persamaan diferensial
DESCRIPTION
Persamaan Diferensial merupakan materi matakuliah matematikaTRANSCRIPT
1
BAB I
PENDAHULUAN
I. Sebuah hubungan antara dua perubah x dan y dan
turunan-turunan dari y ke x, yang berbentuk
f(x, y, 2
2
,dx
yd
dx
dy ,..... 0)
n
n
dx
yd
disebut persamaan diferensial antara perubah x dan y.
Jika turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan
diferensial itu adalah turunan ke-n, maka persamaan
diferensial disebut berordo n.
Jika persamaan diferensial itu bulat dan rasional dalam
turunan-turunan dari y ke x, maka tingkat tertinggi yang
terdapat dalam turunan tertinggi disebut derajat persamaan
diferensial.
Contoh :
1) xy (dy
dx)5 – 2xy2 (
dx
dy)6 + y2 (
dy
dx)3 – (
2
2
dx
yd)2 – 4x = 0
adalah persamaan diferensial ordo 2 derajat dua.
2) (3
3
dx
yd)4 – 2xy2 (
dx
dy)6 + x3
2
2
dx
yd = 0
adalah persamaan direfensial ordo tiga derajat empat.
Jika dalam suatu persamaan diferensal terdapat tiga
perubah x, y, z dan turunan-turunan parsial dari z ke x dan z
ke y, maka persamaan diferensial disebut persamaan
diferensial parsial.
F(x,y,z, 0,...),,,,2
2
2
2
2
dxdy
zd
dx
zd
dx
zd
dy
dz
dx
dz
2
Jika dalam suatu persamaan diferensial hanya terdapat dua
perubah � dan �, dan turunan-turunan dari � ke �, maka
persamaan diferensial disebut persamaan deferensial biasa.
II. Kesamaan Diferensial suatu berkas kurva
Jika C suatu parameter, maka persamaan
�(�, �, �) = 0 grafiknya berupa suatu berkas kurva.
Misalnya : 2
1) �� + �� – �� = 0 menyatakan berkas lingkaran
berpusat dititik asal 0.
2) �� – 2�� = 0 menyatakan berkas parabola yang
sumbu simetrinya adalah sumbu �.
Jika kedua rumus persamaan �(�, �, �) = 0
diturunkan ke �, didapat dx
dy
y
f
x
f.
= 0, yang pada
umumnya masih memuat parameter C.
Jika parameter C dihilangkan dari persamaan ini dan
persamaan �(�, �, �) = 0, maka persamaan hasil berbentuk
� ��, �,��
��� = 0, yang disebut persamaan diferensial berkas
kurva itu.
Ternyata bahwa suatu berkas kurva yang memuat satu
parameter C, persamaan diferensialnya berordo satu.
Contoh : Tentukan persamaan diferensial berkas parabola
�� = 2��, jika � suatu parameter.
Jawab : Jika kedua ruas persamaan �� = 2�� diturunkan ke
�, diperoleh 2���
��= 2�.
3
Jika parameter p dihilangkan, didapat y2 = 2xy dx
dy atau y =
2x dx
dy, yaitu persamaan diferensial yang diminta.
Diketahui berkas kurva f (x, y, c1, c2) = 0 dengan dua
buah parameter C1 dan C2.
Bagaimana cara menentukan persamaan diferensialnya ?
Jika kedua ruas diturunkan ke x, didapat = 0,
yang pada umumnya memuat parameter C1 dan C2.
Dengan menurunkan sekali lagi ke x, kita peroleh
.0.)(.22
2
2
22
2
2
y
yd
y
f
dx
dy
y
f
dx
dy
yx
f
x
f
Jika parameter C1 dan C2 dihilangkan dari ketiga persamaan
itu, maka persamaan hasil berbentuk F (x, y,
Ternyata bahwa suatu berkas kurva yang memuat
dua parameter C1 dan C2, persamaan diferensialnya berordo
dua.
Pada umumnya : suatu berkas kurva yang memuat n buah
parameter, persamaan diferensialnya berordo n.
Contoh :
Tentukan persamaan diferensial berkas parabola y2 = 2px + q,
jika p dan q adalah parameter.
Jawab : Jika kedua ruas y2 = 2px + q diturunkan ke x, didapat
2y dx
dy= 2p.
Jika diturunkan sekali lagi ke x, didapat 2 (2
22 2)
dx
ydy
dx
dy = 0.
dx
dy
y
f
x
f.
0),2
2
dx
yd
dx
dy
4
Karena persamaan terakhir ini tidak memuat p dan q maka jika
p dan q dihilangkan dari ketiga persamaan itu, persamaan
hasil adalah ( )2 + y = 2
2
dx
yd = 0, yaitu persamaan
diferensial yang diminta.
III. Penyelesaian suatu persamaan diferensial
Persamaan diferensial suatu berkas kurva dapat
diperoleh dengan menurunkan kedua ruas persamaan berkas
kurva itu, dan menghilangkan parameter.
Sebaliknya bila diketahui suatu persamaan diferensial, maka
dapat ditanyakan persamaan berkas kurva mula-mula, yang
disebut persamaan pokok. Persamaan pokok dapat diperoleh
dengan mengintegralkan persamaan diferensial yang
diketahui.
Menentukan persamaan pokok disebut menyelesaikan
persamaan diferensial. Dalam penyelesaian umum suatu
persamaan diferensial ordo n, terdapat n buah paramater.
Jika parameter – parameter itu diberi nilai tertentu, maka
diperoleh penyelesaian khusus (penyelesaian partikuler)
persamaan diferensial itu .
Contoh :
Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial x + y
dx
dy = 0.
Tentukan pula penyelesaian khusus, yang memenuhi syarat :
untuk x = 2 dx
dy = 1.
Jawab :
x + y dx
dy = 0 x dx + y dy = 0.
dx
dy
5
Jika kedua ruas diintegrasikan didapat x dx + y dy = C1 atau
½ x2 + ½ y2 = C1.
Penyelesaian umum : X2 + Y2 = C, yang menyatakan berkas
lingkaran berpusat di titik asal 0.
Jika dalam persamaan x + y dx
dy = 0 dimasukkan x = 2,
dx
dy =
1, maka y = -2.
Jika dalam persamaan x2 + y2 = C dimasukkan x = 2, y = -2,
maka C = 8.
Penyelesaian khusus : x2 + y2 = 8, yang menyatakan lingkaran
berpusat 0, berjari-jari 2V2.
BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDO SATU DERAJAT SATU
6
Dalam persamaan diferensial ordo satu derajat satu F (x, y,
dx
dy) = 0, setiap pasang nilai x dan y menentukan satu nilai
dx
dy.
Dalam geometri berarti bahwa persamaan itu pada setiap titik P (x, y)
pada bidang koordinat menentukan satu arah dx
dy.
Menyelesaikan persamaan diferensail itu berarti menentukan kurva
pada bidang koordinat yang gradien singgung disetiap titiknya
memenuhi persamaan yang diketahui.
Bentuk umum persamaan diferensial ordo satu derajat satu
ialah f (x, y) + (x, y) = 0 atau f (x, y) dy + (x, y) dx = 0.
Dalam beberapa kejadian khusus, persamaan ini mudah
diselesaikan.
I. Persamaan diferensial dengan peubah terpisah
Persamaan yang dapat diubah ke dalam bentuk f (x) dx +
(y) dy = 0, yaitu koefisien dx merupakan fungsi x saja dan
koefisien dy merupakan fungsi y saja, disebut persamaan
diferensial dengan perubah terpisah.
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan mengintegrasikan
kedua ruas, sehingga diperoleh f (x) dx + (y) dy = C.
Contoh 1
Selesaikan persamaan diferensial x (y2 – 1) dx – y (x2 -1) dy = 0
Jawab :
dx
dy
7
Persamaan diubah menjadi 11 22
y
ydx
x
x dy= 0
��
�� − 1�� − �
�
�� − 1�� = ��
1
2ln(�� − 1) −
1
2ln(�� − 1) =
1
2ln �
atau 1
12
2
y
x = C
Penyelesaian umum : x2 – 1 = C (y2 – 1)
Contoh 2
Selesaikan x dx
dy + (2x2 -1) cotg y = 0.
Jawab :
Persamaan diubah menjadi
x
x 12 2 dx + tg y dy = 0
� 2��� − ���
�+ �
sin �
cos ��� = 0
�� − ln � − ln cos � = ln �
ln ���= ln � + ln cos � + ln �
ln ���= ln(�� cos �)
Penyelesaian umum : ���= �� cos �
Soal-soal
Selesaikan persamaan diferensial
1. 21 y dx +
21 x dy = 0
2. (x2 – x) dy = (y2 + y) dx
8
3. 2xy (x + 1) dx
dy = y2 + 1
4. dx
dy + (1 – y2) tg x = 0
5. x (1 – x2) dx = (x2 – x + 1) y dx
II. Persamaan diferensial homogen
Persamaan berbentuk f(x
y) dx + (
x
y) dy = 0 disebut
persamaan diferensial homogen.
Persamaan itu dapat diselesaikan dengan substitusi u = x
y
atau y = ux, jadi dy = u dx + x du.
