teori utama isomorfisma ruang vektor dan aplikasinya

5/24/2018 Teori Utama Isomorfisma Ruang Vektor dan Aplikasinya

1/65

SKRIPSI

TEORI UTAMA ISOMORFISMA RUANG VEKTOR DAN

APLIKASINYA

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh :

FREDERIK YOHANES

1006042003

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

KUPANG

2014


2/65

i

HALAMAN PERSETUJUAN

Skripsi ini telah disetujui dan disahkan serta telah diseminarkan pada :

Hari / tanggal : Jumat, 30 Mei 2014

Ruang : LAB 1 MATEMATIKA FST UNDANA

Menyetujui

Pembimbing I

Ariyanto, S.Si, M.Si

NIP. 19750510 2000312 1 001

Pembimbing II

Rapmaida M. Pangaribuan, S.Si, M.Sc

NIP. 19720204 200604 2 001

Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika

Kristina Br. Ginting, S.Si, M.Si

NIP.19701223 200012 2 005


3/65

ii

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini telah diuji dan dipertahankan di hadapan Dewan Penguji pada tanggal 30

Mei 2014 dan dinyatakan LULUS.

Ketua Tim Penguji

Anggota I Tim Penguji

Anggota II Tim Penguji

Dosen Penguji

Aryanto, S.Si, M.Si

NIP. 19750510 200312 1 002

Rapmaida M. Pangaribuan, S.Si, M.ScNIP. 19720204 200604 2 001

Jusrry R. Pahnael, S.Si, M.Si

NIP. 19770715 200112 2 001

...........................

...........................

...........................

Kupang, 30 Mei 2014

Dekan Fakultas Sains dan Teknik

Prof. Drs. M. Lumban Gaol, M.Sc, Ph.D

NIP. 131 953 305

Ketua Jurusan Matematika

Kristina Br. Ginting, S.Si, M.Si

NIP.19701223 200012 2 005


4/65

iii

MOTTO

Hal yang besar mendatangkan tanggung jawab yang besar)


5/65

iv

PERSEMB H N

Dengan tulus saya persembahkan skripsi ini kepada :

1. Almamater FST Undana.2. Mama Jane E. Beama yang tersayang.3. Ketiga saudara saya, k Fa, Victor, dan Ester serta Tii

Honi, Too Celi dan k Joeyang telah menjadi bagian yang

terpenting dalam hidup saya.

4. Dia yang menjadi anugerah terindah dari Tuhan danmemberikan semangat hidup bagi saya.


6/65

v

KATA PENGANTAR

Puji syukur saya panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah

melimpahkan berkat dan tuntunan-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan penulisan

skripsi ini.

Saya menyadari sepenuhnya bahwa penyusunan skripsi ini tidak akan

terselesaikan tanpa bantuan dari berbagai pihak baik secara langsung maupun secara

tidak langsung. Oleh karena itu, pada kesempatan ini saya ingin menyampaikan rasa

terima kasih kepada:

1. Bapak Prof. Drs. M. Lumban Gaol, M.Sc, Ph.D selaku Dekan FST UNDANA.2. Ibu Keristina Br Ginting, S.Si, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika yang telah

mendidik dan membekali saya dengan berbagai ilmu pengetahuan selama masa

perkuliahan.

3.

Bapak Ariyanto, S.Si, M.Si selaku pembimbing I, yang telah meluangkan waktu

untuk membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini.

4. Ibu Rapmaida M. Pangaribuan, S.Si, M.Sc selaku pembimbing II, yang telahmeluangkan waktu untuk membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini.

5. Ibu Jusry R. Pahnael, S.Si, M.Si selaku penguji yang telah meluangkan waktuuntuk menguji pemahaman saya terhadap skripsi ini.

6. Bapak dan Ibu Dosen pada Jurusan Matematika Fakultas Sains dan TeknikUndana yang telah mendidik dan membekali saya dengan berbagai ilmu

pengetahuan selama masa perkuliahan.


7/65

vi

7. Mama tersayang, K Fa, Victor, Ester, Tii Hony, K Joe, dan Too Celi; atas doa,kasih sayang serta cinta dan dukungan yang selalu untuk sayaterima kasih

atas semangat hidup yang telah kalian berikan.

8. Teman-teman angkatan 2010 Jurusan Matematika FST Undana; Oldha, Rinbol,Mirend, Jose, Arifat, Jhonter, Rian, Figo, Bapa Djiman, Dede, Ito, Andre, Rinto,

Leto, Alfred, Medi, Sidiq, Gomer, Rafli, Ita, Astin, Tata, Rita, K Sipo, Lili, Lefi,

Adin, Eflin, K Yeli, Rina, Rin, Vivi, Nola, Lelo, Fhila, Maya, Ay, Ayu, Nia dan

Ina yang telah membantu saya dalam menyelesaikan skripsi ini serta yang sudah

membantu dalam berbagai hal selama perkuliahansangat bahagia bisa dekat

dengan kalian semua.

9. Teman-teman dari jurusan Matematika FST Undana K Jack, K Basti, K Moad, KNuki, dan yang tidak dapat disebutkan namanya satu per satu yang telah

bersedia membantu saya dalam segala hal dan selalu mendukung saya selama

perkuliahan.

10. Teman-teman dari jurusan Fisika, Kimia, Biologi, Ilmu Komputer dan Teknikyang tidak sempat disebutkan namanya satu per satu; terima kasih atas segala

dukungan, doa dan motivasi yang telah diberikan kepada saya selama

perkuliahan.

11. Terima kasih pula bagi kakak-kakak, teman-teman dan adik-adik KMK SPCMIPA FST UNDANA, teman-teman ARBIDZ serta teman-teman OMK

SANYORA atas segala dukungannya selama perkuliahan sampai pada penulisan

skripsi ini, baik secara langsung maupun tidak langsung.


8/65

vii

Saya menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh

karena itu kritik dan saran yang bersifat membangun sangat saya harapkan demi

penulisan yang lebih baik lagi di masa yang akan datang.

Harapan saya semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak-pihak yang

membutuhkan. Semoga Tuhan Yesus selalu menolong kita dalam setiap langkah

hidup masing-masing.

