enough ó - basyiralbanjari.files.wordpress.com · olimpiade mingguan ... vektor percepatan pusat...

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]

www.basyiralbanjari.wordpress.com

Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota

Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821

Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari

Hal | 1

“Failure is an option. If things are not failing, you are not innovating

enough” (Kegagalan adalah suatu pilihan. Jika hal-hal (yang anda lakukan) tidak mengalami kegagalan, artinya

anda tidak cukup melakukan inovasi)

Elon Musk

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 2

Olimpiade Mingguan

Minggu ke-2 Periode 14-21 Maret 2018

Sebelum memulai jangan lupa berdoa dulu ya menurut agama dan keyakinannya

masing-masing , bagi yang muslim baca doa mau belajar ya

ب س الر الله م م ح ن

الر ح ي م

مال يع ن

د ز

ب ر

ل سو ر او ي ب

دن م

ب مح

او ن ي د م

ل س

ب ال

او ب ر االله ب

ت

ي ض

ر

ما ه يف ن

قز ر و

“Dengan menyebut nama Allah yang maha pengasih lagi maha penyayang, kami ridho

Allah SWT sebagai tuhanku, islam sebagai Agamaku, dan Nabi Muhammad sebagai Nabi

dan Rasul, Ya Allah, tambahkanlah kepadaku ilmu dan berikanlah aku pengertian yang

baik ”

Number 1

Suatu silinder bermassa 𝑚 dan jari-jari 𝑅 berada di atas permukaan kasar suatu bidang

miring yang tidak dapat bergerak dengan sudut kemiringan 𝜃. Koefisien gesek antara

silinder dan bidang miring sangat besar sehingga silinder tidak dapat slip terhadap

bidang miring. Kemudian suatu batang tegar bermassa 𝑀 = 3𝑚 sepanjang 𝐿 = 5𝑅

diletakkan di atas bidang miring dan bersentuhan dengan silinder. Ujung bawah batang

ini di pasang pada poros licin yang menempel di permukaan bidang miring. Koefisien

gesek antara batang dan silinder adalah 𝜇. Asumsikan pusat massa batang berada di

antara poros licin dan titik sentuh batang dengan silinder.

Jika sudut yang dibentuk antara batang tegar dan bidang miring adalah 𝜙, tentukanlah :

a. Percepatan pusat massa silinder sebagai fungsi 𝜙!

b. Percepatan sudut batang terhadap poros licin sebagai fungsi 𝜙!

c. Percepatan pm batang komponen sejajar bidang miring sebagai fungsi 𝜙!

d. Percepatan pm batang komponen tegak lurus bidang miring sebagai fungsi 𝜙!

e. Vektor percepatan pusat massa batang!

𝐿

𝑅 𝑚

𝑀 𝜙

𝜃

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 3

Keterangan : pm adalah pusat massa

Pembahasan :

a. Perhatikan gambar di bawah ini!

Tinjau gerak rotasi batang terhadap poros licin. Gaya dari poros tidak perlu kita

pertimbangkan di sini karena lengan momennya nol. Misalkan percepatan sudut

papan adalah 𝛼. Karena silinder slip terhadap batang maka akan berlaku 𝑓1 = 𝜇𝑁1.

𝑀𝑔 cos(𝜙 − 𝜃)𝐿

2− 𝑁1𝑑 =

1

3𝑀𝐿2𝛼

3𝑚𝑔 cos(𝜙 − 𝜃)5𝑅

2− 𝑁1𝑑 =

1

3𝑀(5𝑅)2𝛼

15

2𝑚𝑔𝑅 cos(𝜙 − 𝜃) − 𝑁1𝑑 = 25𝑚𝑅2𝛼 … (1)

Sekarang tinjau gerak translasi dan rotasi silinder

Gerak translasi (arah sejajar bidang miring)

𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝑓2 − 𝑓1 cos 𝜙 + 𝑁1 sin 𝜙 = 𝑚𝑎

𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝑓2 + 𝑁1(sin 𝜙 − 𝜇 cos 𝜙) = 𝑚𝑎 … (2)

Gerak rotasi

Misalkan percepatan sudut silinder adalah 𝛽. Karena silinder menggelinding tanpa

slip di atas lantai akan berlaku 𝑎 = 𝑅𝛽.