Persamaan menjadi f (u) dx + (u) . (udx + x du) = 0 atau [f(u)
+ u. (u)] dx + x . (u) du = 0 atau )(.)(
)(
uuuf
u
x
dx
du = 0, yaitu persamaan diferensial dengan persamaan
terpisah.
Contoh 3.
Selesaikan (x – u) dx + x du = 0
Jawab : Persamaan diubah menjadi (1 - x
u) dx + du = 0, yaitu
persamaan diferensial homogen.
Substitusi v = x
u atau u = vx . du = v dx + x dv
Persamaan menjadi :
(1 – v) dx + v dx + x dv = 0
9
dx + x dv = 0. x
dx + dv = 0
x
dx + dv = In C, In x + In ev = In C
xev = C . Penyelesaian umum x eu/x = C
Contoh 4
Selesaikan x dx
dy = y – x cos2
x
y
Jawab :
Persamaan diubah menjadi
x dy = (y – x cos2 x
y) dx
dy = (x
y - cos2
x
y) dx = 0
Substitusi u = x
y atau y = ux
Persamaan menjadi
u dx + x du = (u – cos2 u) dx = 0
x du + cos2 u dx = 0, x
dx+
u
du2cos
= 0
x
dx+
u
du2cos
= In C, In x + tg u + In C, In x + In e tg u = In
C, x e tg u = C.
Penyelesaian umum :
x e rg y/x = C.
10
SOAL-SOAL
Selesaikan persamaan diferensial
1. (2y e y/x – x) dx
dy + 2x + y = 0
2. (x2 – 2xy – y2) dx
dy = x2 + 2 xy – y2
3. x (x2 – 6 y2) dy = 4y (x2 + 3y2) dx
4. y – x dx
dy =
22 yx
5. (x + y)2 dx
dy = x2 – 2xy + 5y2
III. Persamaan Diferensial berbentuk
(ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0
Persamaan ini dapat dijadikan homogen, dengan substitusi
u = ax + by + c, v = px + qy + r
du = a dx + b dy, dv = p dx + q dy
Dengan aturan Cramer didapat
bpaq
dupdvady
bpaq
dvbduqdx
,
Persamaan menjadi :
u ( q du – b dv) + v (a dv – p du) = 0
(qu – pv) du + (av – bu) dv = 0
(q – p, u
v) du + (a.
u
v - b) dv = 0
yaitu persamaan diferensial homogen.
11
Contoh 5
Selesaikan persamaan diferensial dx
dy =
12
74
yx
yx
Jawab : Persamaan diubah menjadi
(4x – y + 7) dx – (2x + y – 1) dy = 0
Substitusi u = 4x – y + 7, v = 2x + y – 1
Maka du = 4 dx – dy, dv = 2 dx + dy
Jadi dx = 6
1 (du + dv), dy =
6
1 (4 dv – 2 du)
Persamaan menjadi
U (du + dv) – v(4 dv – 2 du) = atau (u + 2v) du + (u-4v) dv = 0
(1 + u
v2) dv = 0
Substitusi t = u
v atau v = tu, dv = t du + u dt
Persamaan menjadi
(1 + 2t) du + (1 – 4t) (t du + u dt) = 0
(1 + 3t – 4t2) du + u (1 – 4t) dt = 0
134
142
tt
t
u
du dt = 0,
15
3
145
8
tdt
td
du dt = 0
���
�+
8
5�
��
4� + 1+
3
5�
��
� − 1= 0
In u + 5
2In (4t + 1) +
5
3 In (t – 1) = ln C1
5 In u + 2 In (4t + 1) + 3 In (t-1) = In C2
u5 (4t + 1)2 (t-1)3 = C2
(4x – y + 7)5 .
32
74
822.
74
3312
yx
yx
yx
yx= C2
12
Penyelesaian umum :
(4x + y + 1)2 (-x + y – 4)3 = C
Kejadian khusus :
1) Jika aq – bp = 0 atau c
r
b
q
a
p , maka dengan
memisalkan b
q
a
p = m, persamaan menjadi (ax + by +
c) dx + [ m (ax + by) + r] dy = 0
Dengan substitusi u = ax + by, persamaan menjadi (u +
C) dx + (mu + r) dy = 0.
b
adxdu = 0 yaitu persamaan diferensial dengan
perubah terpisah.
2) Jika c
r
b
q
a
p (=m), maka persamaan dapat ditulis (ax
+ by + c) dx + m (ax + by + c) dy = 0 atau dx + m dy = 0
Penyelesaian umum : x my = C
Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 6
Selesaikan (2x - 4y + 5) dy + (x -2y + 3) dx = 0
Jawab : [2(x – 2y) + 5] dy + (x – 2y + 3) dx = 0
Misalkan u = x – 2y, du = dx – 2 dy, maka (2u + 5) dy + (u
+ 3) (du + 2 dy) = 0
(4u + 11) dy + (u + 3) du = 0
dy +
114(4
1
4
1,0
114
3
udydu
u
u du = 0
13
01144
1
4
1
u
dududy
y + 16
1
4
1u In (4u + 11 = C1
Penyelesaian rumus :
Y + 16
1)2(
4
1 yx In (4x – 8y + 11) = C1
SOAL-SOAL
Selesaikan persamaan diferensial
1. (x – 5y + 5) dy + (5 = y + 1) dy = 0
2. (3y –x) dx
dy = 3x – y + 4
3. (4x + 2y – 1) dx = (2x + y + 2) dy
4. (3x – y + 1) dx = (-6x + 2y – 2) dy
IV. Persamaan Diferensial Linier
Suatu persamaan direfensial disebut linier, jika persamaan itu
berderajat satu dalam dx
dy dan y, jadi berbentuk
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan dua cara yaitu :
a) Cara Bernoulli
b) Cara Lagrange (cara variasi parameter)
c) Cara Bernoulli
f (x) . dx
dy + (x) . y = (x)
14
Dengan substitusi y = u x v, maka dx
dy = u
dx
dv + v
dx
du
Persamaan menjadi
f(x)
dx
duv
dx
dvu + uv . (x) = (x) atau
u
)(.)( xv
dx
dvxf + v.f (x)
dx
du= (x)
Karena y dimisalkan sebagai hasil kali dua perubah baru u
dan v, maka antara u dan v (sebagai fungsi x) boleh diambil
sebarang hubungan lagi.
Hubungan ini dapat dipilih sehingga
f(x) dx
dy + v. (x) = 0,
)(
)(
xf
x
v
dv dx = 0
In v + )(
)(
xf
x dx = In C, jadi v = Ce - )(
)(
xf
x dx
Terdapat tak hingga banyak nilai v sebagai fungsi x yang
memenuhi.
Jika diambil C = 1, maka : V = Ce - )(
)(
xf
xdx
Untuk nilai v ini, persamaan menjadi
- )(
)(
xf
xdx . f(x)
dx
du = (x) atau
dx
du = )(
)(.
)(
)(
xf
xe
xcf
x dx , jadi
u = )(
)(.
)(
)(
xf
xe
xf
x dx + c
15
Dengan memasukkan nilai u dan v ini dalam y = u x v,
diperoleh penyelesaian persamaan diferensial linier itu.
Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 7
Selesaikan x (1 – x2) dx
dy + (2x2 -1) y = ax3
Jawab :
Misalkan y = uv, maka dx
dy = u
dx
duv
dx
dv
Persamaan menjadi
X(a-x2) (u dx
duv
dx
dv ) _ (2x2 -1) uv = ax3 atau
u
)12()1( 22 xv
dx
dvxx + x (1 – x2 v
dx
du = ax3
Hubungan antara u dan v (sebagai fungsi x) dipilih
sehingga.
x(1 – x2) dx
dv + v (2x2 – 1) = 0 atau
v
dv+
)1(
122
2
xx
x
dx = 0,
v
dv + (-
2
1 +
xx
12
1
12
1
) dx
= 0
Cln = x)+ (1ln2
1
12
1
x
dx
x
dx
v
dv atau
v = Cx 22 11 xxx (C diambil 1)
16
Persamaan diferensial menjadi
X(a – x2 2xa dx
du= ax3, du =
22 )( xaxa
dxax
atau
u = a 22 1)( xxa
dxx = -
2
1a
2/32 )( xa d(1 –
x2) = 2xa
a
+ C
Penyelesaian umum y = uv = ax + Cx 2xa
a) Cara Lagrange (Cara variasi parameter)
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial f(x) dx
dy +
(x) . y = (x), diselesaikan lebih dulu persamaan teredusir
f(x) dx
dy + (x) . y = 0, yang merupakan persamaan
diferensial dengan perubah terpisah.
Kita peroleh y
dy+ dx = 0, In y + )(
)(
xf
x dx = 0, In
y + )(
)(
xf
x dx = In C
Jadi y = Ce - )(
)(
xf
x dx, yang merupakan penyelesaian
umum persamaan teredusir dengan C sebagai parameter.
Sekarang parameter C dipasang sebagai fungsi x, dan akan
ditentukan fungsi ini sehingga memenuhi persaaan
diferensial linier (tidak teredusir).