Kupang, Mei 2104

Penulis

Frederik Yohanes


9/65

viii

ABSTRAK

Diberikan dua buah ruang vektor dan atas lapangan yang sama dan subruang dari . Apabila kedua ruang vektor tersebut dikaitkan dengan transformasi

linear , yaitu , maka dapat dibentuk konsep tentang ()dan ().Selanjutnya jika dibentuk koset dari yakni yang merupakan ruang vektor atas

, transformasi linear dan maka dapat dikonstruksi teori

utama isomorfisma ruang vektor yakni () () yang masih dapat

dikembangkan lagi dengan mengaplikasikan teori tersebut sehingga diperoleh teori

yang lain yakni

.

Kata kunci: Ruang Vektor, Transformasi Linear dan Isomorfisma Ruang Vektor.


10/65

ix

ABSTRACT

Given two vector spaces and over the same field and a subspace of the

vector space V. If both are associated with a linear transformation , it canbe established the concept of ()and (). Furthermore, if formed coset of that is a vector space over , linear transformation

and

, it

can be constructed the main theory of vector space isomorphism that is ()

() which can be developed by applying the theory in order to obtain another

theory that is

.

Keyword: Vector Space, Linear Transformation and Vektor Space Isomorphism


11/65

x

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN PERSETUJUAN i

HALAMAN PENGESAHAN ii

MOTTO ............................................................................................................ iii

PERSEMBAHAN ............................................................................................ iv

KATA PENGANTAR ...................................................................................... v

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ..................................................................................................... ix

DAFTAR ISI .................................................................................................... x

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiiDAFTAR SIMBOL .......................................................................................... xiii

BAB I. PENDAHULUAN ............................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ....................................................................................... 1

1.2 Identifikasi dan Pembahasan Masalah ................................................... 21.3 Tujuan .................................................................................................... 2

1.4 Manfaat .................................................................................................. 2

BAB II. LANDASAN TEORI ......................................................................... 3

2.1 Grup dan Lapangan ................................................................................ 3

2.2 Ruang Vektor ......................................................................................... 62.3 Kombinasi Linear dan Himpunan Pembangun ...................................... 15

2.4 Himpunan Bebas Linear dan Tak Bebas Linear .................................... 172.5 Basis dan Dimensi ruang vektor ............................................................ 19

2.6 Pemetaan dan Relasi Ekuivalensi .......................................................... 23

2.7 Transformasi Linear ............................................................................... 242.8 Kernel dan Daerah Hasil Transformasi Linear ...................................... 26

2.9 Transformasi Linear Non-singular dan Isomorfisma Ruang Vektor ..... 29

BAB III. METODE KAJIAN ........................................................................... 32

3.1 Desain Kajian ......................................................................................... 323.2 Prosedur Kajian ..................................................................................... 32

3.3 Hasil yang Diharapkan .......................................................................... 32


12/65

xi

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ......................................................... 33

4.1 Relasi Ekuivalensi ................................................................................. 33

4.2 Partisi(kelas-kelas) pada Ruang Vektor ................................................. 344.3 Transformasi Linear Ruang Vektor ....................................................... 38

4.4 Teori Utama Isomorfisma Ruang Vektor .............................................. 404.5 Aplikasi Teori Utama Isomorfisma Ruang Vektor ................................ 44

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN .......................................................... 49

5.1 Kesimpulan ............................................................................................ 495.2 Saran ...................................................................................................... 49

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 50


13/65

xii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Pengabstraksian Ruang Vektor ................................................ 6

Gambar 2.2 Himpunan Semua Kombinasi Linear ...................................... 15

Gambar 2.3 Transformasi Linear pada Ruang Vektor ................................ 27

Gambar 4.1 Keluarga kelas-kelas pada Ruang Vektor ................................ 34

Gambar 4.2 Transformasi Linear Ruang Vektor ......................................... 40

Gambar 4.3 Pemetaan Linear ...................................................................... 41

Gambar 4.4 Diagram Transformasi Linear ................................................. 44


14/65

xiii

DAFTAR SIMBOL

: Grup

: Anggota grup

: Subgrup

: Anggota subgrup

: Himpunan bilangan real : Himpunan bilangan bulat

: Lapangan

: Anggota lapangan

: Elemen identitas di lapangan

: Sublapangan

: Himpunan vektor atas berdimensi 3

: Ruang vektor

: Anggota ruang vektor

: Elemen identitas di ruang vektor

: Elemen invers di ruang vektor

: Subruang[] : Himpunan semua kombinasi linear di ruang vektor

: Transformasi linear

: Transformasi linear identitas

() : Daerah hasil transformasi linear

() : Kernel transformasi linear

: Partisi ruang vektor

: Keluarga Kelas-kelas ruang vektor V (koset pada ruang vektor )

: Anggota ruang vektor

: Invers transformasi linear


15/65

xiv

: Isomorfik terhadap

: Anggota(elemen) dari

: Sedemikian hingga

: Untutk setiap

: ada (terdapat)

: Komposisi fungsi dan

: Relasi ekuivalensi

: Implikasi

: Biimplikasi


16/65

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangAljabar merupakan salah satu bidang ilmu matematika yang dalam penyajiannya

memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Aljabar sendiri

dibagi kedalam beberapa konsentrasi, salah satunya adalah aljabar linear yang lebih

membahas tentang ruang vektor dan matriks.

Konsep tentang ruang vektor dibangun dari suatu grup abelian dengan operasi

penjumlahan (adisi) yang setiap anggotanya jika dioperasikan dengan setiap anggota

pada suatu lapangan (operasi pergandaan skalar), maka hasil operasi pergandaan

skalar tersebut masih merupakan anggota dari grup abelian dan memenuhi aksioma-

aksioma tertentu pada operasi pergandaan skalar tersebut. Selanjutnya dari struktur

ruang vektor dapat dibangun konsep atau pengertian himpunan bebas linear, tak

bebas linear, pembangun dan basis. Dari konsep-konsep di atas, kemudian dapat

dibangun konsep tentang Transformasi Linear yang merupakan pemetaan dari suatu

ruang vektor ke ruang vektor lainnya yang juga memenuhi aksioma-aksioma tertentu.

