bab 6 ring (gelanggang) - fadlibae.files.wordpress.com · bahan ajar struktur aljabar, by fadli 91...

23
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI 90 BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan penjelasan mengenai sifat-sifat dasar Ring, mahasiswa minimal 80% dapat : a. Menjelaskan definisi dari Ring b. Menjelaskan definisi Ring Komutatif c. Menjelaskan definisi Ring dengan unsur kesatuan d. Mengidentifikasi suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yang berupa Ring maupun tidak e. Menjelaskan definisi dari Integral Domain f. Mengidentifikasi suatu Ring apakah merupakan Integral Domain (tanpa pembagi nol) atau bukan Integral Domain (ada pembagi nol) g. Menjelaskan definisi dari Field h. Mengidentifikasi suatu Ring apakah merupakan Field Deskripsi Singkat : Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi dua operasi biner terhadap penjumlahan dan perkalian. Dalam bab ini akan dibahas sifat-sifat Ring, Integral Domain dan Field.

Upload: dokhuong

Post on 02-Mar-2019

262 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

90

BAB 6

RING (GELANGGANG)

Tujuan Instruksional Umum :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan

mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field

Tujuan Instruksional Khusus :

Setelah diberikan penjelasan mengenai sifat-sifat dasar Ring, mahasiswa minimal

80% dapat :

a. Menjelaskan definisi dari Ring

b. Menjelaskan definisi Ring Komutatif

c. Menjelaskan definisi Ring dengan unsur kesatuan

d. Mengidentifikasi suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yang berupa

Ring maupun tidak

e. Menjelaskan definisi dari Integral Domain

f. Mengidentifikasi suatu Ring apakah merupakan Integral Domain (tanpa pembagi

nol) atau bukan Integral Domain (ada pembagi nol)

g. Menjelaskan definisi dari Field

h. Mengidentifikasi suatu Ring apakah merupakan Field

Deskripsi Singkat :

Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi dua operasi biner

terhadap penjumlahan dan perkalian. Dalam bab ini akan dibahas sifat-sifat Ring,

Integral Domain dan Field.

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

91

6.1. Sifat-sifat Ring

Pada bab terdahulu telah dibicarakan mengenai struktur aljabar

yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan satu operasi biner

yaitu terhadap penjumlahan (aditif) atau terhadap perkalian (multifikatif)

yang disebut Grup.

Misalkan kita pandang suatu bilangan bulat Z sebagai suatu Grup

(Z, +) dan himpunan bilangan bulat yang tidak sama dengan nol Z’

sebagai monoid (Z’, .), tetapi kedua struktur tersebut mengabaikan relasi

antara penjumlahan (+) dan perkalian (.), misalkan kita ketahui bahwa

perkalian tersebut distributif terhadap penjumlahan. Pada bagian ini akan

dibahas mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak

kosong dengan dua operasi biner yaitu terhadap penjumlahan dan

perkalian, struktur aljabar ini disebut dengan Ring (Gelanggang). Untuk

lebih jelasnya dalam definisi berikut :

Definisi 6.1 :

Suatu ring (R,+,.) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi

biner penjumlahan (+) dan perkalian (.) pada R yang memenuhi aksioma-

aksioma berikut :

1. Tertutup terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a dan b adalah anggota R,

maka a dan b tertutup bila a + b ∈R

2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a, b, c ∈ R

maka (a + b) + c = a + (b + c)

3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a ∈ R

maka a + e = e + a = a

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

92

4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a ∈ R

maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0

5. Komutatif terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a, b ∈ R

maka a + b = b + a

6. Tertutup terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a dan b adalah anggota R,

maka a dan b tertutup bila a . b ∈R

7. Assosiatif terhadap perkalian (.)

Misalkan a, b, c ∈ R

maka (a . b) . c = a . (b . c)

8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.)

Misalkan a ∈ R

maka a . e = e . a = a

9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a, b, c ∈ R

maka a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dan (a + b) . c = (a . c) + (b . c)

Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur

aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Ring

(Gelanggang) bila :

1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid

(Catatan : Beberapa penulis buku mengatakan bahwa di dalam suatu

Ring tidak perlu mempunyai identitas terhadap perkalian)

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

93

Sebagai catatan yang perlu diingat pada konsep Ring bahwa notasi

untuk kedua operasi tersebut boleh apa saja, misalkan (R,+,o) ataupun

(R,+,*) ataupun yang lainnya. Kita juga bebas menamakan mana yang

merupakan operasi yang pertama ataupun mana operasi yang kedua,

asalkan operasi biner tersebut memenuhi syarat-syarat suatu Ring.

