psm 1 bab i

Bahan Ajar Pengantar Statistika Matematika 1

DR. WARDONODR. WARDONODR. WARDONODR. WARDONO, M.Si, M.Si, M.Si, M.Si 1

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Gedung H lt 4 Kampus, Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229

Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website:

www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]

FORMULIR

FORMAT BAHAN AJAR No. Dokumen FM-02-AKD-07

No. Revisi 01

Hal

1 dari 1

Tanggal Terbit 1 September 2012

BAHAN BAHAN BAHAN BAHAN AJARAJARAJARAJAR

MMMMKKKK : : : : PENGANTAR STATISTIKA MAPENGANTAR STATISTIKA MAPENGANTAR STATISTIKA MAPENGANTAR STATISTIKA MATEMATIKA 1TEMATIKA 1TEMATIKA 1TEMATIKA 1

(PSM1)

SEMESTER : GENAP 2013/2014

DOSEN PENGAMPU:

DR. WARDONO, M.Si

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MIPA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2014

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �


KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG (UNNES) Kantor: Gedung H lt 4 Kampus, Sekaran, Gunungpati, Semarang 50229

Rektor: (024)8508081 Fax (024)8508082, Purek I: (024) 8508001 Website:

www.unnes.ac.id - E-mail: [email protected]

FORMULIR

VERIFIKASI BAHAN AJAR No. Dokumen FM-02-AKD-07

No. Revisi 01

Hal

1 dari 1

Tanggal Terbit 1 September 2012

VERIFIKASI BAHAN AJAR

Pada hari ini ......... tanggal ..... bulan ................... tahun ......... Bahan Ajar Mata Kuliah

Pengantar Statistika Matematika 1 Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas MIPA telah

diverifikasi oleh Ketua Jurusan/ Ketua Program Studi Matematika

Semarang, .................................

Ketua Jurusan/ Ketua Prodi ......

..........................

NIP

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL COVER .............................................................................1

VERIFIKASI BAHAN AJAR..............................................................................2

DAFTAR ISI ........................................................................................................3

Bab I Probabilitas ……………………………………………..........................4

Bab II Peubah Acak dan Distribusi Peluang ……………………....................19

Bab III Ekspektasi Matematika ............................ ……………………………...31

Bab IV Model Distribusi Peluang Diskret………………………….……………42

Bab V Model Distribusi Peluang Kontinu...........................................................54

Bab VI. Fungsi Peubah Acak ................................................................................81

Bab VII Distribusi Peubah Acak dan Penerapannya ..........................................113

DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................157

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


BAB I

PROBABILITAS

1.1 Pendahuluan

Tugas statistika baru dianggap selesai jika kita berhasil mempertangung jawabkan

tentang sifat atau karakteristik populasi. Untuk membuat kesimpulan tentang populasi ini,

umumnya penelitian secara sampling dilakukan. Jadi sampel yang representative diambil dari

populasi lalu datanya dikumpulkan dan dianalisis. Atas dasar analisis ini dan berbagai

pertimbangan yang perlu, dibuat kesimpulan bagaimana karakteristik populasi tersebut. Jelas

bahwa kesimpulan yang dibuat, kebenaranya tidak pasti, sehingga timbul persoalan

bagaimana keyakinan kita untuk mempercayai kebenaran kesimpulan yang dibuat, yakinkah

100% bahwa kesimpulan yang dibuat itu benar, atau ragu-raugkah untuk mempercayainya?

Untuk itu diperlukan teori yang disebut peluang, yang antara lain membahas tentang ukuran

atau derajat ketidak pastian suatu peristiwa .

1.2 Ruang Sampel Dalam setiap sisi kehidupan, setiap orang melakukan suatu tindakan atau usaha untuk

mendapatkan suatu hal yang diharapkan. Tindakan ini dilakukan dengan melakukan suatu

percobaan. Dari percobaan yang dilakukan, terdapat berbagai kemungkinan hasil yang bisa

diperoleh. Bentuk kemungkinan kejadian yang dapat terjadi dari hasil percobaan yang

dilakukan disebut sebagai titik sampel. Apabila dibentuk suatu koleksi atau himpunan dari

titik sampel, maka himpunan tersebut dinamakan ruang sampel.