(𝑓2 − 𝑓1)𝑅 =1

2𝑚𝑅2𝛽 ⟹ 𝑓2 = 𝜇𝑁1 +

1

2𝑚𝑎 … (3)

Sekarang perhatikan titik sentuh antara batang dan silinder. Titik ini tidak ikut

berotasi bersama silinder melainkan hanya ikut dipercepat pada arah sejajar bidang

miring sehingga akan berlaku

𝑎 = 𝛼𝑑 sin 𝜙 ⟹ 𝑑𝛼 =𝑎

sin 𝜙… (4)

Sekarang perhatikan bangun layang-layang yang dibentuk oleh batang dan silinder.

Dari sini akan kita dapatkan bahwa

tan𝜙

2=

𝑅

𝑑⟹ 𝑑 =

𝑅

tan𝜙2

… (5)

𝑑 𝛼

𝑀𝑔 𝜙

𝑁1

𝑓1

𝑠

𝛼𝑑 𝛼𝑑 cos 𝜙

𝜙 𝛼𝑑 sin 𝜙

𝑎

𝑚𝑔

𝑁1 𝑓1

𝑁2

𝑓2

𝛽

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 4

Subtitusi persamaan (5) ke (4) 𝑅

tan𝜙2

𝛼 =𝑎

sin 𝜙⟹ 𝑅𝛼 =

𝑎

sin 𝜙tan

𝜙

2… (6)

Subtitusi persamaan (6) dan (5) ke (1) 15

2𝑚𝑔𝑅 cos(𝜙 − 𝜃) − 𝑁1

𝑅

tan𝜙2

= 25𝑚𝑅𝑎

sin 𝜙tan

𝜙

2

𝑁1 =15

2𝑚𝑔 tan

𝜙

2cos(𝜙 − 𝜃) − 25𝑚𝑎 csc 𝜙 tan2

𝜙

2… (7)

Subtitusi persamaan (3) ke (2)

𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝜇𝑁1 −1

2𝑚𝑎 + 𝑁1(sin 𝜙 − 𝜇 cos 𝜙) = 𝑚𝑎

𝑚𝑔 sin 𝜃 + 𝑁1(sin 𝜙 − 𝜇(1 + cos 𝜙)) =3

2𝑚𝑎

𝑚𝑔 sin 𝜃 + [15

2𝑚𝑔 tan

𝜙

2cos(𝜙 − 𝜃) − 25𝑚𝑎 csc 𝜙 tan2

𝜙

2] (sin 𝜙 − 𝜇(1 + cos 𝜙))

=3

2𝑚𝑎

𝑔 [sin 𝜃 +15

2tan

𝜙

2cos(𝜙 − 𝜃) (sin 𝜙 − 𝜇(1 + cos 𝜙))]

= 𝑎 [3

2+ 25 csc 𝜙 tan2

𝜙

2(sin 𝜙 − 𝜇(1 + cos 𝜙))]

𝑎 =sin 𝜃 +

152 tan

𝜙2 cos(𝜙 − 𝜃) (sin 𝜙 − 𝜇(1 + cos 𝜙))

32 + 25 csc 𝜙 tan2 𝜙

2 (sin 𝜙 − 𝜇(1 + cos 𝜙))𝑔

b. Subtitusi nilai 𝑎 ke persamaan (6)

𝑅𝛼 = [sin 𝜃 +

152 tan



2 (sin 𝜙 − 𝜇(1 + cos 𝜙))𝑔]

1

sin 𝜙tan

𝜙

2

𝛼 =sin 𝜃 +

152 tan



2 (sin 𝜙 − 𝜇(1 + cos 𝜙))

