“Ruang Vektor”

MATA KULIAHMATEMATIKA TEKNIK 2

[KODE/SKS : KD042216 / 2 SKS]

FIELD: Ruang vektor V atas field skalar K adalah himpunan takkosong dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalianskalar.

Himpunan tak kosong V disebut ruang vektor jika memenuhi

1. Untuk sebarang u,vV berlaku u+v V

2. u+v = v+u [sifat Komutatif]

3. u+(v+w) = (u+v)+w [sifat Asosiatif]

4. Terdapat 0V (vektor nol) sehingga untuk setiap uVberlaku 0+u=u+0 V

5. Untuk sebarang uV terdapat -uV sehingga

u+(-u)= (-u)+u = 0 [invers aditif]

6. Jika k adalah sebarang skalar dan uV, makakuV

7. k(u+v) = ku+kv

8. (k+l)u = ku+lu

9. k(lu) = (kl)u

10. 1u = u

FIELD

Jika S = {v1, v2, … , vr} adalah suatu himpunan vektor-vektortak kosong, maka persamaan vektor

k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0

Mempunyai paling tidak satu penyelesaian (trivial), yaitu

k1 = 0, k2 = 0, . . . , kr = 0

Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatuhimpunan yang bebas secara linear. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak bebassecara linear.

Vektor Bebas Linier

Bergantung Linier

2,3,1u 1,1,1 a

021

akuk

0

0

0

12

13

11-

2

1

k

k

Diketahui dan

Apakah saling bebas linear di R3

Tulis

atau

Contoh 1:

Jawab :

~

0

0

0

12

13

11-

~

0

0

0

10

40

11

3

2

1

0

0

0

00

10

01

k

k

k

dapat diperoleh :

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :

k1 = 0, dan k2 = 0.

Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.

2

3

1

a

1

1

1

b

4

6

2

c

ckbkak 3210

412

613

211

3

2

1

k

k

k

0

0

0

,

,

Jawab :

atau

=

Tulis :

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3

Contoh 2 :

Misalkan

~

010

040

211

0

0

0

3

2

1

000

010

211

k

k

k

cba ,,

diperoleh :

Ini menunjukan bahwa

k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak

adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

Jadi

Misalkan diketahui R3 ruang vektor dengan u = [3,1,2] ,v = [1,2,1] dan w = [2,-1,1] € R3 . Selidiki apakah ketiga vektor tersebut bebas linier ataubergantung linier ?

Jawab:

k1u + k2v + k3w = 0k1 [3,1,2] + k2 [1,2,1] + k3 [2,-1,1] =0

Terdapat skalar yang tidak nol yaitu k1 =-1 , dan k2=1 serta k3=1 Yang memenuhi persamaan tersebutJadi ketiga vektor bergantung linier.

Contoh 3 :

Misalkan diketahui vektor u= [2,3] dan v= [1,3] Selidikiapakah kedua vektor tersebut bebas linier ataubergantung linier :

Jawab:k1[2,3] + k2[1,3]

2k1 + k2 = 03k1 + 3k2 = 0 >>> k1 = k2 = 0Jadi kedua vektor bebas linier.

Contoh 4:

Teorema :Jika sebagian himpunan n vektor [u1,u2 ,..,..,…,un] bergantung linier, Maka keseluruhan n vektor tersebutadalah bergantung linier.

Contoh :

a = [ 2,3,1,4], b = [ 6,9,3,12] , c = [ 2,0,3,1] ,d = [ 0,0,1,4]

Maka karena a dan b kelipatan mereka bergantunglinier sehingga vektor-vektor a,b,c, d bergantunglinier

Kebebasan linear mempunyai suatu interpretasi geometrik yang

berguna dalam R2 dan R3 :

Dalam R2 atau R3, suatu himpunan dua vektor bebas secara

linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak

pada garis yang sama jika keduanya ditempatkan dengan titik-

titik pangkalnya di tititk asal (Gambar 1).

Dalam R3, suatu himpunan tiga vektor bebas secara linear jika

dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada

bidang yang sama jika ketiganya ditempatkan dengan titik-titik

pangkalnya pada titik asal (Gambar 2).

Gambar 1

Tak bebas secara

linear

Tak bebas secara

linearBebas secara

linear

z

v2

v1

y

x

z

v1

v2 y

x

z

v1

v2

y

x

Gambar 2

Tak bebas secara

linear

Tak bebas secara

linear

Bebas secara

linear

z

v3

v2

y

v1

x

z

v3

v2

y

v1

x

z v1

v2

y

v3

x

JumlahVektor

Bebas secara linier(Jika dan hanya jika)

Bebas secara Geometri(Jika dan hanya jika)

2 buahvektor

tidak satupun dari vektor tersebut yang merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya

tidak terletak pada garis yang sama jika diposisikan dengan titik-titik pangkalnya di titik asal

3 buahvektor

tidak satupun dari vektor tersebut yang merupakan kombinasi linear dari dua vektor lainnya

ketiga vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama jika ketiganya diletakkan dengan titik-titik pangkalnya pada titik asal

Kombinasi Linear Suatu vektor w disebut kombinasi linear

dari v1, v2, …, vn jika bisa dinyatakan dalam bentuk

w = k1v1 + k2v2 + … + knvn

dengan k1, k2, …, kn skalar

CONTOH 1Diketahui u=(1,2,-1) dan v=(6,4,2) dalam R3. Apakahw=(9,2,7) merupakan kombinasi linear dari u dan v?