Definisi 1.1 Percobaan

a. Suatu bentuk usaha atau tindakan atau kegiatan pengamatan disebut sebagai percobaan

b. Kemungkinan dari hasil percobaan disebut sebagai titik sampel

c. Himpunan dari titik sampel disebut sebagai ruang sampel

Contoh 1.1:

Jika sekeping mata uang logam dilambungkan dan kita beri nama sisinya dengan muka (M)

sedang sisi yang lain kita beri nama bealakang (B). Tentukan :

a. Jenis percobaan

b. Titik sampel

c. Ruang sampel

Solusi:

a. Dalam kasus ini, jenis percobaan adalah usaha/tindakan mengetos sekeping uang logam.

b. Kemungkinan dari hasil percobaan ini adalah, munculnya muka (M) atau belakang (B)

sehingga titik sampel adalah M dan B.

c. Sedangkan apabila keseluruhan titik sampel ini dikumpulkan dalam suatu himpunan,

misal dengan nama S, maka himpunan S ini dinamakan ruang sampel. Jadi ruang

samplelnya adalah S={M,B}.

Contoh 1.2

Jika sebuah dadu dan sebuah koin dilambungkan, maka tentukan

a. Titik sampel

b. Ruang sampel

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


Solusi:

a. Untuk membentuk titik sampel, berikut dibuatkan tabel sebagai berikut:

1 2 3 4 5 6

M M1 M2 M3 M4 M5 M6

B B1 B2 B3 B4 B5 B6

b. Maka ruang sampelnya adalah S = {M1, M2, M3, M4, M5, M6, B1, B2, B3, B4, B5, B6}

Contoh 1.3:

Tentukan ruang sampel dari percobaan yang terdiri dari lantunan sebuah mata uang logam

kemudian lantunan keduanya kalinya, jika muncul muka, jika belakangan yang muncul pada

lantunan pertama, maka sebuah dadu ditos sekali!

Solusi:

Untuk menjawab pesoalan ini, sebaiknya memakai diagram pohon sebagai berikut:

Dari diagram tersebut diperoleh ruang sampel S = {MM, MB, B1, B2, B3, B4, B5, B6)

Contoh 1.4:

Tiga barang dipilih secara acak dari suatu pabrik. Tiap barang diperiksa dan digolongkan

sebagai “cacat” C, atau “tidak cacat” T. Tentukan ruang sampelnya.

Solusi:

Untuk menjawab persoalan ini juga sebaiknya memakai diagram pohon sebagai berikut:

Jadi, ruang sampelnya adalah S={ }TTTTTCTCTTCCCTTCTCCCTCCC ,,,,,,,

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


1.3 Kejadian Dalam suatu percobaan, kita mungkin ingin mengetahui kejadian tertentu dan bukan hasil

unsur tertentu dalam ruang sampel. Misalnya, ingin mengetahui mengenai kejadian A bahwa

hasil lantunan satu dadu sekali adalah bilangan genap. Ini akan terjadi, jika hasilnya

merupakan unsur himpunan bagian, yaitu A = { 2, 4, 6 } dari ruang sampel S = { 1, 2, 3, 4,

5, 6 }

Definisi 1.2 Kejadian

Himpunan dari suatu pengamatan tertentu pada ruang sampel disebut kejadian dan

kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

1.4 Komplemen Dari Kejadian

Definisi 1.3 Komplemen

Komplemen suatu kejadian A dari ruang sampel S adalah himpunan semua usur S yang

tidak termasuk A. Kompplemen A dinyatakan dengan lambang A’ atau A0.

Contoh 1.5 :

Misalnya B adalah kejadian bahwa suatu kartu merah terambil dari sekotak kartu Bridge

yang berisi 52 kartu, dan bahwa S menyatakan seluruh kartu. Maka B’ adalah kejadian

bahwa kartu yang terambil bukan bewarna merah, tetapi hitam.

1.5. Irisan Dua Kejadian

Definisi 1.4

Irisan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan A∩B, ialah kejadian yang unsurnya

termasuk A dan B.

Contoh 1.6:

Dua buah dadu ditos, A adalah kejadian bahwa dua mata dadu yang muncul berjumlah 7,

sedangkan B adalah kejadian bahwa dua mata dadu yang muncul hasil kalinya 12. Maka A=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4,4,3,2,5,5,2,1,6,6,1 , sedangkan B= ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4,4,3,2,6,6,2 . Sehingga, A∩B =

( ) ( ){ }3,4,4,3

Jika A dan B tidak mempunyai irisan, maka kejadian A dan B disebut kejadian saling

meniadakan.