𝑔

𝑅 sin 𝜙tan

𝜙

2

c. Percepatan pusat massa batang sejajar bidang miring adalah

𝑎∥ =𝛼𝐿

2sin 𝜙 =

5

2𝛼𝑅 sin 𝜙

𝑎∥ =sin 𝜃 +

152 tan



2 (sin 𝜙 − 𝜇(1 + cos 𝜙))

5𝑔

2tan

𝜙

2

d. Percepatan pusat massa batang sejajar bidang miring adalah

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 5

𝑎⊥ =𝛼𝐿

2cos 𝜙 =

5

2𝛼𝑅 cos 𝜙

𝑎⊥ =sin 𝜃 +

152 tan



2 (sin 𝜙 − 𝜇(1 + cos 𝜙))

5𝑔

2cot 𝜙 tan

𝜙

2

e. Vektor percepatan pusat massa batang adalah

��B =𝛼𝐿

2sin(𝜙 − 𝜃) 𝑖 −

𝛼𝐿

2cos(𝜙 − 𝜃) 𝑗

��B =5

2𝛼𝑅 sin(𝜙 − 𝜃) 𝑖 −

5

2𝛼𝑅 cos(𝜙 − 𝜃) 𝑗

Dengan 𝛼 adalah percepatan sudut batang seperti jawaban pada bagian b.

Number 2

Diberikan suatu sistem balok-katrol seperti gambar di bawah ini.

Masing-masing katrol bermassa 𝑚0 dan memiliki jari-jari 𝑅. Setiap katrol tidak dapat slip

terhadap tali. Di ujung kiri sistem diletakkan beban yang bermassa 𝑚 dan diujung kanan

sistem diletakkan balok beban bermassa 𝑀. Pada sistem terdapat sejumlah balok

bermassa 𝑚 (𝑀 > 4𝑚). Arah percepatan gravitasi 𝑔 adalah ke bawah. Jika terdapat

𝑁 buah balok 𝑚, tentukanlah :

a. Jumlah katrol yang terdapat pada sistem!

Untuk kondisi pertama, asumsikan lantai licin. Tentukanlah :

b. Percepatan sistem!

c. Jika percepatan sistem sama dengan sepertiga percepatan gravitasi, tentukan massa

𝑀 dinyatakan dalam 𝑚 dan 𝑚0!

Untuk kondisi kedua, asumsikan lantai kasar dengan koefisien gesek kinetik 𝜇.

Tentukanlah :

d. Percepatan sistem!

e. Sama seperti sebelumnya, jika percepatan sistem sama dengan sepertiga percepatan

gravitasi, tentukan massa 𝑀 dinyatakan dalam 𝑚 dan 𝑚0!

Selanjutnya, beban di ujung kanan sistem diganti dengan kotak berisi air yang massa

totalnya adalah 𝑀. Setelah selang waktu 𝑇 air habis dan massa beban yang tersisa adalah

𝑚 𝑚 𝑚 𝑚

𝑀 𝑚

𝑚0

𝑚0

𝑚0 𝑚0

𝑚0

𝑚0 𝑚0

𝑚0

𝑚0 𝑚0

𝑚0 𝑚0

𝑚0

𝑚0

…

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 6

𝑀/4. Abaikan kecepatan air ketika keluar dari kotak. Jika pada awalnya sistem diam,

tentukanlah :

f. Kecepatan sistem sebagai fungsi waktu saat air belum habis untuk kondisi pertama!

g. Kecepatan sistem tepat ketika air habis untuk kondisi pertama!

h. Kecepatan sistem sebagai fungsi waktu saat air belum habis untuk kondisi kedua!

i. Kecepatan sistem tepat ketika air habis untuk kondisi kedua!

Pembahasan :

a. Untuk mengerjakan soal ini, sebaiknya kita cari pola yang mempermudah kita, bukan

malah meninjau setiap bagian sistem. Baik, kita tinjau sebagian sistem seperti gambar

di bawah ini.