)(
)(
xf
x
17
Jika kedua ruas persamaan In y + dxxf
x
)(
)( = In C
diturunkan ke x didapat y
1. dx
dy +
)(1
)(
x
x = c
1. dx
dc,
dimana ruas kiri identik dengan ruas kiri persamaan
diferensial linier.
y = C1 e - )(
)(
xf
xdx + e - )(
)(
xf
x dx . )(
)(
xf
x . e
)(
)(
xf
x dx
Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 8
Selesaikan persamaan diferensial
x(1 – x2) dx
dy+ (2x2 – 1) y = ax3
Jawab : Diselesaikan persamaan teredusir
x(1 – x2) dx
dy + (2x2 – 1) y = 0
y
dy+
)1(
122
2
xx
x
=
dx
dc
c.
1 = ax3 atau
dC = 22 1)( xxa
dxax
, jadi C =
1
21C
x
a
Penyelesaian rumus :
Y = Cx 21 x = C1 x
21 x
18
SOAL-SOAL
Selesaikan persamaan diferensial berikut ini
1) x dx
dy - y = x3 + 1
2) x dx
dy + y = x In x
3) (x2 + 3) dx
dy = xy + 3 ?
V. Persamaan Bernoulli
Persamaan diferensial berbentuk
f (x) dx
dy + (x) . y = yn . (x)
Disebut persamaan Bernoulli
Persamaan ini dapat diubah menjadi persamaan diferensial
linier, jika kedua ruas dibagi yn. Didapat
f(x) . )(..)(.1
xyyxdx
dy
yn
n
Misalkan z = 1
1ny
. Y 1-n, maka
dx
dz=
ny
n1. dx
dy, atau
ny
1 . dx
dy =
n1
1. dx
dz
Persamaan menjadi :
dx
dz
n
xf.
1
)(
+ (x) . z = (x), yaitu suatu persamaan diferensial
linier.
19
Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 9.
Selesaikan persamaan Bernoulli y’ cos x + y sin x + y3= 0
Jawab :
Cos x . dx
dy + y sin x = -y3
Kedua ruas dibagi y3, didapat 1sin
.cos
23
y
x
dx
dy
y
x
Substitusi � =�
��, maka ��
��= −
�
��
��
��
Persamaan menjadi −�
�cos �
��
��+ � sin � = −1
Atau cos x dx
dz - 2z sin x = 2
Substitusi z = uv, maka
Cos x ( u dx
dv+ v dx
du) – 2 u v sin x = 2 atau
u (cos x dx
dv - 2 v sin x) + v cos x
dx
du = 2
Hubungan antara u dan v dipilih sehingga cos x dx
dv - 2 v sin x =
0, v
dv -
x
x
cos
sin2 dx = 0 atau In v + 2 In cos x = In c v =
x
c2cos
untuk C = 1, maka v = x2cos
1
20
Persamaan menjadi
dx
du
x.
cos
1= 2, jadi u = 2 2cos dxx sin x + C
Maka z = u v = 22
1
cos
sin2
yx
cx
Penyelesaian umum :
y2 = Cxsin2
cos2
SOAL-SOAL
Selesaikan persamaan Bernoulli berikut ini.
1) xy1 = 4y – 4 y
2) xy1 = y + 2 xy2
3) x3 y1 = 2 x2y + y3
4) y1 + 2y = 2 xy y
VI. Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan diferensial ordo satu derajat satu f (x,y) dx + (x, y)
dy = 0 disebut eksak, jika memenuhi syarat :
xy
f
Untuk dapat menyelesaikan persamaan diferensial eksak,
terlebih dulu kita perhatikan persoalan berikut ini.
Jika C suatu parameter, maka persamaan F (x, y, c) = 0
grafiknya merupakan berkas kurva.
21
Untuk menentukan persamaan diferensial berkas kurva itu,
kedua ruas persamaan F(x, y) = C diturunkan ke x, didapat :
dx
dy
y
F
x
F.
= 0
Jika parameter C dihilangkan dari kedua persamaan itu, maka
persamaan hasil ialah :
dx
dy
y
F
x
F.
= 0 atau 0
dy
y
Fdx
x
F
yaitu persamaan diferensial berkas kurva itu.
Ternyata merupakan persamaan diferensial eksak, sebab
memenuhi syarat :
)()(y
F
xx
F
y
Kesimpulan :
Penyelesaian umum persamaan diferensial eksak f(x, y) dx +
(x, y) dy = 0 berbentuk F (x, y) = C, dimana
x
F f(x, y) .... (1)
y
F
= (x, y) .... (2)
Untuk memperoleh F (x, y), kedua ruas persamaan (1)
diintegralkan ke x (berarti y tetap). Diperoleh
F(x, y) = f(x, y) dx + (y) ... (3)
Jika kedua ruas persamaan ini diturunkan persial ke y (berarti x
tetap), maka didapat
)(),( 1 ydxyxyy
Fx
22
Menurut persamaan (2) :
x
dxyxfy
yxy
F),(),( + 1 (y)
Dari persamaan ini dapat dicari 1 (y), kemudian dengan
mengintegrasikan ke y didapat (y).
Jika nilai (y) ini dimasukkan dalam persamaan (3), terdapatlah
F (x, y).
Penyelesaian umumnya adalah F (x, y) = C.
Untuk mendapatkan F(x, y), dapat juga kedua ruas
persamaan (2) diintegrasikan ke y (berarti x tetap).
Didapat F(x, y) = (x, y) dy + (x), dst nya.
Contoh 10
Selesaikan persamaan diferensial eksak (cos x – x cos y) dy –
(sin y + y sin x) dx = 0.
Jawab :
Penyelesaian umum berbentuk F (x, y) = C, dimana
x
Fsin y – y sin x ... (1)
y
F cos x – x xos y .... (2)
Jika kedua ruas persamaan (1) diintegrasikan ke x (berarti y
tetap), didapat F (x, y) – x sin y + y cos x - 1 (y)
23
Jika diturunan parsial ke y, maka
y
F-x cos y + cos x + 1 (y)
Menurut persamaan (2) maka
-x cos y + cos x + 1 (y) = cos x – x cos y, sehingga 1 (y) = 0
atau (y) = C1.
Penyelesaian umum –x sin y + y cos x = C
Contoh 11
Tunjukkan bahwa persamaan diferensial (x arcsin x
y + arcsin
x) dx + 22 yx dy = 0 adalah eksak, kemudian selesaikan
persamaan itu.
Jawab :
x
(x arcsin
x
y+ arcsin x) = x .
22 /
1
xya
x
=
22 yx
x
sedangkan x
22 yx =
222
2
yx
x
=
22 yx
x
Jadi persamaan digerensial itu eksak.
Penyelesaian umum adalah F (x, y) = C, dimana
xx
F
arcsin
x
y + arcsin x … (1)
dan y
F
= 22 yx ..... (2)
24
Jika kedua ruas persamaan (2) diintegrasikan ke y (berarti x
tetap), didapat
F (x, y) = dyyx 22
Dengan substitusi y = x sin t diperoleh
F (x, y) = 2
2
1cos.cos xdttxtx (1 + cos 2t) dt
= ½ x2 (t + ½ sin 2t)
= ½ x2 arcsin x
y + ½ x2 .
x
y . )(1
2
2
xx
y
= ½ x2 arcsin x
y + ½ y 22 yx + (x)
Jika diturunkan parsial kex (berarti y tetao) didapat
x
F
= x arcsin
x
y + 1 (x)
Menurut (1) : x arcsin y
x + 1 (x) =
x arcsin x
y + arcsin x, jadi 1 (x) = arcsin x
Maka (x) = arcsin x dx
= x arcsin x - x . 21 x
dx
= x arcsin x + +C1
Penyelesaian umum :
½ x2 arcsin x
y+ ½ y 22 yx + x arcsin x +
21 x = C
2xa
25
SOAL-SOAL
Selesaikan persamaan diferensial eksak
1) (2x3 + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0
2) y (x2 y2 + 2) dx + x (2 + x2 y2 dy = 0
3) y
x2
dy + 2x In y dx = 0
4) 2
22
)1(
)1()1(
xy
dyxdxy
= 0
5) ex (x2 + y2 + 2x) dx + 2ex y dy = 0
VII. Faktor Integrasi
Jika persamaan diferensial ordo satu derajat satu f (x, y) dx +
(x, y) dy = 0 tidak eksak, berarti xy
f
7. Maka dapat
ditentukan sebuah fungsi v (x, y), sehingga v. F (x, y) dx + v.
(x, y) dy = 0 menjadi eksak.
Syaratnya ialah :
y
[v. f (x, y)] =
x
[v . (x, y)] atau
v . y
f
+ f .
x
v
= v.
x
+ .
x
v
Karena persamaan ini adalah persamaan diferensial parsial,
maka pada umumnya fungsi v (x, y) tidak dapat dicari
Hanya dalam kejadian-kejadian khusus saja fungsi v dapat
dicari.
26
Fungsi v ini disebut faktor integrasi.
Beberapa kejadian khusus :
1) Jika v merupakan fungsi x saja, maka v dapat dicari dari
persamaan
v. x
y
xv
y
f
..
atau
v
dv =
xy
f
dx, dimana
xy
f
= f (x).