Adapun konsep yang dapat diturunkan dari konsep transformasi linear yakni kernel

dari dan image dari . Dari konsep tersebut, selanjutnya akandikonstruksi teori utama isomorfisma ruang vektor. Teori utama isomorfisma ruangvektor sendiri masih dapat dikembangkan lebih lanjut dengan mengaplikasikan teori

tersebut yang akan menghasilkan teori yang lain.

Berdasarkan latar belakang diatas, akan dikonstruksi struktur aljabar tentang teori

utama isomorfisma ruang vektor dan akan diteliti lebih lanjut mengenai aplikasi teori

isomorfisma ruang vektor. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk melakukan

penelitian dengan judul Teori Utama Isomorfisma Ruang Vektor dan

Aplikasinya.


17/65

2

1.2 Rumusan MasalahBerdasarkan latar belakang di atas, ditemukan beberapa masalah yakni:

1. Bagaimana mengkonstruksi teori utama isomorfisma ruang vektor?2. Bagaimana aplikasi dari teori isomorfisma ruang vektor?1.3 Tujuan

Menanggapi permasalahan di atas, maka penelitian ini bertujuan untuk:

1. Mengkonstruksi teori utama isomorfismaruang vektor.2. Membangun teori lain dengan mengaplikasikan teori utama isomorfisma ruang

vektor.

1.4 ManfaatAdapun manfaat yang diharapkan dari penelitian ini antara lain sebagai berikut:

1. Sebagai tambahan informasi bagi mahasiswa mengenai teori isomorfisma diruang vektor sehingga dapat membantu mahasiswa dalam mempelajari aljabar

linear khususnya tentang aplikasi isomorfisma di ruang vektor.

2. Sebagai tambahan ilmu dan materi aljabar linear mengenai teori isomorfisma diruang vektor di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknik Universitas Nusa

Cendana Kupang.


18/65

3

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Grup dan LapanganDalam subbab ini, akan dipaparkan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan

dengan grup dan lapangan.

Definisi 2.1(Setiadji, 1983) :Diketahui suatu himpunan yang tak kosong. Apabilapada dikenakan operasi biner , maka merupakan suatu grup jika memenuhiaksioma-aksioma berikut.

1. Bersifat tertutup.

2. Memiliki elemen identitas. 3. Setiap elemen grup memiliki invers. 4. Asosiatif.

Jika pada operasi biner dalam grup juga berlaku sifat komutatif yaitu , maka grup disebut grup Abelian.Definisi 2.2 (Lang, 1996) : Diketahui suatu grup . himpunan bagian yang takkosong dari grup disebut subgrup dari grup jika sendiri merupakan grupterhadap operasi biner yang sama dengan grup .Teorema 2.3 (Setiadji, 1983) :Diketahui suatu grup

,

disebut subgrup dari

grup jika dan hanya jika .


19/65

4

Bukti :

Diketahui subgrup dari . Diambil sebarang . Karena subgrupdari grup , maka ada , sehingga diperoleh dan karena merupakan subgrup dari grup , maka setiap sifat grup yang berlaku pada grup juga berlaku pada , sehingga pada juga berlaku sifat tertutup. Jadi terbuktibahwa .

Diketahui .i. Diambil sebarang

, maka diperoleh

Jadi, himpunan memiliki elemen identitas.

ii. Karena maka untuk setiap diperoleh

Jadi,

atau setiap anggota di

memiliki invers.

iii. Karena , maka untuk setiap diperoleh () Dengan kata lain terutup.

iv. Diambil sebarang .Karena

tertutup,

dan

sehingga diperoleh

atau bersifat assosiatif.Terbukti bahwa merupakan subgrup dari grup .


20/65

5

Definisi 2.4 (Setiadji, 1983) : Diketahui sebuah himpunan merupakan suatu grupAbelian terhadap operasi penjumlahan dan memenuhi aksioma-aksioma berikut.

1. Terhadap pergandaani. Bersifat tertutup.ii. Memiliki elemen satuan.iii. Setiap elemen bukan 0 dari memiliki invers.iv. Asosiatif.v. Komutatif

2. Bersifat distributifJika diambil sebarang

anggota pada grup abelian F, maka

Maka grup Abelian disebut lapangan terhadap operasi penjumlahan dan

pergandaan, dan dinotasikan dengan atau cukup saja.Definisi 2.5 (Lang, 1996) : Diketahui merupakan suatu lapangan. Himpunan disebut sublapangan dari jika terhadap operasi yang sama dengan , juga merupakan suatu lapangan.

Contoh 2.6 :Himpunan bilangan kompleksmerupakan lapangan terhadap operasipenjumlahan dan pergandaan bilangan real karena memenuhi aksioma-aksioma di

atas yaitu merupakan grup Abelian terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan,

dan bersifat distributif.

Himpunan bilangan real

juga merupakan suatu lapangan karena memenuhi

semua aksioma dalam lapangan. Karena , maka himpunan bilangan real merupakan sublapangan dari himpunan bilangan kompleks.


21/65

6

2.2 Ruang VektorDalam subbab ini, akan dipaparkan beberapa materi yang berkaitan dengan ruang

vektor.

Definisi 2.7 (Lang, 1996) : Diketahui suatu grup Abelian terhadap operasipenjumlahan. disebut ruang vektor atas lapanganjika untuk setiap danuntuk setiap berlaku dan memenuhi aksioma-aksioma berikut.i. ii. iii.

iv. Berikut akan ditampilkan visualisasi dari pengabstraksian operasi pergandaan

skalar pada ruang vektor.

grup Abelianlapangan

Gambar2.1PengabstraksianRuangVektor

Anggota ruang vektor disebut vektor dan anggota lapangan disebut skalar.

FV

vv +


22/65

7

Contoh 2.8 :Misal diberikan {+ Himpunan

di atas merupakan suatu grup Abelian terhadap operasi

penjumlahan karena memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut.

i. Bersifat tertutup. , +

+ +

+ +

ii. Memiliki elemen identitas. + +

+ +

+ +

iii. Setiap elemen grup memiliki invers.

Misalkan , maka +

+

+

+

+

iv.Asosiatif. ,


23/65

8

+ +

+ +

+

+ + + +

+ +

v. Komutatif , + + + + Jadi, merupakan grup Abelian terhadap operasi penjumlahan.Didefinisikan operasi pergandaan scalar dalam sebagai berikut.

