fungsi kompleks

Download Fungsi Kompleks

Post on 03-Feb-2016

147 views

Category:

Documents

7 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

FUngsi

TRANSCRIPT

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Fungsi KompleksFungsi AnalitikFungsi HarmonikFungsi Elementer

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Definisi Fungsi AnalitikFungsi f(z) disebut analitik pada D (himpunan buka) bila f (z) ada untuk z D (atau f(z) berlaku PCR untuk z D ). Fungsi f(z) disebut analitik di z = z0 bila f(z) analitik pada lingkungan dari z0 ( Lingkungan dari z0 adalah lingkaran buka yang berpusat di z0 dan berjari-jari r ). Fungsi f(z) disebut entire bila f(z) analitik untuk z di C ( berlaku PCR untuk z C ).Bila f(z) gagal analitik di z = z0 (atau f(z) tidak berlaku PCR di z = z0) maka z0 disebut titik singular dari f(z) EntireAnalitikDiferensiabelKontinur

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Contoh # 1Carilah titik singular dari Pembuat nol penyebut z = 2, sehingga f(z) diskontinu di z = 2 f(z) tidak diferensiabel di z = 2 f(z) tidak analitik di z = 2. Jadi z = 2 titik singularPembuat nol penyebut z = i dan z = -i, sehingga f(z) diskontinu di z = i dan z = -i f(z) tidak diferensiabel f(z) tidak analitik di z = i dan z = -i Jadi z = i dan z = -i titik singularPembuat nol penyebut z = 3 dan z = -1, sehingga f(z) diskontinu di z = 3 dan z = -1 f(z) tidak diferensiabel f(z) tidak analitik di z = 3 dan z = -1. Jadi z = 3 dan z = -1 titik singular

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Contoh # 2Periksa apakah f(z) fungsi analitik pada D.(1). D : | z + 1 | < 1D

    Titik singularDi dalam D tidak terdapat titik singular sehingga f(z) analitik pada D(2). D : | z | < 3 D

    Titik singular z = 2 terdapat di dalam D sehingga f(z) tidak analitik pada D

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Contoh # 3f(z) = xy ixy merupakan fungsi entire ? U( x,y ) = x y dan V( x,y ) = - x y

    Tidak berlaku PCR f(z) bukan fungsi entireApakah fungsi f(z) = xy ixy analitik pada suatu titik ?x = 0 dan y = 0 z = 0berlaku PCR di z = 0 namun tidak analitik di z = 0 sebab tidak dapat dibuat lingkungan di z = 0 sehingga berlaku PCR pada lingkungan tersebut.

    z = 0Ctt : Karena PCR berlaku di z=0maka f(z) mempunyai turunan di z=0

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Soal LatihanCarilah titik singular dari fungsi berikut :

    Selidiki fungsi berikut entire, analitik pada pada suatu titik atau hanya diferensiabel

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Fungsi Harmonik Fungsi H(x,y) disebut fungsi harmonik bila berlaku : Contoh : Tunjukkan H(x,y) fungsi harmonikMisal U(x,y) dan V(x,y) harmonik pada D dan berlaku PCR, maka V(x,y) disebut konjugate ( sekawan ) harmonik dari U(x,y) atau sebaliknya

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Sekawan HarmonikMisal G(x,y) merupakan sekawan harmonik dari H(x,y), maka : Contoh : Tentukan sekawan harmonik dari H(x,y) C(x) = C

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Sifat Fungsi Harmonik Sifat :Misal f(z) = U(x,y) + i V(x,y) analitik pada domain D, maka U(x,y) dan V(x,y) harmonik pada D.Fungsi f(z) = U(x,y) + i V(x,y) analitik pada D bila dan hanya bila V(x,y) sekawan harmonik dari U(x,y) Contoh : (1). Cari Nilai k agar U(x,y) fungsi harmonik K = - 1 Uxx (x,y) = 2Uy (x,y) = - 2x + 2k yUyy (x,y) = 2k

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Sifat Fungsi Harmonik (2). Cari fungsi analitik : f(z) = U(x,y) + i V(x,y) V( x,y ) merupakan sekawan harmonik dari U( x,y ), sehingga berlaku PCR

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Sifat Fungsi Harmonik Contoh : Carilah fungsi analitik f(z) = U(x,y) + i V(x,y) bila :Misal U(x,y) sekawan harmonik dari V(x,y) sehingga berlaku PCR, Ux = Vy dan Uy = - Vx

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Soal LatihanApakah fungsi berikut harmonik? Bila ya, carilah sekawan harmoniknyaU(x,y) = xy x2 + yU(x,y) = sin 2x cosh 2y

    Carilah nilai k agar fungsi berikut harmonikU(x,y) = k y ( x 1)U(x,y) = y3 k x2 yU(x,y) = sin kx sinh 2yCarilah fungsi analitik f(z) = U(x,y) + i V(x,y) bila U(x,y) = sin x cosh yV(x,y) = x3 3xy2

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Fungsi ElementerTurunan pertama ada untuk setiap z,Fungsi EksponenFungsi Trigonometri Fungsi Hiperbolik Fungsi Logaritma f(z) = ln z dengan z 0 ln z = ln r + i Turunan pertama ada untuk setiap z kecuali z = 0,Untuk disebut nilai prinsip darilnz

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Contoh (1). Tentukan bagian real danbagian imajiner dari (3). Hitung nilai prinsip dari ln z bila z = -1 i z = -1 1i r = Nilai prinsip dari ln z :

    Variabel Kompleks (MA 2113)

  • *Variabel Kompleks (MA 2113)VII / *Soal LatihanTentukan bagian real dan bagian imajiner dari f(z) = sinh iz + e-izf(z) = ln ( z i )f(z) = cosh z cosh iz Nyatakan berikut ke dalam bentuk U + i Vsinh ( 3 + 2i) sinh ( 2 3i)cosh ( 6 + 8i ) + cosh ( 6 8i)e-iz + e2izSelesaikan persamaan berikut e-z = 3 4iln ( z2 1) = isinh z = i

    Variabel Kompleks (MA 2113)

Recommended

View more >