PENGENDALIAN PROSES( TKK 308 , 3 sks) TUJUAN1. Memahami ciri laku (karakteristik) masalah pengendalian proses dan persoalan-persoalan dalam pengendalian proses.2. Mampu merumuskan model kelakuan dinamik dan statik proses-proses kimiawi yang tidak terlalu kompleks.3. Mampu melakukan analisis (melalui model) tentang kelakukan dinamik proses-proses kimiawi yang sederhana.4. Mampumenggunakanberbagai teknikanalisisdalammengkaji sistemkendali dengan umpan balik.5. Memahami beberapa pendekatan dan metoda yang digunakan dalam merancang sistem kendali umpan balik.6. Mengenal beberapa segi dari ; analisis dan perancangan sistem kendali yang lebih mutakhir. Perancangan sistem kendali untuk proses-proses bervariabel ganda. Pengendalian proses menggunakan komputerBuku Referensi:1. Stephanopoulos, G.,Chemical Process Control : AnIntroduction to Theory and Practice, Prentice Hall Inc., New York, 1984.2. Coughanowr & Koppel, Process System AnalysisandControl, McGraw Hill, 19913. Considine,Process Instruments and ControlHandbook, McGraw Hill, 19574. Luyben, W.L.,Process Modeling, Simulation, and Control for ChemicalEngineers, McGraw-Hill Book Co., NY, 1973.1MATERI PERKULIAHAN BagianI:PengendalianProsesKimiawi :Ciri lakudanPersoalanyangBerkaitan dengannya.1. Dorongan untuk mengendalikan proses-proses kimiawi 2. Segi-segi perancangan suatu sistem pengendalian proses3. perangkat keras untuk suatu sistem pengendalian prosesBagian II : Menyusun model dinamik dan statik dari proses-proses kimiawi.4. Menyusun suatu model matematika5. pertimbangan-pertimbangan dalam menyusun model untuk tujuan pengendalian.Bagian III : Analisis kelakuan dinamik proses-proses kimiawi6. simulasi dengan komputerdan linearisasi sistem-sistem linear7. transformasi laplace 8. penyelesaian persamaan differensial menggunakan transformasi laplace.9. fungsi transfer dan model-model input-output10. kelakuan dinamik sistem-sistem order satu11. kelakuan dinamik sistem-sistem order dua12. kelakuan dinamik sistem-sistem order yang lebih tinggi.Bagian IV : Analisis dan perancangan sistem pengendalian dengan umpan balik13. mengenal pengendalian dengan umpan balik14. kelakuan dinamik proses-proses yang dikendalikan dengan pengendalian dengan umpan balik.15. analisis kestabilan sistem-sistem yang dikendalikan dengan pengendalian umpan balik]16. perancangan pengendali dengan umpan balik.17. analisis respons frekuensi proses-proses linearSISTEM PENILAIAN UJIAN Nilai Ujian Tengah Semester 30 % Nilai Ujian Akhir Semester40 % Nilai Tugas-Tugas20 % Nilai Quiz 10 % Kehadiran> 75 %2BAGIAN IPengendalian proses-proses kimiawi : ciri laku dan persoalan-persoalan yang berkaitan dengannyaPembahasan akan mencakup 3 babBahasan yang disampaikan dimaksudkan untuk :1. memberikan pengertian tentang apa yang dimaksud dengan pengendalian proses 2. memberikanpenjelasan tentang faktor-faktor yang menimbulkan dibutuhkannya pengendalianproses, danapayangmemotivasi dilaksanakannyapengendalian proses.3. menganalisis ciri laku suatu sistem kendali dan merumuskan persoalan yang perlu diselesaikan dalam perancangannya4. mengemukakan dasar-dasar pemikiran untuk mengkaji masalah-masalah pengendalian proses.3BABI Faktor-faktor pendorong dilaksanakannya pengendalian proses Suatupabrikkimiawi merupakansusunandari satuan-satuanpemroses (reaktor, absorber, pompa, dll) yang terstrukturkan dengan tujuan tertentu. Tujuan umumsuatu pabrik adalah mengkonversi bahan-bahan mentah tertentu menjadi satu atau beberapa jenis produk, menggunakan energi dengan cara seekonomik mungkin Dalam pengoperasisannya suatu pabrik kimiawi harus memenuhi beberapa persyaratan yang ditetapkan didalamperancangannya dan perlu memenuhi kondisi (persyaratan) teknis, ekonomis, dan sosial. Pemenuhanpersyaratan-persyaratantersebut berhadapandengankeadaan lingkungan yangberubah-ubah, yangdapat mempengaruhi jalannya proses (keadaan lingkungan yang dapat mempengaruhi proses = gangguan = disturbance). Persyaratan-persyaratan yang dikemukan terdahulu, dapat dirangkum menjadi 5 bidang persyaratan utama : 1. Keselamatan (safety)2. Spesifikasi produksi3. Peraturan mengenai lingkungan hidup (the environment)4. Kendala-kendala operasional5. Ekonomi Kelima persyaratan tersebut menuntut adanya pemantauan secara terus menerus terhadap jalannya operasi suatu pabrik kimia yang memerlukan intervensi (pengendalian) untuk menjamin tercapainya tujuan-tujuan operasional pabrik Pemantauandanpengendaliantersebut dilaksanakanmelalui penggunaan peralatan (alat ukur, katup kendali, pengendali, komputer), dan intervensi orang (perancangdanoperatorpabrik), yang2 cara keseluruhan membentuk sistem kendali terhadap pabrik.Terdapat3kelompoktujuan umum yang perlu diwujudkan oleh suatu sistem kendali : menekan pengaruh gangguan-gangguan dari lingkungan (terhadap operasi pabrik) menjamin kestabilan proses mengoptimasi kinerja (performansi) proses1.1Menekan pengaruh gangguan lingkungan Tujuanyangpalingumumsuatusistemkendali di pabrikkimia adalah menekan pengaruh gangguan lingkungan ke proses Gangguantersebut, yaituefekdari perubahanlingkunganproses terhadapgerakoperasi sistem-sistempemroses(e.g. reaktor, heat exchanger, 4evaporator, kompressor, dsb) pada umumnya diluar jangkauan kemampuan dari operator proses untuk menangkalnya.MakaDiperlukan penggunaan mekanisme pengendalian yang memungkinkan pengubahan terhadap gerak proses, sehingga efek merugikan yang timbul dari adanya gangguan, dapat ditiadakan.Contoh 1.1Mengendalikan tangki pemanas berpengadukAsumsi: - Cairan didalam tangki tercampur sempurna- Temperatur didalam tangki = temperatur aliran keluar tangki Tujuan operasional tangki pemanas :1. mendapatkan aliran cairan yang keluar tangki dengan suhu tetap, yaitu Ts.2. menjaga agar volume cairan ditangki konstan, yaitu Vs. Bila tak ada gangguan yang dapat mengubah kondisi proses, Suhu cairan keluar tangki dan volume cairan ditangki tetap, masing-masing Ts dan Vs, sekali keadaan tersebut tercapai. Tetapi :Fi, Ti dan Q dapat berubah (gangguan terhadap proses)T dan V tak mungkin konstan pada Ts dan Vs.Diperlukan sistempengendali (control system) bila (T,V) dikehendaki tetap berharga (Ts,Vs)5hQFstSteamF (cm3/menit)T (K)Fi (cm3/menit)Ti (K)Kondensat2) Pola pengendalian suhu yang dapat ditempuh- thermocouple mengukur suhu cairan ditangki, T.- Pembacaan thermocouple dibandingkan dengan harga suhu yang dikehendaki, set point, yaitu Ts.- Selisih antara T dan Ts disebut kesalahan (error) : E = Ts- T- HargaEdisampaikankepengendali (controller) yangakanmemutuskan tidakan apa yang perlu dilakukan agar harga T kembalimenuju Ts :1. Bila E > 0 (T < Ts) pengendali memperlebar bukaan katup steam, sehingga Q membesar T naik menuju ke Ts2. bila E < 0 (T > Ts) pengendalian memperkecil bukaan katup, Q mengecil, T turun menuju Ts.3. bila E = 0 (T = Ts)posisi bukaan katup tak diubah.FEEDBACK CONTROL SYSTEM(SISTEM KENDALI DENGAN UMPAN BALIK)- Sistem kendali suhu yang dibahas terdahulu melaksanakan fungsinya dengan mekanisme sebagai berikut :1. atas dasar hasil pengukuran terhadap variabel yang diinginkan untuk dikendalikan, ditentukan besarnya penyimpangan (error)(Jadi gangguan telah terjadi dan besaran proses telah terpengaruhi gangguan tersebut)2. berdasar pada pengetahuan tentang besarnya penyimpangan (error) tersebut, dilakukan tindakan pembetulan (corrective action)- Jadi tindakan pembetulan dilakukan setelah penyimpangan terjadi dan dideteksi atau setelah efek gangguan dirasakan oleh proses- Sistem kendali dengan mekanisme kerja semacam itu disebut sistem kendali dengan umpan balik (feedback control system)- Harga yang dikehendaki, Ts, disebut set point (titik acuan) ini ; titik acuan iniditetapkandandiberikanolehoperator; dikatakanbahwatitikacuanitu ditentukan secara external.6ThermocouplePengendaliSet pointTsFstQTi, FiT, F-+(b) Pengendalian volume cairan ditangki (~pengendalian atas permukaan =level control)dikehendaki V = Vs (atau h = hs)(i) Pola pendekatan I : pengendali mengatur bukaan katup aliran keluar tangki(ii) Pola pendekatan II ; pengendali mengatur bukaan katup aliran masuk ke tangkiKedua pola pendekatan menggunakan feedback control system.7hFiTisteamPengendali Alat ukur arus cairanSet poinths-+EFThFiTiPengendali Alat ukur arus cairanhSet point hs+E_ TcQ, FFEED FORWARD CONTROL SYSTEMUntuk pengendalian temperatur- suhu aliran masuk diukur dengan thermocouple- hasil pembacaan thermocouple ditransmisikan ke alat pengendali- atas dasar informasi tentang Ti, dan ketentuan tentang harga Ts, alat kendali menggerakkan katup untuk menentukan bukaan katup yang tepat bagi penyediaan panas agar efek perubahan dari Ti dapat dikompensasi, sehingga T selalu ada pada harga Ts, atau dekat sekitar Ts. - Dalam sistem kendali dengan feedforward ini sistem kendali tidak menunggu sampai efek gangguan dirasakan proses, tetapi mengantisipasi penyimpangan yang dapat terjadi akibat perubahan harga Ti, dan melakukan perubahan laju penyediaan panas untuk mengkompensasi perubahan T yang diantisipasi tersebut.1.2 Menjamin kestabilan proses 1.2.1 Sistem yang stabil (stable) atau self regulating8Pengendali Thermocouple Set pointTshFiTisteamFTWaktutoXsX Tci, FiPendingin TcQ, F- x suatu variabel proses (e.g T, P, C, V)- gambar diatas menunjukkanresponsesistem(perubahanx) untukt >to, karena sesuatu gangguan - setelah saat to, akibat gangguan, x menyimpang darr harga semula xs, berfluktuasi yangmakin teredamdisekitar xs, dan setelah beberapa saat kembali ke harga xs. Suatu sistem yang berkelakuan sebagaimana digambarkan diatas disebut yang stabil atau self regulating Sistem stabil, bila menerima gangguan akan memberikan response yang akhirnya kembali ke harga semula.1.2.2 Sistem yang tak stabil (unstable) y suatu variabel proses gambar menunjukkan response sistem (perubahan harga variabel y dengan waktu) setelah t = to, karena adanya gangguan. Setelah t = to, response sistem mengikuti alur perubahan A, atau B, atau C. Jadi y makin menjauhi ys dalam perjalanannya dengan waktu.Sistem yang menunjukkan kelakuan seperti itu disebut sistem yang tak stabil (unstable system).Sistem-sistemyangm menunjukkan kecenderungan tak stabil perlu pengendalian untuk memungkinkan pengoperasiannya secara stabil ; pengendalian diperlukan untuk menjaga kestabilannya.Contoh 1.2 Mengendalikan operasi suatu reaktor tak stabil9WaktutoYsYCABAB BCAi, Ti, FiReaktan Tci, FiPendinginCA, T, FProduk TcQ, F CSTR(ContinousStirredTankReactor) yangdilengkapicooling jacket Terjadi reaksi eksotermis A B untuk menjaga suhu campuran reaksi, dipasang pendingin. Panasyangdihasilkan reaksiA Bberbanding lurusdengan derajat konversi zat A (A= AoA Ao ), dan Amerupakan fungsi suhu, T, yang berbentuk sigmoid (seperti huruf s). Maka laju produksi panas merupakan fungsi T yang berbentuk sigmoid. Lajuperpindahanpanasdari campuranreaksi kependingin, O, berbentuk garis lurus , atau Q fungsi linear T.(ingat : Q = UA (T Tc) Pada keadaan stasioner (steady state) laju produksi panas = laju perpindahan panas dari campuran reaksi ke pendingin. Keadaan stasioner tersebut terjadi pada titik P1, atau P2, atau P3, yaitu titik perpotongan kurva (1) dan kurva (2), dimana laju produksi panas (QR) = laju pendinginan (QL) TitikP2merupakankeadaanstasioneryangtakstabil, sedangkan titik P1 dan P3 merupakan keadaan stasioner yang stabil. Berikut ini uraian penjelasan :- bila oleh sesuatu sebab, suhu bergeser dari T2 ke T2dimana T2 lebih besar dari T2 maka QR> QL. Suhu akan naik, reaksi makin cepat, produksi panas makin tinggi mengikuti alur kurva 1, sedangkan laju pendinginan selalu tak 10T2 T1T2T3(1)(2)P2P1P3Laju pendinginan (QL)AtauLaju produksi panas (Q2)dapat mengimbangi. Di daerah antara P2 dan P3, QR> QL. Keadaan proses akan bergeser ke P3- pada titik P3, bila T > T3QL > QR suhu turun kembali ke T3.Jadi bila terjadi pergeseran suhu, keadaan akan kembali ke posisi P3 stabil- bila dikehendaki untuk beroperasi di P2 karenaa. untuk keadaan di P1 reaksi terlalu lambatb. untuk keadaan di P3 suhu terlalu tinggi dan akan menimbulkan kerusakankatalisatau bahan, maka pengendalian diperlukan agar bila keadaan (suhu) menggeser dari T2 proses dapat selalu dikembalikan ke P2.Jadi pada kasus ini pengendalian ditunjukkan untuk menjamin agar sistemdapat dioperasikan secara stabil.Empat kurva berikut ini menunjukkan ressponse sistem terhadap gangguan bila sistem tak dikendalikan :11Operasi dititik P2.bila T > T2 keadaan beralih ke posisi P3Operasi dititik P2. bila T < T2 keadaan beralih ke posisi P1T1T2T3Waktu T1T2T3Waktu T1T2T3Waktu T1T2T3Waktu Mengoptimasi kinerja proses Tujuan untuk menekankan pengaruh gangguan lingkungan dan menjaga kestabilanproses yangpada dasarnya berkaitan dengan pemenuhan persyaratan keselamatan dan persyaratan operasi dan produksi, merupakan dua tujuan dasar dari pengendalian proses. Setelahkedua tujuan tersebut dapat direalisasikan, kehendak selanjutnya adalah membawa operasi ke keadaan yang memungkinkan sistem produksi menghasilkan keuntungan yang lebih baik. Dalamkaitan usaha untuk mempertahankan atau meningkatkan keuntungan, sistem pengendalian juga dapat dijadikan sarana untuk mengubah kondisi operasi proses ; sehinggaefek perubahan lingkungan dapat diimbangi, dengan cara itu, yaitumengubahkondisi proses sehinggaproses beroperasi padakondisi yang selalu memaksimumkan economic objective. Tindakan memaksimumkan tingkat perolehan keuntungan dari pengoperasian sistemtersebut denganmemanfaatkansaranasistemkendali, melibatkantidak hanya peralatan, tetapi juga keputusan dan tindakan pimpinan dan operator dalam mengubah set points sistem kendali.Contoh 1.3Mengoptimumkan kinerja suatu batch reactor :12Operasi dititik P3.Bilaterjadi pergeseransuhu, Takan berisolasi di sekitar T3, dan akhirnya proses kembali ke posisi P3Operasi dititik P1.Bilaterjadi pergeseransuhu, Takan berisolasi di sekitar T1, dan akhirnya proses kembali ke posisi P1CAi, Ti, FiReaktanKondensatA BCPengendaliDeskripsi sistem :Dalam suatu reaktor batch dilaksanakan reaksi konsekutif (berturutan), yang merupakan reaksi endotermikA BCKedua reaksi mengikuti kinetika reaksi order satu.r1 = rAB = k1. CAr2 = rBC = k2. CBdimana ri (i = 1,2) =dtdCi= laju konversi untuk reaksi persamaan volume Karena reaksinya endotermikperlu penyediaan panas yang dilakukan dengan selubung pemanas (jacket heater). Sebagai medium pemanas digunakan energi. B merupakan produk yang diinginkan, sedangkan C tak diinginkan. Karena itu pengoperasian proses yang memberikan keuntungan lebih baik bila : konversi A ke B sebesar-besarnya konversi B ke C sekecil-kecilnya Untuk mencapai tujuan tersebut, suhu proses perlu diprogram sehingga dapat diperoleh harga maksimum dari fungsi keuntungan berikut :1]1