+ + +

Untuk setiap dan maka operasi pergandaan skalar di atasmemenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut.

i. ii. iii. iv. Teorema 2.9 (Lang,1996) : Jika diketahui merupakan lapangan dan sublapangan dari

, maka

merupakan ruang vektor atas

.


24/65

9

Bukti:

Diketahui merupakan suatu lapangan. Jelas bahwa merupakan grup Abelianterhadap operasi penjumlahan.

Diambil sebarang dan . Karena sublapangan maka sehinggadiperoleh operasi pergandaan skalar juga merupakan anggota atau Aksioma-aksioma dalam ruang vektor juga dipenuhi karena langsung diwariskan dari

operasi pergandaan skalar tersebut.

Jadi,

merupakan ruang vektor atas

Teorema 2.10 (Lang, 1996) :Diketahui ruang vektor atas lapangan . adalahelemen netral lapangan , adalah suatu vektor nol dalam ruang vektor , dan adalah invers grup untuk . Maka untuk setiap dan diperoleh:i. ii. iii.

Bukti:

i. Berdasarkan aksioma dan dari definisi 2.6, maka diperoleh: Dengan menambahkan invers penjumlahan

pada masing-masing ruas, maka

diperoleh:


25/65

10

ii.

( ) Karena invers grup bersifat tunggal, maka diperoleh .iii.

( ) ( ) ( )

( )

Contoh 2.11 :Telah diketahui bahwa

{+ merupakan suatu ruang vektor atas lapanganbilangan real .

Diambil

himpunan bagian dari

sebagai berikut.

Diketahui bahwa merupakan suatu lapangan, dan jelas bahwa merupakan

suatu grup Abelian terhadap operasi penjumlahan.

Juga memenuhi operasi pergandaan skalar sebagai berikut.

Keempat aksioma dalam definisi 2.6 jelas dipenuhi. Jadi, merupakan ruangvektor atas lapangan yang sama dengan ruang vektor .


26/65

11

Berdasarkan uraian sebelumnya, diperoleh definisi berikut:

Definisi 2.12 (Lang, 1996) : Diketahui

ruang vektor atas lapangan

. Himpunan

disebut subruang dari ruang vector jika terhadap operasi yang samadengan , juga merupakan ruang vektor atas lapangan .Contoh 2.13 : Berikut contoh-contoh subruang.

Diketahui himpunan

{+

merupakan suatu ruang vektor atas lapangan bilangan real .a)Himpunan { + merupakan subruang dari karena

merupakan ruang vektor terhadap lapangan bilangan real dengan operasi yangsama dengan

.

b)Himpunan { + merupakan subruang dari karena merupakanruang vektor terhadap lapangan bilangan real dengan operasi yang sama dengan.

c)Himpunan

{ +

+

bukan merupakan subruang dari

karena jika

diambil + diperoleh + + + .


27/65

12

Teorema 2.14 (Lang, 1996) : Diketahui adalah ruang vektor atas lapangan .Himpunan merupakan subruang dari ruang vector jika dan hanya jikadalam

berlaku.

i. ii. Bukti:

Karena dik. subruang dari ruang vektor , maka setiap sifat yang berlaku padaruang vektor

juga berlaku pada

, sehingga jelas terbukti untuk sifat (i) & (ii).

Diketahui dan aksioma (i) dan (ii) dipenuhi dalam . Diambil sebarang maka diperoleh

Sehingga terhadap operasi penjumlahan dipenuhi sifat-sifat berikut:

a)

Karena maka juga berlakub) c) dan d) e)


28/65

13

Maka merupakan grup Abelian terhadap operasi penjumlahan. Karena sifat(ii) dipenuhi dan maka untuk setiap dan untuk setiap berlaku juga

a) b) c) d) Berdasarkan keseluruhan uraian di atas terbukti bahwa

merupakan ruang

vektor atau merupakan subruang dari ruang vektor Teorema 2.15 (Lang, 1996) :Diketahui adalah ruang vektor atas lapangan . dan masing-masing subruang di .

Diperoleh:

i. subruang di .ii.

| subruang di

.

iii. belum tentu subruang di .Bukti:

i. Diambil sebarang dan . Karena subruang di maka dan . Demikian pula, karena subruang di maka dan .Jadi, dan . Dengan kata lain, subruang di .ii. Diambil sebarang dan , maka diperoleh , untuk suatu dan


29/65

14

, untuk suatu dan Karena dan masing-masing subruang di , maka dan . Jadi, Demikian pula karena dan masing-masing subruang di , maka dan .Jadi,

Terbukti bahwa subruang di .

iii. Akan dibuktikan dengan menggunakan contoh penyangkal sebagai berikut:

Diambil

dan

{+

masing-masing

adalah subruang di .Akan ditunjukkan bukan subruang di sebagai berikut :

{ +

Bukan subruang sebab untuk setiap + maka


30/65

15

+

+ Jadi, belum tentu subruang di .

2.3 Kombinasi Linear dan Himpunan PembangunBerikut akan dipaparkan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan

kombinasi linear dan himpunan pembangun.

Definisi 2.16 (Setiadji, 1983) : Diketahui ruang vektor atas lapangan , dan

. Himpunan semua kombinasi linear dari

dinotasikan

dengan dan didefinisikan sebagai | Ilustrasinya sebagai berikut.

Gambar 2.2 Himpunan Semua Kombinasi Linear

Teorema 2.16 (Setiadji,1983) :Himpunan | merupakan subruang dari .

FV

A

A


31/65

16

Bukti:

Karena selalu berlaku

Maka atau .Diambil sebarang maka diperoleh

, untuk suatu , untuk suatu Jadi,

Jadi, Diambil sebarang , maka diperoleh

Jadi, Maka terbukti bahwa adalah subruang dari .Definisi 2.17 (Lang, 1996) : Diketahui adalah ruang vektor atas lapangan .Himpunan

disebut generator (pembangun) ruang vektor

jika


32/65

17

Contoh 2.18 :Diketahui adalah ruang vektor atas lapangan , dan himpunan

,

. Karena semua anggota

dapat dituliskan

sebagai kombinasi linear dari atau , maka dikatakan himpunan merupakan himpunan pembangun (generator) ruang vektor .2.4 Himpunan Bebas Linear dan Tak Bebas Linear

Berikut merupakan definisi dari himpunan bebas linear dan tak bebas linear.