Contoh 6.1 :

Tunjukan bahwa Z4 adalah merupakan suatu Ring.

Penyelesaian :

Tabel 6.1.

Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0

+ 0 1 2 3

. 0 1 2 3

0 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 1 2 3 0

1 0 1 2 3

2 2 3 0 1

2 0 2 0 2

3 3 0 1 2

3 0 3 2 1

Dari tabel 6.1. akan ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu

Ring bila memenuhi :

1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)

• Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Z4

misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4

1 + 0 = 1

1 + 1 = 2

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

94

1 + 2 = 3

1 + 3 = 0

karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4

• Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari Z6

misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4

(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2

a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2

Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = 2

maka Z4 assosiatif

• Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari Z4

o misalkan 0 ∈ Z4

0 + e = e + 0 = 0

o misalkan 1 ∈ Z4

1 + e = e + 1 = 1

o misalkan 2 ∈ Z4

2 + e = e + 2 = 2

o misalkan 3 ∈ Z4

3 + e = e + 3 = 3

maka Z4 ada unsur satuan atau identitas

• Adanya unsur balikan atau invers

o Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 ∈ Z4, pilih 0 ∈ Z4,

sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0

o Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 ∈ Z4, pilih 3 ∈ Z4,

sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1 = 3

o Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 ∈ Z4, pilih 2 ∈ Z4,

sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1 = 2

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

95

o Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 ∈ Z4, pilih 1 ∈ Z4,

sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1 = 1

maka Z4 ada unsur balikan atau invers

• Komutatif

Ambil sebarang nilai dari Z4

misalkan a = 2, b = 3 ∈ Z4

(a + b) = (2 + 3) = 1

(b + a) = (3 + 2) = 1

Sehingga :

(a + b) = (b + a) = 1

maka Z4 komutatif

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap

penjumlahan (Z4, +).

2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)

• Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Z4

misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

1 . 2 = 2

1 . 3 = 3

karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4

• Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari Z4

misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4

(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2

a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2

Sehingga :

(a . b) . c = a . (b . c) = 2

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

96

maka Z4 assosiatif

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap

perkalian (Z4, .).

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Ambil sebarang nilai dari Z4

misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈Z4

a.(b + c) = 2.(1 + 3)

= 2.(0)

= 0

(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)

= 2 + 6

= 0

maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0

(a + b).c = (2 + 1).3

= (3).3

= 1

(a.c) + (b.c) =(2.3) + (1.3)

= 2 + 3

= 1

maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap

penjumlahan.

Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,

maka Z4 adalah suatu Ring (Z4,+,.).

Contoh 6.2 :

Misalkan R = {-1, 1}, (R,+,.) bukan merupakan suatu Ring karena tidak

tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Contoh 6.3 :

Misalkan R = {0, 1}, (R,+,.) bukan merupakan suatu Ring karena tidak

tertutup terhadap operasi penjumlahan, tetapi Z2 = {0, 1}, (Z2,+,.)

merupakan suatu Ring karena tertutup terhadap operasi penjumlahan dan

memenuhi sifat-sifat dari Ring.

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

91

Suatu Ring dikatakan komutatif/abelian bila pada operasi perkalian

(multifikatif) terpenuhi sifat komutatifnya. Secara singkat akan dijelaskan

syarat dari Ring Komutatif pada definisi berikut :

Definisi 6.2 :

Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu

Ring (Gelanggang) Komutatif (Abelian) bila :

1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid Komutatif

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Jadi, pada Ring Komutatif (R,.) yang merupakan suatu Semigrup/Monoid

harus memenuhi sifat-sifat komutatifnya, yaitu :

a . b = b . a, ∀ a,b ∈ R

Contoh 6.4 :

Dari contoh 6.1, tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring

Komutatif.

Penyelesaian :

Dari contoh 6.1, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu

Ring (Z4,+,.).

Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.

a . b = b . a, ∀ a,b ∈ Z4

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 ∈ Z4 (pada tabel 6.1.)

2 . 3 = 2

3 . 2 = 2

sehingga 2 . 3 = 3 . 2 = 2

Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring

(Z4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian.

