fungsi kompleks

15
Rabu 8 Juni 2022 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 1 Fungsi Kompleks Fungsi Analitik Fungsi Harmonik Fungsi Elementer

Upload: wanda-triandi

Post on 03-Feb-2016

313 views

Category:

Documents


28 download

DESCRIPTION

FUngsi

TRANSCRIPT

Page 1: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 1

Fungsi Kompleks

Fungsi Analitik

Fungsi Harmonik

Fungsi Elementer

Page 2: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 2

Definisi Fungsi Analitik Fungsi f(z) disebut analitik pada D

(himpunan buka) bila f ’(z) ada untuk z D (atau f(z) berlaku PCR untuk z D ).

Fungsi f(z) disebut analitik di z = z0 bila f(z) analitik pada lingkungan dari z0 ( Lingkungan dari z0 adalah lingkaran buka yang berpusat di z0 dan berjari-jari r ).

Fungsi f(z) disebut entire bila f(z) analitik untuk z di C ( berlaku PCR untuk z C ).

Bila f(z) gagal analitik di z = z0 (atau f(z) tidak berlaku PCR di z = z0) maka z0 disebut titik singular dari f(z)

• z0

D

Entire Analitik

DiferensiabelKontinu

r

Page 3: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 3

Contoh # 1

Carilah titik singular dari

2z

1z)z(f).1(

2

1z

1z)z(f).2(

2

2

3z2z

1z)z(f).3(

2

2

Pembuat nol penyebut z = 2, sehingga f(z) diskontinu di z = 2 f(z) tidak diferensiabel di z = 2 f(z) tidak analitik di z = 2. Jadi z = 2 titik singular

Pembuat nol penyebut z = i dan z = -i, sehingga f(z) diskontinu di z = i dan z = -i f(z) tidak diferensiabel f(z) tidak analitik di z = i dan z = -i Jadi z = i dan z = -i titik singular

Pembuat nol penyebut z = 3 dan z = -1, sehingga f(z) diskontinu di z = 3 dan z = -1 f(z) tidak diferensiabel f(z) tidak analitik di z = 3 dan z = -1. Jadi z = 3 dan z = -1 titik singular

)1z)(3z(

)1z)(1z(

Page 4: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 4

Contoh # 2Periksa apakah f(z) fungsi analitik pada D.

2z1z

)z(f2

(1). D : | z + 1 | < 1

2

D

Titik singular

Di dalam D tidak terdapat titik singular sehingga f(z) analitik pada D

(2). D : | z | < 3

2

D

Titik singular z = 2 terdapat di dalam D sehingga f(z) tidak analitik pada D

Page 5: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 5

Contoh # 3

f(z) = xy – ixy merupakan fungsi entire ?

U( x,y ) = x y dan V( x,y ) = - x y

yy,xUx yy,xVx

xy,xUy xy,xVy

Tidak berlaku PCR f(z) bukan fungsi entire

Apakah fungsi f(z) = xy – ixy analitik pada suatu titik ?

xy,xVy,xUy yx

yy,xVy,xUx xy

x = 0 dan y = 0 z = 0

berlaku PCR di z = 0 namun tidak analitik di z = 0 sebab tidak dapat dibuat lingkungan di z = 0 sehingga berlaku PCR pada lingkungan tersebut.

z = 0

Ctt : Karena PCR berlaku di z=0maka f(z) mempunyai turunan di z=0

Page 6: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 6

Soal Latihan

1. Carilah titik singular dari fungsi berikut :

2. Selidiki fungsi berikut entire, analitik pada pada suatu titik atau hanya diferensiabel

4zz

iz)z(f).a

2

3z2z)iz(

9z)z(f).b

2

2

6z5z

1z)z(f).c

2

3

z1z)z(f).a

iyxeezzfb 2)(). 2

526323)(). 22 yxyiyxxzfc

Page 7: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 7

Fungsi Harmonik

Fungsi H(x,y) disebut fungsi harmonik bila berlaku :

0)y,x(H)y,x(H yyxx

ycosey,xHx

Contoh : Tunjukkan H(x,y) fungsi harmonik

ycosey,xHx

x

ycosey,xHx

xx

ysiney,xHx

y

ycosey,xHx

yy

0ycoseycose)y,x(H)y,x(H xxyyxx

Misal U(x,y) dan V(x,y) harmonik pada D dan berlaku PCR, maka V(x,y) disebut konjugate ( sekawan ) harmonik dari U(x,y) atau sebaliknya

Page 8: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 8

Sekawan Harmonik

Misal G(x,y) merupakan sekawan harmonik dari H(x,y), maka :