Jadi In v = )(xf dx atau v = e
Jika v merupakan fungsi y saja, maka dapat dicari dari
persamaan
v . x
yv
y
vf
y
f
.. atau
v
dv =
f
y
f
x
v
dx, dimana f
y
f
x
= g (x).
Jadi In v = g (y) atau v = e.
Contoh 12
Selesaikan persamaan diferensial
(x2 + y2 + x) dx + xy, dy = 0
Jawab :
f(x, y3w) = x2 + y2 + x dan (x, y) = xy. Maka
xxy
yyxy
f
12
= f (x)
27
Jadi v = e x
dx = e In x = x. Maka
X(x2 + y2 + x) dx + x2y dy = 0 adalah persamaan diferensial
eksak.
Penyelesaian umum ialah F (x, y) = C, dimana
x
F x (x2 + y2 + x) .... (1)
dan y
F
= x2 y ............ (2)
Jika kedua ruas persamaan (2) diintegralkan ke y, diperoleh
F(x, y) = x2 y dy = ½ x2 y2 + (x)
Jika diturunkan parsial ke x, didapat
x
F xy2 + 1 (x) = x (x2 + y2 + x), jadi
(x) = x3 + x2 atau
(x) = (x3 * x2) dx = ¼ x4 + 1/3 x3 + C1
Penyelesaian umum : ½ x2y2 + ¼ x4 + 1/3 x3 = C.
Contoh 13
Selesaikan persamaan diferensial
(2xy4ey + 2 xy3 + y) dx + (x2 y4 ey – x2 y2 – 3x) dy = 0
Jawab : Dalam soal ini
f(x, y) = 2 xy4 ey + 2 xy3 + y dan
(x, y) x = x2y4ey – x2 y2 – 3x.
Ternyata bahwa xy
f
, jadi tidak eksak
28
Dicoba diselidiki bentuk ( fy
f
x:
)122(
)1628(32223
24324
xyexyy
xyexyexyxyexy
f
y
f
xy
yyy
= - )(4
)12.2(
48.823
23
ygyxyexyy
xyexyy
y
-4 ydy
- 4 In y
Jadi v = e = 4
1
y
Diperoleh persamaan diferensial eksak
(2 xoy + )3
12
y
x dx + (x2ey - )
342
2
y
x
y
x dy = 0
Penyelesaian umum berbentuk F (x, y) = C
Dimana
x
F2 xyy +
y
x2+
3
1
y
Jadi
x
F x2 ey -
42
2 3
y
x
y
x , dan seterusnya
Contoh 14
Persamaan diferensial
y(2xy + 1) dx + x (1 + 2xy – x3 y3) dy = 0 mempunyai faktor integrasi
yang merupakan fungsi xy.
Carilah faktor integrasi itu, kemudian selesaikan persamaan itu.
29
Jawab :
Misalkan v = f (u) dimana u = xy. Maka persamaan diferensial
vy (2xy + 1) dx + xv (1 + 2 xy – x3 y3) dy = 0 harus eksak,
Syaratnya adalah :
v (4 xy + 1) (2xy2 + y) du
dv. y
v
= v (1+ 4 xy – 4 x3 y3) + (x + 2
x2y – x4 y3) du
dv . x
v
.
Karena y
u
= x dan
x
u
= y, maka
v (1 + 4 xy + 4 x3 y3) + (x + 2 x2 y – x4 y3) y. u
v
, atau 4 vu3 +
u4 u
v
= 0, 4 v + u
u
v
= 0, In v + 4 In u = In C, v. v4 =
Jika diambil C = 1, maka v = 444
11
yxu
Persamaan diferensial eksak
34
12
yx
xy dx +
43
3321
yx
yxxy = dy = 0.
Penyelesaian umum ialah F (x, y) = C, dimana
34
12
yx
xy
x
F
..... (1) dan
y
F
=
43
3321
yx
yxxy, . (2)
30
Jika kedua ruas persamaan 91) diintegralkan ke x, didapat
F (x, y) = 3
1
y
43
12(
xx
y) dx = -
3322 3
11
yxyx + (y)
Jika diturunkan parsial ke y, didapat
y
F
= )(
12 1
4322y
yxyx =
43
3321
yx
yxxy, jadi
1 (y) = - y
1, (y) = - In y + C1
Penyelesaian umum
- 3322 3
11
yxyx = In y + C
Contoh 15
Persamaan diferensial
(x + x4 + 2 x2y2 + y4) dx + y dy = 0 menjadi faktor integrasi
yang merupakan fungsi x2 + y2.
Tentukan faktor integrasi itu.
Jawab :
Misalkan v = f (u), dimana u = x2 + y2
Maka persamaan v (x + x4 + 2 x2 y2 + y4) dx + vy dy = 0 harus
eksak.
Syaratnya ialah
v (4 x2y + 4 y3) + (x + x4 + 2 x2y2 + y4) du
dv. y
u
= y du
dv. x
u
31
Karena y
u
= 2 y dan
x
u
= 2x, maka
v (4 x2y + 4 y3) + (x + x4 + 2 x2y2 + y4) . 2y u
v
= 0
2 yu (2v + u u
v
) = 0,
v
dv + 2
u
dv = 0
In v +2 In u = In C atau vu2 = C
Jika diambil C = 1, maka v = 2222 )(
11
yxu
SOAL-SOAL
1) Tunjukkan bahwa v (x, y) = xy2 + 1 adalah faktor integrasi
persamaan diferensial (y4 – 2y2) dx + (3 xy3 – 4 xy + y) dy = 0.
Kemudian selesaikan persamaan itu.
2) Persamaan (1 – xy) dx + (1 – x2) dy = 0 mempunyai factor
integrasi yang merupakan fungsi x. Selesaikan persamaan itu.
3) Persamaan dx + [1 + (x + y) tg y] dy = 0 mempunyai faktor
integrasi yang merupakan fungsi x + y.
Selesaikan persamaan itu.
4) Persamaan (3 xy3 -4 xy + y) dy + y2 (y2 – 2) dx = 0
mempunyai faktor integrasi yang merupakan fungsi xy2.
Tentukan faktor integrasi itu.
5) Tunjukkan bahwa v (x, y) = (1 + x2 + y2 = 2
3
Faktor integrasi persamaan diferensial (1 * y2) y dx + (1 + x2) x
dy = 0
Selesaikan persamaan itu.
32
BAB III
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDO
& DERAJAT SATU
I. Persamaan diferensial berbentuk
n0 n
n
dx
yd a1 1
1
n
n
dx
yd + a2 2
2
n
n
dx
yd + ... + an-1
dx
dy+ any=
f(x) dimana koefisien a0, a1, a2, … an adalah fungsi x, diebut
persamaan diferensial ordo n derajat satu.
Persamaan yang diperoleh jika ruas kanan disamakan nol,
disebut persamaan teredusir.
Jika koefisien a0, a1, a2 … an adala suatu konstanta, maka
persamaan disebut persamaan diferensial ordo n derajat satu
dengan koefisien konstanta.
II. Penyelesaian umum persamaan teredusir
Jika y = y1 sebuah penyelesaian khusus persamaan teredusir
a0 n
n
dx
yd + a1 1
1
n
n
dx
d + … + an-1 . + any = 0
Maka y = C1y1 (c1 suatu parameter) juga merupakan
penyelesaian khusus, sebab ini berarti bahwa setiap suku ruas
kiri dikalikan dengan c1.
Jika y = y2 penyelsaian khusus yang lain, maka y = c2y2 (c2
suatu parameter) juga merupakan penyelesaian khusus.
Akibatnya y = c1y1 + c2y2 adalah penyelesaian khusus.
dx
dy
33
Umum jika diketahui n buah penyelesaian khusus y = y1, y = y2
y = y3 .... y = yn, maka penyelesaian umum persamaan
teredusir adalah...
Y = c1y1 + c2y2 + c3y3 + .... + cnyn, yang memuat n buah
parameter.
III. Penyelesaian persamaan teredusir dengan koefisien
konstanta
Menurut metode Euler dimisalkan
y = e tx
dimana konstanta t akan ditentukan, sehingga memenuhi
persamaan teredusir.
Jika y = etx, maka = t e tx, 2
2
dx
yd = t2 etx,
3
3
dx
yd
= t3etx, ...... n
n
dx
yd = tn etx
Jika nilai-nilai ini dimasukan dalam persamaan teredusir
a0 n
n
dx
yd+ a1 . 1
1
n
n
dx
yd+ .... + an-2 2
2
dx
yd + an-1 .
dx
dy + an . y =
0
kita peroleh
etx (aotn + a1 tn-1 + a2tn-2 + …. + an-2 t2 + an-1t + an) = 0
atau F (t) = ao tn + a1tn-1 + …. + an-2 t2 + an-1+ an = 0
Persamaan berderajat n dalam t ini disebut persamaan
karakteristik.
Misalkan akar-akar persamaan karakteristik ini t1, t2, t3 .... tn
Berarti y = et1x, y = e t2x ...., y = e txx
Adalah penyelesaian khusus.
Maka penyelesaian umumnya adalah...