Definisi 2.19 (Setiadji, 1983) :Diketahui ruang vektor atas lapangan . Himpunan disebut bebas linear apabila dipenuhi implikasi Contoh 2.20 :Vektor-vektor bebas linear dalam . Sebagaibukti, diambil sebarang kombinasi linear

Untuk maka Untuk maka Diperoleh Karena maka Sehingga .Jadi, vektor-vektor bebas linear dalam .


33/65

18

Definisi 2.21 (Setiadji, 1983) :Diketahui ruang vektor atas lapangan . Himpunan disebut tak bebas linear apabila

Atau ada skalar-skalar yang tidak semuanya nol sehingga .Jadi, definisi bebas linear merupakan suatu ingkaran dari definisi tak bebas

linear.

Contoh 2.22 Diketahui ruang vektor atas lapangan , dan ,pernyataan berikut selalu bernilai benar. Atau ekivalen dengan pernyataan berikut. Konvers dari pernyataan di atas, yaitu

tidak selalu bernilai benar, sebagai contoh vektor-vektor + + maka

+ +

+ Akan tetapi, apabila pernyataan tersebut selalu bernilai benar, maka memenuhi

pengertian baru, yaitu dikatakan bahwa

bebas linear.


34/65

19

2.5 Basis dan Dimensi Ruang VektorBerdasarkan definisi bebas linear dan himpunan pembangun, dapat dibangun

definisi berikut.

Definisi 2.23 (Lang, 1996) : Diketahui ruang vektor atas lapangan , dan . Himpunan disebut basis dari ruang vektor jika merupakanpembangun (generator) yang bebas linear untuk .Contoh 2.24 : Diketahui vektor-vektor dalam . Akandibuktikan bahwa

merupakan basis untuk

.

Diambil sebarang dengan , maka diperoleh

dan dan Jadi ada dan sedemikian sehingga . Jadi, membangun .Dibentuk kombinasi linear


35/65

20

Diperoleh

sehingga

. Jadi,

bebas linear.

Terbukti bahwa merupakan generator yang bebas linear di atau merupakan basis untuk .

Jika ruang vektor memiliki basis berhingga, disebut berdimensi hingga. Jikatidak, disebut berdimensi tak hingga.Teorema 2.25(Beachy, 2006) :Ruang vector atas lapangan memiliki basis yangtidak tunggal.

Bukti:

Diambil sebarang basis dari . Akan ditunjukkan bahwa terdapat sehingga adalah basis yang lain untuk .Akan ditunjukkan bahwa bebas linear, yaitu

Karena bebas linear, maka diperoleh Karena , maka ada sehingga . Diperoleh,

(

)


36/65

21

Akan ditunjukkan bahwa membangun .Diambil sebarang , karena basis dari maka Karena , maka ada sehingga ( ) ( ) ( ) ( )Jadi,

adalah basis yang lain untuk

.Terbukti bahwa basis pada

ruang vector atas lapangan tidaklah tunggal.Teorema 2.26 (Setiadji, 1983) : Setiap anggota ruang vector atas lapangan merupakan kombinasi linear yang tunggal dari vektor-vektor basis untuk .Bukti:

Diketahui basis dari . Jadi diperoleh , untuk suatu dan

, untuk suatu Akibatnya diperoleh,

Karena bebas linear maka diperoleh


37/65

22

Terbukti bahwa setiap anggota V direpresentasikan secara tunggal sebagai kombinasilinear dari vektor-vektor dalam basis.

Definisi 2.27 (Beachy, 2006) :Dimensi dari ruang vector atas lapangan adalahjumlah vektor-vektor dalam basis untuk .Contoh 2.28 : Sebarang ruang vektor berdimensi atas lapangan , di mana buah vektor , , , membentuk basis dari ruang vektor ataslapangan .Diambil sebarang

, , maka v dapat ditulis sebagai kombinasi linear

dari , , ,yaitu

, ,

, ,

Jadi, vektor-vektor di atas membangun

.

Karena vektor-vektor tersebut juga bebas linear, maka buah vektor tersebutmerupakan basis untuk ruang vektor atas lapangan . Jadi, ruang vektor berdimensi atas lapangan .


38/65

23

2.6 Pemetaan dan Relasi EkuivalensiPada subbab ini akan ditubjukkan beberapa definisi tentang pemetaan dan relasi

ekuivalensi.

Definisi 2.29 : Diketahui pemetaan dan . Pemetaan dikatakan sama, ditulis bila .Definisi 2.30 (Setiadji, 1983) : Relasi disebut refleksif jika dan hanya jika untuksetiap anggota dari semestanya berlaku , atau

Definisi 2.31 (Setiadji, 1983) : Relasi disebut simetris jika dan hanya jika untuksetiap dari semestanya berlaku: apabila maka .Definisi 2.32 (Setiadji, 1983) : Relasi disebut transitif jika dan hanya jika untuksetiap dari semestanya berlaku: apabila danmaka .Definisi 2.33 (Setiadji, 1983) : Relasi

dikatakan suatu relasi ekuifalensi jika

merupakan relasi yang refleksif, simetris dan transitif.

Teorema 2.34 (Setiadji, 1983) : Suatu relasi ekuivalensi antara anggotanya suatu

semesta mengakibatkan adanya penggolengan (partitioning) di dalam .Bukti :

Misalkan relasi diatas disebut

, maka ditentukan bahwa

memiliki sifat-sifat

refleksif, simetris dan transitif. Semua elemen-elemen yang berada dalam relasi dengan , kita kumpulkan dalam suatu himpunan . Jadi |.Himpunan tidak kosong sebab refleksif, jadi . Sehingga dan


39/65

24

sekurang-kurangnya mempunyai suatu anggota. Dari sini disimpulkan bahwa setiap

anggota pasti berada dalam sekurang-kurangnya satu kelas, yaitu kelas yang memuat

ia sendiri.