Contoh : Tentukan sekawan harmonik dari H(x,y)

y,xGy,xHdany,xGy,xH xyyx

ycosey,xHy,xGx

xy

dyycosey,xGx xCysine

x

ycosey,xHx

)x('Cysiney,xGx

x

ysine)x('Cysinexx

0x'C C(x) = C

Cysine)y,x(Gx

Page 9: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 9

Sifat Fungsi Harmonik

Sifat :1. Misal f(z) = U(x,y) + i V(x,y) analitik pada domain D, maka U(x,y)

dan V(x,y) harmonik pada D.2. Fungsi f(z) = U(x,y) + i V(x,y) analitik pada D bila dan hanya bila

V(x,y) sekawan harmonik dari U(x,y)

22ykyx2xy,xU Contoh :

(1). Cari Nilai k agar U(x,y) fungsi harmonik

k22UU0 yyxx K = - 1

22yyx2xy,xU

y2x2y,xU x

Uxx (x,y) = 2

Uy (x,y) = - 2x + 2k y

Uyy (x,y) = 2k

Page 10: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 10

Sifat Fungsi Harmonik

)x(Cyyx22

(2). Cari fungsi analitik : f(z) = U(x,y) + i V(x,y)

V( x,y ) merupakan sekawan harmonik dari U( x,y ), sehingga berlaku PCR

xy UV

dyUy,xV x dyy2x2

yx UV y2x2)x('Cy2

x2)x('C Cxdxx2)x(C2

Cyyx2xy,xV22

Cyxy2xiyxy2xzf

2222

22yyx2xy,xU

Page 11: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 11

Sifat Fungsi Harmonik

Contoh : Carilah fungsi analitik f(z) = U(x,y) + i V(x,y) bila :23

xy3x)y,x(V

22x y3x3y,xV xy6y,xVy

xy6y,xVy,xU yx

dxxy6y,xU )y(Cyx32

xy VU

222y3x3)y('Cx3

2y3)y('C Cy)y(C

3

Cyyx3)y,x(U32

2332xy3xiCyyx3)z(f

Misal U(x,y) sekawan harmonik dari V(x,y) sehingga berlaku PCR, Ux = Vy dan Uy = - Vx

Page 12: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 12

Soal Latihan

1. Apakah fungsi berikut harmonik? Bila ya, carilah sekawan harmoniknya

a) U(x,y) = xy – x2 + y

b) U(x,y) = sin 2x cosh 2y

2. Carilah nilai k agar fungsi berikut harmonika) U(x,y) = k y ( x – 1)

b) U(x,y) = y3 – k x2 y

c) U(x,y) = sin kx sinh 2y

3. Carilah fungsi analitik f(z) = U(x,y) + i V(x,y) bila a) U(x,y) = sin x cosh y

b) V(x,y) = x3 – 3xy2

23 xy3xx2)y,x(U).c

Page 13: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 13

Fungsi Elementer

ze)z(f

iyxe

iyxee

ysiniycosex

Turunan pertama ada untuk setiap z,

ze)z('f

Fungsi Eksponen

Fungsi Trigonometri

izizee

2

1zcos)z(f

izizee

i2

1zsin)z(f

Fungsi Hiperbolik

zzee

2

1zcosh)z(f

zzee

2

1zsinh)z(f

Fungsi Logaritma

f(z) = ln z dengan z 0

ierz ln z = ln r + i

Turunan pertama ada untuk setiap z kecuali z = 0,

z1

)z('f

Untuk disebut nilai prinsip darilnz

Page 14: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 14

Contoh

2

(1). Tentukan bagian real danbagian imajiner dari

ze)z(f

)iyx(e

iyxee

ysiniycosex

ycose)z(fRex

ysine)z(fImx

(3). Hitung nilai prinsip dari ln z bila z = -1 – i

z = -1 – 1i r =

4

5

1

1tan 1

iz 4

32lnln

ikz )24

5(2lnln

Nilai prinsip dari ln z :

Page 15: Fungsi Kompleks

Sabtu 22 April 2023 Variabel Kompleks (MA 2113) VII / 15

Soal Latihan

1. Tentukan bagian real dan bagian imajiner dari a) f(z) = sinh iz + e-iz

b) f(z) = ln ( z – i )c) f(z) = cosh z – cosh iz

2. Nyatakan berikut ke dalam bentuk U + i Va) sinh ( 3 + 2i) – sinh ( 2 – 3i)b) cosh ( 6 + 8i ) + cosh ( 6 – 8i)c) e-iz + e2iz

3. Selesaikan persamaan berikut a) e-z = 3 – 4ib) ln ( z2 – 1) = ½ ic) sinh z = i