TIM DOSEN PENGAJAR KALKULUS 1

Penyelesaian integral untuk fungsi dua variabel Partisi daerah tertutup R di bidang xy menjadi persegi panjang - persegi panjang kecil, nyatakan luas dari persegi panjang persegi panjang ini sebagai

Pilih titik sembarang dalam persegi panjang persegi panjang tersebut, katakan .

Penyelesaian integral untuk fungsi dua variabel Tentukan jumlah Riemann

Untuk , maka nilai limit jumlah riemann diatas sama dengan nilai integralnya.

Contoh

Tentukan jumlah doubel Riemann

Dimana D1 adalah daerah persegi dengan batas-batas sebagai berikut dan

Integral Lipat DuaDalam kasus khusus dimana f(x,y) fungsi nonnegatif atas daerah R, integral lipat diinterpretasikan sebagai volume benda solid yang dibatasi atas dengan permukaan z= f(x,y) dan bawah dibatasi daerah R.

Jika fungsi f(x,y) atas daerah R bernilai positif dan negatif , integral lipat bisa diinterpretasikan sebagai selisih dari volume. Volume diatas bidang xy antara z= f(x,y) dan R dikurangi volume di bawah bidang xy antara z= f(x,y) dan R.

Sifat-Sifat Integral Lipat Dua1. , c suatu konstanta

2.

3.

4. Jika daerah R merupakan gabungan dari beberapa daerah, katakan maka,

Theorema

Misal R daerah persegi panjang yang didefinisikan dengan pertidaksamaan jika f(x,y) kontinu atas daerah persegi panjang ini, maka

Contoh

Selesaikan integral atas daerah

Selesaikan integral atas daerah

Integral Lipat Untuk Daerah Bukan Persegi Panjang

Theorema1.Jika R adalah daerah tipe I (gambar (i)) dimana f(x,y) kontinu, maka

2.Jika R adalah daerah tipe II (gambar (i))dimana f(x,y) kontinu, maka

ContohHitung

Hitung pada daerah R yang tertutup

antara

Perubahan Batas IntegralKadang untuk menyelesaikan integral dapat disederhanakan dengan membalikkan batas integralnya

Contoh Hitung

Hitunglah integral

Integrannya dxdy, daerah R adalah tipe II. Bagian kiri dan kanannya dibatasi x = y1/2 dan x = 2 dan . Dengan merubah R menjadi daerah tipe I yang memiliki batas bawah dan atas, yaitu y = 0 dan y = x2 dan .