Apabila dua golongan itu berserikat satu elemen saja, maka mereka berimpitan,

sebab andaikan berserikat elemen c. Karena maka . Karena simetris, maka dari diturunkan . Dari sebab maka . Dari sinidengan menggunakan sifat transitif diturunkan . Sehingga . Selanjutnya,untuk setiap berlaku , dan karena dengan menggunakan transitifmaka . Jadi . Maka terbukti setiap anggota dari menjadi anggota ,yaitu

. Dengan jalan yang sama, maka dapat dibuktikan

atau dengan

kata lain terbukti bahwa .2.7 Transformasi linear

Pada subbab ini akan dipaparkan materi yang berkaitan dengan Transformasi

Linear.

Definisi 2.35(Miller, 1997) :Diketahui dan ruang vektor atas lapangan yangsama. Transformasi linear

adalah suatu pemetaan dari

ke

sedemikian sehingga untuk setiap dan berlaku.i.

ii. Definisi 2.36 (Miller, 1997) :Diketahui dan ruang vektor atas lapangan yangsama. Transformasi linear adalah suatu pemetaan dari ke sedemikian sehingga untuk setiap

dan

berlaku.

Definisi 2.27 dan definisi 2.28 adalah ekivalen. (Setiadji, 1983).


40/65

25

Definisi 2.37 (Miller, 1997) : Transformasi linear dan dari ruang vektor kedikatakan sama jika

Definisi 2.38 (Lang, 1996) : Diketahui dan transformasi linear dari ruangvektor ke . Untuk setiap dan didefinisikan jumlahan danpergandaan skalar yaitu Contoh 2.39 :Misalkan suatu pemetaan didefinisikan sebagai + , di mana Diambil sebarang +

+ maka

+ * *

+ +

untuk setiap dan . Jadi, merupakan suatu transformasi linear.


41/65

26

Selanjutnya akan diberikan transformasi-transformasi linear khusus yakni

sebagai berikut.

Transformasi-transformasi Linear Khusus (Lang, 1996)

Diketahui dan sebarang ruang vektor atas lapangan . Untuk setiap berlaku.i. Transformasi Linear Identitas didefinisikan dengan

ii. Transformasi Linear Nol didefinisikan dengan iii. Transformasi Linear Negatif

didefinisikan dengan

2.8 Kernel dan Daerah Hasil Transformasi linear

Berikut akan ditunjukkan konsep yang mendukung teori transformasi linear pada

ruang vektor.

Diberikan

, Diketahui merupakan himpunan matriks-matriks yang berukuran dengan elemen bilangan real.

,

Diambil sebarang

,

, diperoleh

Atau,


42/65

27

Dapat dibentuk suatu pemetaan sebagai berikut

Pemetaan di atas memenuhi sifat-sifat sebagai berikut.1. 2.

Berdasarkan model 1 dan 2dapat dibentuk pengertian pemetaan linear lewat

abstraksi yang diilustrasikan lewat gambar 2.3 dengan ruang vektor ataslapangan yang sama dan pemetaan dari ruang vektor ke (William, 2010).

Gambar 2.3 Transformasi Linear pada Ruang Vektor

Definisi 2.40 (Miller, 1997) : Diketahui

dan


.

Misalkan adalah transformasi linear dari ke .i. Daerah hasil dari adalah himpunan semua bayangan (images) dengan dan didefinisikan sebagai |

T

F

V W

OwOv


43/65

28

ii. Kernel dari adalah himpunan semua vektor sedemikian sehingga dan didefinisikan sebagai |

Teorema 2.41 (Wiliam, 2010) : Daerah hasil dari suatu transformasi linear merupakan subruang dari .Bukti :

Sebagai bukti, diambil sebarang maka terdapat sehingga

dan

.

Diperoleh Untuk setiap diperoleh Maka terbukti bahwa merupakan subruang dari .Teorema 2.42(Wiliam, 2010) : Kernel dari suatu transformasi linear merupakansubruang dari

.

Bukti:

Telah diketahui sebelumnya bahwa .Diambil sebarang maka dan . Diperoleh Untuk setiap diperoleh

Maka terbukti bahwa merupakan subruang dari .


44/65

29

Teorema 2.43(Anonymous, 2009) :Diketahui adalah transformasi lineardari ruang vektor ke . Maka diperoleh

Bukti :

Karena elemen identitas terhadap penjumlahan maka diperoleh

( )

( )

Jadi, .2.9 Transformasi Linear Non-Singular dan Isomorfisma Ruang Vektor

Pada subbab ini akan ditunjukkan beberapa definisi dan teorema yang

berhubungan dengan transformasi linear non-singular dan isomorfisma ruang vektor.

Definisi 2.44 (Setiadji, 1983) : Suatu transformasi linear merupakan transformasinon-singular jika terdapat invers transformasi linear sehingga . Jikatidak terdapat invers transformasi demikian maka disebut transformasi singular.Teorema 2.45(Wiliam, 2010) :Diketahui transformasi linear dari ruang vektor ke . Maka injektif jika dan hanya jika .


45/65

30

Bukti:

Diketahui injektif Diambil sebarang , maka diperoleh Menurut yang diketahui maka

Jadi

Diketahui

Diambil sebarang sedemikian sehingga .Jadi,

Atau,

Oleh karena itu, Dengan kata lain,

Atau terbukti injektif.


46/65

31

Teorema 2.46 (Setiadji, 1983) :Jika pada ruang vektor , maka pada .Bukti (Setiadi, 1983) :

Diketahui transformasi non-singular, maka sebarang dapat dinyatakansecara tunggal sebagai untuk suatu , dan diperoleh

() ( ) () Jadi, pada .Definisi 2.47 (Setiadji, 1983) : Misalkan dan adalah ruang vektor ataslapangan . Transformasi linear dari ruang vektor ke disebut isomorfismajika bijektif, ditulis .


47/65

32

BAB III

METODE KAJIAN

3.1 Desain KajianMetode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu

menghimpun beberapa sumber referensi dan dibuat suatu kajian khusus mengenai

Teori Utama Isomorfisma Ruang Vektor dan Aplikasinya. Sumber kajian dan

penulisan diperoleh dari buku-buku referensi, jurnal-jurnal ilmiah, dan artikel web

lainnya.

Kajian tentang Teori Utama Isomorfisma Ruang Vektor ini merupakan penelitian

yang bersifat murni atau penelitian dasar.