Contoh 1.7:

Pada pengetosan dua dadu di atas, jika C adalah kejadian bahwa yang muncul mata dadu

berjumlah 5 dan D adalah kejadian yang muncul mata dadu berjumlah 3, maka C=

( ) ( ) ( ) ( ){ }2,3,3,2,1,4,4,1 dan D= ( ) ( ){ }1,2,2,1 disini terlihat bahwa C∩D={ }. Jadi kejadian C dan

kejadian D adalah saling meniadakan.

Definisi 1.5

Gabungan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan lambang A∪B, adalah kejadian yang

mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya.

Contoh 1.8:

A= { }cba ,, , dan B={ }fedc ,,, ,maka A∪B= { }fedcba ,,,,, .

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


1.6 Menghitung Titik Sampel

Definisi 1.6 Kaidah Perkalian

Jika ada m cara yang berbeda dan ada pristiwa lain terjadi dengan n cara yang berbeda,

maka kedua pristiwa ini dapat terjadi dengan (m x n) cara.

Contoh 1.9:

Amir akan pergi dari Selong ke Pringgabaya lewat Korleko. Dari Selong ke Korleko

terdapat tiga jalur, sedangkan dari Korleko ke Pringgabaya ada dua jalur. Berapakah banyak

rute berbeda yang dapat ditempuh Amir dari Selong ke Pringgabaya ?

Solusi:

Untuk menjawab persoalan ini dibuatlah diagram sebagai berikut:

Kemudian dibuat diagram pohon sbb:

Sehingga diperoleh 6 rute yang dapat ditempuh oleh Amir dari Selong ke Pringgabaya.

Berdasarkan analisis tersebut, ada 3 cara yang berbeda dari S ke K, dan ada 2 cara yang

berbeda dari K ke P, maka aka diperoleh 3x2 = 6 cara yang berbeda dari S ke P.

Definisi 1.7 Prinsip penjumlahan

Jika ada m peristiwa yang berbeda atau n peristiwa yang berbeda, maka kedua peristiwa

itu dapat terjadi dengan m + n cara yang berbeda.

Contoh 1.10:

Selain lewat Korleko, rute dari Selong ke Pringgabaya juga dapat melalui Wanasaba, maka

Amir pergi dari Selong ke Pringgabaya bisa lewat Korleko atau lewat Wanasaba. Jika dari

Selong ke Wanasaba ada 2 rute dan dari Wanasaba ke Pringgabaya ada 2 rute juga, maka

berapa banyaknya jalan yang berbeda yang dapat ditempuh Amir dari Selong ke

Pringgabaya lewat Korleko atau lewat Wanasaba?

Solusi:

Persoalan di atas diselesekan dengan prisip penjumlahan, yaitu dengan diagram sebagai

berikut :

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


Dari diagram tersebut diperoleh hasil sebagai berikut:

Dari Selong ke Pringgabaya lewat Korleko terdapat 6 jalan yang berbeda atau dari Selong ke

Pringgabaya lewat Wanasaba terdapat 4 jalan yang berbeda. Jadi, banyaknya jalan (rute)

yang dapat ditempuh Amir dari Selong ke Pringgabaya lewat Korleko atau lewat Wanasaba

ada : 6 + 4 = 10 rute.

1.7 Pengisian Tempat Tersedia (Filling Slots)

Contoh 1.11:

Dari angka-angka 2,3,4,5 akan dibuat bilangan-bilangan yang terdiri atas tiga angka yang

berbeda. Tentukan berapa banyaknya bilangan yang terjadi !

Solusi:

Untuk menjawab persoalan ini digunakan prinsip pengisian tempat kosong. Pertama kali

dibuat diagram pohon sebagai berikut:

Dari diagram pohon tersebut terdapat 24 bilangan. Untuk mempersingkat pekerjaan, maka

penyelesaian dapat dibuat dengan cara buat kotak sebagai berikut:

Ada 4 pilihan Ada 3 pilihan Ada 2 pilihan

Jika dikalikan, maka akan diperoleh 4 x 3 x 2 = 24 bilangan yang terjadi

1.8 Faktorial

Definisi 1.8

n! adalah perkalian bilangan asli dari 1 sampai dengan n

n! = 1 x 2 x 3 x …. x (n-2) x (n-1) x n = n x (n-1) x (n-2) x …. x 3 x 2 x 1

dan 0! didefinisikan sebagai 1

4

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


Contoh 1.12:

a. 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

b. !4

!6 =

1234

123456

xxx

xxxxx= 6 x 5 = 30

1.9 Permutasi

Definisi 1.9

Permutasi adalah susunan obyek-obyek dengan memperhatikan letak susunannya.