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

92

Contoh 6.5 :

Misalkan P = {genap, ganjil} dan P ⊆ Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen

bilangan “genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif.

Penyelesaian :

Tabel 6.2.

Daftar Cayley (P, +) dan (P,.)

+ genap ganjil

. Genap ganjil

genap genap ganjil

genap Genap genap

ganjil ganjil genap

ganjil Genap ganjil

Dari tabel 6.2. akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan

suatu Ring Komutatif bila memenuhi :

1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)

• Tertutup

Ambil sebarang nilai dari P

misalkan genap, ganjil ∈ P

genap + genap = genap

genap + ganjil = ganjil

ganjil + ganjil = genap

karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P

• Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari P

misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P

(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil

a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil

Sehingga :

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

93

(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil

maka P assosiatif

• Adanya unsur satuan atau identitas

o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap∈ P,

sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap

o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih genap∈ P,

sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap

maka P ada unsur satuan atau identitas

• Adanya unsur balikan atau invers

• Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap∈ P,

sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1 = genap

• Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P,

sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1 = ganjil

maka P ada unsur balikan atau invers

• Komutatif

Ambil sebarang nilai dari P

misalkan a = genap, b = ganjil ∈P

(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil

Sehingga :

(a + b) = (b + a) = ganjil

maka P komutatif

Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap

penjumlahan (P, +).

2. Monoid terhadap perkalian (P,.)

• Tertutup

Ambil sebarang nilai dari P

misalkan genap dan ganjil ∈ P

genap . ganjil = genap

genap . genap = genap

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

94

ganjil . ganjil = ganjil

karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P

• Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari P

misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P

(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap

a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap

Sehingga :

(a . b) . c = a . (b . c) = genap

maka P assosiatif

• Adanya unsur satuan atau identitas

o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil∈ P,

sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil

o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil∈ P,

sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil

maka P ada unsur satuan atau identitas

• Komutatif

Ambil sebarang nilai dari P

misalkan a = genap, b = ganjil ∈P

(a . b) = (genap . ganjil) = genap

(b . a) = (ganjil . genap) = genap

Sehingga :

(a . b) = (b . a) = genap

maka P komutatif

Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif

terhadap perkalian (P, .).

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Ambil sebarang nilai dari P

misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈P

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

95

a.(b + c) = genap . (ganjil + genap)

= genap.(ganjil)

= genap

(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)

= genap + genap

= genap

maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap

(a + b).c = (genap + ganjil). genap

= (ganjil). genap

= genap

(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)

= genap + genap

= genap

maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap

Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap

penjumlahan.

Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,

maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+,.).

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

96

Gambar 6.1.

Bagan dari suatu Ring

Telah kita ketahui bahwa suatu Ring merupakan Grup Komutatif

terhadap penjumlahan. Balikan suatu unsur terhadap operasi penjumlahan

dinamakan lawan atau invers aditif yang dinyatakan dengan tanda (-).

Jadi yang dimaksud dengan –a adalah invers aditif dari a. Misalkan unsur

a ditambah invers aditif dari b, yaitu –b, maka ditulis a + (-b) atau a – b.

Teorema 6.1 :

Dalam suatu Ring berlaku sifat-sifat :

1. a.0 = 0.a = 0

2. a.(-b) = -(a.b) = (-a).b

3. -(-a) = a

SEMIGRUP

GRUP KOMUTATIF

MONOID

RING

∃ Identitas

Operasi Penjumlahan (+)

STRUKTUR ALJABAR

Operasi Perkalian (.)

Distributif

RING KOMUTATIF

Komutatif (.)

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

97

4. -(a + b) = (-a) + (-b)

5. a.(b – c) = a.b – a.c

6. (a – b).c = a.c – b.c

7. (-1).a = -a

8. (-a).(-b) = a.b

Bukti :

1. a.0 = 0.a = 0

a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0

Karena a.0 ∈ R dan R suatu Ring maka terdapat –(a.0) ∈R, sehingga :

a.0 = a.0 + a.0

a.0 – a.0 = a.0 + a.0 – a.0

0 = a.0

Jadi terbukti a.0 = 0

2. a.(-b) = -(a.b) = (-a).b

-(a.b) adalah balikan dari a.b

Akan ditunjukan a.(-b) adalah balikan dari ab

a.b + a.(-b) = a.(b + (-b)

= a.0 = 0

Jadi terbukti -(a.b) = a.(-b)