1]1

1]1

pembelianAa hsteambiayapenjualanBpendapa arg tanBila jumlah umpan zat A ditetapkan = Ao, dan PA= harga A persatuan APB= harga B persatuan BV= volume reaktanDan A yang tersisa selalu sedikit atau dianggap terbuang, maka untuk selang waktu operasi [0, tR] :(i) Pendapatan dari penjualan B :tRBdt V r r P02 1. ) ((ii) Biaya untuk steam :tRdt t Q Ps0). (132 1Gangguan externalTerukur ()Tak terukur ()(iii) Biaya pembelian A= Ao.PA tRA o BP A dt Ps t Q V r r P02 1]. ). ( ) .( [Untuk memaksimumkan , pemrograman suhu dapat dilakukan dengan mengendalikan laju alir steam Q(t)....Harga maksimum dari diperoleh dengan mengubah harga Q :max = Max. {Q(0)}.Karena reaksi A B dan BC keduanya endotermik, makapola umum dari Q(t) yang dapat menghasilkan max adalah : mula-mula Q(t) dipertahankan pada harga tinggi setelah beberapa saat Q(t) diturunkanMelalui model atai percobaan, dicari bentukfungsi Q(t) untukselang[0, tR] yang menghasilkan max.Pelaksanaan pengendalian untuk menghasilkan Q(t) yang menghasilkan max bukan untuk menekangangguanlingkungan, maupunmenjagakestabilan, tetapi mengoptimumkan proses.14Q(t)0 tRwaktuGangguan externalTerukur ()Tak terukur ()BAB II:SEGI-SEGI PERANCANGAN SISTEM PENGENDALIAN PROSESDi dalam pokok bahasan ini secara berturut-turut akan disampaikan : uraian untuk mengenalkan istilah-istilah yan glazim digunakan untuk mengklasifikasikan variabel-variabel proses dalamkaitan dengan persoalan pengendalian proses. Langkah-langkah utama didalam melakukan perancangan sistem pengendalian. Suatucontohyangmenunjukkandimensi persoalandalammerancangsistem pengendalian suatu rangkaian proses yang membentuk suatu pabrik.2.1 Klasifikasi variabel-variabel proses dalam persoalan pengendalian proses.Input: m, , Output : y, z.15INPUTDisturbance Manipulated variablesmeasuredunmeasuredOUTPUTmeasuredunmeasuredSistem pemrosesGangguan externalTerukur ()Tak terukur ()Variabel outputTerukur (y)Variabel outputTak Terukur (z)Variabel yang dimanipulasi (untuk tujuan pengendalian); mBaca : Examples 2.1, 2.1, 2.3, 2.4, 2.5 untuk memperjelas arti istilah-istilah di atas.2.2 Unsur-unsur perancangan suatu sistem pengendalian Merancangsuatusistempengendalianberarti menyusundanmerumuskanstruktur dari sistem pengendalian tersebut. Serangkaian tindakan analisis perlu dilakukan terlebih dahulu, setiap langkah menghasilkansuatukesimpulan, sebelumpenyusunanstruktursistemdapat mulai dilakukan. Rangkaiantindakananalisis ini, danlangkahpenyusunanrancanganyang merupakan kegiatan akhir (tetapi yang utama) dalammerancang sistem pengendalian, dimulai dengan perumusan tujuan dari sistem pengendali yang hendak dirancang. Secara berturutanakandiberikanunsur-unsur yangmembentukrangkaian langkah kegiatan dalam merancang sistem pengendalian.i. Merumuskan tujuan pengendalian.Perumusan ini pada dasarnya menjawab pertanyaan :(1) Apakah tujuan operasional yang hendak dicapai dengan memfungsikan suatu sistem pengendalian ?Sebagaimana telah dikemukakan di pokok bahasan 1, dalam bentuk rumusan umum tujuan-tujuannya adalah : Menjamin kestabilan suatu proses, dan Menekan pengaruh gangguan-gangguan external terhadap proses, atau Mengoptimumkan kinerja ekonomik suatu pabrik, atau Kombinasi dari yang telah disebutkan di atas.Penentuan dan perumusan tujuan ini dimulai dengan perumusan kualitatif yang kemudian dinyatakansecara kuantitatif. Perumusan kuantitatif ini biasanya dinyatakan dengan menentukan bagaimana bentuk fungsi output yang dikehendaki.Baca cotoh-contoh 2.6, 2.7, dan 2.8 untuk mendapatkan kejelasan lebih lanjutii.Memilih variabel yang hendak diukur (untuk tujuan pengendalian) :Pengukuranterhadapvariabel-variabel tertentusuatuprosesmutlakdiperlukan untuk memungkinkan termonitornya sesuatu proses.Pokok pertanyaan disini adalah :(2) variabel mana saja yang perlu diukur agar dapat dimonitor kinerja operasional dari tiap-tiap bagian prosesdi suatu pabrik?Pada dasarnya, bila mana dapat dilaksanakan, variabel yang dipilih untuk diukur adalahvariabel yangbatasankelakuandanharganyaditetapkansebagai tujuan perancangan pengendalian. Pengukuran semacam ini disebut primary measurement (= pengukuran primair). Bila variabel yang dijadikan sebagai variabel yang dikendalikan (yaitu yang batasan kelakuan dan harganya ditetapkan sebagai tujuan perancangan pengendalian) merupakan besaran yang tak dapat atau sukar pengukurannya pengukuran dilakukan terhadap 16variabel lainyanglebihmudahdiukur. Pengukuransemacamini disebut secondary measurement.Bila pendekatan tersebut perlu ditempuh harus dipunyai pengetahuan tentang hubungan antara variabel yang dikehendaki untuk dikendalikan dan variabel yang dipilih untuk diukur :unmesasured output = (secondary measurement)Dengan demikian harga dan pola perubahan dari unmesasured output yaitu variabel yangdikehendaki untukdikendalikan, dapat diketahui dari hasil secondary measurement tsb.Hubungantersebut diperolehatas dasar pendekatanempirik, experimental ataupun teoritik. Selain melakukan primary measurement, pengukuran untuk memonitor atau untuk tujuan mengendalikanprosesdapat jugadilakukanterhadapexternal disturbance (gangguan luar yang dapat mempengaruhi jalannya proses). Pengukuran semacam ini digunakan dalam feed forward controlContoh 2.10 Suatu sistem pengendali kolom destilasi pemisahan campuran binair pentane dan hexane, mempunyai tujuan untuk mempertahankan produksi destilat dengan komposisi 95 mol % pentane, walaupun gangguan berupa perubahan komposisi umpan terjadi.3polapengukurandapatditempuh,masing-masingpendekatanmengarahkepadapola pengendalian berbeda :1. feed back2. feed forward3. inferential (to infer = menduga) Pendekatan pertama :- Pengukurandilakukanterhadapalirandestilat; konsentrasi ataukomposisi aliran destilat, ini yang diukur.- Pendekatan ini melakukan pengukuran primair.- Dari hasil pengukuran ini, pengendali mengubah bukaan katup yang mengatur laju alir reflux.- Pengendalianmenggunakansistemkendali denganumpanbalik(feedback control system).17CompositronanalyzerPengendali FkolomsteamBRDAir pendinginFeedback primary measurement Pendekatan kedua :- Pengukuran dilakukan terhadap komposisi aliran umpan F- Informasi ini disampaikan ke pengendali.- Pengendali kemudianmengatur aliranrefluxsedemikiansehingga menurut hubungan teori empirik yang ada, komposisi destilat akan sesuai dengan yang dikehendaki- Pengendali menggunakan sistem kendali feed forward Pendekatan ketiga- Dengan dua pendekatan terdahulu, pengukuran dilakukan menggunakan composition analyzer.- Saat ini alat ukur komposisi pada umumnya sangat mahal, kurang andal, dan agak lamban- Dapat ditempuh pengukuran tak langsung lain : yang diukur suhu dari beberapa pelat dibagian atas kolom.- Dengan model, diduga komposisi destilat 18Feed forward secondary measurementCompositronanalyzerPengendali FkolomsteamARD- Output model diumpankan ke pengendali, yang kemudian menentukan bukaan katup pengendali aliran reflux.iii. Memilih variabel yang dimanipulasi.Pemilihan ini bertolak dari pertanyaan :(3) dari berbagai variabel yang dapat digunakan sebagai sarana untuk mempengaruhi jalannya proses untuk tujuan pengendalian, mana yang sebaiknya dipilih?Pelajari : contoh 2.11. tentang pengendalian arus cairan tangki pemanas.iv. Memilih konfigurasi sistem pengendalian Setelah ditetapkan tujuan pengendalian, dan ditelaah kemungkinan-kemungkinan untukmelakukanpengukuransertauntukmenentukanmanipulatedvariables dipilih konfigurasi sistem kendali yang sesuai. Untuktujuanpengendalianyangsama, perbedaan-perbedaandalamkonfigurasi dapat terjadi dalam hal :19Feed forward, inferential control secondary measurementComputer[T1,T2,T3]komposisiPengendali FkolomsteamBRDT1T2T3a. informasi yang dipakai sebagai penentuan pengaturan terhadap manipulated variables.b. Manipulatedvariables yangdigunakandalammempengaruhi proses atas dasar informasi yang sama. Manipulated variabel sama Informasi yang dimonitor berbeda.20steamThermocoupleController Feed backsteamThermocoupleController Feed forward-+ Manipulated variabel berbeda Informasi yang dimonitor sama.Keduanya menggunakan feedback control21Controller steamsteamPengukur Arus cairanController -+Pengukur Arus cairan-+ Konfigurasi pengendalian atau struktur pengendalian pada dasarnya adalah Struktur informasi yang mempolakan hubungan antara pengukuran dan manipulated variables Pertanyaan umum yang harus dijawab dalam persoalan memilih struktur pengendalian adalah(4) untuksuatupersoalanpengendaliansesuatuproses, konfigurasi apayang terbaik? Konfigurasi pengendalian dapat diklasifikasikan sebagai berikut :Menurut banyaknya variabel yang harus ditanganiSISO (+)MIMO (+)Menurut struktur aliran informasinyaFeed backInferentialFeed forward{*}SISO single input, single outputMIMO multi input, multi output Dalam pabrik kimia konfigurasi yang dijumpai sebagian besar adalah konfigurasi sistem kendali MIMO (Multiple Input, Multiple Output) Karena konfigurasi SISO (Single Input, Single Output) dapat dipandang sebagai kasus khusus dari konfigurasi MIMO, dapat disimpulkan bahwa konfigurasi sistem kendali yang lazim dijumpai di industri proses mempunyai bentuk umum sebagai :a. MIMO feedback controlb. MIMO inferential controlc. MIMO feed forward controlDiagram dan penjelasan untuk masing-masing konfigurasi diberikan dihalaman berikut.2. Konfigurasi umumsistempengendalian dengan umpanbalik (feed back control system)22Gangguan (disturbance)PROSESUnmeasured outputsManipulated variablesMeasured Output(controlledvariables)PENGENDALI Menggunakan informasi yang diperoleh dari pengukuran langsung terhadap variabel yang dikendalikan untuk menetapkan harga manipulated variabels. Tujuan pengendalian adalah menjaga agar controlled variables ada pada tingkat harga yang dikehendaki, yaitu pada atau dekat disekitar harga set-pointb. konfigurasi umum sistem pengendalian inferensial (inferential control)23Gangguan PROSESUnmeasured Output Pengendali MeasuredOutputs SetPoints Estimatormelakukankomputasi untukmemperkirakanvariabelyang dikehendakiuntukdikendalikan, tetapi tak diukurHarga-hargahasilperkiraandari variabelyangdikehendakiuntuk dikendalikan tetapi tak diukur Dilakukan secondary measurement controlled variables tidak termasuk dalam measured outputs, tetapi unmeasured outputs pengaturandanpenetapanhargamanipulatedvariables dilakukanatas dasar harga hasil perkiraan tentang controlled variables yang diperoleh dengan perhitungan melalui model, menggunakan hasil secondary measurementc. konfigurasi umum sistem pengendalian dengan feed forward tujuan : menjaga agar harga-harga variables proses yang ingin dikendalikan ada pada arus tertentu yang diinginkan cara : pengukuran dilaksanakan terhadap input disturbances; hasil pengukuran ini disampaikan ke controller dan atas dasar model yang ada di controller ditetapkan diatur harga-harga manipulated variables.v.Merancang Pengendali Sebagai unsur langkah terakhir dalam rangkaian kegiatan merancang sistem kendali adalah merancang pengendaliannya.Pengendali ini adalahkomponenyangpalingefektif dalamsistempengendalian; menerima informasi hasil pengukuran-mengolah informasi itu-memutuskan tindakanapayang harus dilakukan terhadap manipulated variables-mengeluarkan isyarat perintah ke alat kendali akhir (misalnya ; katup pengendali control valve)Pertanyaan pokok dalam merancang pengendali ini adalah :(s) Bagaimanacaramenetapkantindakanmengubahmanipulatedvariables atas dasar informasi yang diterima alat ukur ?24Disturbances PROSES Controller UnmeasuredoutputsMeasured outputsManipulatedVariables = 0 = 1Jawaban terhadap pertanyaan ini adalah suatu aturan pengendalian (control law) yang perlu dapat diimplementasikan secara otomatik oleh alat pengendali.Contoh 2.12Ditinjaupersoalanpengendaliantangki pemanasyangditunjukkandi gambar, dengan konfigurasi pengendalian feed back yang juga ditunjukkan :Bila h, (atau V), dan F tetap, bagaimana Q harus diubah agar T (suhu aliran keluar) dapat dijagatetappadahargaset point(Ts), walaupunTi (suhualiranmasuk) mengalami perubahan ?Andaikan pada mulanya sistem ada pada keadaan tunak (steady state), dimanaTi = TisT= TsQ= QsPada suhu awal t = 0, Ti tiba-tiba berubah harganya seperti ditunjukkan di gambar berikut :Bagaimana T akan berubah dengan waktu ? Perlu disusun model atas neraca energi :25steamThermocoupleController Set Points, Ts-+E = T - TskondensatFTFiTiQhVolume cairan di tangki Vwaktut = 0TisTi = 0 = 1 = 2 Keadaan stasioner (tunak, steady)0 = FCp(Ti,s-Ts) + Qs (2.1) = density ; Cp = panas jenis Keadaan tak stasioner (tak tunak, unsteady)VCpdtdT = FCp(Ti-T) + Q (2.2)Kurangkan (2.1) dari (2.2) :VCpdt) Ts T ( d = FCp[(Ti-Ti,s)-(T-Ts)] + (Q-Qs) (2.3)Catatan : dt) Ts T ( d = dtdT , karena Ts konstan.Penyelesaian persamaan (2.3) dengan syarat awal :@t = 0 Ti = TisT= TsQ = Qsakan memberikan pola perubahan T dengan waktu (T(t)).Perhatikan bhwa, pada persamaan (2.3), diketahui Ti,s , Ts, dan Qs, serta bentuk fungsi Ti (t) (Gambar. 