Kita tinjau fraksi sistem yang terdiri dari 4 katrol dan sebuah balok. Kita hitung balok

paling kiri sebagai balok 1 dan kita sebut fraksi sistem yang di dalamnya terdapat

balok 1 ini sebagai fraksi sistem 1. Untuk fraksi sistem yang terdapat balok 2 di

dalamnya kita namakan fraksi sistem 2 dan seterusnya. Setiap katrol pada fraksi

sistem kita beri nama dengan huruf romawi dengan urutan seperti gambar di atas.

Karena ada 𝑁 fraksi sistem, maka jumlah katrol dalam sistem adalah 3𝑁 + 1 buah

katrol.

b. Selanjutnya karena tali tidak slip terhadap katrol maka akan berlaku 𝑎 = 𝑅𝛼. Kita

tinjau benda benda pada fraksi sistem 1 akan kita dapatkan

(𝑇𝐼,1 − 𝑇0)𝑅 =1

2𝑚0𝑅2 (

𝑎

𝑅) ⟹ 𝑇𝐼,1 − 𝑇0 =

1

2𝑚0𝑎

Sehingga dengan cara yang sama

𝑇𝐼𝐼,1 − 𝑇𝐼,1 =1

2𝑚0𝑎

𝑇𝐼𝐼𝐼,1 − 𝑇𝐼𝐼,1′ =

1

2𝑚0𝑎

𝑇𝐼,2 − 𝑇𝐼𝐼𝐼,1 =1

2𝑚0𝑎

Untuk balok 𝑚

𝑇𝐼𝐼,1′ − 𝑇𝐼𝐼,1 = 𝑚𝑎

Dengan menjumlahkan semua persamaan yang tadi kita dapatkan akan kita peroleh

𝑘𝐼𝐼𝐼,1

𝑚

𝑘𝐼𝐼,1

𝑘𝐼,1 𝑘𝐼𝑉,1

𝑚

𝑇0

𝛼

𝑇𝐼,1 𝑇𝐼𝐼𝐼,1

𝛼

𝑇𝐼,2

𝑇𝐼,1

𝛼 𝑇𝐼𝐼,1 𝑇𝐼𝐼,1′

𝛼

𝑇𝐼𝐼𝐼,1 𝑇𝐼𝐼,1 𝑇𝐼𝐼,1′

𝑎

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 7

𝑇𝐼,1 − 𝑇0 =12 𝑚0𝑎

𝑇𝐼𝐼,1 − 𝑇𝐼,1 =12 𝑚0𝑎

𝑇𝐼𝐼,1′ − 𝑇𝐼𝐼,1 = 𝑚𝑎

𝑇𝐼𝐼𝐼,1 − 𝑇𝐼𝐼,1′ =

12 𝑚0𝑎

𝑇𝐼𝐼𝐼,1 − 𝑇0 = (32 𝑚0 + 𝑚) 𝑎

+

𝑇𝐼𝐼𝐼,1 = 𝑇0 + (3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎

Maka untuk fraksi berikutnya akan kita peroleh

𝑇𝐼𝐼𝐼,2 = 𝑇𝐼𝐼𝐼,1 + (3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎 = 𝑇0 + 2 (

3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎

𝑇𝐼𝐼𝐼,3 = 𝑇𝐼𝐼𝐼,2 + (3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎 = 𝑇0 + 3 (

