1

Teori Statistika I (STK501) – S2 STK

Peubah Acak Ganda

(Bagian II)

Dr. Kusman Sadik, M.Si

Departemen Statistika IPB, 2017/2018

2

Transformasi Peubah Acak Ganda : Diskret

3

Contoh Kasus (1):

4

5

6

Transformasi Peubah Acak Ganda : Kontinu

7

Transformasi Peubah Acak Ganda : Kontinu

8

Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U(0, 1),

sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dari

sebaran ini. Apabila didefinisikan Y1 = X1 + X2 dan

Y2 = X1 – X2, tentukan:

a. Fungsi kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu

),( 21, 21yyf YY

.

b. Fungsi kepekatan marginal bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu

)( 11yfY

dan )( 22yfY

.

Contoh Kasus (2):

9

Karena X U(0, 1), sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh

acak bebas dan identik dari sebaran ini maka fkp bersama

bagi X1 dan X2 adalah:

10dan 10 ;1)().(),( 212121, 2121 xxxfxfxxf XXXX

kemudian didefinisikan bahwa

y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2

y2 = h2(x1, x2) = x1 x2

10

y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2

y2 = h2(x1, x2) = x1 x2

Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan

di atas, akan diperoleh persamaan berikut:

x1 = h1-1(y1, y2) = (y1 + y2)/2

x2 = h2-1(x1, x2) = (y1 y2)/2

x1/y1 = ½; x1/y2 = ½;

x2/y1 = ½; x2/y2 = -½;

11

x1/y1 = ½; x1/y2 = ½;

x2/y1 = ½; x2/y2 = -½;

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

J

12

Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 adalah

Tyy

yyyyf

Jyyhyyhfyyf

XX

XXYY

),( ;2

1

2

1).1(

2

1}.2/)(,2/){(

)}.,(),,({),(

21

2121,

21

1

221

1

1,21,

21

2121

Persoalan berikutnya adalah menentukan batas nilai bagi y1

dan y2 yaitu T,

13

Untuk 0 < x1 < 1

0 < x1 < 1 0 < (y1 + y2)/2 < 1 0 < y1 + y2 < 2

0 < y1 + y2 dan y1 + y2 < 2

y2 > y1 dan y2 < 2 y1

Untuk 0 < x2 < 1

0 < x2 < 1 0 < (y1 y2)/2 < 1 0 < y1 y2 < 2

0 < y1 y2 dan y1 y2 < 2

y2 < y1 dan y2 > y1 2

14

y1

y2

y2 = -y1

y2 = 2 - y1

y2 = y1

y2 = y1 - 2

Sehingga batas nilai bagi y1 dan y2 adalah

y2 > y1 ; y2 < 2 y1 ; y2 < y1 ; dan y2 > y1 2

15

y1

y2

y2 = -y1

y2 = 2 - y1

y2 = y1

y2 = y1 - 2

Sebaran marginal bagi y1 adalah

Untuk 0 < y1 1

12221,1

1

1

1

1

211 2

1),()( ydydyyyfyf

y

y

y

y

YYY

16

Untuk 1 < y1 < 2

1

2

2

2

2

2

221,1 22

1),()(

1

1

1

1

211ydydyyyfyf

y

y

y

y

YYY

Sehingga

lainnya ;0

21;2

10;

)(

1

11

11

11

y

yy

yy

yfY

17

y1

y2

y2 = -y1

y2 = 2 - y1

y2 = y1

y2 = y1 - 2

Sebaran marginal bagi y2 adalah

Untuk -1 < y2 0

12

1),()( 2

2

1

2

121,2

2

2

2

2

212

ydydyyyfyf

y

y

y

y

YYY

18

Untuk 0 < y2 < 1

2

2

1

2

121,2 12

1),()(

2

2

2

2

212ydydyyyfyf

y

y

y

y

YYY

Sehingga

lainnya ;0

10;1

01;1

)(

2

22

22

22

y

yy

yy

yfY

19

Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut

0 ,)( xexf x

X

sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan

identik dari fkp ini. Ingin ditentukan fkp p.a. Y = X1/(X1 + X2).

Karena X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik

dari sebaran ini maka fkp bersama bagi X1 dan X2 adalah

0dan 0 ;),( 21

)(

21,2121

21

xxeeexxf

xxxx

XX

Contoh Kasus (3):

20

Perlu didefinisikan satu peubah acak lain agar transformasi

terjadi dari ruang berdimensi dua ke ruang berdimensi dua.

Misalkan Z = X1 + X2, sehingga diperoleh sepasang

transformasi yaitu y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2.

Trasformasi ini bersifat satu-satu untuk seluruh daerah

fungsi.

y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2

Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan

di atas, akan diperoleh persamaan berikut:

x1 = yz

x2 = (1 – y)z

21

x1 = yz

x2 = (1 – y)z

x1/y = z; x1/z = y;

x2/y = - z; x2/z = 1- y;

z

yz

yz

J

1

22

Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y dan Z adalah

Tzyze

ze

Jxxfzyf

z

zyyz

XXZY

),( ,

.

).,(),(

))1((

21,, 21

Selanjutnya menentukan batas nilai bagi y dan z yaitu T.

Perhatikan, karena x1 0 dan x2 0, maka

0 y = x1/(x1 + x2) 1 0 y 1

z = x1 + x2 0 z 0

sehingga

0dan 10 ,),(, z yzezyf z

ZY

23

0dan 10 ,),(, z yzezyf z

ZY

Sebaran marginal bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah

0

1dzze z

Dengan demikian, fkp bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah

lainnya ;0

10;1

)(

y

y

yfY

24

Contoh Kasus (4):

25

26

27

28

Materi Responsi

29

Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai

fkp Eksponensial Negatif dengan = 1, dan didefinisikan

bahwa peubah acak U = (X + Y)/2 dan V = (X – Y)/2.

a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).

b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).

Catatan: Sebaran Eksponensial Negatif adalah:

0 ,0 ,)( xexf x

X

Materi Responsi (1)

30

Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai

fkp Normal(0, 1), dan didefinisikan U = X + Y dan V = X – Y.

a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).

b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).

c. Tunjukkan bahwa U dan V independen.

d. Hitung peluang P(U < 0, V > 0).

Materi Responsi (2)

31

Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai

fkp Normal(0, 2). Tunjukkan bahwa peubah acak U = X2 + Y2

mempunyai fkp Eksponensial Negatif dengan =1/(22).

Materi Responsi (3)

32

Materi Responsi (4)

33

Materi Responsi (5)

34

Materi Responsi (6)

35

Materi Responsi (7)

36

Pustaka

1. Casella, B. and R.L. Berger. 2002. Statistical Inference,

2nd Edition. Duxbury.

2. Hogg, R., Mc Kean, and Craig, A. 2005. Introduction to

Mathematical Statistics, 6th Edition. Prentice Hall.

3. Pustaka lain yang relevan.

37

Catatan Kuliah

Bisa di-download di

kusmansadik.wordpress.com

38

Terima Kasih