Y = c1e t1x + c2e t2x + c3et3x + ..... + cn e tnx
Contoh 16
dx
dy
34
Selesaikan persamaan diferensial y111 ... 2 y11 – 5 y1 + 6 y = 0
Jawab :
Dengan substitusi y = e tx, diperoleh persamaan karakteristik
F (t) = t3 – 2 t2 – 5t + 6 = 0
(t – 1) ( t – 3) (t + 2) = 0
Akar-akarnya t1 = 1, t2 = 3, t3 = -2.
Penyelesaian umum y = c1 ex + c2 e 3x + c3 e-2x
Beberapa kejadian khusus
1. Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar
kompleks sekawan a + bi dan a – bi , maka penyelesaian
umumnya :
y = c1 e (a + bi) x + c2 e (a – bi) x
= eax (c1 ebxi + c2 e –bxi)
= eax (c1 (cos bx + I sin x) + c2 (cos bx – i sin bx)
= oax [(c1 + c2) cos bx + i (c1 – c2) sin bx]
Misalkan c1 + c2) cos bx + i (c1 – c2) = c4
Penyelesaian umum menjadi
y = oax (c3 cos bx + c4 sin bx)
Contoh 17
Selesaikan persamaan diferensial
y11 – 2 y1 + 5y = 0
Jawab :
Persamaan karakteristik F (t) = t2 – 2t + 5 = 0
Akar-akarnya t1 = 1 + 2i, t2 = 1 – 2i
Penyelesaian umum
y = 0x (c1 cos 2x + c2 sin 2x)
35
2. Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar yang
sama, misalnya t1 = t2, maka penyelesaian umum bukan
y = c1 e t1x + c2 e t1x = (c1+ c2) e t1x , tetapi
y = c1 e t1x + c2 xe t1x = (c1 + c2) e t1x
Bukti : Persamaan karakteristik
F(t) = ao (t – t1) (t – t2) = ao (t – t1)2 = 0. Maka
F1 (t)= 2 ao (t-t1). Jadi F (t1) = 0 dan F1 (11) = 0
Persamaan a0y11 + a1y1 + a2y = 0 dapat ditulis secara lain,
sebagai berikut :
Jika operator ao 2
2
dx
d + a1
dx
d + a2 disebut
Maka ao 2
2
dx
yd + a1
dy
dx + a2 y dapat ditulis (y)
Sehingga (e t1x) = e t1x . F (t1) = 0
Jika diturunkan ke t1 didapat
(x e t1x) = e t1x . F-1 (t1) + x e . F (t1) = 0
Berarti y1 = e dan y2 = x e t1x adalah penyelesaian khusus.
Penyelesaian umumnya
Y = c1 e t1x + c2 xe t1x = (c1 + c2x) e t1x
Catatan :
Jika persamaan karakteristik mempunyai n buah akar
yang sama, misalnya t1 = t2 = t3 = ... tn ( = t), maka
penyelesaian umumnya
Y = (c1 + c2 x + c3 x2 + ... + cn xn-1 . e tx
Contoh 18
Selesaikan persamaan diferensial
y111 – 6 y11 + 12 y1 – 8 y = 0
Jawab :
36
F (t) = t3 – 6 t2 + 12 t – 8 = (t – 2)3 = 0
Akar-akarnya t1 = t2 = t3 = 2
Penyelesaian umum y = (c1 + c2 x + c3 x2) e2x
3. Jika persamaan karakteristik mempunyai dua pasang
akar kompleks sekawan yang sama, misalnya a + bi, a –
bi, a + bi dan a – bi, maka penyelesaian umumnya.
y = eex [(c1 + c2x) cos bx + (c3 + c4x) sin bx]
Contoh 19
Selesaikan persamaan diferensial
y111 + 8 y11 + 16 y = 0
Jawab :
Dengan substitusi y = etx, kita peroleh
F (t) = t4 + 8 t2 + 16 = (t2 + 4) 2 = 0
Akar-akarnya t1 = 2i, t2 = -2i, t2 = -2i
Penyelesaian umum :
y = (. C1 + c2 x) cos 2x + (c3 + c4 x) sin 2x.
IV. Penyelesaian persamaan teredusir dengan koefisien
fungsi x.
Jika koefisien persamaan teredusir berbentuk
Ap = Ap (a + bx)n-p , dimana Ap suatu konstanta, sehingga
persamaan berbentuk
Ao (a + bx)n . n
n
dx
yd + A1 (a + bx)n-1 .
1n
1n
dx
yd
+ ... +
An-1 (a + bx) dx
dy + Any = 0, maka persamaan itu dapat diubah
menjadi persamaan dengan koefisien konstanta, dengan
substitusi
a + bx = eu atau u = In (a + bx)
37
Sebab dx
dy =
du
dy .
bxa
b
atau (a + bx)
dx
dy = b
du
dy
Jika kedua ruas diturunkan kex, didapat
Contoh 21
Selesaikan Persamaan x2y11 + 3 xy1 + y = 0
Jawab :
Misalkan x = eu atau u = In x.
Maka dx
dy = du
dy . x
1 atau x
dx
dy = du
dy
Jika kedua ruas diturunkan ke x, didapat :
x 2
2
dx
yd + dx
dy =
2
2
du
yd . x
1 atau x2
2
2
dx
yd =
2
2
du
yd - du
dy
Persamaan menjadi :
2
2
du
yd- du
dy + 3
du
dy + y = 0 atau
2
2
du
yd + 2
dx
dy + y = 0
Dengan substitusi y = etu diperoleh persamaan karaktersitik
F (t) = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2 = 0
Akar-akarnya t1 = t2 = -1
Penyelesaian Umum
Y = (c1 + c2u) etu = (c + c2u) e- u = x
1 (c1 + c2 In x)
Contoh 21
Selesaikan persamaan diferensial
(1 + x)3 y111 + (1 + x)2 y11 + 3 (1 + x) y1 – 8 y = 0
38
Jawab :
Misalkan 1 + x = eu atau u = In (1 + x)
Maka dx
dy = du
dy .
x1
1 atau (1 + x)
dx
dy = du
dy
Jika kedua ruas diturunkan ke x, didapat
(1 + x) 2
2
dx
yd + dx
dy =
2
2
du
yd -
x1
1 atau (1 + x)2
2
2
dx
yd =
2
2
du
yd - dx
dy
Jika diturunkan lagi ke x didapat
(1 + x)2 3
3
du
yd+ 2 (1 + x)
2
2
dx
yd =
3
2
du
yd- dx
dy + 3
du
dy- 8 y =
0 atau
3
3
du
yd - 2
2
2
du
yd + 4
du
dy - 8 y = 0
Dengan substitusi y = e tu, diperoleh persamaan karakteristik
t3 – 2 t2 + 4 t – 8 = 0
(t – 2) (t2 + 4) = 0
t = 2, t = 2i atau t = -2i
Penyelesaian Umum
y = c1 e2u + c2 cos 2u + c3 sin 2u
= c1 (1 + x)2 + c2 cos In (1 + x)2 + c3 sin In (1 + x)2
V. Penyelesaian persamaan tak teredusir
Penyelesaian umum persamaan tak teredusir dapat diperoleh
dari penyelesaian umum persamaan teredusir (yang disebut
fungsi komplementer) dengan menambah sebuah fungsi x,
yaitu yp = F (x) yang disebut penyelesaian partikulir.
Penyelesaian umum berbentuk
39
y = c1y1 + c2y2 + …. + cnyn + f (x), dimana F (x) masih akan
ditentukan sehingga memenuhi persamaan tak teredusir dan
memuat n buah parameter.
Penyelesaian partikulir F (x) dapat ditentukan dengan cara
koefisien tak tentu.
Cara ini dipakai, jika ruas kanan dari persamaan tak teredusir
merupakan fungsi x yang mudah, yaitu fungsi yang dapat
dinyatakan sebagai jumlah suku-suku berbentuk c xP e qx, C
xp e ax cos bx dan Cxp eax sin bx, dimana p adalah bilangan
cacah dan q, a, b dan c suatu konstanta.
Contoh 22.
Selesaikan persamaan y11 – 5y1 + 6 y = x2 + x – 2
Jawab : Persamaan teredusir :
y11 – 5 y1 + 6 y = 0
Dengan substitusi y = etx, diperoleh persamaan karakteristik F
(t) = t2 – 5t + 6 = 0, (t –2) (t-3) = 0, jadi t1 = 2, t2 = 3.
Penyelesaian umum y = C1 e2x + C2 e3x + F (x)
Maka y1 = 2c1 e2x + 3 c2 e3x + F1 (x)
Y11 = 4 c1 e2x + 9 c2 e3x + F11 (x)
Jika nilai y . y1 dan y11 dimasukkan dalam persamaan yang
diketahui, didapat F11 (x) – 5 F1 (x) + 6 F (x) = x2 + x – 2.
Misal F (x) = ax2 + bx + c
Maka F1(x) = 2 ax + b dan F11 (x) = 2a.