Contoh 1.13 :

Dari huruf A, B, C akan disusun menjadi tiga susunan yang berbeda. Maka susunan yang

terjadi adalah:

Jadi, banyaknya susunan yang terjadi ada 6 susunan

Teorema 1.1

Banyaknya permutasi dari suatu himpunan unsur-unsur yang berlainan diambil seluruhnya

pengambilan tanpa pengembalian = n!

Bukti:

Bukti dalil ini diperoleh dari prinsip pengisian tempat tersedia (filling slots) dan prinsip

perkalian. Untuk keperluan ini diperlukan n kolom, karena banyak unsur ada n buah. Kolom

ke- 1 diisi n, kolom ke- 2 diisi (n-1), kolom k- 3 diisi (n-2), dan seterusnya sampai kolom

ke- n diisi dengan 1. sehingga dengan menggunakan prinsip perkalian diperoleh n x (n-1) x

(n-2) x …x 3 x 2 x 1 = n!

Banyaknya permutasi dari n unsur yang berbeda diambil seluruhnya bersama-sama

pengambilan tanpa pengembalian disimbolkan dengan nn P = (n)n = n!

Sekarang akan dibahas permutasi dari n unsur yang berlainan, tetapi tidak diambil

seluruhnya, atau dengan kata lain diambil sebagian saja pengambilan tanpa pengembalian.

Contoh 1.14:

Ada beberapa cara memilih 3 buah kaset dari 7 kaset yang berbeda, kemudian disusun pada

sebuah tempat kaset.

Solusi:

Misalkan kase-kasetnya A, B, C, D, E, F, dan G

Pengambilan kaset ke-1 terdapat 7 cara,

Pengambilan kaset ke-2 terdapat 6 cara,

Pengambilan kaset ke-3 terdapat 5 cara;

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


Sehingga banyaknya cara mengambil 3 kaset tersebut terdapat 7 x 6 x 5 = 210 cara. Dan

hasil yang diperoleh ini dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Ternyata 210 = 7x6x5 = 1234

1234567

xxx

xxxxxx=

!4

!7=

)!34(

!7

−

Hasil akhir tersebut dapat ditulis dengan ( )37 atau 7 p 3 . Jadi, (7) 3 = 7 P 3 = 7 x 6 x 5 = 210

Definisi 1.10:

Suatu susunan yang terdiri dari n unsur yang diambil dari suatu himpunan yang terdiri dari

n unsur (r≤ n) disebut suatu permutasi dari n unsur yang diambil dari r unsur setiap waktu.

Banyaknya permutasi semacam ini ditimbulkan dengan n P r dimana (r≤ n ).

Teorema 1.2

Banyaknya permutasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n unsur yang berbeda diambil

r unsur setiap waktu tanpa pengembalian atau diambil r unsur tanpa ulangan adalah:

n Pr=

)!(

!

rn

n

−

Bukti:

Bukti dalil ini juga menggunakan prinsip perkalian dan pengisian tempat tersedia, yaitu:

N (n-1) (n-2) … n-(r-2) n-(r-1)

Pengisian kotak pertama terdapat n cara

Pengisian kotak kedua terhadat (n-1) cara

Pengisian kotak ketiga terdapat (n-2) cara

.

.

.

Pengisian kotak terakhir (ke-r) terdapat (n-(r-1)) cara

Jadi terdapat sebanyak n x (n-1) x (n-2) x …x (n-(r-2)) x (n-(r-1))

Dikalikan dengan ( )( ) '!

!

rn

rn

−

− diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 123...1

123... 112...21

xxxxrnxrnrn

xxxxrnxrnxrnxrnxxnxnnx

−−−

−−−+−+−−−=Ρ

rn Ρ =

( ) '!