26)Penyelesaian persamaan (2.3) dapat dilakukan bila bentuk fungsi Q(t) diketahui.Persoalan penetapan control law atau aturan pengendalian dalam persoalan ini adalah menetapkan bentuk Q(t) tersebut, dimana = T-Ts harus tercakup di dalamnya. Artinya Q(t) harusdapat berubahbilaberubah, danperubahanQ(t) harussedemikianrupa hingga T akan terbawa kembali Ke Ts bila Ti menyimpang dari harga tunaknya (Tis). Dicoba menetapkan aturan pengendalian proporsional (proportional control).Q = - (T-Ts) + Qs (2.4)= - (t) + Qs disebut proportional gain Substitusikan pers. (2.4) ke pers. (2.3) :VCpdt) Ts T ( d = FCp[(Ti-Ti,s)i.c :@t = 0 T = TsPersamaan (2.5) dapat dipecahkan untuk mendapatkan T(), dengan sebagai parameter.Gambar 2.7 menunjukkan grafik (t) hasil penyelesaian pers.(2.5) untuk berbagai harga [ = 0 berarti sistem tak dikendalikan, karena Q selalu tetap sama dengan Qs, lihat pers. (2.4)]26 = error = 0 = 1 = 2waktuE(t).T(t) - Ts Hasil yang didapat menunjukkan bahwa untuk sistemyang ditinjau ini, aturan pengendalianproporsionaltakdapatmeniadakan, hanya mengurangisaja.Makin besar , makin kecil atau penyimpangannya Pola perubahan T terhadap waktu yang digambarkan itu disebut response sistem, bila ada gangguan terhadap Ti. Sekarang dicoba control law lain :Q = - t0dt ) Ts T ( + Qs= - t0dt ) t ( + Qs (2.6)Aturan pengendalian ini disebut Integral control. Persamaan yang menggambarkan dinamika sistem dengan Integral control diperoleh dengan mensubstitusikan (2.6) ke (2.3) :VCpdt) Ts T ( d = FCp[(Ti-Tis) - (T-Ts)] t0dt ) Ts T ((2.7)Dengan syarat awal :Pada t = 0 T = Ts Gambar 2.8 berikut menunjukkan response sistem bila diterapkan aturan pengendalian Integral control27 = 0 = 1 = 2tE = T - Ts Dapat dilihat bahwa dengan integral control dapat ditiadakan, walaupun alur kearah harga = 0 berosilasiMakin besar makin cepat dan makin kecil osilasi dalam menuju keadaan = 0. Catatan akhir : Penggunaan aturan lain dapat ditempuh misalnya mengkombinasi proportionalcontrol dan integral controlQ = - (T-Ts) t0dt ) Ts T ( + Qs Inti persoalan meranang pengendali adalah menetapkan aturan pengendalian yang secara ekonomis dapat menjawab tujuan pengendalian.28BAGIAN IIMENYUSUN MODEL TENTANG KELAKUAN DINAMIK DAN STATIK DARI PROSES-PROSES KIMIAWIBAB IVMENYUSUN MODEL MATEMATIKAInput : m, d, dOutput : y, zInputOutput29disturbancemanipulated variablesmeasuredunmeasuredmeasuredunmeasuredGangguan externalTerukur Tak terukurVariabel outputTerukur (y)Variabel yang dimanipulasi (m)Variabel outputTak Terukur (z)(d) (d)RQ :Bagaimana kelakuan proses kimia berubah dengan waktu karena :- Pengaruh perubahan gangguan external (d atau d)- Pengaruh perubah m- Pengaruh desain pengendali yang digunakanPendekatan yang dapat ditempuh :Pendekatan experimen- dalam kasus ini perangkat keras. Proses kimiawi yang akan dikaji harus tersedia.- kajian melalui cara ini dilakukan dengan sengaja memvariasikan berbagai input, danmelalui pengukuranoutput denganalat ukuryangsesuai, diamati bagaimana perubahan output tersebut dengan waktu.- dengan cara ini diperlukan waktu dan usaha yang banyak, dan biasanya mahal. Pendekatan teoritis- seringsekali diperlukan merencanakansistempengendali untuksuatu proses kimia sebelum perangkat sistem pemrosesnya di konstruksi :- tidak mungkin dikaji dengan eksperimen- diperlukan sesuatu yang mewakili proses kimia untuk dimungkinkan kajian sifat dinamiknya dilakukan.- biasanya diwakili oleh himpunan persamaan mathematik, dimana penyelesaiannya menghasilkan kelakuan dinamik proses yang dikaji.Dalam bab ini, pertama kali akan digunakan pendekatan teoritis untuk mengembangkan suatu model dari proses kimia.4.1. Mengapa diperlukan Mathematical Modelling untuk Pengendalian Proses :- lihat tujuan pengembangan / penggunaan sistem pengendali (bab I) pengembangansistempengendali untukproseskimiamemberi jaminan tujuan pengoperasian proses dapat dicapai walau ada gangguan pada proses.- Lalu, mengapa perlu mengembangkan suatu diskripsi (model) matematik dari proses yang ingin dikendalikan ?- Karena ,- proses yang akan dikaji belum tentu ada wujud phisiknya.- tidak ada alatnya, tidak semua variabel dapat dicoba secara experimen- prosedur experiment mahal. diperlukan suatu yang dapat memberi penjelasan bagaimana proses bereaksi terhadap perubahan berbagai input melalui model matematik, reaksi dari proses terhadap perubahan input dapat dilakukan[ lihat contoh : 4.1., 4.2., 4.3. ]4.2. Variabel keadaan dan Persamaan Keadaan untuk Proses KimiaUntuk mencirikan suatu sistem proses dan kelakuannya diperlukan :1. Himpunan fundamental dependent quantities yang harganya dapat menjelaskan keadaan sistem2. Himpunan persamaan yang mengandung variabel yang disebut di(1), yang dapat menjelaskan bagaimana keadaan sistem berubah dengan waktu30Dalam bidang TK, yang penting :fundamental dependent quantities (fdg) atau disebut :fundamental dependent variables (fdv), ada 3 : massa, energi, momentum.state = existing condition or position of thing or personsering sekali f.d.v. tidak dapat diukur secara langsung atau kalau mungkin tidak mudah melakukannya. Dipilih variabel lain yang mudah diukur, yang kalau dihimpun daapat memberikan harga f.d.v.Variabel yang mewakili f.d.v :kerapatan, konsentrasi, temperatur, tekanan, laju alirVariabel ini disebut characterizingvariables, yangdisebut statevariables, dimana harganya menentukan keadaan sistem pemroses.Persamaan yang menghubungkan state variables dengan berbagai independentvariables diturunkan dari applikasi HukumKekekalan (massa, energi) pada besaran dasar (f.d.v.) disebut : state equationsHukum Kekekalan dari besaran S. :waktu perioda] sistem dalam di S akumulasi [=tu periodawak] sistem ke masuk S aliran [-waktu perioda] sistem dari keluar S aliran [ +waktu periodasistem dalam di an dibangkitk S Jumlah [ -waktu perioda] sistem dalam di dikonsumsi S jumlah [ Besaran S yang dikaji dapat berupa :- massa total- massa masing-masing komponen- energi total- momentumCatatan :Dalamprosesfisikdankimiawi yang akan dikaji,massa total danenergi total tidak dapat dibangkitkan dari suatu yang tiada dan tidak dapat disirnakan.Tinjauan suatu sistem secara umum dan interaksi dengan lingkungan.31systemQ123NInlets (i)outlets (o)M21Batasan yang menetapkanSistem kajianWs : kerapatan cairan dalam tangkiA :penampang tangkih : tinggi cairan dalam tangki Neraca massa total Ninlet iMoutput jFj . j Fi . idt) V ( d: (4.1.a) Neraca massa komponen AV . r Fj . j C Fi . i Cdt) V . C ( ddt) n ( dANinlet iMoutput jA AA At (4.1.b) Neraca energi totalWs Q hj . Fj . j hi . Fi . idt) P K U ( ddt) E ( dNinlet iMoutput jt t + + (4.1.c)dimana : = kerapatan massa bahan yang ada dlm sistemi = kerapatan massa bahan dalam aliran masuk ij = kerapatan massa bahan dalam aliran masuk jV = volume total sistemFi = laju alir volum masuk dari aliran iFj = laju alir volum keluar dari aliran jnA= jumlah mol komponen A di dalam sistemCA= konsentrasi molar (mol/vol) komponen A di dalam sistemCAi= konsentrasi molar komponen A dalam aliran masuk iCAj= konsentrasi molar komponen A dalam aliran keluar jrA = lajureaksi persatuan voluime komponen A dalam sistem hi = enthalpi spesifik bahan dalam aliran masuk ihj = enthalpi spesifik bahan dalam aliran keluar jU,K,P = masing-masing : energi dalam, kinetik, dan potensial dari sistemQ = jumlah energi yang dipertukarkan antara sistem dan lingkungan persatuan waktuWs = jumlah kerja poros yang dipertukarkan antara sistem dan lingkungan persatuan waktu.Kelaziman : Besaran yang memasuki sistem: + (positif) Besaran yang meninggalkan sistem: - (negatif)32 : kerapatan cairan dalam tangkiA :penampang tangkih : tinggi cairan dalam tangkiPersamaan keadaaan denganvariabel keadaan yangterkandungmembentuk model matematikadari proses, moidel tersebut dapat menggambarkankelakuandinamikdan tunak proses.Aplikasi hukum kekekalan pada besaran yang dikaji, menghasilkan persamaan differensial dengan :Besaran fundamental= sbg dependent variable Waktu= sbg independent variableJikavariablekeadaantidakberubahdenganwaktu: disebut steadystate(keadaan tunak).Contoh 4.4 Variabel keadaan dan persamaan keadaan untuk tangki pemanas yang diaduk.Kelakuan dinamik dan statis.Besaran fundamental yang harganya merupakan informasi tentang pemanas :a. massa total cairan dalam tangkib. energi total bahan dalam tangkic. momentum tangki pemanasmomentum = 0Variabelkeadaan tangki pemanas ; tinjau : massa total = .V = .A.h (4.2) energi total cairan dalam tangkiE = U + K + PTangki tidak bergerak :dk/dt = 0 ; dP/dt = 0dE/dt = dU/dtuntuk cairan : dU/dt = dH/dtentalpi total cairan dalam tangki :33steamkondensatFTFiTiQh : kerapatan cairan dalam tangkiA :penampang tangkih : tinggi cairan dalam tangkiH = .V.Cp.(T Tref) = .A.h.cp.(T Tref)(4.3)Cp: kapasitas panas cairan Tref: temperatur acuan (referensi) dimana entalpi spesifik cairan dianggap = 0Dari persamaan (4.2) dan (4.3) disimpulkan,- variabel keadaan: h, T- parameter konstanta : , A, cp, Tref(dalam hal ini : dianggap konstant)Persamaan keadaan :F Fidt) Ah ( d (4.4) : konstanF Fidtdh . A (4.4a)Fi, F: laju alir volumNeraca energi total :) F Fi ( TdtdTAhdt) hT ( Ad]dtdhA .[ TdtdTAhdt) hT ( Addtdh. ATdtdTAhdt) hT ( AdCpQFT FiTidt) hT ( AdQ ) Tref T ( FiCp ) Tref Ti ( FiCpdt) Tref T ( AhCp [ d + + + + + CpQ) T Ti ( Fidt) T ( AhdCpQFT FiTi ) F Fi ( Tdt) T ( Ahd+ + +Jadi persamaan keadaan A.dh/dt = Fi FAh. dT/dt = Fi (Ti T) + Q/Cp variabel keadaan : h, T variabel output : h, T (measured)34(4.5)(4.5a)(4.5b) variabel input:- gangguan: Ti, Fi- yang dimanipulasi : Q, F, Fi Parameter: A, , CpRumusan kuantitatif yang menggambarkan proses (mengandung variabel keadaan input, parameter) danberupapersamaanmatematik(persamaan4.4adan4.5b) membentuk model matematika dari proses tangki pemanas.Bagaimana kelakuan dinamik/statik tangki ?Pada keadaan awal, t = 0Tangki dalam keadaan tunak dh/dt= 0 Fi,s Fs = 0dT/dt= 0 Fi,s (Ti,s Ts) + Qs/Cp = 0subscript s steady statekeadaan steady state akan terganggu kalau ada variabel input berubah,*KASUS (1)Temperatur masuk, Fi turun 10% dari harganya semula pd s.3- arah (ketinggian) h, air dalam tangki tidak dipengaruhi, h tetap.- Temperatur cairan dalam tangki berkurang sebagai fungsi waktuBagaimana temperatur T berubah dengan waktu?Dapat ditentukan dari penyelesaian persamaan (4.5b) dengan kondisi awalT (t=0) = TsKASUS (2)Laju alir masuk cairan berkurang 10%- arus h dan temperatur tangki T, berubah35input Response TsTTiTi,ot = 0tt Tci, FiPendingin Tco, FcBagaimana h dan T berubah terhadap waktu ?- dapatditentukandari penyelesaianpersamaan(4.4a)dan(4.5b)dengan kondisi awal :