PENYELESAIAN (1)

w=k1u+k2v

(9,2,7)=k1(1,2,-1)+k2(6,4,2)

(9,2,7)=(k1,2k1,-k1)+(6k2,4k2,2k2)

(9,2,7)=(k1+6k2,2k1+4k2,-k1+2k2)

k1+6k2=9

2k1+4k2=2

-k1+2k2=7

Didapat k1=-3, k2=2Jadi w=-3u+2v

000

210

961

240

210

961

721

210

961

721

210

961

721

210

961

721

1680

961

721

242

961

721

242

961

Operasi Eliminasi GaussPersamaan linier

PENYELESAIAN (2):I

II

III

STEP

X + 6 y =9Y =2Y=k2=2

X + 6 (2) =9X +12 = 9X = -3X=k1=-3

Didapat k1=-3, k2=2Jadi w=-3u+2v

IV

Contoh: u v

a

Misal = (2, 4, 0), dan

Apakah vektor merupakan kombinasi linear

dari vektor – vektor di atas

= (4, 2, 6)

adalah vektor-vektor di R3.

= (1, –1, 3)

6

2

4

3

1-

1

0

4

2

21 kk

6

2

4

3 0

1- 4

1 2

2

1

k

k

a. Tulis

akan diperiksa apakah ada k1, k2,

sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.

Ini dapat ditulis menjadi:

Jawab :

avkuk 21

0 0 0

2 1 0

2 1

~

6 3 0

6- 3- 1

2 1 21

21

a u

vua

2

dengan OBE, diperoleh:

Dengan demikian,

merupakan kombinasi linear dari vektor dan

atau

v

Baris ketigabernilai nol, berarti terdapatpenyelesaian

bvkuk

21

6

5

1

3

1-

1

0

4

2

21 kk

6

5

1

3 0

1- 4

1 2

2

1

k

k

ini dapat ditulis menjadi:

b = (1, 5, 6)

u vMisal = (2, 4, 0), dan

Apakah vektor merupakan kombinasi linear

dari vektor – vektor di atas

adalah vektor-vektor di R3.

= (1, –1, 3)

Jawab

3 0 0

2 1 0

1

~

6 3 0

3 3- 0

0 1

~

6 3 0

5 1- 4

1 1 2 21

21

21

dapat diperoleh :

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa

SPL tersebut adalah tidak konsisten

(tidak mempunyaisolusi).

Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi

b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

dari u dan v

Baris ketigatidak nol, sehinggapenyelesaiantidak konsisten

Contoh :

Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasilinier dari u dan v.

Jawab

Perhatikan kombinasi linier x = k1u+k2v

[8,1,5] = k1[2,-1,3] + k2[1,2,-2]

Dari kesamaan vektor diperoleh

2k1 + k2 = 8

-k1 + 2k2 = 1

3k1 – 2k2 = 5

k1 = 3

k2 = 2

523

121

812

840

1050

121

x = 3u + 2v

26

BasisAndaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {v1,v2,…,vn} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V,S dikatakan basis untuk ruang V jika :

S bebas linier

S membangun V

DimensiSebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jikaruang vektor V mengandung sebuah himpunan berhinggavektor S = {v1, v2,…,un} yang membentuk basis. Dimensisebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikansebagai banyaknya vektor pada basis V.

BASIS DAN DIMENSIBASIS DAN DIMENSI

Contoh

Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2], u2=[2,1,2] danu3=[1,3,3]. Apakah S basis untuk R3.

Jawab

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier :

k1u1 + k2u2 + k3u3 = x

k1 [1,2,1] + k2[2,1,2] + k3 [1,3,4] = [x1,x2,x3]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier

k1 + 2k2 + k3 = x1

2k1 + k2 + 3k3 = x2

2k1 + 2k2 + 3k3 = x3

1

322

312

121

det(u)

Karena mempunyai determinan minus ~ 0= bebas linier,

jadi S adalah basis untuk R3.

Selidikilah bebas linier atau bergantung linier himpunan vektor-vektor berikut :

1. Diketahui 2 vector, u =[2,1,1] , v = [ 2,1,3]. Apakah bebaslinier

2. Diketahui R3 ruang vektor dengan u = [6,2,4] , v = [ 1,2,1] dan w = [ 4,-2,2] € R3.

3. Selidiki apakah keempat vektor di bawah ini bebas linier ataubergantung linier. a = [ 2,3,1,4], b = [ 6,9,3,12] , c = [3,0,8,1] , d = [ 0,5,7,4].

4. 2,3,1u 1,1,1 aDiketahui dan

Apakah saling bebas linear di R3

5. Diketahui u=(1,2,-1) dan v=(6,4,2) dalam R3. Apakah w=(4,-1,8) merupakan kombinasi linear dariu dan v?

6. Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasi linier dari u dan v.

u v

a b

c

7. Misal = (2, 4, 0), dan

Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear

dari vektor – vektor di atas

= (4, 2, 6)

c. = (0, 0, 0)

adalah vektor-vektor di R3.

= (1, –1, 3)

b. = (1, 5, 6)a.