Diperoleh 6 (ax2 + bx + c) – 5 (2ax + b) + 2a = x2 + x – 2
Atau 6 ax2 + (6 b-10 a) x + 6c – 5b + 2a = x2 + x – 2
40
Koefisien x2 : 6a = 1 a + 6
1
Koefisien x : 6 h – 10 a = 1 b = 9
4
Konstanta : 6c – 5b + 2a = -2 C = -54
1
Penyelesaian umum :
y = c1 e2x + c2 e3x + 6
1 x2 +
9
4x -
54
1
Contoh 23
Tentukan penyelesaian umum persamaan
y11 + y1 + y = cos x
Jawab :
Persamaan teredusir y11 + y1 + y = 0
Substitusi y = etx, maka F (t) = t2 + t + 1 = 0
Akar-akarnya t1 = - ½ + ½ i V3, t2 = - ½ - ½ i V3
Penyelesaian Umum :
Y = e1/2 x (c1 cos 1/2x V3 + c2 sin ½ x V3) + f (x)
Karena ruas kanan memuat bentuk cos x
Maka dimisalkan F (x) = a sin x + b cos x
Jadi F1 (x) = a cos x – b sin x
F11 (x) = -a sin x – b cos x
Kita peroleh :
-a sin x – b cos x + a cos x – b sin x + a sin x + b cos x = a cos
x b sin x = cos x.
Maka a = 1 , b = 0
Penyelesaian umum :
Y = e-1/2x (c1 cos ½ x V3 + c2 sin ½ x V3_ + sin x.
41
SOAL-SOAL
Selesaikan persamaan berikut ini :
1) y11 + y1 – 6y = 8 e3x
2) y11 – 3 y1 – 4y = 10 cos 2x
3) y11 – 5 y1 + 6y = 4 x2+ ex
4) y11 – 2 y1 + y = x3 – 6 x2
5) (2 + 3x)2 y11 + 3 (2 + 3x) y1 – 9 y = 6 (2 + 3x)2
6) Sebuah kurva memenuhi persamaan diferensial y11 – 2y1
+ y = x2, melalui titik A (0,8), sedangkan garis
singgungnya di titik A bersudut 45o dengan sumbu x
positif.
Tentukan persamaan kurva itu.
42
BAB IV
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDO SATU DERAJAT n
I. Penyelesaian ke p = du
dy
Jika persamaan diferensial ordo satu derajat n yang berbentuk
f (x, y, du
dy) = 0 dapat diselesaikan ke p, maka diperoleh n
buah penyelesaian untuk p, yang masing-masing merupakan
fungsi x dan y. Misalkan penyelesaian p1 = f1 (x, y), P2 = f2 (x,
y) …. Pn = fn (x, y) yang masing-masing berdejatar satu dalam
p.
Jika penyelesaian persaman-persamaan diferensial itu adalah
F1 (x, y, c) x F2 (x, y, c) X … X Fn (x, y, c) = 0
Dimana parameter c1, c2 … cn boleh diambil sama.
Contoh 24.
Selesaikan persamaan x2 p2 + 3 xyp + 2 y2 = 0
Jawab : Jika diselesaikan ke p, didapat
P = 22
3
x
xyxy, jadi P1 = -
x
y, p2 = -
x
y2
Dari p1 = du
dy = -
x
ydiperoleh
y
dy + x
dx = 0
Jdi penyelesaiannya x2y – c = 0
Dari P2 = du
dy = -
x
y2diperoleh
y
dy +
x
dx2 = 0.
Jadi penyelesaian x2y – C = 0. Maka penyelesaian umum
persamaan yang ditanyakan ialah (xy – C) (x2y – c = 0
43
Dari P2 = dx
dy = -
x
y2 diperoleh
y
dy +
x
dx2 = 0. Jadi
penyelesaiannya x2y – C = 0. Maka penyelesaian umum
persamaan yang ditanyakan ialah (xy – C) (X2y – C) = 0
II. Penyelesaian ke y
Persamaan diferensial ordo satu derajat n dikatakan dapat
diselesaikan y, jika dapat ditulis berbentuk y = f (x, p)
Jika kedua ruas diturunkan ke x, didapat.
P = dx
dp
p
f
x
f.
Jika penyelesain persamaan diferensial ini adlaah F (x, p, c) =
0, maka dengan menghilangkan p dari persamaan ini dan
persamaan diferensial yang diketahui, diperoleh persamana
yang diketahui.
Contoh 25
Selesaikan persamaan xp2 – 2 yp = x
Jawab : Jika diselesaikan ke y didapat
= p
xyppx
2
2( 2
= 2
1
2
22 )1()1(
pdx
dppx
dx
dpxppp
atau
p 3 = p3 – p + xp2 dx
dp - xp2
dx
dp + x
dx
dp
44
(p2 +1) dx
dp = p )1( 2 p x
dx
dp = p
x
dp = 0, in p – in c, jadi p = cx
parameter p dihilangkan dari persamaan p = cx dan xp2 – 2 yp
= x dapat x (c2x2) – 2y. cx=x atau c2 x 2 - 2 cy -1=0,
itu penyelesaian umum persamaan yang diketahui
III. Penyelesaian ke X
Persamaan diferensial ordo satu derajat n dikatakan dapat
dielesiakan ke x, jika dapat ditulis berbentuk x = f (y, p).
Kedua ruas diturunkan ke y, didapat :
dy
dp
p
f
y
f
p.
1
Penyelesaian persamaan ini adlaah F (y, p, c) = 0, maka
dengan menghilangkan p dari persamana ini dan persamaan
diferensial yang di lalui, diperoleh penyelesiaan umum yang
ditanyakan.
Contoh 26.
Selesaikan persaman xp2 – 2 yp = x
Jawab : Jika diselesaikan ke x, didapat
x = 1
22 p
yp
Jika kedua ruas diturunkan ke y, maka
22
2
)1(
2.()1(
21
p
dy
dppypp
dy
dpyp
p atau
45
(p2 – 1)2 = 2p (p2 – 1) ( y dy
dp+ p) – 3 yp3
dy
dp
= -2p (p2 + 1) y dy
dp + 2 p2 (p2 – 1)
- (p2 – 1) (p2 + 1) = -2p (p2 + 1) y dy
dp
p2 – 1 = 2 py dy
dp
1
2
2
p
dpp = y
dp
In (p2 – 1) = In y + In c p2 – 1 = cy.
Jika parameter [ dihilangkan dari persamaan p2 – 1 = cy dan x
=
1
2
2
p
yp
Didapat x2 c2 y2 = 4 y2 (cy + 1) atau
C2 x2 – 4 cy – 4 = 0, yaitu penyelesaian umum yang
ditanyakan.
IV. Persamaan Clairaut
Persamaan diferensial berbentuk
Y = px + f (p)
Disebut persamaan Clairaut
Jika diselesaikan ke y, didapat.
P = p + x dx
dp + f1 (p)
dx
dp atau [x + f1 (p)]
dx
dp = 0.
Jadi dx
dp = 0 maka x + f1 (p) = 0
Dari dx
dp = 0 diperoleh p = c
46
Jika p dihilangkan dari persamaan ini dan persaman Clairut
diperoleh penyelesaian umum yaitu y = cx + f (c), yang
merupakan bekas garis lurus.
Jika p dihilangkan dari persamaan x + f1 (p) = 0 dan
persamaan Clairaut, maka hasil eliminasinya tidak memuat
parameter, dan disebut penyelesaian singular dari persamaan
C;airout (singular artinya tidak termasuk penyelesaian umum).
Dalam geometri, penyelesaian singular ini merupakan
selubung dari penyelesaian umum.
Contoh 27.Selesaikan persamaan Clairout y = px + p – p2
Jawab : Jika diselesaikan ke y, didapat
P = p + x dx
dp + (1 – 2p)
dx
dp atau
dx
dp (x + 1 – 2p) = 0.
Dari dx
dp = 0 didapat p – C.
Jika p dihilangkan diperoleh penyelsaian umum y = Cx + C –
C2.
Penyelesaian singular diperoleh dengan menghilangkan p dari
x + 1 – 2p = 0 dan y = px + p – p2.
Hasil eliminasi adalah 4y = (x + 1)2, yang merupakan sebuah
parabola.
V. Persamaan d’ Alembert.
Persamaan diferensial berbentuk.
y = x . f (p) + (p)
disebut persamaan d’ Alembert
Jika diselesaikan ke y diperoleh
P = f (p) + [x. f1 (p) + 1 (p) ] dx
dp atau
47
[p – f (p)] dx
dp - x. f1 (p) = 1 (p) yang merupakan persamaan
diferensial linier, Substitusi x u, v, seterusnya.
Contoh 28
Selesaikan persamaan d’ Alembert
y + x (p2 – 4p + 2) = p2 – 4p + 3
Jawab :
Y = (-p2 + 4p – 2) x + p2 + 3
Jika kedua ruas diturunkan ke x, maka
P = -p2 + 4p – 2 + x (-2p + 4) dx
dp + (2p – 4)
dx
dp atau
P2 – 3p + 2 = dx
dp [x (-2p + 4) x (2p – 4)]
(p2 – 3p + 2) dx
dp = -2p + 4) x + 2p – 4
(-p – 2) (p – 1) dx
dp + 2 (p-2) x – 2 (p-2) = 0
(p – 2) [(p – 1) dx
dp + 2x – 2] = 0
p – 2 = 0 atau (p – 1) dx
dp + 2x – 2 = 0
Jika p dihilangkan dari persamaan p – 2 = 0 dan persamaan
yang diketahui, diperoleh penyelesaian singular 2x – y = 1.