!

rn

n

−

Contoh 1.15:

Tentukan banyaknya nomor kendaraan yang terdiri dari empat angka berlainan, disusun dari

angka-angka 1,2,3,4,5,6.

Solusi:

Banyaknya nomor kendaraan tersebut adalah

46 Ρ = ( ) '!46

!6

− =

!2

!6 =

!2

!23456 xxxx = 6x5x4x3 = 360

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


1.10. Permutasi jika ada beberapa elemen yang sama

Teorema 1.3:

Jika suatu kumpulan yang terdiri dari n unsur terdapat unsur-unsur yang sama, misalkan

: n1 unsur jenis ke-1

n 2 unsur jenis ke-2

n 3 unsur jenis ke-3

.

.

.

n x unsur jenis ke-k,

maka banyaknya permutasi dari n unsur seluruhnya menjadi = ,!...!!!

!

2321 nnnn

n

++++

dimana nnnnn k =++++ ...321

Bukti :

Jadi semua unsurnya berbeda, maka banyaknya permutasi seluruhnya ada n!

Oleh karena terdapat unsur-unsur yang sejenis, yaitu :

Unsur-unsur jenis ke-1 yang banyaknya n 1 , pemutasinya n 1 !

Unsur-unsur jenis ke-2 yang banyaknya n 2 , pemutasinya n 2 !

Unsur-unsur jenis ke-k yang banyaknya nk, pemutasinya n

k!

Sehingga, banyaknya permutasi adalah !...!!!

!

321 knnnn

n

++++

Contoh 1.16:

Tentukan banyaknya susunan huruf-huruf yang dapat disusun dari kata MATEMATIKA.

Solusi:

Semua terdapat 10 huruf

Huruf M sebanyak 2 buah

Huruf A sebanyak 3 buah

Huruf T sebanyak 2 buah

Jadi, banyaknya susunan huruf = 1512005678910!2!3!2

!345678910

!2!3!2

!10=== xxxxx

xxxxxxx

1.11Permutasi Siklis

Definisi 1.11

Permutasi siklis adalah permutasi dengan susunan melingkar

Contoh 1.17:

Sebuah Toko sepatu akan memajang tiga buah sepatu merek A, B, C sebagai etalase dengan

susunan melingkar. Berapa banyaknya susunan yang dapat dibentuk ?

Solusi:

Untuk menjawab persoalan di atas, maka perlu gambar sebagai berikut:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


Jadi, terdapat susunan = 2!

Teorema 1.4

Banyaknya permutasi dari n unsur yang berbeda diambil seluruhnya dan disusun secara

melingkar adalah (n-1)! Cara

Bukti :

Ambil salah satu unsur sebagai pangkal, maka (n-1) unsur sisa akan mengadakan permutasi

penuh yang banyaknya (n-1)!. Jadi, banyaknya permutasi seluruhnya = (n-1)!

1.12 Kombinasi

Definisi 1.12

Kombinasi adalah susunan obyek yang tidak memperhatikan urutan susunanya

Jika huruf-huruf A, B, C dikombinasikan, maka akan diperoleh ABC, BCA, CAB

Teorema 1.5

Banyaknya kombinasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n unsur yang berbeda,

diambil r unsur yang berbeda adalah ( ) !!.

!

rrn

nK rn

−=

1.13 Peluang Suatu Kejadian

Definisi 1.13

Peluang kejadian A ditulis P(A) adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A.

Jadi, P(Q)=0, dan P(S)=1

Contoh 1.18:

Sebuah mata uang dilantunkan dua kali. Berapakah peluangnya bahwa paling sedikit muncul

gambar sekali ?

Solusi :

Ruang sampel untuk pecobaan ini adalah S={ },,,, GGGAAGAA dimana A = kejadian muncul

maka angka, dan G = kejadian muncul maka gambar. Jika mata uang tersebut setakup, maka

tiap hasil mepunyai kemungkinan muncul yang sama. Kerena itu tiap titik sampel diberi

bobot b, sehingga 4b = 1 atau b = ¼. Jika A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu

gambar muncul, maka

A = { }GAAGGG ,, . Jadi, P(A) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


Teorema 1.6

Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan

jika tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A

adalah : P(A) = N

n

Contoh 1.19:

Pada pengetosan dua buah dadu tentukan peluang muncul mata dadu berjumlah 10.