3.2 Prosedur KajianLangkah-langkah kajian Teori Utama Isomorfisma Ruang Vektor dan

Aplikasinya adalah sebagai berikut:

1. Mengkonstruksi struktur aljabar tentang teori utama isomorfisma ruang vektor.2. Membentuk teori baru berdasarkan aplikasi dari teori utama isomorfisma ruang

vektor.

3.3 Hasil yang diharapkanAdapun hasil yang diharapkan dari penelitian ini, antara lain:

1. Dapat merumuskan struktur aljabar tentang teori utama isomorfisma ruangvektor.

2. Dapat membentuk teori baru berdasarkan aplikasi dari teori utama isomorfismaruang vektor.


48/65

33

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Relasi EkuivalensiDiketahui ruang vektor atas lapangan , subruang dari ruang vektor .Bila maka kemungkinan yang terjadi antara lain: , atau Jika yang terjadi adalah kemungkinan , maka dapat dibangun definisi

sebagai berikut:

Definisi 4.1 : Diketahui

ruang vektor dan

merupakan subruang dari

.

dikatakan berelasi jika dan hanya jika .Teorema 4.2 : Diketahui ruang vektor dan merupakan subruang dari . . Relasi dimana merupakan relasi ekuivalensi.Bukti :

Akan dibuktikan bahwa relasi

merupakan suatu relasi ekuivalensi maka menurut

definisi 2.33 relasi haruslah reflektif, simetris dan transitif. Diambil sebarang , maka diperoleh:(i.) Relasi Reflektif , karena merupakan subruang dari ruang vektor .

Dengan kata lain terbukti bahwa atau refletif.(ii.) Relasi Simetris . Karena subruang maka berlaku:

( ) = Dengan kata lain terbukti bahwa atau simetris.


49/65

34

(iii.) Relasi Transitif. & , karena subruang, makaberlaku:

Dengan kata lain terbukti bahwa atau transitif.4.2 Partisi (kelas-kelas) pada Ruang Vektor

Berdasarkan teorema 4.1 maka ruang vektor terbagi atas keluarga kelas-kelasyang saling asing. Jadi , kelas yang diwakili , dinotasikan dengan .

Kemudian dapat dibentuk keluarga kelas-kelas sebagai berikut:

Keluarga kelas-kelas pada ruang vektor dapat divisualisasikan lewat gambar berikut

ini.

Gambar 4.1 Keluarga kelas-kelas pada Ruang Vektor


50/65

35

Jadi keluarga kelas didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut.

i.

ii. Himpunan bilangan bulat mempunyai dua operasi biner yang dikenakan padanyayaitu penjumlahan dan pergandaan . Dalam hal ini untuk setiap pasangan dan dalam , dan dikawankan secara tunggal dengan suatu anggotadalam . Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:1. Terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan

dalamdikawankan dengan tepat satu nilai .2. tertutup di bawah operasi yaitu untuk setiap dalam maka masihdalam.

Teorema 4.3 : operasi penjumlahan dan operasi perkalian yang di definisikanpada adalah well definited (terdefinisi dengan baik).Bukti :

Diambil sebarang dan , dimana(a.)

Karena merupakan subruang dari ruang vektor , maka berlaku ........................................(i)


51/65

36

.....................................................................(ii)Dari (i) dan (ii) terbukti pernyataan pertama well definited.

(b.)

}

.................................................................(i) ................................................................................(ii)

Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa pernyataan kedua well definited. dari (a)dan (b) terbukti bahwa operasi-operasi yang didefinisikan pada adalahwell defnited.

Teorema 4.4 : Diketahui


dan himpunan

subruang dari . adalah ruang vektor atas lapangan F.Bukti :

(I). Akan di tunjukkan bahwa ( )merupakan grup abelian.Diambil sebarang , maka diperoleh.

(a) tertutup.Karena maka , sehingga


52/65

37

(b) assosiatif.

(c) memiliki elemen identitas.

(d) memiliki invers.


53/65

38

(e) komutatif.

dari a s/d eterbukti bahwa ( )merupakan grup Abelian.(II). Diambil sebarang sedemikian sehingga dan berlaku aksioma-aksioma sebagai berikut:

(a)

(b) (c)

( ) (d)

Karena merupakan grup abelian dan memenuhi keempat aksioma di atas, makaterbukti bahwa

merupakan ruang vektor atas lapangan

.


54/65

39

4.3 Transformasi Linear Ruang Vektorruang vektor atas lapangan dan himpunan subruang dari ruang vektor

. Dibentuk pemetaan sebagai berikut:

Berdasarkan sajian di atas, dapat diturunkan teorema sebagai berikut:

Teorema 4.5 : i.) merupakan suatu Transformasi Linear dan Surjektifii.)

Bukti:

Diambil sebarang dan , maka diperolehi.)

Dengan kata lain, terbukti bahwa merupakan transformasi linear.Diambil sebarang , maka dan didefinisikan: Sehingga terbukti bahwa surjektif.

ii.)Diambil sebarang , maka diperoleh

Karena,

, sehingga diperoleh


55/65

40

Karena

sebarang elemen di

, maka diperoleh:

................................................................................................ (i)Diambil sebarang , maka diperoleh , dengan kata lain sehingga diperoleh: ............................................................................................... (ii)Dari (i) dan (ii), terbukti bahwa .

Berikut akan ditampilkan visualisasi dari transformasi linear ruang vektor, untuk

memperjelas penjelasan di atas.

Gambar 4.2 Transformasi Linear Ruang Vektor


56/65

41

4.4 TeoriUtamaIsomorfismaRuangVektorDari teori-teori di atas, kemudian dapat dibentuk beberapa teorema yang

mendukung teori utama isomorfisma ruang vector sebagai berikut.

Toerema4.6 :Diketahui masing-masing ruang vektor atas lapangan , dan subruang dari . merupakan transformasi linear yang surjektif.Diketahui suatu transformasi linear atas sedemikian hingga termuatdalam maka ada dengan tunggal transformasi linear atas , sedemikian hingga .Bukti:

Gambar 4.3 Pemetaan Linear

Diambil sebarang dan .Kemudian dibentuk

dengan syarat:

(i.) merupakan suatu pemetaan, sebab dengan maka:

V

W


57/65

42

menurut diketahui: Sehingga diperoleh:

(ii.)

Berdasarkan (i)dan (ii) terbukti bahwa .Selanjutnya diambil pemetaan

sedemikian hingga

.

