PUSAT MASSA & MOMENTUM LINIER

• Pusat Massa

• Hukum Newton II Sistem Partikel

• Momentum Linier

• Momentum Linier Sistem Partikel

• Tumbukan & Impuls

• Hukum Kekekalan Momentum Linier

Gerak bola yang dilemparkan di udara membentuklintasan parabola.

Gerak tongkat/kunci inggris yang dilemparkan diudara membentuk lintasan rumit.

Setiap bagian dari tongkat/kunci bergerak berbeda.

Pusat Massa

Benda seperti tongkat/kunci inggris tidak dapatdianggap sebagai partikel (benda titik), tetapisebagai sistem mekanik.

Sistem mekanik dapat berupa sekumpulan atomdalam suatu wadah atau benda kontinu.

Tongkat memiliki satu titik khusus yangmembentuk lintasan parabola pusat massa

Pusat massa sistem partikel adalah titik yangbergerak seolah-olah semua massa sistemterpusat di titik tersebut dan semua gayaeksternal bekerja padanya.

Pusat massa sistem partikel digunakan untukmenganalisis gerak sistem.

Posisi pusat massa sistem sebagai posisi rata-ratamassa sistem.

Contoh: pusat massa sistem (center of mass/com) darisepasang partikel.

denganM = massa total sistemJika titik pusat koordinat sumbu-x bersesuaiandengan posisi m1, maka:

Pusat massa terletak di suatu tempat pada garis yangmenghubungkan kedua partikel dan lebih dekat kepartikel yang bermassa lebih besar.

Konsep pusat massa dapat diperluas untuk sistemyang tersusun oleh banyak partikel dalam 3-dimensi.

dengan M = massa total sistem

Atau dalam bentuk vektor:Pusat massa dituliskan:

Contoh soal 1:

Molekul air tersusun dari atom oksigen dan dua atomHidrogen. Atom oksigen memiliki massa 16 u(u = satuan massa atom) dan atom hidrogen 1 u. Jarakrata-rata atom hidrogen terhadap atom oksigen adalah96,0 pm dan satu sama lain terpisah membentuk sudut104,5o. Carilah pusat massa molekul air!

Pusat massa benda padat (distribusi massakontinu)

Benda, seperti pemukul baseball:- tersusun dari banyak partikel (atom)- distribusi massa kontinyu dengan rapat massa

uniform- “partikel” menjadi elemen massa dm.- penjumlahan menjadi integral- koordinat pusat massa dituliskan sebagai:

Contoh soal 2:

Tentukan pusat massa batang bermassaM, seperti

tampak pada gambar!

Pusat massa benda tak beraturan

- Gantungkan benda pada salah satu titik (gambar a), diperoleh garis vertikal AB,

- Gantungkan pada titik yang lain, diperoleh garis CD),

- Pusat massa terletak pada setengah ketebalan benda di bawah titik potong garis AB dan CD.

Pusat massa benda berlubang

Lubang diasumsikan memiliki massa negatif.

Hukum Newton II sistem partikel

Bagaimanakah suatu gaya eksternal dapat menggerak-kan pusat massa sistem partikel (contoh gerakbeberapa bola billiar)?

Setiap bola bergerak berbeda arah, maka yangditinjau adalah gerak pusat massa susunan bola.

Percepatan pusat massa searah dengan gaya eksternal total.

Persamaan di atas merupakan hukum Newton II untukgerak pusat massa sistem partikel yang berlaku juga untuk benda kontinu.

Contoh soal 3:

Tiga partikel berada pada keadaan awal diam. Setiap

partikel mendapatkan gaya eksternal dari benda di

luar sistem tiga partikel tersebut, seperti tampak

pada gambar. F1 = 5,0 N, F2 = 10 N, dan F3 = 15 N.

Berapakah percepatan pusat massa sistem dan

kemanakah arah geraknya?

Momentum LinierMomentum linier didefinisikan sebagai perkalian

massa dan kecepatan.

