MTE3101 Mengenal Nombor

Topik 6 Nombor Kompleks

6.0 Sinopsis Topik ini mengenai nombor kompleks. Konsep modulus, argumen dan konjugat bagi nombor kompleks akan diperkenalkan. Operasi asas melibatkan nombor kompleks dan menukaran nombor kompleks daripada bentuk kordinat kepada bentuk polar dan sebaliknya juga akan dibincangkan.6.1 Hasil Pembelajaran1. Menentukan modulus, argumen dan konjugat bagi nombor kompleks.

2. Melaksanakan operasi asas pada nombor kompleks

3. Menukar nombor kompleks daripada bentuk kordinat kepada bentuk polar dan sebaliknya.

6.2 Kerangka Konsep

6.3 Nombor KompleksPerhatikan persamaan berikut:

x2 = - 1

Apakah penyelesaian di atas? Pasti anda akan kata tiada penyelesaian untuk soalan di atas kerana x = -1. Nombor ini dikenal sebagai nombor khayalan oleh ahli matematik pada zaman dahulu. Pada peringkat awal ahli matematik tidak menerima jawapan ini. Lama kelamaan didapati banyak aplikasi matematik memerlukan penggunaan nombor ini, maka mereka perlu membesarkan set nombor nyata untuk membentuk satu set yang lebih besar iaitu nombor kompleks. Kewujudan nombor kompleks ini membenarkan penyelesaian untuk apa-apa persamaan yang boleh ditulis. Nombor kompleks bergantung kepada nombor i , ditakrif sebagai

i = - 1 atau i 2 = -1Nombor i bukan nombor nyata kerana tiada nombor nyata kuasa duanya adalah negatif. Nombor i, dan gandaan sebarang nombor nyata bukan sifar dengan i dipanggil nombor khayalan.

Contoh nombor khayalan termasuk

I, - 4i, i, i 2, -i,

dan sebagainya.

6.3.1 Takrif Nombor Kompleks

Hasil tambah satu nombor nyata dan sebarang gandaan nombor nyata dengan i dipanggil nombor kompleks. Nombor kompleks boleh ditulis dalam bentuk Kartesan,

z = x + y i

di mana x dan y adalah bahagian nyata dan bahagian khayalan bagi nombor kompleks masing-masing. Contoh-contoh nombor kompleks adalah seperti yang ditunjukkan di bawah:

2 + 5i, -3 - 2i, 4 + 2 i, 0 + 8i ( = 8i ) , 9 + 0i ( = 9 )6.4 Modulus, Argumen dan Konjugat bagi Nombor Kompleks

Pada akhir abab kelapan belas, Casper Wessel dari Norway dan Jean Robert Argand dari Switzerland mewakili nombor kompleks z = x + y i dengan menggunakan gambarajah seperti yang ditunjukkan di bawah:

y

P(x,y)

r

y

O

x

xPerhatikan bahawa nombor kompleks, z = x + yi diwakili pada satah dengan titik P(x,y). Satah itu dirujuk sebagai satah kompleks dan gambarajah sebegitu dipanggil gambarajah Argand (nama di bawah Jean Robert Argand). Perwakilan nombor kompleks z = x + yi dengan spesifikasi kordinat Kartesan (Cartesian) dipanggil bentuk Kartesan atau bentuk segi empat (rectangular) atau bentuk algebra bagi nombor kompleks.Sebarang titik pada paksi-x mewakili nombor nyata dan sebarang titik pada paksi-y mewakili nombor khayalan. Nombor kompleks, z = x + yi juga boleh diwakili dengan vektor OP. Panjang OP, r , dipanggil modulus bagi z dan diwakili oleh z.Saiz putaran, bagi z dipanggil amplitud atau argumen. Ia biasa ditulis sebagai Arg z dan dalam unit radian. Sudut putaran itu boleh mengambil 2n di mana n adalah sebarang nombor integer. Nilai Arg z yang berada dalam lingkungan - < < dikenal sebagai argumen principal. Sudut putaran dalam arah lawan jam dari paksi-x adalah positif dan sudut putaran dalam arah jam dari paksi-x adalah negatif.Dengan merujuk kepada gambarajah di atas,modulus r boleh dicari dengan menggunakan teorem Pythagoras:

Dengan menggunakan nisbah trigonometri,

Mari kita lihat bagaimana mengaplikasi rumus di atas untuk mencari modulus dan argumen bagi nombor kompleks.