3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎

…

Sehingga pada fraksi ke 𝑁 akan kita dapatkan

𝑇𝐼𝐼𝐼,𝑁 = 𝑇0 + 𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎

Mengikuti pola yang ada

𝑇 = 𝑇𝐼𝐼𝐼,𝑁 +1

2𝑚0𝑎

𝑇 = 𝑇0 + [𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0] 𝑎

Tinjau beban 𝑚

𝑇0 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 ⟹ 𝑇0 = 𝑚𝑔 + 𝑚𝑎

Tinjau beban 𝑀

𝑀𝑔 − 𝑇 = 𝑀𝑎

𝑀𝑔 − 𝑇0 − [𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0] 𝑎 = 𝑀𝑎

𝑀𝑔 − 𝑚𝑔 − 𝑚𝑎 − [𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0] 𝑎 = 𝑀𝑎

(𝑀 − 𝑚)𝑔 = [𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0 + 𝑀 + 𝑚] 𝑎

𝑀 𝑚

𝑇𝐼𝐼𝐼,𝑁

𝛼

𝑇

𝑇0

𝑚𝑔

𝑇

𝑀𝑔

𝑎 𝑎

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 8

𝑎 =(𝑀 − 𝑚)𝑔

𝑁 (32 𝑚0 + 𝑚) +

12 𝑚0 + 𝑀 + 𝑚

c. Jika percepatan 𝑎 = 𝑔/3 maka

𝑔

3=

(𝑀 − 𝑚)𝑔

𝑁 (32 𝑚0 + 𝑚) +

12 𝑚0 + 𝑀 + 𝑚

𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0 + 𝑀 + 𝑚 = 3𝑀 − 3𝑚

2𝑀 = 𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0 + 4𝑚

𝑀 =𝑁

2(

3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

4𝑚0 + 2𝑚

d. Untuk kasus lantai kasar, kita hanya perlu mengubah persamaan gerak balok menjadi

Untuk balok 𝑚

𝑇𝐼𝐼,1′ − 𝑇𝐼𝐼,1 − 𝑓k = 𝑚𝑎

𝑇𝐼𝐼,1′ − 𝑇𝐼𝐼,1 = 𝜇𝑚𝑔 + 𝑚𝑎

Sehingga akan kita dapatkan dengan cara yang sama seperti bagian b yaitu

𝑇𝐼𝐼𝐼,1 = 𝑇0 + 𝜇𝑚𝑔 + (3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎

Pada fraksi sistem berikutnya

𝑇𝐼𝐼𝐼,2 = 𝑇𝐼𝐼𝐼,1 + 𝜇𝑚𝑔 + (3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎 = 𝑇0 + 2𝜇𝑚𝑔 + 2 (

3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎

𝑇𝐼𝐼𝐼,3 = 𝑇𝐼𝐼𝐼,2 + 𝜇𝑚𝑔 + (3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎 = 𝑇0 + 3𝜇𝑚𝑔 + 3 (

3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎

…

𝑇𝐼𝐼𝐼,𝑁 = 𝑇0 + 𝑁𝜇𝑚𝑔 + 𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) 𝑎

Mengikuti pola yang ada

𝑇 = 𝑇𝐼𝐼𝐼,𝑁 +1

2𝑚0𝑎

𝑇 = 𝑇0 + 𝑁𝜇𝑚𝑔 + [𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0] 𝑎

Tinjau beban 𝑚

𝑇0 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 ⟹ 𝑇0 = 𝑚𝑔 + 𝑚𝑎

Tinjau beban 𝑀

𝑀𝑔 − 𝑇 = 𝑀𝑎

𝑀𝑔 − 𝑇0 − 𝑁𝜇𝑚𝑔 − [𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0] 𝑎 = 𝑀𝑎

𝑀𝑔 − 𝑚𝑔 − 𝑚𝑎 − 𝑁𝜇𝑚𝑔 − [𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0] 𝑎 = 𝑀𝑎

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 9

(𝑀 − (1 + 𝜇𝑁)𝑚)𝑔 = [𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0 + 𝑀 + 𝑚] 𝑎

𝑎 =(𝑀 − (1 + 𝜇𝑁)𝑚)𝑔

𝑁 (32 𝑚0 + 𝑚) +

12 𝑚0 + 𝑀 + 𝑚

e. Jika 𝑎 = 𝑔/3 maka

𝑔

3=

(𝑀 − (1 + 𝜇𝑁)𝑚)𝑔

𝑁 (32 𝑚0 + 𝑚) +

12 𝑚0 + 𝑀 + 𝑚

𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0 + 𝑀 + 𝑚 = 3𝑀 − 3(1 + 𝜇𝑁)𝑚