Untuk sebarang berlaku (), sehingga diperoleh: ()

Karena diambil sebarang, dan maka .terbukti bahwa merupakan transformasi linear yang tunggal dengan


58/65

43

Teorema 4.7 : Diketahui masing-masing ruang vektor atas lapangan . Bila adalah suatu transformasi linear, maka

.

Bukti :

Dibentuk suatu transformasi linear dan pemetaan , dengan .Dari teorema 2.41 dan teorema 2.42 dapat disimpulkan bahwa

merupakan

subruang atas dan merupakan subruang dari .Berdasarkan teorema 4.6 maka terdapat dengan tunggal transformasi linear Karena masing-masing transformasi linear yang surjektif, maka jugasurjektif. Akan ditunjukkan injektif.Diambil sebarang

dengan

.

Karena merupakan subruang dari (teorema 2.32), maka sehingga diperoleh: ( ) ( )


59/65

44

() ( ) karena diambil sebarang

dengan

berlaku .Jadi terbukti bahwa injektif, dan karena merupakan transformasi linear yangsurjektif dan injektif, maka merupakan suatu isomorfisma atau dengan kata lainterbukti bahwa .4.5 Aplikasi Teori Utama Isomorfisma Ruang Vektor

Berdasarkan teorema 2.11, bila

masing-masing subruang atas ruang vektor

, maka dan juga merupakan subruang dari ruang vektor .Selanjutnya dibentuk partisi pada ruang vektor yakni dan . Akan

ditunjukkan bahwa kedua partisi tersebut adalah isomorfik, yang akan disajikan

dalam teorema sebagai berikut.

Teorema 4.8 :Jika masing-masing subruang dari ruang vektor ataslapangan

, maka

Bukti :

Dibentuk transformasi linear yang surjektif dan pemetaan

transformasi linear yang injektif, yaitu pemetaan

sehingga diperoleh diagram sbb:


60/65

45

Gambar 4.4 Diagram Transformasi Linear

Karena juga merupakan suatu transformasi linear, maka merupakan suatutransformasi linear. , maka dan berlaku: ()

, karena injektif (teorema2.45).Sehingga diperoleh

, dan

.

Kemudian diambil sebarang , maka:

()

Sehingga berlaku .Jadi , maka diperoleh ..............................................................................(1)Selanjutnya diambil sebarang

, maka

. Jadi ada

, dimana untuk suatu dan menurutteorema 4.5 .


61/65

46

Berarti terdapat sehingga berlaku:

Jadi, terdapat

sedemikian hingga

atau dengan kata lain

sehingga diperoleh .Karena transformasi linear yang injektif maka selalu berlaku () sehingga jika diambil sebarang maka terdapat sedemikianhingga berlaku:

()

, dimana

, untuk


62/65

47

Jadi diperoleh , dan karena maka:

....................................................................................(2)

berdasarkan uraian (1) dan (2) , dan menurut Teorema 4.7 terbukti bahwa

Contoh 4.9 :

Telah diketahui sebelumnya bahwa

merupakan ruang vektor atas lapangan

.

| | merupakan subruang dari ruang vektor maka diperoleh: | subruang dari ruang vektor dan | subruang dari ruang vektor .Dibentuk:

|

| Selanjutnya dikonstruksi transformasi linear , sehingga diperoleh: Misalkan diambil sebarang dengan .Karena

merupakan ruang vektor, maka

, sehingga diperoleh:


63/65

48

Menurut teorema 2.34: Sehingga:

Karena berakibat maka injektif sehingga terbukti bahwa merupakan isomorfisma, atau dengan kata lain terbukti bahwa:


64/65

49

BAB V

PENUTUP

5.1 KesimpulanDari pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dapat diperoleh kesimpulan sebagai

berikut:

1. Diketahui ruang vektor atas lapangan yang sama, subruang dari dan transformasi linear . Jika dibentuk suatu transformasilinear yang surjektif maka terdapat dengan tunggal transformasi linear sedemikian hingga berlaku , dari sini dapat dibentuk teori utamaisomorfisma yakni:

2. Dari teori utama isomorfisma diatas, diperoleh teori yang lain dengan

mengaplikasikan teori tersebut sehingga dapat disajikan sebagai berikut: 5.2 Saran

Melalui penelitian ini, penulis mengkaji mengenai teori utama isomorfisma dan

aplikasinya. Sangat diharapkan bahwa skripsi ini dapat digunakan sebagai sumbangan

pemikiran bagi Universitas Nusa Cendana, khususnya bagi pembaca yang ingin

mengembangkan tulisan ini dengan permasalahan yang lebih kompleks terkait dengan

aplikasi dari teori utama isomorfisma ruang vektor.

Dari pembahasan mengenai teori utama isomorfisma ruang vektor dan aplikasinya

ini masih dimungkinkan kajian yang lebih mendalam lewat pengkajian berikutnya.

Dengan mengaplikasikan teori utama isomorfisma ruang vektor, masih banyak teori

yang dapat dikembangkan lebih lanjut.


65/65

50

DAFTAR PUSTAKA

Anonymous. 2009. Linear Transformations. (Diunduh dari http://www.maths.

ox.ac.uk/system/files/coursematerial/2009/961/14/LA-web6.pdf pada 22 Feb.2014).

Bretscher, Otto. 1997.Linear Algebra with Applications. Prentice Hall, New Jersey.

Budhi, WonoSetya. 1995. Aljabar Linear. Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama,

Jakarta.

Gultom B. 1985. Soal dan Penyelesaian Aljabar Linier. Penerbit Tarsito, Bandung.

Gultom B. 1985. Teori Aljabar Linier. Penerbit Tarsito, Bandung.

Lang, Serge. 1996. Linear Algebra. Addison-Wesley Publishing Company,California.

Lawson, Terry. 1996.Linear Algebra. John Wiley & Sons Inc, New York.

Pinter, Charles C. 1990.A Book of Abstract Algebra. McGraw-Hill Inc, New York.

Setiadji. 1983.Aljabar Linier 1. Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

William, Andre. 2010. Analisis Matriks Representatif Transformasi Linear padaRuang vektor. Matematika-FST Universitas Nusa Cendana, Kupang.

teori utama isomorfisma ruang vektor dan aplikasinya

Documents