Contoh 1: Cari modulus dan argumen bagi nombor kompleks z = 3 + 4i dengan bantuan gambarajah Argand . y Penyelesaian: (3,4) z = 3 + 4i

Modulus bagi z, z= (32 + 42) O 3 x

= 25

= 5

Arg z, = tan-1 (4/3)

= 0.927 radian kerana (3,4) berada pada sukuan pertama.

Contoh 2: Cari modulus dan argumen bagi nombor kompleks z = - 3 4i dengan bantuan gambarajah Argand.

Penyelesaian:

y

z = - 3 4i

-3 O x

Modulus bagi z, z= [( -3)2 + (- 4)2]

(-3,-4)

-4

= 5

Arg z, = tan-1 (-4/-3)

= 0.927 radian tetapi (-3,-4) berada pada sukuan ketiga

Maka, = -( 0.927) radian = - (3.141- 0.927) radian , [ =3.141] = - 2.214 radian Jawapan adalah negatif kerana sudut diukur dalam arah jam dan - < < .

Contoh 3: Cari modulus dan argumen bagi nombor kompleks z = -4 + 2iPenyelesaian:

y

z = -4 + 2i (-4,2) Modulus bagi z, z= [(-4)2 +(22)]

= 20 = 4 5 x = 2 5 Arg z, = tan-1 ( 2/ -4)

= 0.4643 tetapi (-4,2) berada pada sukuan kedua Maka, = 0.4643

= 2.678

Contoh 4: Cari modulus dan argumen bagi nombor kompleks z = 5 4i

Penyelesaian:

y z = 5 4i x Modulus bagi z, z= [(52) + (-4)2]

= 41 (5,-4) Arg z, = tan-1 ( )

= -0.675 radian Jawapan adalah negatif kerana sudut diukur dalam arah jam.

Contoh 5: Jika a = 2 i dan b = 1 + 3i , cari modulus dan argumen bagi (a) 2a b, (b) a + 2b, dan (c) -a - i bPenyelesaian:

2a b = 2 (2 i ) (1 + 3i)

= 3 5i Modulus bagi 2a b, 2a b= (32) + (-52)

= 34

Arg (2a b) = tan-1 (-5/3)

= -1.030 Jawapan adalah negatif kerana 2a b = 3 5i berada dalam sukuan keempat.

Cuba anda selesaikan untuk soalan (b) dan (c) .Pernahkah anda dengar konjugat kompleks? Pasangan nombor kompleks dalam bentuk x + y i dan x y i dipanggil konjugat kompleks. Apabila z = x + y i maka konjugat kompleksnya boleh diwakili oleh z , z* atau = x y i.

Cuba fikir bagaimana mewakil konjugat, = x y i. dalam gambarajah Argand.Jadual di bawah menunjukkan contoh-contoh nombor kompleks dan konjugatnya.

Nombor kompleks, zKonjugat kompleks,

2 + 3i2 3i

3 4i3 + 4i

-1 + 5i-1 - 5i

-5 -6i-5 +6i

(2+ 3i)(2- 3i)

Latihan: 1.Plot gambarajah Argand dan cari modulus dan argumen bagi setiap nombor kompleks berikut :

(i) z = 2 + 5 i,

(ii) z =-4, (iii) z = -3 + 3 i,(iv) -6 i 132.Jika z1 = 3 -2 i dan z2 = -2 + i, cari argumen dan modulus bagi setiap berikut:

(a) z1 + z2,

(b) z2 z1,

(c) z1 z2 dan (d) z1/ z2

Perkara yang perlu dibuat: 1.Jawab soalan dari Bahan Resos: Mullan, E. et.al. (2001). Maths in action: Mathematics 2. Exercise 3: No. 2, 3, 5 2. Cari dari buku rujukan yang lain dan selesaikan soalan berkaitan dengan modulus, argumen dan konjugat. 3.Mengumpul maklumat berkaitan dengan modulus dan argumen bagi nombor kompleks daripada laman web. Cetak dan masuk bahan tersebut dalam folio anda.