2𝑀 = 𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0 + (4 + 3𝜇𝑁)𝑚

𝑀 =𝑁

2(

3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

4𝑚0 +

1

2(4 + 3𝜇𝑁)𝑚

f. Karena air habis dalam waktu 𝑇, berarti laju keluarnya massa air setiap waktunya

adalah 𝑑𝑚

𝑑𝑡=

3𝑀

4𝑇

Maka beban kanan sebagai fungsi waktu adalah

𝑀(𝑡) = 𝑀 −3𝑀

4𝑇𝑡

Dengan menggunakan hasil dari bagian b akan kita peroleh

𝑎 =(𝑀(𝑡) − 𝑚)𝑔

𝑁 (32 𝑚0 + 𝑚) +

12 𝑚0 + 𝑀(𝑡) + 𝑚

𝑎 =(𝑀 −

3𝑀4𝑇 𝑡 − 𝑚) 𝑔

𝑁 (32 𝑚0 + 𝑚) +

12 𝑚0 + 𝑀 −

3𝑀4𝑇 𝑡 + 𝑚

=(𝑀 −

3𝑀4𝑇 𝑡 − 𝑚) 𝑔

𝐴 −3𝑀4𝑇 𝑡

dengan 𝐴 = 𝑁 (3

2𝑚0 + 𝑚) +

1

2𝑚0 + 𝑀 + 𝑚

𝑎 =(𝑀 − 𝑚)𝑔


−

3𝑀4𝑇 𝑡𝑔


=4𝑇(𝑀 − 𝑚)𝑔

4𝑇𝐴 − 3𝑀𝑡−

3𝑀𝑔𝑡

4𝑇𝐴 − 3𝑀𝑡

𝑎 =4𝑇(𝑀 − 𝑚)𝑔

4𝑇𝐴 − 3𝑀𝑡+

−4𝑇𝐴 + 4𝑇𝐴 − 3𝑀𝑡

4𝑇𝐴 − 3𝑀𝑡𝑔 = 𝑔 [

4𝑇(𝑀 − 𝑚) − 4𝑇𝐴

4𝑇𝐴 − 3𝑀𝑡+ 1]

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑔 [

4𝑇(𝑀 − 𝑚) − 4𝑇𝐴

4𝑇𝐴 − 3𝑀𝑡+ 1]

∫ 𝑑𝑣𝑣(𝑡)

0

= 𝑔 [(4𝑇(𝑀 − 𝑚) − 4𝑇𝐴) ∫𝑑𝑡

4𝑇𝐴 − 3𝑀𝑡

𝑡

0

+ ∫ 𝑑𝑡𝑡

0

]

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 10

𝑣(𝑡) = 𝑔 [4𝑇𝐴 − 4𝑇(𝑀 − 𝑚)

3𝑀ln (1 −

3𝑀𝑡

4𝑇𝐴) + 𝑡]

g. Saat 𝑡 = 𝑇

𝑣(𝑇) = 𝑔 [4𝑇𝐴 − 4𝑇(𝑀 − 𝑚)

3𝑀ln (1 −

3𝑀

4𝐴) + 𝑇]

h. Dengan cara yang sama seperti bagian f akan kita peroleh

𝑣(𝑡) = 𝑔 [4𝑇𝐴 − 4𝑇(𝑀 − (1 + 𝜇𝑁)𝑚)

3𝑀ln (1 −

3𝑀𝑡

4𝑇𝐴) + 𝑡]

i. Pada saat 𝑡 = 𝑇

𝑣(𝑇) = 𝑔 [4𝑇𝐴 − 4𝑇(𝑀 − (1 + 𝜇𝑁)𝑚)

3𝑀ln (1 −

3𝑀

4𝐴) + 𝑇]

Number 3

Diberikan sistem balok katrol seperti gambar di bawah.