4.3 Unsur-unsur tambahan Model MatematikaDisamping persamaan neraca, dalam pemodelan matematik diperlukan hubungan matematik :- kesetimbangan kimia- laju reaksi- laju perpindahan panas, massa, momentum, dll. Persamaan laju perpindahan :(lihat kuliah transport phenomena)(baca contoh 4.5) Persamaan laju kinetika(lihat buku kinetika reaksi)(baca contoh 4.6) Hubungan reaksi dan kesetimbangan fasa(lihat buku thermodinamika)(baca contoh 4.7) Persamaan keadaan(lihat buku Thermodinamika dan kimia fisik)(baca contoh 4.8)4.4 Dead TimeDalamcontohyangtelahdiberikan(ex4.4) diangga, bilamanaadaperubahanpada variabel input, efeknya pada output secara langsung dapat diamati.Pada kenyataannya, bila ada perubahan input sistem, diperlukan perioda waktu tertentu sebelum efek dari perubahan tersebut dapat terasakan pada output.Waktu interval tersebut disebut :dead time atau transportation lag, atau pure delay atau distance & velocity lag.Contoh 4.9Cairantaktermampatkandantakbereaksi mengalir dalamsuatupipa. Pipaterisolasi campuran dan panas akibat gesekan diabaikan.36Response hohinputhhot = 0tttResponsi TLToutTinUVUV = kecepatan rata-rata cairan Tci, FiPendingin Tco, Fc Karena tidak ada panas yang hilang dan ditimbulkan Tin = Tout Misalnya pada t = 0, temperatur cairan masuk berubah seperti kurva A, temperatur cairan keluar akan tetap sampai perubahan tersebut mencapai ujung lain pipa.aVdA.UA.Lalir volum laju pipa volumetHubungan temperatur To dgn TinTo = Ti (t td)4.5 Contoh-contoh pemodelan MatematikContoh 4.10Pemodelan matematik reaktor : CSTR37t = 0t = tdTTiToTiToTt = 0t = tdA BCAi, Ti, Fi,iReaktan Tci, FiPendinginCA, T, F, Produk Tco, FcReaksi kimia A B yang eksotermik terjadi dalam reaktor, reaktor didinginkan dengan aliran pendingin di luar reaktor.Besaran fundamental dependent untuk reaktor :a. Massa total dalam tangkib. Massa komponen A dalam tangkic. Energi total bahan dalam tangkiCatatan :1. Massa komponen B dapat dihitung dari massa total dan massa komponen A2. MomentumCSTR tidak berubah pada pengoperasian sistem; dan harga perubahan dapat diabaikan.Hukum Kekekalan : Neraca Massa Total : (4.8) Neraca Massa Komponen A:rV F . CA Fi . Caidt) V . C ( ddt) n ( dA A (4.9) Neraca Energi total :dtdHdtdUdtdUdt) P K U ( ddtdE+ +energi masuk tangki = i, hi, Fi (Ti)energi keluar bersama- aliran keluar = , F, h (T)- aliran pendingin = Q dH/dt = i.Fi.hi (Ti) .F.h (T) Q (4.10)Persamaan (4.8), (4.9), dan (4.10) belum merupakan bentuk persamaan yang akhir dan sesuai untukkajianrencanapengendalianproses. Untukmaksudpengendalian, perlu diidentifikasi variabel keadaan (state variabel) yang tepat. Ciri neraca total : , V = (T, CA, CB)bila ketergantungan terhadap T, CA, CB lemah, -konstan.dt) V ( d = dtdVi = Dengan asumsi = konstan, hanya V, variabel keadaan yang diperlukan untuk mencirikan massa total.dt) V ( d = Fi F Ciri neraca massa komponen A :38State variabel : CA, Vdt) V C ( dA = CA dtdV + V dtdCA= CA (Fi F) V(koe-E/RT)diambil laju reaksi : r(AB) = + koe-E/RTVdtdCA = -CA (Fi F) + CAi Fi CA F koe-E/RT CAV dtdCA = VFi (CAf CA) - koe-E/RT CA Pencirian energi total H = H (T, nA, nB)dtdH = tH dtdT + AnH dtdnA +BnH dtdnB(4.11)tH = Cp VAnH = A(T) Cp = kapasitas panas spesifik campuranBnH = B(T) A, B = enthalpi molar parsial A & BdtdnA = dt) V C ( dA = CAi Fi CA F rVdtdnB = dt) V C ( dB = 0 CB F + rV dtdH = CpV dtdT + A [CAi Fi - CA F rV] + B [-CB F + rV]Substitusi (4.10) :CpV dtdT=-A[CAiFiCAFrV]-B[-CBF+rV]+iFihiFhQ(4.10a)Tinjau :Fi i hi(Ti) = Fi [ihi (Ti) - i Cpi (Ti T)]= Fi [CAi A(T) + i Cpi (Ti T)]Fh(T)= Fi [CA A(T) + CB HB(T)]39Ke persamaan (4.11)CpV dtdT = - ACAi Fi + ACAF + ArV + BCBV - B rV + FiCAi A

+ FiiCpi(Ti-T) FCAA - FCAB Q CpV dtdT = FiiCpi(Ti-T) + ( A - B ) rV QA - B = (-Hr) ; panas reaksi pada temperatur T = iCp = CpiV dtdT = Fi (Ti T) + CprV ) Hr ( - CpQ(4.10b)Dari (4.10b), T adalah variabel keadaan yang mencirikan energi total sistemRingkasan :Dari langkah-langkah permodelan matematik CSTR hal penting dalam model CSTR : Variabel keadaan : V, CA, T Persamaan keadaan :dtdV = Fi F (4.8a)dtdCA = VFi (CAi CA) - koe-E/RT CA(4.9c)dtdT = = VFi (Ti T) + J koe-E/RT CA - CpVQ(4.10b)dimana : J = -

