1 (7)

11/23/200611/23/2006 4141

Solusi 2: Dengan Menghitung Secara Langsung

( ) ( )( )LkjL

k

kLkj

L

k

kjLkkjj

eGe

eeeH

/2ˆ1

0

/2ˆ

1

0

ˆ/2ˆ

00

0)(

πωπω

ωπω

−−−

=

−−

−

=

−

==

=

∑

∑(8)

Persamaan (8) menunjukkan respon frekuensi pada persamaan (7) yang tergeser dengan nilai sebesar 2πko/L

11/23/200611/23/2006 4242

SuatuSuatu Band Pass Filter Band Pass Filter dengandengan KoefisienKoefisien--KoefisienKoefisien RealReal

Bagaimana cara mendesain dengan koefisien-koefisien tidak komplek???

Band Pass Filter koefisien real

k=0,1,2,…L-1

Ekspansi z-k dalam terminologi komplek eksponensial memberikan:

)/2cos( 0 Lkkbk π=

( )

)()(21

21

21

21

)/2cos()(

21

1

0

/21

0

/2

1

0

/2/2

1

00

00

00

zHzH

ezez

eez

zLkkzH

L

k

LkkjkL

k

Lkkjk

L

k

LkkjLkkjk

L

k

k

+=

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=

∑∑

∑

∑

−

=

−−−

=

−

−

=

−−

−

=

−

ππ

ππ

π

11/23/200611/23/2006 4343

H1(z): BPF complek dengan center freq di 2πk0/LH1(z): BPF complek dengan center freq di -2πk0/LUntuk k0 = 2 dan L = 10, respon frekuensinya

Matab CodeB=[cos(0.4*pi);1;exp(j*2*pi/10);exp(j*6*pi/10);exp(j*8*pi/10);exp(j*10*pi/10);exp(j*12*pi/10);exp(j*14*pi/10);exp(j*18*pi/10)];A=[0;0;0;0;0;0;0;0;0];figure(1)zplane(B,A)gridtitle('bidang-z')w=-pi:.01:pi;H1_w = (1 - exp(j*0*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*3*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*4*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*5*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*6*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*7*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*8*pi/10-j*w)).*(1 - exp(j*2*9*pi/10-j*w)) ;H2_w = (1 - exp(-j*0*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*3*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*4*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*5*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*6*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*7*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*8*pi/10-j*w)).*(1 - exp(-j*2*9*pi/10-j*w)) ;H_w = 0.5*H1_w + 0.5*H2_w;figure(2)plot(0.5*w/pi,abs(H_w),'linewidth',2)grid

11/23/200611/23/2006 4444

ada 2 peak (puncak) padazero hilang pada unit circle pada sudut + 4π/10

210/4ˆ ⇒±= πω

11/23/200611/23/2006 4545