Pada kedua sistem tersebut, massa semua katrol dapat diabaikan dan anggap katrol licin.

Massa 𝑚1 = 𝑚, 𝑚2 = 2𝑚, 𝑚3 = 3𝑚, 𝑚4 = 4𝑚, … , 𝑚𝑁 = 𝑁𝑚.

Untuk sistem A tentukanlah :

a. Percepatan balok 𝑚1!

b. Percepatan balok 𝑚2!

c. Percepatan balok 𝑚3!

d. Percepatan balok 𝑚4!

𝑚1 𝑚2

𝑚3 𝑚4

𝑚1

𝑚2

𝑚3

𝑚4 …

Sistem A Sistem B

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 11

Untuk sistem B

e. Jika terdapat 𝑁 balok, tentukan percepatan balok 𝑚1!

f. Jika terdapat sangat banyak balok di sebelah kanan sistem (𝑁 → ∞), tentukan

percepatan balok 𝑚1!

Keterangan : untuk soal bagian e dan f, penulis tidak berhasil menemukan solusinya, jadi

di pembahasan hanya ada solusi bagian a sampai d. Silahkan bagi yang ingin mencoba

menemukan solusinya, penulis berharap semoga ada yang berhasil menemukannya agar

solusi soal ini bisa sempurna. Sekian dan terima kasih ...

Pembahasan :

a. Pertama kita tinjau sistem katrol sebelah kiri yang teradapat massa 𝑚1 dan 𝑚2 di

dalamnya. Misalkan percepatan kedua katrol ini terhadap katrol kiri adalah 𝑎L, maka

percepatan pusat massa sistem terhadap katrol kiri adalah (jadikan arah ke atas

sebagai arah positif)

𝑎pm,L =𝑚1𝑎L − 𝑚2𝑎L

𝑚1 + 𝑚2⟹ 𝑎pm,L = −

𝑚2 − 𝑚1

𝑚2 + 𝑚1𝑎L = −

1

3𝑎L

Dengan cara yang sama untuk sistem di sebelah kanan dan misalkan percepatan

massa 𝑚3 dan 𝑚4 relatif terhadap katrol kanan adalah 𝑎R, maka

𝑎pm,R =𝑚3𝑎R − 𝑚4𝑎R

𝑚3 + 𝑚4⟹ 𝑎pm,R = −

𝑚4 − 𝑚3

𝑚4 + 𝑚3𝑎R = −

1

7𝑎R

Sekarang misalkan percepatan katrol kiri dan kanan terhadap katrol tetap adalah 𝑎0.

Kita tinjau gerak sistem kiri dan kanan terhadap tanah.

Sistem kiri

𝑇0 − (𝑚1 + 𝑚2)𝑔 = (𝑚1 + 𝑚2)(𝑎0 + 𝑎pm,L)

𝑇0 − 3𝑚𝑔 = 3𝑚 (𝑎0 −1

3𝑎L) … (1)

Sistem kanan

(𝑚3 + 𝑚4)𝑔 − 𝑇 = (𝑚3 + 𝑚4)(𝑎0 + 𝑎pm,R)

7𝑚𝑔 − 𝑇0 = 7𝑚 (𝑎0 −1

7𝑎R) … (2)

Jumlahkan persamaan (1) dan (2) akan kita dapatkan

4𝑚𝑔 = 10𝑚𝑎0 − 𝑚(𝑎L + 𝑎R)

4𝑔 = 10𝑎0 − (𝑎L + 𝑎R) … (3)

Karena katrol tidak bermassa, tegangan tali pada tali kiri dan kanan yang melilit katrol

bergerak akan sama besarnya. Di sini juga berlaku 𝑇0 = 2𝑇. Tinjau gerakan masing-

masing massa terhadap tanah.