,_

CpHr Variabel output : V, CA, T Variabel input : CAi, Fi, Ti, Q, F Disturbances (gangguan) yang umum : CAi, Fi, Ti Variabel yang dimanipulasi (yang umum) : Q, F, Fi atau Ti Persamaan Konstanta : , Cp, (-Hr), ko, E, R.Contoh 4.12Permodelan matematik penukar panas tabung pipa :40T2T1Kukus Kukus cairanzT]zT]z + zzCairan mengalir dalam pipa bagian dalam, dam menglami pemanasan oleh kukus yang mengalir berlawanan arah.T : berubagh dengan waktu dan dengan perubahan jarakT = T (t,z) T T (rp)- State variabel: T- Independent variabel : t, zNeraca energi sepanjang z : Cp A z [(T)t+t (T)t] = Cp v A (T)z t - Cp v A (T)z+t t+ Q t (D z) (4.17)dimana :Q = jumlah panas yang berpindah dari kukus ke cairan per satuan waktu dan panjangA = luas bidang perpindahan panasv = kecepatan rata-rata cairanD = diameter luar pipa bagian dalamPersamaan (4.17) dibagi dengan z.t dan z 0 ; t 0 CpAdtT + CpvAzT = DQu = koefisien perpindahan panas keseluruhanQ = U(Tst T) Tst = temperatur kukusCpAdtT + CpvAzT = DU(Tst T) (4.19)Permodelansistemdalampersamaandifgferensial parsial dikenal sebagai permodelan distributed parameter system4.6 Kesukaran Dalam PemodelanContoh 4.14 Kesukaran dalam pemodelan CSTRDalampemodelanmatematikCSTR(Lihat contoh4.10) ditemui kesukaran-kesukaran berikut :1. Menentukan dengan ketelitian yang diinginkan harga-harga berbagai parameter, misal : ko, E, U.2. meski kapasitas panas spesifik Cp, Cpi, dianggap konstan, dalam kenyataannya merupakan fungsi T dan CA.- bagaimana memastikan bahwa ketergantungan Cp, H, pd T dan CAlemah sehingga hrs dilibatkan dalam model yang membuat model tidak sederhana ?3. bagaimana efek pengoperasian CSTRterhadap harga parameter yang digunakan tidak bisa dengan mudah dimasukkan dalam model.41Pers. Differensial parsial4. reaksi kinetik yang dipilih, apa betul orde satu. Efek kondisi pengoperasian terhadap reaksi?Klasifikasi kesukaran yang mungkin dihadapi dalam pemodelan matematik suatu proses dpt dibagi dalam 3 bagian :1. kesukaran yang timbul karena pemahaman yang miskin (rendah) terhadap gejala fisika dan kimiwi sistem.2. kesukaran yang disebabkan dari ketidaktelitian (tepat) harga parameter.3. kesukaran disebabkan ukuran dan kompleksitas model.1. Pemahaman yang lemah dari prosesmemahami prosessecarasempurnatidaklahmungkin. Beberapacontohproses yang sukar dipahami :- sistem reaksi multikomponen :pengetahuan yang lemah terhadap interaksi antara komponen dan ketidaktepatan reaksi kinetik.- sistem multikomponenketidakpahaman kesetimbangan uap-cair atau cair-cair- campuran multikomponen, azeotropinteraksi perpindahan panas dan massa pada kolom2. Harga parameter yang tidak tepat diketahui Tidakbisamengetahui dengantepat harga parameter, mis harga Edalam persamaan kinetik. Dalam kenyataannya harga parameter berubah dengan waktu.Perlu mencari hubungan matematik perubahan parameter tersebut dengan waktu.Contoh: - aktivitas katalis. - koef. perpindahan panas peralatan Harga parameter dead time yang tidak tepat.Pemahamanyanglemahterhadapdeadtimedapat menyebabkanmasalah serius dalam stabilitas prosesContoh : (kuliah berikutnya)3. Ukuran dan kompleksitas modelUkurandankompleksitas model tidakmelebihi tingkat tertentu; diluar batas tersebut nilai guna dan daya tarik model akan berkurang.42BAB VPERTIMBANGAN-PERTIMBANGAN DALAM PENYUSUNAN MODEL UNTUK TUJUAN PENGENDALIANDalam bab ini pemodelan matematik difokuskan untuk tujuan dan keperluan pengendalian.Akan diamati permasalahan berikut :1. Dimulai dari model variabel keadaan (statevariabel), bagaimanadapat mengembangkanmodel input-output yangsesuai untuk tujuan pengendalian?2. Dengan menggunakan model matematik proses, bagaimana dapat menentukan derajat kebebasan yangterkandung dalam proses, dan berikutnya, mengidentifikasi persoalan pengendalian yang harus dipecahkan?5.1 Model Input-OutputSemua proses kimiawi dan variabel yang terlibat dapat digambarkan secara umum berikut :43y1y2ymd1d2dem1m2mkdisturbanceVariabel yang dimanipulasioutput oT1(t)Contoh 5.1 : Model input-output untuk tangki pemanas yang diaduk.Persamaan keadaan sistem :F FidtdhA (4.4a)CpQ) T Ti ( FidtdTAh+ (4.5b)Bila Fi = F , dV/dt = 0 ; A(dh/dt) = 0Persamaan keadaan sistem hanya satu :CpQ) T Ti ( FidtdTAh+ (4.5b)Jumlah energi panas yang dipasokQ = U. At. (Tst T)U= koef. perpindahan panas keseluruhanAt = luas perpindahan panasTst = temperatur steam (kukus)Substitusi Q :Tst . K Ti1aTdtdTTstCpUAtTi . Fi T )CpUAtFi (dtdTAh+ ++ + +(5.1)dimana a = 1/ + K = V/Fi K = (UAt/VCp)Persamaan (5.1) merupakan model matematik tangki pemanas yang diaduk dengan :44steamkondensatFTFiTiQhV : volume cairan dalam tangki dT1(t)T= variabel keadaan (state variable)Ti, Tst = variabel inputModel input-output?Pers. (5.1) pada steady state dT/dt = 00 + aTs = 1/.(Ti,s) + K.Tst,s(5.2)dimana : subskrip s menandakan harga pd steady statePers. (5.2) (5.1) :) T T ( K ) T T (1) T T ( adt) T T ( ds , st st s , i i ss + +st i' KT ' T1' aTdt' dT+ + (5.3)dimana : T = T Ts Ti = Ti Ti,s Tst = Tst Tst,sMenandakan penyimpangan variabel ybs dari harga keadaan steady state.Penyelesaian pers. (5.3).T(t) = ci.e-at + e-at.dt ] ' KT ' T1[ est it0at+(5.4)Dianggap pd awal (t = 0) tangki dalam keadaan steady state T = 0Diperoleh dari pers.diatas : c1 = 0, dari persamaan (5.4) :T(t) = e-at.dt ] ' KT ' T1[ est it0at+(5.5)Pers. (5.5) menggambarkan hubungan antara input (Ti, Tst) dan output (T) dan membentuk model input output, digambarkan seperti berikut :45Input d t e eta t a t( . )0Output T(t)K1Ti(t)Tst(t) KTst sT1(t)++K T ( t ) ' T1c+State equations : SSDalamhalinidianggapaliran Fditentukanolehpompaatau kerangan.BilaFditentukanoleh ketinggianh;(i.e.sistem tangkibocor);disamping keduapersamaandiatasmasih adapersamaanyang menghubungkan F dengan h(misal : F = Contoh 5.2 Model input-output untuk sistem Proses Pencampuran[baca dari text book]catatan :Pada contoh 5.1 & 5.2, variabel output bertepatan sama dengan variabel keadaan. Untuk sistem sepertiini, pengembangan model input-output hanya memerlukan penyelesaian neraca massa dan energi. Dalam banyak hal, pengembangan model input-output langsung dari neraca massa & energi tidak selalu semudah itu sebagai contoh, dalam model kolom destilasi dua komponen (lihat contoh 4.13), terlihat jumlah variabel keadaan lebih besar dari output. Untuk sistem seperti pengembangan model input-output akan lebih sulit.5.2 DERAJAT Kebebasan (Degree of Freedom)Derajadkebebasansuatusistempemroses adalahvariabel independent yangharus ditentukan (ditetapkan) untuk memungkinkan mendefinisikan proses dengan lengkap.Pengendalianyangdiharapkan terhadap suatu proses dapat dicapaibiladan hanyabila keseluruhan derajad kebebasan telah ditetapkan. Pemahaman yang baik berapa jumlah derajat kebebasan terkandung dalam proses, danvariabel yangmana, merupakanfaktor kritisdalammerencanakansistem pengendali. Mathematical modeldari sistemmerupakandasarutamamenentukanderajat kebebasan baik pada kondisi dinamis maupun statis.Contoh 5.3 : Derajat kebebasan dalam suatu Tangki pemanas yang diaduk (STH)Model matematik STH (Stirred Tank Heater)F FdtdhAi (4.4a)piCQT) (Ti FdtdTAh + (4.5b)Penyelesaian persamaan (4.4a) dan (4.5b) dapat memberikan bagaimana h dan T berubah dengan waktu (t) karena perubahan input Ti, Fi, Q.Pertanyaan yang bisa timbul :1. Mungkinkah ada penyelesaian persamaan tersebut ?2. Bila penyelesaiannya mungkin, berapa penyelesaian yang ada ?Jawaban atas pertanyaan ditentukan oleh jumlah variabel dan persamaan yang ada : Jumlah persamaan = 2 (pers : 4.4a & 4.5b) Jumlah variabel= 6 h, T, Fi, F, Ti, QDalamhalinidianggapA,, Cp,merupakan parameteryang harganya tetap.Terlihat: jumlah variabel > jumlah persamaan1. Paling tidak ada satu jawaban penyelesaian.2. Penyelesaian yang dapat dipilih tidak terbatas (infinite) karena ada (6-2 = 4) variabael yang dapat dipilih bebas.Variabel yangdapat ditetapkansecara bebas merupakanderajat kebebasan ; jumlahnya ditentukan dari :F =(jumlah variabel jumlah persamaan)46State equations : SSDalamhalinidianggapaliran Fditentukanolehpompaatau kerangan.BilaFditentukanoleh ketinggianh;(i.e.sistem tangkibocor);disamping keduapersamaandiatasmasih adapersamaanyang menghubungkan F dengan h(misal : F = Seandainya harga variabel : Fi, Ti, F dan Q ditetapkan masing-masing satu harga tertentu, dari pers. (4.4a) dan (4.5b) dapat ditentukan bagaimana h dan T berubah dengan waktu. Bila ditetapkan harga Fi, Ti, F dan Q yang lain, perubahan h dan T dengan waktu akan berbeda dari sebelumnya bila dengan harga Fi, Ti, T dan Q yang lain.Agar h dan Tberubah dengan waktu menurut kelakuan yang ditetapkan, derajat kebebasan harus = 0.Dapat disimpulkan : untuk memberi ciri yang tepat suatu proses, derajat kebebasan sistem harus = 0.Catatan :Generalisasi derajat kebebasan:UntuksetiapsistempemrosesyangdideskripsikanolehsuatuhimpunanEpersamaan independen(independent equation) yangmengandungVvariabel independen, derajat kebebasan sistem dinyatakan :F = V ESesuai dengan harga f, dapat dibedakan 3 kasus berikut : Kasus1:Jika f=0, jumlah persamaan independed sama dengan jumlah variabel. Penyelesaian hinpunan E persamaan menghasilkan nilai yang tunggal untuk variabel V. Proses dalam kasus ini dengan tepat ditetapkan. (exactly specified) Kasus 2 : Jika f > 0, jumlah variabel lebih besar dair persamaan. Penyelesaian ganda dapat dibuat dari Epersamaankarenaadaf buahvariabel yangdapat ditetapkan secarabebas. Proseskurangditetapkanolehfbuahpersamaan(diperlukanfbuah persamaan agar diperoleh penyelesaian yang tunggal). Underspecified Kasus 3: Jikaf 0.Untuk f > 0 penyelesaian persamaan untuk proses tak terhingga, pertanyaan :Bagaimana mengurangi jumlah derajat kebebasan menjadi nol, sehingga didapat sistem secara lengkap cirinya ditetapkan dengan perilaku yang khas ?Untuk f > 0, diperlukan f tambahan persamaan sehingga sistem tepat ditetapkan cirinya.Dua sumber yang dapat memberikan tambahan persamaan :1. Lingkungan sekitar sistem.2. Sistem pengendali.Contoh permasalahan : (lihat contoh 5.3)Pada sistem STH, f= 4Untuk menyelesaikan pemodelan proses diperlukan 4 tambahan hubungan variabel.48Model matematika : M(4.12a)(4.13)(4.14a)FstFFiTiQhPengendali PengendaliTLingkar 2 Lingkar11. Fi, Ti,merupakangangguan external terhadap tangki, yang relasi gangguannya terhadap tangki ditentukan lingkungan. Fi, Ti yang ditetapkan lingkungan mengurangi 2 buah f.2. Penggunaan 2 lingkaran pengendali memberi 2 hubungan matematik.STP dapat ditetapkan cirinya secara tepat.Ringkasan :1. Lingkungan sekitar sistem, melalui penetapan harga gangguan external mengurangi derajat kebebasan sebanyak jumlah gangguan.2. Sistem pengendali yang dibutuhkan untuk memenuhi tujuan pengendalian mengurangi derajat kebebasan sebanyak jumlah tujuan pengendalian.Catatan :Dalam usaha mengurangi derajat kebebasan suatu proses, perlu diperhatikan agar tidak menetapkan tujuan pengendalian lebih banyak dari yang semestinya dimungkinkan untuk sistem yang dikaji.Contoh 5.8. (lihat contoh 4.11) Jumlah variabel = 16 : V, F1, F2, F3, CA1, CA2, CA3, T1, T2, T3, Hs1, Hs2, Hs3, Q, Cp, Persamaan keadaan = 3 Derajat kebebasan= 16 3 = 13Batasan derajat kebebasan : Sifat fisis cairan ditentukan : , Cp Panas pelarutan,Hs1,Hs2,Hs3, merupakan fungsi konsentrasi dan temperatur acuan To.Hs1 = f1 (CA1, CB1, To)Hs2 = f2 (CA2, CB2, To)Hs3 = f3 (CA3, CB3, To) Derajat kebebasan menjadi : 13 5 = 8, yang ditetapkan dengan cara berikut :49Model matematika : M(4.12a)(4.13)(4.14a) QCA1, F1, T1CA2, F2, T2CA3, F3, T3QLevelContr Comp Contr Temp.Contr hC3T Spesifikasi gangguan : Aliran 1 : F1, T1 Aliran 2 : F2, T2, CA2 Spesifikasi tujuan pengendalian :Karena f = 3, tujuan pegendalian bisa ditetapkan maximum 3.5.4 Perumusan Lingkup Pemodelan Untuk Pengendalian Proses Untukperencanaansistempengendalianpemodelanprosesyangefisiensangat penting. Faktor apayangmenentukanlingkuppemodelanuntuktujuanpengendalian; dikandung pada jawaban atas pertanyaan berikut yang harus dihadapi dan yang harus dipahami implikasinya.1. Apa tujuan pengendalian yang harus dipenuhi?2. Apa gangguan yang diduga dan akibat yang ditimbulkannya?3. Apa gejala fisik dan kimia yang terdapat dalamproses yang ingin dikendalikan ?Pengertian yang jelas atas pertanyaan di atas dan jawabannya sangat membantu dalam mendefinisikan dan menyederhanakan :1. Sstem yang ingin dimodelkan.2. Neraca massa, energi dan momentum yang harus dibuat.3. Persamaan tambahan yang dibutuhkan untuk melengkapi model matematik proses.Juga akan membantu mengidentifikasi :1. Variabel keadaan2. Variabel input ( yang dimanipulasi dalam gangguan)3. Variabel outputYang harus terkandung dalam model matematik.1. Tujuan pengendalian : Menekan pengaruh gangguan-gangguan dari lingkungan Menjamin kestabilan proses. Mengoptimasi kinerja proses50Tujuan tersebut harus diterjemahkan :Variabel X = harga yang diinginkanX = laju alir, temperatur, volume, komposisi, dll.Jika telah ditentukan varaibel x yang mendefinisikan tujuan pengendalian secara kuantitatif; model matematik yang akan dikembangkan harus dapat menjelaskan bagaimana variabel x tersebut berubah dengan waktu.Lihat contoh 5.9 & 5.10.2. Gangguan yang diduga dan akibat yangditimbulkan :Variabel mana yang mempengaruhi proses Yang pengaruhnya besar (menentukan) Yang pengaruhnya kecil dan dapat diabaikan (asumsi yang diambil)Variabel yang dipertimbangkan berpengaruh akan menentukan kompleksitas model : yangmenentukanneracaapadanvariabel apayangharusterkandung dalam model.Lihat contoh 5.113. Gejala fisik dan kimiawi dalam prosesPemahaman yang baik tentang gejala fisik dan kimiawi yang terjadi dalam proses akan sangat membantu penyederhanaan model untuk tujuan pengendalian.Contoh :Asumsi bahwa pelarutan A dan B tidak memberi efek besar :[Hs1- Hs3] x [Hs2 - Hs3] = 0akan sangat menyederhanakan model.51Neraca massa total: N(6-6)A = Luas Penampangh = tinggi level cairanBila laju alir keluar (F) adalah fungsi linier dari level cairan:Fo = h ; = konstantaBAB VISIMULASI DAN LINIERISASI SISTEM NON-LINIER6.1. Linierisasi Sistem Suatu VariabelLinierisasi adalah proses dimana sistem non linier didekati dengan sistem linierTinjau pers. diff. non linier berikut:) (x fdtdx(6-1)Ekspansi fungsi non linier f(x) kedalam DERET TAYLOR disekitar titik Xo:!) (! 2) (! 1) () ( ) (02022000 00nx xdx f d x xdx f d x xdxdfx f x fnxnnxx