(kg.m/s2)

Benda yang bergerak dengan arah sembarangakan memiliki 3 komponen momentum.

Hk. Newton II dapat dinyatakan dengan relasi

momentum linier dan gaya resultan:

“Laju perubahan momentum partikel terhadap waktu

sama dengan gaya total yang bekerja pada partikel”

Jika gaya total yang bekerja pada benda adalah nol, maka turunan momentum terhadap waktu samadengan nol momentum konstan.

p = mv = konstan

Momentum linier total sistem partikel sama dengan

Penjumlahan momentum linier masing-masing partikel

Dengan kata lain momentum linier total sistem partikel

adalah partikel tunggal bermassaM yang bergerak

dengan kecepatan vcom

Hk Newton II gerak sistem partikel dinyatakan dalam

momentum:

Jika tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada sistem(resultan gaya = 0), maka momentum linier total sistempartikel konstan.

Contoh: Peluruhan inti dapat dipandang berdasarkan konsepkekekalan momentum

Atom yang tidak stabil dan dalam keadaan diam tiba-tiba terbelah menjadi MA danMB dengan kecepatanvA dan vB. Momentum awal sistem nol, makamomentum total setelah atom terbelah juga nol.

Contoh soal 4:

Inti thorium-227 (massa 227 u) dalam keadaan diam

meluruh menjadi radium-223 (massa 223 u) dengan

mengemisikan partikel (massa 4,00 u). Energi

kinetik partikel adalah 6,00 MeV. Berapa energi

kinetik radium?

• Tumbukan dan Impuls

Momentum setiap benda (partikel) tidak dapatberubah kecuali jika diberikan resultan gaya eksternalyang merubahnya.

Contoh: tumbukan bola mengenai pemukul,peluru yang mengenai sasaran.

Bola mendapatkan gaya F(t) yang berubah setiap saatselama tumbukan dan merubah momentum linierbola .

Berdasarkan hk. Newton II:

Perubahan momentum bola dalam interval waktu dt:

Suku sebelah kiri persamaan adalah perubahanmomentum dan suku sebelah kanan disebut impulsyang mengukur besar dan lama gaya tumbukan.

Dengan demikian, perubahan momentum benda samadengan impuls pada benda.

Jika fungsi gaya diketahui, kita dapat memplotkan gaya terhadap waktu dan menentukan implus dengan cara menghitung luas di bawah antara kurva dan sumbu t.

Pada keadaan fungsi gaya terhadap waktu tidakdiketahui, impuls dapat ditentukan dengan merata-ratakan gaya selama tumbukan

Contoh soal 5:

Bola (1,2 kg) jatuh vertikal membentur lantai dengan

kecepatan 25 m/s. Bola memantul kembali dengan

kecepatan 10 m/s.

a. Berapa impuls yang bekerja pada bola selama terjadi kontak 0,02 s dengan lantai?

b. Berapa gaya rata-rata yang bekerja pada lantai oleh bola?

Untuk tumbukan yang berurutan seperti peluru yangkeluar dari senapan berurutan mengenai target, gayamerupakan gaya rata-rata yang mengenai targetselama tumbukan beruntun.

Masing-masing peluru identik dengan massa m danmomentum bergerak sepanjang sumbu-x danmenumbuk target.

Jika terdapat n peluru yang menumbuk selama intervalwaktu t, maka perubahan momentum bola adalahn p dan menghasilkan impuls pada target selama t.

Besar impuls sama dengan perubahan momentum, namun berlawanan arah.