3. -(-a) = a

-(-a) + (-a) = 0

-(-a) + (-a) + a = 0 + a

-(-a) + (-a + a) = a

-(-a) + 0 = a

-(-a) = a

Jadi terbukti -(-a) = a

4. -(a + b) = (-a) + (-b)

(a + b) + (-(a + b)) = 0

(-b) +(a + b) + (-(a + b)) = (-b) + 0

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

98

a + ((-b) + b) + (-(a + b)) = (-b)

-(a + b) = (-a) + (-b)

Jadi terbukti -(a + b) = (-a) + (-b)

5. a.(b – c) = a.b – a.c

a.(b + (-c)) = a.b + a.(-c)

a.(b – c) = a.b – a.c

Jadi terbukti a.(b – c) = a.b – a.c

6. (a – b).c = a.c – b.c

(a + (-b)).c = a.c + (-b).c

(a – b).c = a.c – b.c

Jadi terbukti (a – b).c = a.c – b.c

7. (-1).a = -a

(-1).a = -1.(1.a)

= -(1.1).a

= -a(1.1)

= -a

Jadi terbukti (-1).a = -a

8. (-a).(-b) = a.b

(-a).(-b) = (-1).a.(-1).b

= (-1).(-1).a.b

= 1.a.b

= a.b

Jadi terbukti (-a).(-b) = a.b

6.2. Integral Domain (Daerah Integral)

Salah satu sifat yang banyak digunakan dari sistem bilangan-

bilangan yang telah kita kenal adalah bahwa bila ab =0, maka a = 0 atau

b = 0. Sifat tersebut menyatakan bahwa hukum kensel berlaku untuk

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

99

unsur-unsur (elemen-elemen) yang bukan unsur nol, karena bila ab = ac

dan a ≠ 0, maka a(b – c) = 0 dan diperoleh b = c.

Definisi 6.3 :

Bila (R,+,.) adalah suatu Ring Komutatif, suatu unsur bukan nol a ∈ R

disebut pembagi nol bila ada unsur yang bukan nol b ∈ R sedemikian

hingga a.b = 0

Dengan kata lain suatu unsur a ≠ 0 ∈ R disebut pembagi nol di R

bila a.b = 0 untuk suatu unsur b ≠ 0 ∈ R

Definisi 6.4 :

Suatu Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut Integral

Domain (Daerah Intergral).

Untuk lebih jelas mengenai syarat-syarat dari Integral Domain

adalah sebagai berikut :

Definisi 6.5 :

Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu

Integral Domain (Daerah Integral) bila :

1. Tertutup terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a dan b adalah anggota R,

maka a dan b tertutup bila a + b ∈R

2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a,b,c ∈ R

maka (a + b) + c = a + (b + c)

3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a ∈ R

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

100

maka a + e = e + a = a

4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a ∈ R

maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0

5. Komutatif terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a,b ∈ R

maka a + b = b + a

6. Tertutup terhadap perkalian (.)

Misalkan a dan b adalah anggota R,

maka a dan b tertutup bila a . b ∈R

7. Assosiatif terhadap perkalian (.)

Misalkan a,b,c ∈ R

maka (a.b).c = a.(b.c)

8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (.)

Misalkan a ∈ R

maka a.e = e.a = a

9. Komutatif terhadap perkalian (.)

Misalkan a,b ∈ R

maka a . b = b . a

10. Tidak ada pembagi nol

Misalkan a,b ∈ R

Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0

11. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+)

Misalkan a,b,c ∈ R

maka a.(b +c) = (a.b) + (a.c) dan (a + b).c = (a.c) + (b.c)

Contoh 6.6 :

Dari soal 6.5, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan

ditunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain.

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

101

Penyelesaian :

Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif

Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai

pembagi nol, dengan kata lain:

a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0

Misalkan :

X = {…,-3, -1, 1, 3, ...} adalah himpunan bilangan ganjil dan

Y = {…, -4, -2, 0, 2, 4,…} adalah himpunan bilangan genap.

Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada

unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol.

Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan

Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, ∀ a,b ∈ P.

Contoh 6.7 :

Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a ≠ 0, serta

b,c ∈ R.Tunjukan bahwa b = c.

Penyelesaian :

ab = ac, maka:

ab – ac = 0

a(b – c) = 0

Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan

a ≠ 0, maka :

b – c = 0

Jadi b = c

Contoh 6.8 :

Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain.