Balok 𝑚1

𝑇 − 𝑚1𝑔 = 𝑚1(𝑎0 + 𝑎L)

𝑇 − 𝑚𝑔 = 𝑚(𝑎0 + 𝑎L) … (4)

Balok 𝑚2

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 12

𝑚2𝑔 − 𝑇 = 𝑚2(−𝑎0 + 𝑎L)

2𝑚𝑔 − 𝑇 = 2𝑚(−𝑎0 + 𝑎L) … (5)

Balok 𝑚3

𝑇 − 𝑚3𝑔 = 𝑚3(−𝑎0 + 𝑎R)

𝑇 − 3𝑚𝑔 = 3𝑚(−𝑎0 + 𝑎R) … (6)

Balok 𝑚4

𝑚4𝑔 − 𝑇 = 𝑚4(𝑎0 + 𝑎R)

4𝑚𝑔 − 𝑇 = 4𝑚(𝑎0 + 𝑎R) … (7)

Dari penjumlahan persamaan (4) dan (5) serta (6) dan (7) akan kita peroleh

𝑚𝑔 = −𝑚𝑎0 + 3𝑚𝑎L ⟹ 𝑎L =1

3(𝑔 + 𝑎0) … (8)

𝑚𝑔 = 𝑚𝑎0 + 7𝑚𝑎R ⟹ 𝑎R =1

7(𝑔 − 𝑎0) … (9)

Subtitusi persamaan (8) dan (9) ke persamaan (3)

4𝑔 = 10𝑎0 − (1

3(𝑔 + 𝑎0) +

1

7(𝑔 − 𝑎0))

4𝑔 = 10𝑎0 −10

21𝑔 −

4

21𝑎0

94

21𝑔 =

206

21𝑎0 ⟹ 𝑎0 =

47

103𝑔

Subtitusi 𝑎0 ke persamaan (8) dan (9)

𝑎L =1

3(𝑔 +

47

103𝑔) ⟹ 𝑎L =

50

103𝑔

𝑎R =1

7(𝑔 −

47

103𝑔) ⟹ 𝑎R =

8

103𝑔

Tadi kita sudah mendapat nilai atau besar dari 𝑎0, 𝑎L, dan 𝑎R. Berikutnya kita jadikan

arah atas sebagai arah positif dan arah bawah sebagai arah negatif sehingga nanti, jika

nilai percepatan balok terhadap adalah negatif, berarti arahnya ke bawah dan jika

positif, berarti arahnya ke atas.

Percepatan balok 𝑚1 terhadap tanah adalah

𝑎1 = 𝑎0 + 𝑎𝐿

𝑎1 =47

103𝑔 +

50

103𝑔 ⟹ 𝑎1 =

97

103𝑔

b. Percepatan balok 𝑚2 terhadap tanah adalah

𝑎2 = 𝑎0 − 𝑎𝐿

𝑎2 =47

103𝑔 −

50

103𝑔 ⟹ 𝑎2 = −

3

103𝑔 (arahnya ke bawah)

c. Percepatan balok 𝑚3 terhadap tanah adalah

𝑎3 = −𝑎0 + 𝑎𝑅

Basyir Al Banjari

0896-5985-6821

mechtermlighlisfism

DC3BCE5B

[email protected]





Hal | 13

𝑎3 = −47

103𝑔 +

8

103𝑔 ⟹ 𝑎3 = −

39


d. Percepatan balok 𝑚4 terhadap tanah adalah

𝑎4 = −𝑎0 − 𝑎𝑅

𝑎3 = −47

103𝑔 −

8

103𝑔 ⟹ 𝑎3 = −

55


Kalau udah selesai jangan lupa doa lagi ya, bagi yang muslim baca

ين م

ال ع

ال

ب ر ه

ل ل

د م

حل ا

“Segal puji bagi Allah SWT, Tuhan alam semesta”

enough ó - basyiralbanjari.files.wordpress.com · olimpiade mingguan ... vektor percepatan pusat...

Documents