,_

+ +

,_

+

,_

+ (6-2)Bila semua suku berorde 2 atau lebih diabaikan, maka:! 1) () ( ) (000x xdxdfx f x fx

,_

+ (6-3)Atau) ( ) (0 00x xdxdfx fdtdxx

,_

+ (6-4)Dari pers. 6-3 dapat diketahui bahwa besar error (kesalahan) adalah:52Neraca massa total: N(6-6)A = Luas Penampangh = tinggi level cairanBila laju alir keluar (F) adalah fungsi linier dari level cairan:Fo = h ; = konstanta...! 3) (! 2) (3033 20220 0+

,_

+

,_

x xdxf d x xdx f dIx x(6-5)Contoh:Perhatikan sistem tangki dalam gambar di bawah ini:Maka:iiF hdtdhAh FdtdhA Bila pada penanganan yang lain:h F 0Maka persamaan (6-6) menjadi:53AhFiFoNeraca massa total: N(6-6)A = Luas Penampangh = tinggi level cairanBila laju alir keluar (F) adalah fungsi linier dari level cairan:Fo = h ; = konstantaf(x)) ( ) ( ) (0 00x xdxdfx f x fx

,_

+ f(x)f(x1)f(x0)x0x1xiF h F 0(6-7)h dilinierkan menjadi deret taylor disekitar titik h0:( ) ( ) + + 11]1

+ + 11]1

+ 20320000202000) (8) (21! 2) () (0 0h hhh hhhh hdhh dh h hdh h dh hh h Bila suku berorde 2 atau lebih diabaikan, maka:) (2000h hhh h + Substitusi ke pers. (6-7):11]1

+ + + + + + +00 0 000 00 00 00 00002222 22 2) (2hh h hF hhdtdhAh hhF hhdtdhAh F hhhhdtdhAF h hhhdtdhAiiii 0022h F hhdtdhAi +..................................................................................................................................................(6-8)6.2. Variabel Deviasiandaikan Xs adalah nilai keadaan tunak x menggambarkan sistem dinamis awal, maka:) ( 0ssx fdtdx ..................................................................................................................................................(6-9)Xs = harga x keadaan tunak (steady state)Misalkan: Xo = Xs; (dari pers. 6-1):54) ( ) (sxssx xdxdfx fdtdxs ,_

+ ..................................................................................................................................................(6-10)Pers. (6-9) pers (6-10):) () (sxsx xdxdfdt x x ds ,_

..................................................................................................................................................(6-11)X = X Xs Variabel DeviasiMaka pers. (6-11) menjadi:''xdxdfdtdxsx

,_

..................................................................................................................................................(6-12)Pers (6-12) adalahperkiraanlinier dari sistemdinamiknonlinier (6-1) dalam bentuk variabel deviasi XContoh:Perhatikan model yang dilinierkan dari sistem tangki yang diberikan pers (6-8).Misalakan hs menjadi nilai keaadaan tunak level cairan untuk nilai yangdiberikan, lajualir inlet Fi,s. Maka model linierisasi disekitar hs diberikan:h FF FdtdhAi 00Atau:iF hdtdhA + Pada keadaan tunak, pers. (6-7) menjadi:s i sF hdtdhA, + ..................................................................................................................................................(6-13)55Pers. (6-8):sih hh F hhdtdhA +00022 s s i ssh F hhdtdhA22,0 +..................................................................................................................................................(6-14)Pers. (6-13) (6-14):is i i ss s i ssF F F h h hh F h hhdth h dA +' ; ; '2) (2) (,0 Sehingga:' '2'0iF hhdtdhA +..................................................................................................................................................(6-15)6.3. Linierisasi sistem bervariabel banyakTinjau sistem dinamik berikut:) , (2 1 11x x fdtdx..................................................................................................................................................(6-16)) , (2 1 22x x fdtdx..................................................................................................................................................(6-17)Ekspansi fungsi nonlinier f1(x1,x2) danf2(x1,x2) kedalamderet Taylor disekitar titik (x1,0,x2,0): +11]1

+11]1

+ 1]1

+ 1]1

+ ! 2) (! 2) () ( ) ( ) , ( ) , (20 , 2 2) , (221220 , 1 1) , (21120 , 2 2) , (210 , 1 1) , (110 , 2 0 , 1 2 10 , 2 0 , 10 , 2 0 , 10 , 2 0 , 1 0 , 2 0 , 1x xx fx xxfx xxfx xxfx x f x x fx xx xx x x x56Dan: +1]1

+1]1

+ 1]1

+ 1]1

+ ! 2) (! 2) () ( ) ( ) , ( ) , (20 , 2 2) , (222220 , 1 1) , (21220 , 2 2) , (220 , 1 1) , (120 , 2 0 , 1 2 10 , 2 0 , 10 , 2 0 , 1 0 , 2 0 , 1 0 , 2 0 , 1x xxfx xxfx xxfx xxfx x f x x fx xx x x x x xAbaikan suku orde kedua atau lebih, maka:) ( ) ( ) , ( ) , (0 , 2 2210 , 1 1110 , 2 0 , 1 2 1x xxfx xxfx x f x x f 1]1

+ 1]1

+ ) ( ) ( ) , ( ) , (0 , 2 2220 , 1 1120 , 2 0 , 1 2 1x xxfx xxfx x f x x f 1]1

+ 1]1

+ Substitusi pers diatas ke pers (6-16) dan (6-17)) ( ) ( ) , (0 , 2 2210 , 1 1110 , 2 0 , 11x xxfx xxfx x fdtdx1]1

+ 1]1

+ ..................................................................................................................................................(6-18)) ( ) ( ) , (0 , 2 2220 , 1 1120 , 2 0 , 11x xxfx xxfx x fdtdx1]1

+ 1]1

+ ..................................................................................................................................................(6-19)Pada keadaan tunak, pers (6-16) dan (6-17) menjadi:) , ( 0, 2 , 1 1, 1s ssx x fdtdx ..................................................................................................................................................(6-20)) , ( 0, 2 , 1 2, 2s ssx x fdtdx ..................................................................................................................................................(6-21)Pers (6-22) dan (6-23) dalam bentuk variabel deviasi:) ( ) () (, 2 2) (22, 1 1) (11, 1 1, 2 , 1 , 2 , 1sx xsx xsx xxfx xxfdt x x ds s s s1]1

+ 1]1

..................................................................................................................................................(6-22)57) ( ) () (, 2 2) (22, 1 1) (12, 2 2, 2 , 1 , 2 , 1sx xsx xsx xxfx xxfdt x x ds s s s1]1

+ 1]1

..................................................................................................................................................(6-23)misal: x1=x1-x1,s dan x2=x2-x2,sContoh (linierisasi CSTR non isotermal):Asumsi volume (v) campuran reaksi konstan. Model dinamika reaktor tersebut:ARTEA Aii AC e k C CVFdtdC 0) (..................................................................................................................................................(4-9A)atau:ARTEA AiAC e k C CdtdC 0) (1..................................................................................................................................................(4-28)dan dari persamaan (4-10b):V CQC e Jk T TVFdtdCpARTEii A 0) (..................................................................................................................................................(4-10b)) ( ;c tprT T VA QCHJ

,_

Modifikasi pers (4-10b):) ( ) (10 cptARTEiAT TV CVAC e Jk T TdtdC + 58CAi Fi TTCDTi...................................................................................................................................................(6-29) VFi1

ARTEC e non linierLinierisasi suku non linier disekitar titik (CAo;To):) () ( ) (0 , 02000 0 0A ARTEARTEARTEA AAARTEARTEARTEARTEC C e C eRTEC eC CCC eT TTC eC e C e +11]1

+ 111]1

,_

+ 111]1

,_

+ Sehingga pers (6-28) dan (6-29) menjadi:)' + 11]1

+ ) ( ) ( ) (10 , 0 0 ,200 00A ARTEARTEARTEA AiAC C e T T C eRTEC e k C CdtdC..................................................................................................................................................(6-30))' + 11]1

+ + ) ( ) ( ) (10 , 0 0 ,200 00A ARTEARTEARTEiC C e T T C eRTEC e Jk T TdtdT ) (cptT TV CVA ..................................................................................................................................................(6-31)Dalam bentuk variabel deviasi:Mis:To ; CA.0 kondisi tunakTi,0 ; TC,0 ; CAi,0 kondisi inputDari pers (6-12) dan (6-29):0 0 0 0 ,0 ,0) (10ARTEA AiAC e k C CdtdC ............(6-32)59Dan:) ( ) (100 , 0 0 , 0 0 0 ,00cptARTEiT TV CVAC e Jk T TdtdT + ..................................................................................................................................................(6-33)Pers (6-30) (6-32):[ ]11]1

) ( ) ( ) (1) (0 0 ,200 0 , 0 ,0 ,T T CRTEk C C C CdtC C dA A A Ai AiA A 1]1

) (0 ,0A ARTEC C e(6-34)Dari pers (6-31) (6-33):[ ]11]1

+ + ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (0 , 0 0 ,200 0 0 ,00A ARTEARTEi iC C e T T C eRTEJk T T T Tdt T T d [ ] ) ( ) (0 , 0 c cptT T T TV CVA ..................................................................................................................................................(6-35)Misalkan:CA = CA CA,0; CAi = CAi CAi,0T = T To ; Ti = TI Ti,0TC = TC TC,0Sehingga: Pers (6-34) dan (6-35) menjadi:' ) ' ' (1 '0 ,200T CRTEk C CdtdCA A AiA11]1

'00 ARTEC e k1]1

(6-36)Dan:11]1

+ + ' ' ) ' ' (1 '00 ,200 ARTEARTEiC e T C eRTEJk T TdtdT) ' ' (cptT TV CVA 60..................................................................................................................................................(6-37)BAB IXFUNGSI TRANSFER DAN MODEL INPUT-OUTPUT9.1 Fungsi transfer proses dengan output tunggalKelakuan dinamik proses digambarkan persamaan differensial orde ke n :) ( . .. ..........1111t f b y adtdyadty dadt y daonnnnnn + + + +(9.1)dimana : f(t) = input proses61Prosesy(t) f(t)input output(a)G(s)(b)) (s y ) (s fGambar 9.1y(t) =output prosesditampilkan sebagai variabel besaran penyimpangan (deviasi).Bila sistem pada mulanya dalam keadaan tunak (steady state) :0 ....... ) 0 (01102201]1

1]1

1]1

tnnttdty ddt y ddtdyy(9.2)Laplace Transform (9.1) dan kondisi awal (9.2) :0 111.....) () () (a s a s a s abs Gs fs ynnnn+ + + + (9.3) G(s) : disebut Fungsi Transfer sistem : dalam bentuk persamaan aljabar sederhana menghubungkan variabel output proses dengan inputnya. Gambar 9.1.b : dikenal sebagai Block Diagram sistem.Bila proses mempunyai dua input f1(t) dan f2(t), dan kondisi awal seperti (9.2), ; persamaan model dinamik proses :) ( . ) ( . .. ..........2 2 1 1 1111t f b t f b y adtdyadty dadt y daonnnnnn+ + + + +(9.4)) ( ......) ( ......) (20 111210 1111s fa s a s a s abs fa s a s a s abs ynnnnnnnn+ + + +++ + + +) ( ). ( ) ( ). ( ) (2 2 1 1s f s G s f s G s y + (9.5)dimana: G1(s) = 0 1111..... a s a s a s abnnnn+ + + +G2(s) = 0 1112..... a s a s a s abnnnn+ + + +G1(s): menghubungkanoutput) (s ydengan input) (1s fG2(s) : menghubungkan output) (s ydengan input) (2s f62Prosesf2(t)y(t)f1(t)ProsesG1(s)G2(s)) (1s f) (2s f++Block DiagramFungsi transfer input ganda ?Ringkasan :Fungsi transfer antara input dan output :G(s) = input Laplace si Transformaoutput Laplace si Transforma(9.7)Ditempatkan dalam bentuk transformasi deviasi.Catatan :1. Fungsi transfer memungkinkanpengembanganmodel input-output yanglebih sederhana dibandingcara-cara yang disampaikan pada bagian 5.12. Fungsi transfer dapat digunakanuntukmenjelasknasecara lengkap kelakuan dinamik output dengan adanya perubahan input.Misalnya untuk suatu perubahan input f(t), dapat ditentukan bentuk transformasi f(s) dan respons sistem :) ( ). ( ) ( s f s G s y Dengan inverse) ( ). ( s f s G , dapat diperoleh respons y(t) sebagai fungsi waktu.Contoh 9.1 : Fungsi Transfer Tangki Pemanas yang diaduk (Stirred Tank Heater), STHModel matematik STH dalam bentuk variabel penyimpangan :st iT K T aTdtdT' . ' .1''+ +(5.3)dimana : T, Ti, Tst variabel penyimpangan dari T, Ti, Tst. u = K1VFi1K = ptc VUA. Bentuk transformasi Laplace :(s + a).T(s) =(s) ' T K. (s) ' T1sti +(s) ' T .a sK(s) ' T .a) (s1/(s) ' Tst i+++Definisikan : G1(s) = ) ( ') ( 's Ts TiG2(s) = ) ( ') ( 's Ts TstYang berarti :G1(s) : menghubungkan temperatur cairan dalam tangki dengan temperatur aliran masukG2(s) : menghubungkan temperatur cairan dalam tangki dengan temperatur steam.63(s) ' T ). ( (s) ' T . ) ( (s) ' Tst 2 i 1s G s G + (9.8a)9.2 Matriks Fungsi Transfer suatu Proses dengan output ganda. Sistem dengan dua input f1(t) dan f2(t), dan dua output y1(t) dan y2(t) Misalkan model matematik system dinyatakan dalam dua persamaan differensial linier :) ( ) (2 12 1 11 2 12 1 111t f b t f b y a y adtdy+ + + (9.9a)) ( ) (2 22 1 21 2 22 1 2112t f b t f b y a y adtdy+ + + (9.9b)Kondisi awal : y1(0) = y2(0) = 0Transformasi pers (9.9a) dan (9.9b) [coba turunkan dengan cara contoh 8.2]) ( .) (] ) [() ( .) (] ) [() (222 12 12 22121 12 11 221s fs Pb a b a ss fs Pb a b a ss y+ ++ (9.10a)) ( .) (] ) [() ( .) (] ) [() (212 21 22 11111 21 21 112s fs Pb a b a ss fs Pb a b a ss y+ ++ (9.10b)dimana P(s) s2 (a11 + a22)s (a12a21 a11a22)) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 12 1 11 1s f s G s f s G s y + (9.11a)64++) ( ' s T) ( ' s Ti) ( ' s T stG2(s)G1(s)Prosesf1(t)f2(t) y2(t)y1(t)) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 22 1 21 2s f s G s f s G s y + (9.11b)dimana fungsi transfer G11(s), G12(s), G21 dan G22 didefinisikan sebagai :) () . ( .11 22 21 12 1111s Pb a b a s bG +) () . ( .12 22 22 12 1212s Pb a b a s bG +) () . ( .21 11 11 21 2121s Pb a b a s bG +) () . ( .22 11 12 21 2222s Pb a b a s bG +Block Diagram Sistem :Catatan :1. Persamaan 9.11a) dan (9.11b) dapat ditulis dalam notasi matriks :11]1