4. Baca dan fahami nota dari laman web: http://www.purplemath.com/modules/complex.htm http://www.usna.edu/MathDept/CDP/ComplexNum/Module_3/ComplexPlane.htmPeringatan: Anda digalakkan melayari laman web atau cari dari buku rujukan di pusat sumber untuk meningkatkan pemahaman anda. Segala latihan yang dibuat perlu dimasukkan dalam portfolio masing-masing. 6.5Operasi Asas pada Nombor Kompleks

Operasi ke atas nombor kompleks adalah sama dengan cara kita melaksanakan operasi atas nombor nyata. Mari kita lihat bagaimana operasi asas pada nombor kompleks dapat dilaksanakan.(a)Penambahan dan penolakan

Apabila menggabungkan nombor kompleks dengan menggunakan operasi tambah atau tolak, bahagian nyata dan bahagian khayalan diasingkan kepada dua kumpulan.

Sebagai contoh, (2 + 4i) + (3 i) = (2 + 3) + (4i i)

= 5 + 3i

(5 + 4i) (2 + 3i) =(5 2) + (4i 3i)

= 3 + i(b)Pendaraban

Mengaplikasikan hukum taburan ke atas dua nombor kompleks untuk mendapat hasil darabnya.

Sebagai contoh, (2 + 3i)(4 2i) = 8 4i +12i 6 i 2

= 8 + 8i 6 (-1), i 2 = - 1

= 14 + 8i

(2 + 4i)(2 4i) = 4 -8i +8i - 16 i 2

= 4 16(-1)

= 20

Perhatikan hasil darab bagi contoh kedua di atas adalah nombor nyata. Adakah anda perasan bahawa pasangan nombor itu adalah nombor konjugat.

Pada amnya, hasildarab sebarang pasangan nombor kompleks konjugat menghasilkan nombor nyata. Mari kita lihat buktinya di bawah:

(a + bi) (a bi) = a2 abi +abi b2i 2

= a2 + b2 , i 2 = -1(c) PembahagianPembahagian secara langsung nombor kompleks tidak boleh dilaksanakan tetapi kita boleh mendarab pengangka dan penyebutnya dengan konjugat penyebutnya.Contoh 1:

= x (darab dengan konjugat penyebutnya) =

=

= 2 i

Contoh 2:

Tuliskan dalam bentuk a + bi di mana a, b R

= x

=

=

=

Contoh seterusnya:

Diberi z1 = 3 + 2i dan z2 = 4 + 3i, cari (i) z1 + z2 , (ii) z1 - z2 , (iii) z1z2Penyelesaian

(i) z1 + z2 = (3 + 2i) + (4 + 3i) = 7 + 5i

(ii) z1 - z2 = (3 + 2i) - (4 + 3i) = -1 i(iii) z1z2 = (3 + 2i)(4 + 3i) = 12 + 9i + 8i + 6i2 = 12 + 9i + 8i 6

= 6 + 17i Cuba latihan berikut: 1. Ungkapkan setiap berikut dalam bentuk a + b i:

(a)5 + - 4,(b) 1 - - 9,(c) -3 + - 12

(Panduan: -1 = i)

2.Ringkaskan setiap berikut:

(a) i 4 ,(b) 1/ i 3

3.Ringkaskan yang berikut:

(a) (4 + 5 i) + (3 2 i),

(b) (8 - 6 i) - (2 5 i),(c) i (5 + 8 i)

(d) 2i (3 - 2 i),

(e) (2 + 3 i)(2 - 3 i),

(f) (3 4 i)24.Tuliskan dalam bentuk a + b i:

(a) 1/(1+ 2 i),(b) 1 + i / (1 i),(c) 2 + i/ (3 + i)(d) 3 i / (1 2i)

5.Diberi bahawa z = 1 -2i, cari

(a) z z,(b) zz,(c) z/z,(d) (1/z)

Perkara yang perlu dibuat:.1. Buat latihan tambahan berkaitan dengan operasi pada nombor kompleks dari Bahan Resos ,Exercise 9.1 Ho, S.T. et.al.(2000). College mathematics syllabus c. m.s 184 dan 185.