Solusi :

N = 36. misalnya, A kejadian muncul mata dadu berjumlah 10, maka A = ( ) ( ) ( ){ }5,5,4,6,6,4

disini didapat n = 3. Sehingga, P(A) = 12

1

36

3==

N

n. Jadi peluang muncul mata dadu

berjumlah 10 adalah 1/12.

1.14 Peluang Aturan Pejumlahan

Teorema 1.7

JIka A dan B dua kejadian sembarang, maka P ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBA ∩−+=∪

Bukti :

Diperoleh :

P ( )BA ∪ =P(A terjadi tetapi B tidak) + P(B terjadi tetapi A tidak) + P(A∩B)…..….…(1)

P(A)=P(A terjadi tetapi B tidak) + P(A∩B)....……………………………...……..…….(2)

P(B)=P(B terjadi tetapi A tidak + P(A ∩ B) .…………..............................................(3)

(2) dan (3) disubtitusikan ke (1), maka diperoleh :

P ( )BA ∪ = P(A) - P(A ∩ B) + P(B) - P(A ∩ B) + P(A ∩ B)

P ( )BA ∪ = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Akibat 1.1 :

Jika A dan B dua kejadian saling terpisah, maka P ( )BA ∪ =P(A) + P(B).

Akibat 1.2

Akibat 2 : Jika A 1 , Az, A

3…. A

z saling terpisah, maka

A B

S

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


P(A1,A2,A3,. . . . An)=P(A1) + P(A2) + P(A2) + . . . + P(An)

Contoh 1.20:

Tentukan peluang mendapatkan jumlah 7 atau hasil kali 12, jika dua dadu dilantunkan sekali ?

Solusi:

Misalnya, A kejadian memproleh jumlah mata dadu 7, maka P(A)=36

6, dan B adalah kejadian

memperoleh hasil kali dadu 12, maka P(B)=36

4, sedangkan P(A∩B ) =

36

2 Sehingga

P( A∪ B ) = 36

8

36

2

36

4

36

6=−+

Contoh 1.21:

Berapakah mendapatkan jumlah 7 atau 11 jika dadu dilantunkan?

Solusi:

Misal C = kejadian jumlah 7 muncul, maka P(C ) = 36

6, dan

D = kejadian jumlah 11 muncul, maka P(D) = 36

2, dan karena C∩D = ∅, maka kejadian C

dan D saling terpisah, sehingga P(C∪D) = 36

8

36

2

36

6=+

Teorema 1.8

Jika A dan A’ kejadian yang berkomplemen, maka P(A) + P(A’)=1

Bukti:

Karena A ∪ A’=S dan himpunan A saling terpisah dengan A’, maka

1=P(S)=P(A ∪ A’)=P(A) + P(A’). Jadi, P(A) = 1-P(A’).

Contoh 1.22:

Jjika tiga uang logam ditos sekali, tentukan berapakah peluang paling sedikit muncul satu

angka ?

Solusi:

N = 8. Misalnya A kejadian muncul paling sedikit satu angka, maka A’ adalah kejadian tidak

ada angka yang muncul, sehingga P(A’) = 8

1. Jadi P(A) = 1-

8

1=

8

7.

1.15 Peluang Bersyarat

Definisi 1.14

Peluang terjadinya suatu kejadiaan B, jika diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut

peluang bersyarat dan dinyatakan dengan

P(B/A) = ( )

)(AP

BAP ∩, jika P(A) > 0

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


Contoh 1.23:

Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang telah tamat SMU di kota selong.

Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut:

Jenis kelamin Bekerja Tak Bekerja

Lelaki 460 40

Wanita 140 260

Daerah ini akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak untuk

mempropagandakannya ke luar daerah. Akan diteliti kejadian:

M : lelaki yang terpilih

E : orang yang terpilih dalam status bekerja

Solusi:

P(E) = 3

2

900

600= dan P(E∩M ) =

45

23

900

460= .

Jadi, P(M / E) = 30

23

32

4523

=

Definisi 1.15

Kejadian A dan B bebas, jika dan hanya jika, P(A∩B) = P(A).P(B)

Contoh 1.24:

Sebuah dadu ditos sekali, berapakah peluangnya mendapat jumlah 7 dan 11 ?