1]1

11]1

) () (.) () () () () () (212212211121s fs fs Gs Gs Gs Gs ys yBentuk matriks suatu fungsi transfer disebut matriks fungsi transfer.2. Untuksystemdenganduainput danduaoutput, diperlukan2x2=4fungsi transfer untuk memungkinkan seluruh output dikaitkan dengan seluruh input.Untuk proses dengan M input dan N output, akan diperoleh N x M fungsi transfer, atau suatu matriks fungsi transfer dengan :N baris, row (# output)M kolom, column (# input).Contoh 9.2 Matriks Fungsi Transfer CSTR.Model yang telah dilinierisasi suatu CSTR dinyatakan dalam deviasi variabel :'1'.'1 '/2/Ai AoRT EooART EoAC T C eRTE kC e kdtdCo o 11]1

+1]1

+ + 65G11(s)G21(s)G12(s)G22(s) ++++) (2s f) (1s f[ ] ' '1' '1 '/ /2cpti ART EoptAoRT EooTV CUAT C e Jk TV CUAC eRTE JkdtdTo o + 11]1

+ + ' ' ''1 12 11 Ai AAC b T a C adtdC + + (9.14a)' ' ' ''2 1 22 21 c i AT b T b T a C AdtdT+ + + (9.14b)kondisi awal : CA(0) = T(0) = 0Transformasi Laplace (9.14a) dan (9..14b) :) ( ') () ( ') () ( ') () () ( '2 12 1 12 22 1s Ts P b as Ts Pb as Cs Pa s bs C c i Ai A +(9.15a)) ( ') () () ( ') () () ( ') () ( '11 2 11 1 1 21s Ts Pa s bs Ts Pa s bs Cs Pb as T c i Ai++++ (9.15b)dimana : P(s) = s2 + (a11 + a12)s + (a11a22 - a12a21)dalam notasi matriks Pers. (9.15a) dan (9.15b)111]1

1]1

1]1

) ( ') ( ') ( '.) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ') ( '23 22 2113 12 11s Ts Ts Cs G s G s Gs G s G s Gs Ts CciAiA66G11(s)G21(s)G12(s)G22(s)G13(s)G23 (s)CA(s)T(s)Tc(s)Ti(s)CAi(s)9.3. Poles dan Zeros dari Fungsi Transfer :Definisi fungsi transfer :G(s) = ) () (s fs yatau G(s) = ) () (s Ps QDimana Q(s) dan P(s) fungsi polynomial.Biasanya dalam system nyata, orde Q(s) lebih kecil dari orde P(s). Harga akar-akar persamaan polynomial Q(s)Disebut zeros of the transfer functionAtau zeros of the systemBilamana harga s disubstitusi dengan harga zeros, fungsi transfer G(s) menjadi nol. Harga akar-akar pers. P(s) disebut :poles of the transfer functionatau poles of the systemPada harga poles sistem, fungsi transfer menjadi tak terhingga.Contoh 9.3 Poles dan Zeros STH [Stirred Tank Reaktor]Model input-output STH :) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( '2 1s T s G s T s G s T st i + (9.8a) G1(s) = + a s / 1tidak ada zeros Pole : s = -a G2(s) = + a sKtidak ada zeros Pole : s = -aFungsi transfer G1(s) dan G2(s) mempunyai pole yang sama s = -a.Contoh 9.4 Poles dan Zeros pada model CSTR.Model CSTR (lihat contoh 9.2)) ( ') () ( ') () ( ') () () ( '2 12 1 12 22 1s Ts P b as Ts Pb as Cs Pa s bs C c i Ai A +) ( ') () () ( ') () () ( ') () ( '11 2 11 1 1 21s Ts Pa s bs Ts Pa s bs Cs Pb as T c i Ai++++ dimana : P(s) = s2 + (a11 + a12)s + (a11a22 - a12a21) Semua fungsi transfer memiliki penyebut P(s) yang sama, sehingga juga memiliki poles yang sama :67P1,2 = 24 ) ( ) (21 12222 11 22 11a a a a a a + t + Zeros dari fungsi transfer : G12(s), G13(s), G21(s): tidak memilikli zeros G22(s), G23(s) : memiliki zeros yang sama : s = -a11 G11(s) : s = -a229.4 Analisis Qualitativ Respons SistemFungsi transfer suatu system :G(s) = ) () (s ys fRespons output y,) ( ). ( ) ( s f s G s y Untukinput f(t) yangdiberikandapat ditentukanTransformasi Laplacef(s) ; untuk system tertentu fungsi transfer G(s) diketahui.Respons y(t) sebagai fungsi waktu t, dapat ditentukan dari inversi G(s).f(s).Fungsi transfer lebih umum dituliskan :G(s) = ) () (s Ps QDan transformasi Laplace Input dapat ditampilkan sebagai:) () () (s q s rs f (9.9)untuk memungkinkan inversi ) ( ). () ( ). (s q s Ps r s Q, perlu diketahui akar-akar pers. P(s) (yaitu harga poles system) dan akar-akar pers. q(s).Bentuk persamaan fungsi t, yang dihasilkandari inversi) ( ). () ( ). (s q s Ps r s Qditentukan oleh poles system dan akar q(s).Jika lokasi poles (dalam sumbu y x bilangan kompleks) diketahui, dapat ditentukan karakteristik qualitative respons system terhadap input tertentu.Seandainya fungsi transfer sistem dinyatakan sebagai :) *)( )( ( ) )( )( () () () () (5 4 4 3 2 1P s P s P s P s P s P ss Qs Ps Qs Gm (9.10)dimana : P1,P2,P3, P4, P4*, P5, merupakan akar P(s) (poles sistem)68G(s) = )'+ ++++mmP s CP s CP sCP sCP sC) (.....) (3323323312211554444**P sCP sCP sC+++Sesuai dengan harga akar-akar P(s), dapat dibedakan 4 letak poles dalam sumbu y x.Kasus 1.Poles : Real dan berbeda.Contoh : P1 dan P2Inversi dari poles tersebut memberi bentuk C1eP1t dan C2eP2t Karena P1 < 0, C1.eP1t berkurang secara eksponensial menuju 0 pada t Karena P2> 0, C2.eP2tbertambah secara eksponensial menuju (tak terhingga) dengan waktu.69Sumbu nyataSumbu imaginer(P4)(P4*) P4*P4P5 P1P3(P3) P2C1.eP1tC2.eP2tttKasus 2.Poles : real dan ganda.Contoh : P3 yang berulang m kali. Inverse dari akar tersebut :t P m me tmCtCtCC31 3 2 33 3231)! 1 (........! 2 ! 11]1