Gaya rata-rata yang bekerja pada target:

Pada keadaan: peluru berhenti diam dalam target,

peluru terpantul dengan kecepatan sama dengan kecepatan awal,

Dalam interval waktu t, sejumlah massa m = nmmenumbuk target:

Kekekalan Momentum Linier

Jika resultan gaya eksternal yang bekerja padasistem partikel sama dengan nol (sistem terisolasi)dan tidak ada partikel yang keluar atau masuk kesistem (sistem tertutup), maka:

Hk. Kekekalan momentum linier

atau

“momentum linier total pada keadaan awal (saat t =0) sama dengan momentum linier total padakeadaan akhir (setelah t tertentu)”

Contoh soal 6:

Sebuah kapal yang berada dalam keadaan diam terletak

di pusat koordinat-xy , tiba-tiba meledak menjadi tiga

bagian. Setelah ledakan, satu bagian memiliki massa m

bergerak dengan kecepatan (-30 m/s)i, bagian kedua

memiliki massa m bergerak dengan kecepatan (-30 m/s)j.

Berapa kecepatan gerak bagian ketiga yang memiliki

massa 3m? Kemana arahnya?

Keadaan dua benda yang bertumbukan (dapat juga tumbukan antara atom/ion) dalam waktu yang singkat dan tidak ada gaya ekternal yang bekerja pada sistem, maka momentum liniernya konstan.

Bagaimanakah dengan energi kinetik sistem?

Momentum dan Energi Kinetik dalam Tumbukan

Ada dua keadaan dapat terjadi:

energi kinetik awal = energi kinetik akhir

menghasilkan tumbukan elastik

Contoh : tumbukan bola billiard

tumbukan molekul air dengan dindingwadah

Energi kinetik awal energi kinetik akhir

menghasilkan tumbukan inelastik,

Jika setelah tumbukan kedua benda menempeldikatakan tumbukan inelastik sempurna

Tumbukan inelastik

Momentum total

sebelum tumbukan = setelah tumbukan

Tumbukan inelastik sempurna

benda setelah tumbukan saling menempel

Contoh soal 7:

Peluru bermassa 8 g ditembakkan ke balok pendulum

balistik yang bermassa 4,5 kg dan diam di dalam balok.

Balok+peluru berayun ke atas, sehingga pusat massa

pendulum bergeser ke atas sejauh 7,5 cm.

Berapakah kecepatan awal peluru ?

Tumbukan elastik

Tumbukan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari merupakan tumbukan inelastik.Beberapa diantaranya (seperti bola yang dipantulkan di atas lantai) dapat diaproksimasi menjadi tumbukan elastik, yaitu energi kinetik total benda yangbertumbukan kekal.Bila keadaan awal salah satu benda diam, maka:

Momentum linier:

Energi kinetik:

Kecepatan akhir kedua benda adalah:

Jika massa m1 = m2

m2 >> m1

m1 >> m2

Untuk dua benda dengan keadaan awal bergerakMomentum linier:

Energi kinetik:

Kecepatan akhir kedua benda adalah:

Contoh soal 8:

Neutron dengan massa mn bergerak dengan kecepatan

awal vni bertumbukan elastik dengan inti karbon yang

diam (massa karbon mc). Carilah:

a. kecepatan akhir kedua partikel

b. fraksi energi kinetik awal neutron yang hilang!

Tumbukan dalam 2-Dimensi

Dua partikel yang bertumbukan dalam sistem

terisolasi, maka momentumnya konstan. Jika

tumbukan menghasilkan pergerakan dalam arah

sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z, maka momentum

dalam semua arah sumbu tersebut juga konstan.

Contoh tumbukan 2-dimensi dapat dilihat pada

permainan bola bilyar. Bola bergerak pada permukaan

2-dimensi.

Kekekalan momentum:

Andaikan partikel-1 dengan massa m1 menumbuk partikel-2 bermassa m2 yang diam, seperti tampak pada Gambar. Kekekalan momentum:

Jika tumbukan elastik:

Contoh soal 9:

Benda bermassa m1 bergerak dengan kecepatan 20 m/s menumbuk benda kedua yang diam bermassa m2. Setelah tumbukan benda-1 bergerak dengan kecepatan 15 m/s membentuk sudut 25o terhadap arah kecepatan awalnya. Ke arah manakah benda-2 bergerak?