Solusi:

Pada soal terdahulu sudah dihitung bahwa P(jumlah 7) = 6/36= 1/6 dan P(jumlah 11) = 2/36 =

1/18. Akibatnya diperoleh P(jumlah 7 dan jumlah 11 ) = 1/6 ⋅ 1/18 = 1/108

1.16 Aturan Bayes

Teorema 1.9

Misalkan {B1, B2, …., Bn} suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu sekatan ruang

sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1,2,…, n. misalkan A suatu kejadian sembarang dalam

S dengan P(A) ≠ 0, maka untuk k = 1,2,3,…,n.

P(Bk |A) = ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )∑∑==

=

∩

∩n

i

ii

kk

n

i

i

k

AIBPBP

AIBPBP

ABP

ABp

11

Contoh 1.25:

Akan dipilih tiga orang menjadi ketua HMJ. Peluang Agus terpilih menjadi ketua adalah 0.3,

peluang Dimas terpilih 0,5 sedangkan peluang Dilla terpilih adalah 0,2. jika Agus terpilih,

maka peluang terlaksananya program penghijauan adalah 0,8. sedangkan untuk Dimas dan

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


Dilla berturut-turut adalah 0,1 dan 0,4. berapakah peluang Dilla terpilih menjadi ketua, jika

ternyata bahwa sekarang pogram penghijauan telah terlaksana ?

Solusi:

Misal A = kejadian orang yang terpilih melaksanakan program penghijauan

B1 = kejadian Agus yang terpilih

B2 = kejadian Dimas yang terpilih

B3 = kejadian Dilla yang terpilih

Berdasarkan aturan Bayes:

P(B3|A) = ( ) ( ) ( )ABPABPABP

ABP

∩+++∩

∩

321

3 )(

P(B1|A) = P(B1).P(A|B1) = (0,3)(0,8) = 0,24

P(B2|A) = P(B2).P(A|B2) = (0,5)(0,1) = 0,05

P(B3|A) = P(B3).P(A|B3) = (0,2)(0,4) = 0,0

Jadi, P(B3|A) = 37

8

37,0

08,0

08,005,024,0

08,0==

++

1.17. Rangkuman

1. Himpunan semua kejadian yang mungkin dalam suatu percobaan disebut ruang sampel

2. Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian

3. Ruang nol atau ruang hampa adalah himpunan bagian ruang sampel yang tidak

mengandung unsur

4. Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A∩B, ialah kejadian yang unsurnya

termasuk dalam A dan B

5. Dua kejadian A dan B saling terpisah, jika A∩B = ∅

6. Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A∪B, ialah kejadian yang

mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya

7. Komplemen suatu kejadian A terhadap S adalah himpunan semua unsur yang tidak

termasuk A.

8. Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan untuk tiap cara ini operasi kedua

dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi ini dapat dikerjakan bersama-sama

dalam n1.n2 cara.

9. Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan untuk tiap cara ini operasi kedua

dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan untuk tiap cara ini operasi ketiga dapat dikerjakan

dengan n3 cara, dan seterusnya. Maka deretan k operasi itu dapat dikerjakan bersama-

sama dalam n1.n2.n3….nk

10. Suatu permuasi ialah susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang

diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutannya.

11. Banyaknya permutasi n obyek yang berlainan adalah n!

12. Banyak permutasi n benda berlainan jika dambil r benda sekaligus adalah;

nPr = ( )!

!

rn

n

−

13. Banyak permutasi n obyek berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


14. Banyak permutasi berlainan dari n obyek jika n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis

kedua,….nk berjenis ke k adalah !!.....!.

!

21 knnn

n

15. Kombinasi dari n obyek yang berbeda adalah susunan dari n obyek itu dengan tidak

memperhatikan urutannya

16. Banyaknya kombinasi N obyek yang berbeda jika diambil r obyek adalah:

17. nKr = ( ) !!.