+ + + +(9.11)Bentuk dalam [] akan bertambah dengan waktu. Sehingga kelakuan respons ditentukan oleh bentuk exponensial eP3t, dimana akan tergantung pada harga P3.P3 > 0 : t Pe3 untuk t P3 < 0 : t Pe30 untuk t P3 = 0 : t Pe31 untuk semua tKasus 3.Poles : Complex dan berpasangan Contoh : P4 dan P4*[catatan : poles kompleks selalu dalam pasangan]Misal :P4 = + jP4* = - jBentuk sin (t + ) : merupakan fungsi periodic yang berosilasi ; sedang etmembentuk fungsi yang tergantung pada harga . > 0,maka etuntuk t , dan etsin(t + ) bertambah menuju tak terhingga dengan berosilasi. > 0,maka et 0 untuk t, dan etsin(t + ) menurun menuju 0 dengan berosilasi dan dengan amplitudo yang berkurang. = 0,maka et = 1 untuk semua t dan etsin(t + ) = etsin(t + ) berosilasi secara kontinyu dengan amplitudo tetap.70Bentuk inversi :etsin(t + ).a > 0a < 0 a = 0outputKasus 4.Poles : terletak pada 0.Contoh : P5.Setelah inversi memberi harga konstant.Bab X Kelakuan Dinamik Sistem Orde Satu.Dalam bab ini akan dibahas :1. Apa sistem orde pertama, dan gejala phisik apa yang menunjukkan sistem orde pertama?2. Apa ciri parameter sistem orde 1?3. Bagaimana respons sistem orde 1 terhadap berbagai perubahan variabel input?10.1 Apa sistem orde 1?Sistemorde pertama : bilamana output y(t) dapat dimodelkan dengan persamaan differensial orde pertama :) () (1t bf y adtt dyao + (10.1)dimana f(t) adalah input.Jika ao 0, persamaan (10.1) menjadi :71) () (1t fabydtt dyaao o +definisikan : poaa 1danpoKabmaka :) ( .) (. t f K ydtt dyp p + (10.2)p: konstanta waktu (time constant)Kp: gain (atau steady state gain atau static gain) proses.Neraca massa total :RhF F FdtdhAi o i iRF hdtdhAR + (10.6a)Pers. (10.6) (10.6a)' ''iRF hdtdhAR + (10.7)dimana: h = h - hsFi = Fi Fi,sDefinisikan : p: AR = konstanta waktu (time constant)Kp: R = steady state gain Fungsi transfer sistem tangki :G(s) = 1 ) ( ') ( '+sKs Fs hppi(10.8)Catatan :1. Luas penampang tangki A merupakan ukuran kemampuan penyimpanan massa. Makin besar harga A, makin besar kemampuan penyimpanan tangki.2. p = AR ; untuk tangki dapat dikatakan :Konstanta waktu = kemampuan penyimpanan x tahanan terhadap aliranContoh 10.2 : Sistem orde 1 dengan kemampuan menyimpan energiNeraca energi sistem :) ( T T UA QdtdTC Vst t p (10.10)72Keadaan steady state :0 = UAt (Tst Ts) (10.11)Bila pers. (10.10) (10.11) akan didapat :) ' ' ('T T UA QdtdTC Vst t p (10.12)dimana :T = T - TsTst = Tst Tst,s111) () ( ') (++ sKsUAVCs Ts Ts Gpptp st(10.13)p: konstanta waktu proses = tpUAVC Kp: steady state gain = 1Catatan :1. Pers. (10.13) menunjukkan : sistem merupakan orde 1.2. Sistem mempunyai kapasitas menyimpan energi panas, dan tahanan pada aliran panas ditandai oleh U.3. Kapasitas sistem untuk menyimpan panas diukur dengan harga VCp.Tahanan terhadap aliran panas dari kukus ke cairan ditampilkan oleh bentuk tUA1Konstanta waktu : p= tpUAVC = kapasitas penyimpanan x tahanan73QTTstV : volume cairan dalam tangki,Cp: kerapatan cairan & kapasitas panas cairanU : koef. perpindahan panas keseluruhan antara kukus dan cairan.At: luas total perpindahan panas.Tst: temperatur kukus jenuh.Cairan dalam tangki dipanasi dengan kukus yang mengalir dalam koilContoh 10.3 : Sistem Pure CapacitiveNeraca massa dalam tangki :o iF FdtdhA (10.14)Pada steady state :0 = Fi,s - Fo(10.15)Dalam besaran penyimpangan :''iFdtdhA Fungsi transfer : G(s) = sAs Fs h / 1) () ( '110.3 Respons Dinamik Proses Pure CapacitiveFungsi transfer sistem Pure CapacitiveG(s) = sKs fs yp') () (Bagaimana y(t) berubah dengan waktu, bila f(t) berubah dengan fungsi stepf(t) = 1ss f1) ( 2' '.1) (sKpsKpss y t K t yp'. ) ( Output berubah dengan waktu secara linier dalam bentuk tak terbatas. (Unbounded) (t) yuntuk t74FoFihLajualirFo ditentukandaya pompa,bukanketinggian cairan dalam tangki h.Fo f(h)Kpty(t)Responsseperti di atasmerupakanciri proses purecapacitiveyangdinamai pure integrator, karenaberkelakuanseolah pada sistem terdapat integrator diantara input dan output.Proses pure capacitive dapat menyebabkan persoalan serius dalam pengendalian karena sistem tidak dapat menyeimbangkan prosesnya sendiri.Dalam sistem tangki dengan pompa yang telah ditetapkan laju alirnya; perubahan laju alir aliran masuk dapat menyebabkan tangki meluap atau kosong. Gejala seperti ini dikenal sebagai non-self-regulation.10.4 Respons Dinamik Sistem Orde pertama.Fungsi transfer : G(s) = 1 ) () (+sKs fs ypp(10.3)Bagaimana respons sistem terhadap perubahan f(t) yang berupa unit step (f(t) = 1)?f(t) = 1ss f1) ( 1 ) 1 () (+ +sKsKs sKs ypp p ppp(10.17)y(t) = Kp.(1 e t/p) (10.18)Bila besar perubahan fungsi step adalah A, respons menjadi :y(t) = A.Kp.(1 e t/p) (10.19)7510.80.60.40.20.2 0.4 0.6 0.8 1ptpAKt y ) (Bentukplot koordinat takberdimensip ptvsK At y .) (dapat digunakanuntukmenentukan respons sistem orde pertama, tak tergantung pada harga A, Kp dan p.Segi-segi pentingyangmerupakanciri orde pertama yangdapat ditarikdari kurva p ptvsK At y .) ( :1. Proses ordepertamadenganlog merupakansistemself regulating, yaitu sistem yang akan mencapai keadaan steady state baru bila ada perubahan input atau gangguan.2. Slope response pada t 0 sama dengan 1.( ) 1. / )) ( (0/0 tttppedtK A t y dIni berarti jika laju perubahan awal y(t) akan dipertahankan, respons akan mencapai harga akhirnya dalam periode yang sama dengan konstanta waktu p.Kesimpulan : Jika harga konstanta waktu psemakin kecil, slope respons awal sistem akan makin tegak/curam. Konstanta waktupsistemmerupakanukuranwaktuyangdiperlukan prosesuntukpenyesuaianpadasteadystatebarukarenaadanyaperubahan pada input.3. Hargarespons y(t)sebesar 63,2% harga akhirnya akan dicapai sepadan dengan harga waktu konstanta Kp.Waktup2p3p4py(t)(dalam presentasi harga akhir)63.2 86.5 95 98Setelah t = 4p, respons dapat dikatakan telah mencapai harga akhirnya.4. Harga akhir dari respons (yaituharga respons pada steady state yangbaru) sepadan dengan Kp atau AKp untuk masing-masing perubahan input unit step atau step sebesar A.y Akp untuk t (output) = Kp. (input) (10.20)Kp disebut steady state gain atau static gain karena setiap perubahan step (input) pada input, hasil perubahan pada output steady state dinyatakan oleh76 (output) = Kp. (input)HargaKpakanmenentukanberapabesar perubahaninput untukmemperoleh perubahan yang diharapkan pada output. Perubahan input kecil bila Kp besar. Perubahan input besar bila Kp kecil.Contoh 10.4 : Efek parameter pada respons dari sistem orde pertama.Dua tangki dengan luas penampang A1 dan A2.1. Kasus I A1 > A2 Tahanan R sama2. Kasus II A1 > A2 dan R1 R2. Harga R1 dan R2 sedemikian sehingga : 1221RRAAp1 = A1.R1=A2.R2 = p2karena A1 > A2, R2 > R1 sehingga Kp2 > Kp110.5 Sistem orde 1 dengan konstanta waktu dan gain yang bervariasi.77p1 > p2Tangki 1, A1Tangki 2, A2thResponsdaritangkidengan diameterlebihkecilpada awalnya berubah lebih cepat, tetapikemudiankedua tangkimencapaiketinggian steady state yang sama.Kp2 = R2Kp1 = R1thUntukperubahaninput yangsama,staticgain prosesyanglebihbesar, akanmemberikanoutput yang lebih besar.Pers. differensial orde 1.) ( .1t f b y adtdyao +Dalam bagian yang dibahas sebelumnya, koef. pers. a1, ao, b dianggap konstan ; sehingga :paa 21danpoKabberharga tetapDalam banyak proses nyata, ditemui konstanta waktu dan gain yang tidak konstan.Contoh 10.5 Sistem tangki dengan p dan Kp yang bervariasi.Jika laju alir keluar tangki dianggap sebagai :Fo = h : konstantaiF hdtdhA + Linierisasi pers diatas dan mengambil variable penyimpangan dihasilkan :isF hhdtdhA + '2' i p pF K hdtdh. '' + dimana p= 2A.(hs/)Kp= 2 (hs/)Terlihat harga p dan Kp tergantung pada harga hs, karena harga hs akan bervariasi dengan input Fi, maka p dan Kp sistem bervariasi dengan waktu78BAB XIKelakuan Dinamik Sistem Orde DuaDalam proses kimiawi banyak ditemui sistem dengan orde reaksi yang lebih tinggi dari satu (1). Perubahan output karena perubahan input, berlangsung dengan cara yang lebih drastis mengikuti orde perubahan yang lebih besar dari 1.Dalam bab ini akan dibahas :i. kondisi phisik sistem orde duaii. karakteristik dinamik sistem orde dua11.1 Apa sistem orde dua tersebut ?Sistemdisebut ordeduabilaoutput dari sistemy(t)tersebut merupakanpenyelesaian persamaan differensial orde dua :) ( . .111222t f b y adty dadt y dao + + (11.1)jika ao 0) ( . . . 211222t f Kp ydty ddt y d + + (11.2)dimana : o o oabKpaaaa ; . . 2 ;1 2 2 79 = natural period osilasi sistem = damping factor (faktor peredam)Kp = steady state gain, atau static gain atau gain sistem.Dalam bentuk penyimpangan variabel dan kondisiawal = 0 ; Transformasi Laplace Pers. (11.2) :G(s) = 1 .s . 2. sKp(s) f(s) y2 2+ + (11.3)Contoh sistem pembentuk orde dua.1. MulticapacityProcesses: proses yang terdiri dari dua atau lebih sistem orde satu (1) yang tersusun dalam rangkaian seri.2. Inherentlysecondorder system, yaitusistemdengankomponenfluidaatau padatan yang memiliki inertia dan/atau memiliki percepatan.3. Sistem pemroses dengan perangkat kendali.Dalam instalasi industri kimia, orde dua atau lebih yang sering ditemui tergolong pada 1 dan 3.11.2 Response Dinamik Sistem Orde Dua.Untuk melihat ciri sistem berorde dua, ditinjau respons dinamik sistem orde dua karena perubahan input yang berupa step.Perubahan input f(t) yang berupa fungsi step pada persamaan (11.2) memberi :1) .s . 2. sKp2 2+ + () (ss y(11.4)Dua buahpoles dari fungsi transfer padapers. (11.3) ditentukanolehpersamaan karakteristik : 1 .s . 2. s2 2+ + = 1yaitu :P1 = 1 2+ dan P2 = 1 2 Denganmenggunakanakar persamaan: P1danP2; persamaan(11.4) dapat ditulis menjadi :) )( (/) (2 12P s P s sKps y (11.5)80Bentukresponsey(t) akantergantungpada letak (lokasi) poles P1dan P2dalam koordinat bilangan kompleks.Dari harga P1 dan P2 dapat terjadi 3 kemungkinan yang berupa kasus berikut :Kasus A : > 1 didapat dua poles bilangan riil yang berbeda.Kasus B : = 1didapat dua poles bilangan riil yang sama.Kasus C : < 1didapat dua poles dengan pasangan dua bilangan kompleks.I. Kasus A: >1 dikenal sebagai Overdamped responseUntuk kasus ini inversi pers :) )( (/) (2 12P s P s sKps y (11.6)dengan ekspansi fraksi parsial menghasilkan :y(t) = Kp. 11]1

,_

+ t. 1 sinh1 t. 1 cosh e 1222 t/(11.7)catatan :sinh = 2 e ecosh = 2 + e eResponse sistem untuk berbagaiharga ditunjukkan pada gambar berikut :Dibandingkandengansistemorde1, responseoverdampedpadaawalnyamengalami perlambatandan kemudian response berlangsung lamban. Response akan lebih lamban dengan kenaikan .Harga akhir response didekati dengan asimtotis.Seperti halnya untuk sistem orde 1, Kp pada sistem orde 2 dinyatakan :811.0Kpt y ) (Y1Y2Y = 1Y2>Y1>1 overdamped responsett0Kp = state) steadypd (input state) steadypd (output Overdamped merupakan response proses dengan multicapacity yang dihasilkan dari kombinasi sistem orde satu dalam rangkaian seri.II. Kasus B: = 1 : Critically damped responseUntuk kasus ini, inversi pers.) )( (/) (2 12P s P s sKps y menghasilkan :y(t) = Kp.1]1

,_

+ t/et1 1Responseordekeduadengancritical-dampingmendekati hargaakhirnyalebih cepat dari yang dihasilkan sistem dengan overdamped.III. Kasus C : < 1 : Underdamped responseUntuk kasus ini, inversi persamaan :) )( (/) (2 12P s P s sKps y menghasilkan :y(t) = Kp.11]1

+) .sin(wt .e 111t/2dimana : w = 21 = tan-111]1

21Kurva y(t)/Kp vs- t untuk berbagai harga .8202 4 6 8 10 12 141.00.51.5Kpy(t)Y=0.10.20.41.010 10Dari kurva dapat ditarik kesimpulan :1. ResponseUnderdampedpadaawalnyalebihcepat dari responseCritically damped maupun overdamped yang berubah dengan lamban (sluggish).2. Meski response underdamped pada mulanya cepat dan mencapai harga akhirnya lebih awal, tidak berhenti langsung tapi berosilasi terus dengan amplitudo yang berkurang dengan cepat. Kelakuan response yang berosilasi merupakan ciri khas underdamped response yang membedakannya dari yang lain.3. Osilasi output semakin besar dengan harga yang makin kecil.Respons underdamped padapabrikkimiadisebabkaninteraksi sistempengendali dengan unit pemroses yang dikendalikan. Tipe response seperti ini akan sering ditemui, sehingga diperlukan pemahaman yang baik terhadap karakteristiknya .Ciri-ciri respons underdamped.1. Overshoot : yaitu rasio A/B11]1

2 1expBA2. Decay ratio : yaitu rasio C/A83TjAB+ 5%tt = response time t = rise time00001(s) (1(s) (2(s)11]1

2 1. . 2expAC= (overshoot)23. Period of oscillation : T = radian frequency = 12 = 2..ff = T1T = 2 12..4. Natural period of Oscillation : TnSistem orde dua tanpa damping , = 0 mempunyai fungsitransfer :G(s) =

,_

+

,_

+1j s1j sKp/1) s (Kp22 2Sistemyang berosilasi secara kontinyu dengan amplitudo yang tetap dan frekwensi natural n = 1,Serta periode osilasi natural Tn = 2..5. Response time :waktuyangdiperlukanresponsuntukpertamakalinyamencapai+5%harga akhir respons.6. Rise time :waktu yang diperlukan untuk pertama kalinya respons mencapai batas hrag akhirnya.Untuk yang lebih kecil, rise time lebih pendek atau dengan kata lain respons sistemlebih cepat tetapi harga overshoot akan lebih besar.Catatan:Tujuan perancangansistempengendali merupakan pemilihan yang tepat hargadan sehingga dihasilkanovershootyang rendah, decay ratio kecil dan response time yang pendek.Akan sering ditemui bahwa tidak mungkin memenuhi kriteria di atas dengan harga dan yang sama sehingga perlu ditetapkan harga dan sebagai harga kompromi yang dapat diterima.Bila massa atau energi mengalir melalui kapasitas tunggal akan diperoleh sistem orde satu. Jika aliran massa atau energi melewati dua kapasitas yang dipasang seri, sistem akan bnerkelakuan sebagai sistem orde dua.Untuk sistem yang dipasang seri, dapat dibedakan dalam 2 kategori :1. non-interacting capacities atau non-interacting first order systems in series.2. interacting capacities atau interacting first order systems in series.84h1Fih1Fih2F1h2F2F1F2R1R2R2R1Tangki 2Tangki 1 Tangki 1 Tangki 2 T1(s) (1(s) (2(s) Pada non-interacting tanksTangki 1memberi umpanketangki 2, sehinggatangki mempengaruhi tangki 2 sebaliknya tangki 2 tidak memberi pengaruh terhadap kelakuan tangki 1. Pada interacting tanksTangki 1 mempengaruhi tangki 2, juga sebaliknya tangki 2 mempengaruhi tangki 1. Non-interacting capacities,Sistem yang tersusun dari dua non-interacting capacities dapat dijelaskan dengan pers. differential dalam bentuk umum :(t) .f Kp ydtdy1 1 111 p + (11.17a)(t) .f Kp ydtdy2 2 222 p + (11.17b)Sistem 1 mempengaruhi sistem 2 melalui output.Sistem 1 yang merupakan input pada sistem 2.Fungsi transfer tiap sistem :G1(s) = 1 s K(s) f(s) yp1p111+G2(s) = 1 s K(s) y(s) yp2p212+85G1(s) G2(s) (1(s) (1(s) (2(s)Fungsi transfer keseluruhan antara f1(t) dan y2(t)Go(s) = (s) (s).G G(s) f(s) y.(s) y(s) y(s) f(s) y2 1111212 = 1 s Kp1p1+ .1 s Kp2p2+(11.18)Go(s) =1) .s . 2. sKp'2 2+ + ' ' ) ' ( (11.19)Dimana : ()2= p1.p22 = p1 + p2Kp = Kp1. Kp2 Dari persamaan(11.19) terlihat responskeseluruhansistemmerupakan sistem orde dua. Dari persamaan(11.18) hraga poles sistem merupakan bilangan riil dan berbeda, y1 :p1 = - p11dan p2 = - p21Jika p1 =p2akan diperoleh po