Penyelesaian :

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

102

Tabel 6.3.

Daftar Cayley (Z4, .)

. 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Dari tabel 6.3, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol,

dimana diperolah [2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel

seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] ≠ [3].

Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral

Domain karena memiliki pembagi nol yaitu [2].

6.3. Field (Lapangan)

Pada umumnya di dalam suatu Ring, penjumlahan, pengurangan

dan perkalian terhadap unsur suatu Ring akan diperoleh hasil, tetapi untuk

pembagian tidak selalu diperoleh hasil. Di dalam Integral Domain, unsur-

unsurnya dapat dikensel tetapi tidak selalu diperoleh hasil bila dibagi

dengan unsur yang bukan nol. Misalkan, bila a,b ∈ Z, maka 3a =3b

menghasilkan a = b, tetapi tidak setiap unsur Z dapat dibagi 3.

Ada suatu sistem bilangan-bilangan yang selalu diperoleh hasil bila

dibagi unsur yang bukan nol, yang disebut Field (Lapangan).

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

103

Definisi 6.6 :

Field adalah suatu Ring yang unsur-unsur bukan nolnya membentuk Grup

Komutatif/Abelian terhadap perkalian. Dengan kata lain suatu Field adalah

Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan/invers terhadap perkalian.

Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur

aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Field bila :

1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

2. (R-0,.) merupakan suatu Grup Komutatif

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Jadi untuk menunjukan bahwa suatu Ring adalah Field harus kita

buktikan Ring itu komutatif dan mempunyai unsur balikan atau invers

terhadap perkalian. Atau kita tunjukan R merupakan suatu Grup Komutatif

terhadap penjumlahan dan perkalian serta distributif perkalian terhadap

penjumlahan.

Contoh 6.9 :

Dari soal 6.5, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan

ditunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.

Penyelesaian :

Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif

Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan

atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain:

∀ a ∈P, ∃ a-1∈ P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = e

Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil

• Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,

sehingga genap.ganjil = genap ≠ e

• Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,

sehingga genap.genap = genap ≠ e

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

104

maka P tidak ada unsur balikan atau invers

Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan

merupakan Field.

Dari contoh 6.9, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil}

dimana P ⊆ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral

Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan).

6.4. Rangkuman

1. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu

Ring (Gelanggang) bila :

• (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

• (R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid

• Distributif perkalian terhadap penjumlahan

2. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu

Ring (Gelanggang) Komutatif bila :

• (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

• (R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif

• Distributif perkalian terhadap penjumlahan

3. Bila (R,+,.) adalah suatu Ring Komutatif, suatu unsur bukan nol a ∈ R

disebut pembagi nol bila ada unsur yang bukan nol b ∈ R sedemikian

hingga a.b = 0

4. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu

Integral Domain (Daerah Integral) bila :

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

105

• (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

• (R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif

• Tidak ada pembagi nol

• Distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu

Field (Lapangan) bila :

• (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

• (R-0,.) merupakan suatu Grup Komutatif

• Distributif perkalian terhadap penjumlahan

6.5. Soal-soal Latihan

1. Tunjukan bahwa bilangan bulat (Z,+,.) adalah merupakan suatu Ring

Komutatif, dengan penjumlahan dan perkalian pada kelas-kelas

kongruensi modulo n yang didefinisikan oleh [x] + [y] = [x + y] dan

[x].[y] = [x.y].

2. Misalkan (R,+,.) didefinisikan operasi ⊕ dan ⊗ pada R sebagai berikut:

a ⊕ b = a + b + 1 dan a ⊗ b = ab + a + b.

Tunjukan apakah merupakan suatu Ring Komutatif.

3. Tunjukan bahwa ( ( )2Q ,+,.) adalah Ring Komutatif dengan

( )2Q = { ( )2ba + | a,b ∈ Q}.

4. Buatlah tabel penjumlahan dan perkalian untuk (Z5,+,.). Tunjukan

apakah merupakan suatu Ring Komutatif.

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

106

5. Tunjukan pada soal no 1, apakah merupakan :

a. Integral Domain

b. Field

6. Tunjukan pada soal no 2, apakah merupakan :

a. Integral Domain

b. Field

7. Tunjukan pada soal no 3, apakah merupakan :

a. Integral Domain

b. Field

8. Tunjukan pada soal no 4, apakah merupakan :

a. Integral Domain

b. Field

♠♣♥♣♠