Dari (p – 1) dx
dp + 2x – 2 = 0 atau
1p
dp+
)1(2 x
dx = 0
Didapat In (p – 1) + ½ In (x – 1) In C atau (p – 1) 1x = C
48
Jika p dihilangkan dari persamaan ini dan persamaan yang
diketahui, diperoleh penyelesaian umum yaitu :
y = x + C = 2 )1( xC
SOAL-SOAL
Selesaikan persamaan berikut ini.
1) xp2 – 2 yp – x = 0
2) Cos x (1-p2) = 2p sin x
3) (p-x)2 = p-x
4) p2 (1-x2) = (y2 –1) arcsin x
5) y – 2px – yp2 = 0
6) y = x (p + 11 p
7) y = p2 + p
1
49
BAB V
PERSAMAAN DIFERENSIAL YANG KERAPKALI TERPAKAI
I. Persamaan Diferensial n
n
dx
yd = f (x)
Jika kedua ruas diintegrasikan ke x, kita peroleh
1
1
n
n
dx
ydf (x) dx = F1 (x) + C
Jika diintegrasikan lagi ke x, didapat
2
2
n
n
dx
yd= F1 (x) dx + C1x = F2 (x) + C1x + C2
Dengan mengintegralkan lagi ke x, didapat
3
3
n
n
dx
yd = F2(x) dx + 2
1
1
2x
c + C2x = F3 (x) + 2
1
1
2x
c + C2
+ C3
Jika proses ini dilanjutkan, maka setelah mengintegrasikan
berturut-turut sampai n kali, kita peroleh penyelesaian umum.
y = Fn (x) + 1
1
)1( n
C xn-1 +
2
2
)1( n
Cxn-2 + … Cn
Contoh 29.
Selesaikan persamaan diferensial
2
2
dx
d
3
2)(
2
2
dx
yd = 0
Jawab :
3
2)(
2
2
dx
yd
dx
d = C1
50
Selanjutnya : (2
2
dx
yd = -
3
2 = C1x + C2 atau
2
2
dx
yd = (C1x + C2) -
2
3
Jika diintegralkan ke x, didapat
dy
dx= (C1 x + C2) –2/3 dx =
1
2
C
(C1x + C2) –1/2 + C3
Jika diintegralkan lagi ke x, didapat penyelesaian umum, yaitu
y = - 21
4
e (C1 x + C2) ½ + C3 x + e4
II. Persamaan diferensial 2
2
dx
yd = f (y)
Jika kedua ruas dikalikan d dx
dy, kita peroleh
2dx
dy .
2
2
dx
yd = 2 f (y)
dx
dy .
Jika kita integralkan ke x, maka
(dx
dy)2 = 2 f (y) dy = F (y) + C atau
dx
dy = CyF )( , jadi
CyF
dy
)(= x + C2
Contoh 30
Selesaikan persamaan differensial 2
2
dx
yd = 4y
Jawab : d dx
dy .
2
2
dx
yd = 8 y
dx
dy
51
Jika kita integralkan ke x, maka
(dx
dy)2 = 4 y2 + C1 atau
dx
dy = Cy 24 , jadi
Cy
dy
24 = x + C2
Penyelesaian umum :
½ In (y + 12
2
1Cy ) = x + C2
III. Persamaan Differensial n
n
dx
yd= f (
1
1
n
n
dx
yd)
Dengan substitusi u = 1
1
n
n
dx
yd, persamaan menjadi
dx
du = f
(u) atau )(uf
du= dx, yaitu persamaan differensial dengan
perubah terpisah.
Contoh 31.
Selesaikan persamaan differensial y11 – (y1) 2 = 1
Jawab : Dengan substitusi u = y1, maka
dx
du - u2 = 1 atau
12 u
du= dx
Jadi arctg u = x + C atau u = dx
dy = tg (x + C)
Kita peroleh y = tg (x + c) dx = - In cos (x + C) + C1
Penyelesaian umum :
Y = - In Cos (x + C) + C1
52
Persamaan differensial n
n
dx
yd = f (
2
2
n
n
dx
yd)
Dengan substitusi u = 2
2
n
n
dx
yd, persamaan menjadi
2
2
dx
ud =
f (u)
Yaitu persamaan (II)
Contoh 32 : Selesaikan 4
4
dx
yd = a.
2
2
dx
yd
Jawab :
Dengan substitusi u = 2
2
dx
yd, persamaan menjadi
2
2
dx
ud = su
Jika kedua ruas dikalikan 2 dx
du, maka 2 .
dx
du,
2
2
dx
ud = 2 au
dx
du atau (
dx
du)2 = au2 + C1, jadi
dx
du = 1
2 Cau
Terdapat
12 Cau
du
= dx atau
12 Cau
du
Jadi a
1 In (u +
a
cu 12 = x + C2
u + a
Cn 12 = e a (x + C2) atau
a
Cn 12 = e a (x
+ C2) – u
Jika kedua ruas dikuadratkan, maka :
u2 + ea
C1 a (x + C 2 )- 2 ue - a (x + C 2 ) + u2
53
2 ue a (x + C 2 ) = 2 a (x + C 2 ) - u
C1
u = 2
2
dx
yd = ½ e a (x + C 2 ) +
aVa
C1 . e - a (x + C 2 ) +
C3
Penyelesaian umum
y = ½ a
1 e a (x + C 2 )-
a
C1 . e - a (x + C 2 ) + C3 x + C4
IV. Persamaan differensial f (x, dx
dy, dx
yd 2
) = 0
Dengan substitusi p = dx
dy, maka persamaan menjadi f (x, p,
dx
dp= 0
Dari persamaan ini p dinyatakan sebagai fungsi eksplisit
dalam x. Jika kedua ruas diintegrasikan ke x, maka
terdapatlah y.
Contoh 33 : Selesaikan x2y11 = y1 (y1 – 2 x) + 2 x2
Jawab : Misalkan y1 = p, maka y11 = dx
dp
Persamaan menjadi x2 (dx
dp - 2) = p (p –2x) atau
X2dp = (p2 – 2 px + 2 x2) dx, yaitu persamaan diferensial
homogen dp = 2
2
x
p - 2
x
p+ 2) dx
54
Substitusi z = x
p maka dp = z d x + x dz
Persamaan menjadi z dx + x dz = (z2 – 2z + 2) dx, x dz = (z2 –
3z + 2) dx.
1
2,
12)2)(1_(
z
zIn
x
dx
z
dz
z
dz
zz
dz = In Cx,
z = x
p =
1
2
Cx
Cx, maka p =
dx
dy=
1
)2(
Cx
Cxx
Penyelesaian Umum :
y = )1(
11
CxCC
x dx = ½ x2 - c
x -
2
1
CIn (Cx-1) + C1
Contoh 34 :
Selesaikan persamaan differensial (a + x2) y” + 1 + (y’)2 = 0
Jawab :
Misalkan p = y’, maka
(1 + x2) dx
dp + 1 + p2 = 0,
21 p
dp
+
21 x
dx
= 0, jadi arctg p +
arctg x = arctg C1
Menyatakan p sebagai fungsi eksplisit dari x
Misalkan = arctg p, berarti p = tg
= arctg x, berarti x = tg , + = x tg C
tg ( + ) = px
xp
1 atau + = arctg
px
xp
1 = arctg C1
Berarti px
xp
1 = C1 atau p =
dx
dy=
xC
xC
2
1
1
.
55
Jadi y = xC
xC
2
1
1
dx = -
1
1
C
1
111
1xC
CCx, dx =
- 1
1
C
1
0
1
1
1
1
xC
C
dx dx
Penyelesaian umum
y = - 2
1
21
1
1
C
C
c
x In (C1x + 1) + C2
VI. Persamaan differensial f (y, 2
2
,dx
yd
dx
dy)
Misalkan p = dx
dy, maka
2
2
dx
yd=
dy
dpp
dx
dy
dy
dp
dx
dp .
Persamaan menjadi f (y, p, p dy
dp) = 0
Dari persamaan ini p dinatakan sebagai fungsi eksplisit dari y.
Contoh 35.
Selesaikan y y” = (y’)2 – (y’)3
Jawab : Misalkan p = y’, maka y” = p dy
dp
Persamaan menjadi yp dy
dpp2 – p3 atau
y
dy
pp
dp
2 = 0, In p – In (1 – P) – In y = In C1
56
yCp
p1
1
atau p =
dx
dy =
yC
yC
yC
yC
1
1
1
1 1,
1
dy = dx
Penyelesaian umum y + 1
1
CIn y = x + C2
Contoh 36 :
Selesaikan y y” + 2 (y’)2 = 3 y y’
Jawab : Andaikan p = y’, maka y” = p dy
dp + 2 p = 3 y, yaitu
persamaan differensial linier.
