TUGAS MATEMATIKA TEKNIK 2

TRANSFORMASI Z

NAMA : SYUKRIL HAKIMIS

JURUSAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS ANDALASPADANG2014

Transformasi-z dan Inversserta aplikasinya2

Kegunaan Transformasi -z

Mengurangi perhitungan dalam operasi konvolusi dua sinyal

Solusi persamaan beda dapat ditemukan dengan perhitungan aljabar yang lebih mudah

Fungsi transfer pada sistem LTI

DEFINISI

Transformasi-z, F(z), dari fungsi waktu diskrit f(n) adalah:Z[ f (n)] =dengan z adalah variabel kompleks

F ( z) =

k =

f (k ) z k

(1)Hubungan pada Pers. (1) Transformasi-z bilateral. Pers. (1) dapat ditulis:F ( z) =

0k =

f (k ) z k

+ k =0

f (k ) z k

Jika f(n)=0 untuk n 0k > 0

Tentukan juga transformasi-Z dari sinyal berikut:a) x(n)=u(n), sinyal step unitb) x(n)=anu(n), sinyal eksponensial untuk n >= 0 c) x(n)=n, sinyal rampd) x(n)=e-2ne) x(n)=n e-2nf) x(n)=e2ncos(3n)

F(n)F(z)ROC

(n)1All z

(n - k ), k > 0z-kz 0

u(n) z z 1z > 1

nz(z 1 )2z > 1

n 2z ( z + 1)(z 1 )3z > 1

a n z z az > a

na n az (z a )2z > a

Tabel Transformasi-z

8

1. Linearitas2. Time Shifting (pergesearan waktu)3. ConvolusiSifat-SifatTrasformasi-z

4. Teorema nilai awal9

Sifat-SifatTransformasi-z

1. Linieritas

jika

x 1 (n)

X1

(z)2

dan

maka

a 1 x 1 (n)

x 2 (n)+ a 2 x 2 (n)

X (z) a X (z)1 1

+ a 2 X 2 (z),

a i konstanROC-nya adalah irisan dari x1(n) dan x2(n)

Contoh:Tentukan transformasi-z dan ROC-nya

x(n)

= (3(2

n )

4(3

n )) u(n)

2. Time Shifting/Pergeseran waktu

jika

maka

ROC sama

x(n) X(z)x(n k) z k X(z)

Contoh:Tentukan transformasi-z dari x(n-2) dan x(n+2) dan ROC-nya dari contoh sebelumnya

x 1 (n)

= {1,

2, 5,

7, 0, 1}1

X1 (z) = 1 + 2z

+ 5z 2

+ 7z 3

+ z 5

x 2 (n)

= x(n

- 2)

= {1, 2, 5, 7,

0, 1}

X 2 (z) = ....

3. Convolusi

jika

x 1 (n)

X1

(z)2

dan

maka

x 2 (n)

X (z)Zx 1 (n) * x 2 (n)

X 1 (z).X

2 (z)

ROC-nya adalah irisan dari x1(n) dan x2(n)

Contoh:Tentukan transformasi-z dari konvolusi pada contoh sebelumnya(pembahsan konvolusi)

Bentuk umum pers. Beda pada LTI

Aplikasi Transformasi-z pada sistem LTI

a 0 y(n) + a 1 y(n - 1) + L + a N y(n - N)

= b 0 x(n) + b 1 x(n - 1) + L + b M x(n - M)

Dengan menerapkan transf.z dan sifat time shifting, dengan:M

maka

x(n)

X(z)

dan

x(n)

Y(z)

a 0 Y(z) + a1

z -1 Y(z) + L + a

z -N Y(z)

= b 0

X(z) + b 1

z -1 X(z) + L + b

z -M X(z)

(a 0

+ a 1

z -1

+ L + a

z - N )Y(z)

= (b 0

+ b 1

z -1

+ L + b M

z - M )X(z)

Y(z)N

(b + b z -1 + L + b z - M )=X(z)N

0

(a 0

1+ a 1

z -1

M+ L + a N

)z - N )

Fungsi transfer, H(z)

Tentukan fungsi transfer sistem LTI yang dinyatakan dalam pers. Beda berikutContoh

y(n) 0.9 y(n - 1)

= 0.1x(n),

dengan x(n ) =

u(n)

y(n) 3y(n - 1) - 4y(n - 2) =

x(n) + 2x(n

- 1),

dengan x(n ) =

4 n u(n)

Invers transformasi-z didefinisikan sebagai:Invers Transformasi-z

1x(n) =

2j

x(z)z n 1 dzc

dengan integralnya adalah integral kontur melalui lintasan tertutup c yang terdapat pada titik awal dan terletak dalam daerah konvergensi X(z)

Karena perhitungan integral kontur sulit dan kompleks, maka untuk mencari invers dari transformasi-z dapat dengan melihat tabel, atau digunakanmetode lain:

MetodeEkspansi pecahan parsial

MetodePembagian panjangPenyelesaian Persamaan Beda dengan Transformasi Z

Langkah-langkah:

H(z) =

Y(z)

X(z)

Y(z) = f(z)

Y(z) = A1 + A2 +L+ An

z-1

y(n) =

x(n)

Y(z)

= H(z)X(z)

z zLakukan ekspansiPecahan parsial

z a1

z a2

z an

inverskan

Tentukan invers transformasi-z dari contoh sebelumnya

Pratikum

Transformasi-z dan Invers serta aplikasinya17

Transformasi-zMatlab menyediakan function untuk mendapatkan transformasi-z dari suatu fungsi diskrit, yaitu menggunakan ztrans.

F = 1/4*z/(1/4*z-1)

Untuk menyederhanakan ekspresi matematika diatas, gunakan function simplify

simplify(F)

Maka akan muncul keluaran sebagai berikut:

z/(z-4)

Perhatikan bahwa hasilnya sama persis waktu diperkuliahan.

Invers Transformasi-z

Invers transformasi-z dapat dicari menggunakan metode eksapansi pecahan parsial dan metode pembagian panjang.Matlab memiliki fungsi untuk mencari invers transformasi-z menggunakan ekspansi pecahanparsial, yaitu: [R, P, K)=residue(B,A), dimana A dan B adalah konstanta dari fungsi z. Misal dapatkan invers transformasi-z dari fungsi berikut:

F(z) = 2zz2+3z+2

Solusi:

F(z) = 2z-11+3z 1+2z 2

Maka A=[13 2) dan B=[O2) Coding selengkapnya:A=[132);

B=[O2);

[R, P)=residue(B,A)

Maka akan didapatkan hasil sebagai berikut:

R=-2

2p=-2-1

F(z) diekspansikan ke dalam jumlahan dalam bentuk r/(l-pz"l) dimana r adalah residu dan p adalah pole. Sehingga akan kita dapatkan:

-2 2F(z) = 1 + -11+2z- l+z

-2z 2z-+-z+2 z -I

Oleh karenanya, invernya adalah:

f(k)=-2(-2)" + 2(1)"

Sumber: http://lecturer.eepis-its.edu/~ira/materi/pengolahan%20sinyal%20digital/Transformasi-z%20dan%20Invers%20serta%20aplikasinya.pdf