2. Rujuk Bahan Resos dan baca berkaitan dengan nombor kompleks dan selesaikan soalan. 6.6 Nombor Kompleks dalam Bentuk Polar/ KutubDaripada nota sebelum ini, kita telah melihat nombor kompleks ditulis dalam bentuk kordinat Kartesan iaitu z = x + yi. Adakah terdapat cara yang lain untuk menulis nombor kompleks?

Dengan merujuk kepada gambarajah Argand perhatikan kedudukan titik P (x,y) dan sudut dalam radian dan modulus, r , bagi z = x + yi.

y

P(x,y)

r

x

Jika ( r, ) adalah kordinat polar bagi z , makax = r kos dan y = r sin di mana - < < Dengan demikian nombor kompleks z = x + yi boleh ditulis dalam bentuk

z = r kos + r sin

= r (kos + sin ) di mana r =z, = arg z

Notasi bentuk polar ini, z= r (kos + sin ) dipanggil bentuk trigonometriSudut boleh dalam unit darjah atau radian.

Satu lagi bentuk polar nombor kompleks adalah dalam notasi berikut,

Diketahui bahawa,z = r (kos + i sin ) dan ei = kos + i sin Maka, z = r ei , di mana r =z, = arg z e= 2.71828...

Notasi bentuk polar ini, z = r ei dipanggil bentuk eksponen. dalam radian Pada amnya nombor kompleks boleh ditulis dalam tiga bentuk :

Bentuk trigonometri dan bentuk eksponen bagi nombor kompleks adalah dikenali bentuk polar.Mari kita lihat bagaimana menulis nombor kompleks dalam bentuk polar apabila nombor kompleks ditulis dalam bentuk piawai, z = x + yi atau bentuk Kartesan dan sebaliknya.

6.6.1 Pertukaran nombor kompleks dalam bentuk Kartesan ke dalam bentuk trigonometri dan sebaliknyaTukar nombor kompleks dalam bentuk Kartesan ke bentuk trigonometri

Contoh 1Tuliskan nombor kompleks (i) 7 5i dan (ii) 2 + 2i dalam bentuk trigonometri, r (kos + sin )

Penyelesaian(i) Kita perlu mencarirand : Untuk mencari , kita cari sudut tirus, dahulu:

7 5i berada dalam sukuan ke-4,maka

= 360 - 35.54 = 324.46

Gantikan nilai =324.46 dan r = 8.6 ke r (kos + sin )

Jadi, 7 5i= 8.6 (cos 324.5 + i sin 324.5)

(ii)2 + 2i

Cari r dan :r = (22 + 22) = 8 = 2 2Untuk mencari , cari sudut tirus, dahulu

= tan-1(2/2) = 45Oleh kerana 2 + 2i berada dalam sukuan pertama,Maka = 45

Gantikan nilai = 45 dan r = 2 2 ke r (kos + sin ) Jadi, 2 + 2i = 2 2 (kos 45 + i sin 45)

Tukar nombor kompleks dalam bentuk trigonometri ke bentuk KartesanContoh 2 Tulis 3(kos 232+isin 232) dalam bentuk Kartesan, a + bi

Penyelesaian

Kita hanya perlu meringkaskan ungkapan itu:

3(kos 232 + i sin 232)

= 3 kos 232 +i(3sin 232)

= -1.85 - 2.36i kerana 232 berada dalam sukuan ketigaPeringatan: Sentiasa lakarkan gambarajah Argand supaya anda tahu di mana sudut itu berada untuk menolong anda mencari nilai yang betul untuk kos dan sin .

6.6.2 Pertukaran nombor kompleks dalam bentuk Kartesan ke dalam bentuk eksponen dan sebaliknya

Tukar nombor kompleks dalam bentuk Kartesan ke bentuk eksponenContoh 1 Tukar nombor kompleks (i) , (ii) -2 + 2i dan (iii) - i dari bentuk Kartesan ke bentuk eksponen Penyelesaian

(i) Cari nilai r dan dahulu bagi 1 +3 i Katakan z = 1 +3 i

Oleh kerana tan 60 = 3 dan 1 +3 i berada dalam sukuan pertama, pilih = 60. Gantikan nilai r = 2 dan = 60 ke rumus bentuk eksponen, z =r ei Maka 1 +3 i = 2 ei 60 = 2 ei /3 , (60=/3) (ii) Cari nilai r dan dahulu bagi -2 + 2i Katakan z = -2 + 2i