!

rrn

n

−

18. Peluang suatu kejadian A adalah bobot semua titik sampel yang termasuk A.

19. Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemunkinan sama, dan

jika tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A

adalah: P(A) = N

n

20. Jika A dan B dua kejadian sembarang, maka P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

21. Jika A dan B dua kejadian yang terpisah, maka P(A∪B) = P(A) + P(B)

22. Jika A1, A2, A3,..., An kejadian-kejadian ang terpisah, maka:

23. P(A1∪A2∪A3∪…∪An ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + …. + P(An)

24. Jika A dan A’ kejadian yang saling berkomplemen, maka P(A) = 1-P(A’)

25. Peluang bersyarat B dengan diketahui A, dinyatakan dengan P(B|A) = ( )

( )AP

BAP ∩

26. Jika A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka P(A∩B) = P(A) P(B|A)

27. Kejadian A dan B bebas, jika dan hanya jika, P(A∩B) = P(A)P(B)

28. Aturan Bayes

Misalkan {B1,B2,….,Bn} suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu sekatan ruang

sampel S dengan P(B) ≠ 0 untuk i = 1,2,….,n. misalkan A suatu kejadian sembarang

dalam S dengan P(A) ≠ 0, maka untuk k = 1,2,3,….,n.

P(Bk|A) = ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )∑∑==

=

∩

∩n

i

ii

kk

n

i

k

K

AIBPBP

AIBPBP

ABP

ABP

11

1.18 Soal Latihan

1. Dari angka-angka 2,3,4,6,7, dan 9 akan disusun menjadi bilangan yang terdiri dari 3

angka yang berbeda.

a. Tentukan banyaknya bilangan yang terjadi

b. Tentukan banyaknya bilangan yang lebih dari 350

c. Tentukan banyaknya bilangan ganjil

2. Tiga gadis dan empat orang jejaka duduk berjajar. Tentukan cara mereka duduk, jika:

a. Duduknya sembarang

b. Gadis kumpul dengan gadis

c. Jejaka kumpul dengan jejaka

d. Gadis kumpul dengan gadis dan jejaka kumpul dengan jejaka

e. Tidak ada gadis duduk berdekatan dengan gadis

3. Pada suatu ujian disediakan 12 pertanyaan, setiap peserta ujian cukup memilih 10 soal.

Ali mengikuti ujian ini. Ada berapa cara dia mengerjakannya, jika:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! � � � " � � � � #


a. Tanpa syarat

b. Tiga soal yang pertama wajib dikerjakan

c. Dapat memilih 4 soal dari 5 soal yang pertama

d. Soal nomor 1,3,5, dan 10 wajib dikerjakan

4. Dua dadu dilantunkan sekali

a. Berapakah peluang mendapatkan peluang 5

b. Berapakah peluag paling banyak jumlahnya 4

5. Dalam permainan poker, suatu tangan bersisi lima kartu. Berapakah peluangnya

mengandung:

a. Dua as dan dua king

b. Lima klaper

6. Jika tiga buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi empat novel, tiga buku syair,

dan sebuah kamus, berapakah peluangnya bahwa:

a. Kamus terpilih

b. Dua novel dan sebuah uku syair yang terpilih

7. Kota Selong mempunyai dua mobil pemadam kebakaran ang bekerja saling bebas.

Peluang suatu mobil tertentu tersedia jika diperlukan adalah 0,99. berapakah:

a. Peluang keduanya tidak tersedia bila diperlukan

b. Peluang satu mobil tersedia bila diperlukan

8. Dari 100 siswa SMU 10 Selong yang diwisuda, 42 belajar Matematika, 68 belajar

Biologi, 54 belajar Sejarah, 22 belajar Matematika dan Sejarah, 25 belajar Matematika

dan Biologi, 7 belajar Sejarah dan tidak belajar Matematika maupun Biologi, 10 belajar

ketiga mata pelajaran tersebut, dan 8 tidak belajar satupun dari ketiga pelajaran tersebut.

Jika seorang siswa dipilih secara acak, hitunglah:

a. Peluang dia belajar sejarah dan biologi tapi tidak matematika

b. Peluang bahwa jika dia beljar sejarah, dia belajar ketiga mata pelajaran

c. Peluang dia hanya beljar matematika

9. Peluang seorang pemain bola basket memasukkan bola adalah 50%. Berapakah

peluangnya memasukan tiga dari empat tembakan bola

10. Misalkan bola berwarna terbagi dalam tiga kotak yang sama sebagai berikut:

Warna Kotak I Kotak II Kotak III

Merah 2 4 3

Putih 3 1 4

Hitam 5 5 3

Satu kotak dipilih secara acak dan dari dalamnya diambil sebuah bola secara acak dan

ternyata berwarna merah. Berapakah peluang kotak III yang terambil ?

psm 1 bab i

Documents