Jadi, r = [(-2)2 + (22)] = 2 2, tan = y/x = 2/-2 = -1

Sudut tirus, = 45= Oleh kerana nilai tan adalah negatif dan -2 + 2i berada dalam sukuan kedua,

Maka, = - =

Gantikan nilai r = 22 dan = ke rumus bentuk eksponen, z =r ei Maka -2 + 2i = 22 ei 3/4 (iii) Cari nilai r dan dahulu bagi - i. y Katakan z = i = 0 - i Jadi, r = (02 + 12) = 1 x tan = y/x = - 1/0 = - z= -i Sudut tirus, = 90 = /2 Oleh kerana z = - i berada dalam sukuan ketiga, maka = - /2 Gantikan nilai r = 1 dan = - /2 ke rumus bentuk eksponen, z =r ei Maka, - i = e- i/2 Tukar nombor kompleks dalam bentuk eksponen ke bentuk KartesanContoh 2

Tuliskan z = 40 ei 1.3 dalam bentuk Kartesan, z = a + bi

Penyelesaian

Tuliskan z = 40 ei 1.3 dalam bentuk trigonometri, z = r (kos + i sin )

z = 40( kos 1.3 + i sin 1.3) , = 1.3 , r= 40 dan ei = (kos + i sin ) = 40 (0.2675 + i 0.9636)

= 10.70 + 38.54 iContoh 3

Tukar nombor kompleksdalam bentuk Kartesan.Penyelesaian: Latihan: 1. Ungkapkan dalam bentuk r (kos + i sin ) untuk setiap berikut:

(a) z = 2 2i, (b) z = 3 + i, (c) z = -3/3 + (1/3)i, (d) 5i

2. Ungkapkan dalam bentuk a + bi untuk setiap berikut: (a) 2(kos 30 + i sin30), (b) (kos /3 i sin /3), (c) -3 (kos 45 + i sin 45)

3. Tuliskan dalam beutuk eksponen untuk setiap berikut:

(a) 1 + i, (b) 2 3 i, (c) -2 -2 i, (d) - 1 + 2i Perkara yang perlu dibuat: 1. Rujuk Bahan Resos dan baca berkaitan dengan nombor kompleks dalam bentuk polar dan selesaikan soalan.

2. Mengumpul maklumat berkaitan dengan nombor kompleks dalam bentuk polar daripada laman web. Cetak dan masuk bahan tersebut dalam porfolio anda.

3. Jawab soalan 3,11,17,19,21,23,25,27,35 and 45 (ms 731-Michael Sullivan (1999)) Algebra and Trigonometry.

SELAMAT BELAJAR DAN SELAMAT MENEROKA!

Rujukan Ong Beng Sim,(2003). Mathematics for STPM Pure Mathematics. Shah Alam.Fajar Bakti Sdn Bhd.

Nicholson,W.K. (2002) Linear Algebra with Applications. 4th ed. McGraw Hill . Michael Sullivan (1999). Algebra and Trigonometry.

Mullan, E. et.al. (2001). Maths in action: Mathematics 2

Ho, S.T. et.al.(2000). College mathematics syllabus c.

Laman web yang berkaitan

http://en.wikipedia.org/wiki/complex_numbers http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber http://www.sosmath.com/complex/number/polar/polar.html

1. z = x + yi. bentuk Kartesan atau bentuk piawai

2. z= r (kos + sin ) bentuk trigonometri

3. z = r ei bentuk eksponen

O

Arg z, = tan-1 ( y/x), - < <

r = (x2 + y2)

EMBED Unknown

Pertukaran nombor kompleks:

bentuk kordinat ke bentuk polar dan sebaliknya

Operasi asas pada nombor kompleks

Konjugat

Argumen

Modulus

Nombor Kompleks

PAGE

_1376977265.unknown

_1376977758.unknown

_1376978440.unknown

_1376978584.unknown

_1376987396.unknown

_1377281556.unknown

_1376978528.unknown

_1376978214.unknown

_1376978310.unknown

_1376978158.unknown

_1376977336.unknown

_1376977662.unknown

_1376977303.unknown

_1376915218.unknown

_1376932482.unknown

_1376894369.unknown