Substitusi p = uv, maka
Y (u dy
duv
dy
dv ) + 2 uv = 3 y atau u (y
dy
dp+ 2 v) + y v
dy
du =
3y
Hubungan antara u dan v dapat dipilih sehingga
y dy
dv + 2v = 0 atau
v
dv + y
dv = 0
Maka v = 2
1
y, persamaan menjadi
y
1 dy
du = 3 y
Atau u = 3 y2 dy = y3 + C
P = dx
dv =
2
3
y
Cy atau
Cy
y
2
2
dy = dx
Penyelesaian umum 3
1In (y3 + C) = x + C1
57
Contoh 37.
Selesaikan y (1 – In y) y” + (1 + In y) (y’)2 = 0
Jawab :
Misalkan y’ = p maka y” = p dy
dp
Persamaan menjadi :
Y (1 – In y) p dy
dp + (1 + In y) p2 = 0, y (1 – In y) dp + (1 + In y) p
dy = 0
p
dp +
)1(
1
yiny
yIn
dy = 0, In p + yin
yIn
1
1 . d In y = In
C, p = Cy (I – In y)2,
2)1( yIny
dy
= C dx,
2)1( yIn
yInd
= C x + C1 ,
Penyelesaian umum yIn1
1= C x C1
VII. Persamaan diferensial y” + P . y’ + Qy = R, dimana P, Q
Substitusi y = y1 u, dimana u adalah perubah baru dan y1 adalah
fungsi x yang akan ditetukan.
Maka y’ = 11y u + y1 u’ dan y” = y”1 u + 2 y’1 u’ + y1 u”
Persamaan menjadi + y”1 u + 2 y’1 u’ + P (y’1 u + y1 u’) + Q y1 u =
R atau
y1 u” + (2 y’1 + P y1) u’ + (Y”1 + P y’1 ) + Q y1) u = R atau
u” + (1
1'2
y
y+ P ) u’ +
1
111 '"
y
yQyPy u =
1y
R
58
u” + P1 u’ + !1u = R1, dimana P1 = 1
1'2
y
y+ P,
Q1 = 1
111 '"
y
yQyPy dan R1 =
1y
R
a) Jika y1 adalah penyelesaian khusus dari persamaan
teredusir y” + Py’ + Qy = 0, maka Q1 = 0, persamaan
menjadi u” + P1u’ = R1 atau dx
du ' + P1 u’ = R, yaitu
persamaan differensial linier.
b) Jika tidak diketahui penyelesaian khusus dari y” + Py’ + Qy
= 0, maka kadang-kadang substitusi y = y1 u dapat
digunakan untuk menjadikan P1 = 0
P1 = 0
P1 = 1
1'2
y
y + P = 0,
1
1'
y
y= - ½ P, y1 = e – ½ P dx, jadi
1
1'
y
y= e – 1/2 P dx . ( - ½ P) = - ½ P y1, maka
1
"
y
y = - ½ P’ y1 – ½ P y’1 = - ½ p’ y1 + ½ P)2 y1,
Q1 = 1
12
12
12
1)
2
1('
2
1
y
QyyPyPyP atau
Q1 = Q - dx
d( ½ P) – ( ½ P)2
Substitusi ini berhasil, jika,
Q1 = suatu bilangan tetap atau
Q1 = bilangan tetap dibagi x2
59
Contoh 38
Selesaikan y” – 2y’ tg x – 5 sin x
Jawab :
Q1 = -5 + xCos 2
1- tg2x = -4 (bilangan tetap)
y1 = e tg X dx = e -In cos x = xcos
1, substitusi y =
x
u
cos
y1 = x
xuux2cos
sin'.cos ,y” =
2cos
sin2
,cos
" x
x
uu
. u’ +
x
x3
2
cos
sin2. u
Persamaan menjadi u” – 4u = sin x cos x = ½ sin 2x
Fungsi komplementer u = C1 e2x + C2 e –2x
Penyelesaian partikulir up = b sin 2x = C cos 2x
u’ = 2b cos 2x – 2C sin 2X
u”p = - 4b sin 2x – 4C cos 2x
Jadi –4 b sin 2x – 4 cos 2x – 4 (b sin 2x + C cos 2x) = ½
2x
Maka – 8b = ½ dan – bc = 0, jadi b = - 16
1 sin 2x atau y =
sec x (C1e2x + C2 e-2x) - 8
1 sin x
Contoh 39.
Selesaikan persamaan differensial
X2y” – 2x (1 + x) y’ + 2 (1 + x) y = x3 jika persamaan
teredusir diketahui mempunyai penyelesaian khusus y = x.
60
Jawab : Substitusi y = xu, maka y’ = xu + u dan y” = xu” + 2 u’.
Persamaan menjadi x2 (xu” + 2u’) – 2x (1 + x) (xu’ + u) + 2 (1 +
x) xu = x3+, x3 u” – 2x3+ u’ = x3 atau u” – 2u’ = 1
Misalkan p = u’, persamaan menjadi dx
dp - 2 p = 1 yaitu
persamaan diferensial linier.
Dengan substitusi p = vw terdapat
v dx
dw + w
dx
dv - 2 vw = 1 atau v (
dx
dw - 2 w) + w
dx
dv = 1
Hubungan antara v dan w dipilih, sehingga
dx
dw - 2 w = 0,
w
dw - 2 dx = 0, w = e2x
Persamaan menjadi e2x dx
dv = 1 atau dv = e –2 dx
Jadi v = - ½ e –2x + C, Terdapat
P = dx
du = e2x (- ½ e –2x + C) = - ½ + C1 e 2x
u = - ½ x + ½ C1 e2x + C2
Penyelesaian umum y = - ½ x2 + ½ C1 x e 2x + C2 x
Contoh 40
Selesaikan persamaan differensial
X2y” – 2 x2 y’ + (x2 -6) y = x5 – 6 x4
Jawab :
Y” – 2 y’ + (1 - 2
6) y = x3 – 6 x2
P = -2, Q = 1 - 2
6
x
x
) dan R = x3 – 6 x2
61
Q1 = Q - dx
d ( ½ ) – ( ½ P)2 = (1 -
2
6
x)-1 = -
2
6
x (bilangan
tetap di bagi x2)
Substitusi y = ex u, maka y’ = ex (u’ + u) dan y” RP ex (u” + 2 u’
+ u).
Persamaan menjadi
ex (u” + 2 u’ + u) – 2 ex (u’ + u) + (1 -
2
6
x) exu = x3 – 6 x2
atau ex u” - 2
6
x . exu = x3 – 6 x2
atau x2 u” – 6 u = e-x (x5 – 6 x4)
Substitusi x = et atau t = In x, maka u’ = dt
du - x
1 atau xu’ =
dt
du
Selanjutnya xu” + u’ = 2
2
dt
ud - x
1 atau
X2 u” + x u’ = 2
2
dt
ud.
Persamaan teredusir x2 u” – 6 u = 0
Menjadi 2
2
dt
ud - dt
du - 6 u = 0
Persamaan karakteristik t2 – t – 6 = (t + 2) (t – 3) = 0,
Fungsi komplementer u = C1 e3t + C2 e-2t = C1 x3 + C2 x-2
Penyelesaian partikuler up dicari dengan variasi parameter.
U’ = 3 x2 C1 – 2 C2 x-3 + x3 dx
dc1 - 2x-3 dx
dc2
62
Persamaan menjadi : x2 (3 x2 dx
dc1 - 2x-3 dx
dc2 ) = e-x (x5 – 6 x4) .
(2)
Dari persamaan (1) dan (2) dapat dicari dx
dc1 dan dx
dc2
Terdapat dx
dc2 = - 5
1e-x (x6 – 6 x5) atau C2 = -
5
1 x6e-x dx +
5
6
x5 e-x d x = 5
1(x6 e-x –6 x5 e-e dx) +
5
6 x5 e-x dx =
5
1
x6 e–x
Selanjutnya dx
dc1 = 5
1 e-x (x-6) atau C1 =
5
1 x e-x dx -
5
6 e-
x dx = - 5
1 (x e-x - e-x dx) -
5
6 e-x dx = -
5
1 x c-x + o-x
Up = x3 (-5
1 x e-x + e –x) + x-2 .
5
1 x6 e-x = x3 e-x
Penyelesaian umum u = C1 x3 + C2 x-2 + x3 e-x atau y = ex (C1 X3 +
C2 x-2 + x3 e-x).
SOAL-SOAL
Selesaikan persamaan diferensial
1) y’ sin x + 2 y’cos x + 3 y sin x = ox
2) (1 – x) y” + xy’ – y = (1 – x)2
3) xy” – (2x – 1) y’ + *x – 1) y = x2 – 2
4) xy” + 2y’ – xy = 2 ex
5) y” + (x – 2) . (y’)3 = 0
6) x2y” = (y’) – 2 xy’)2 = y’
7) y” + cot y . *y’)2 = y’
8) yy” – y2 = 3 (y’)2
63
BAB VI
TRAYEKTORI ORTOGONAL
I. Trayektori ortoginal suatu berkas garis lengkung dengan
persamaan f (x, y, suatu parameter, ialah kumpulan garis
lengkungn yang memotong tegak lurus suatu anggota berkas
garis lengkung itu.
Jika kedua ruas persamaan f (x, y, ) = 0 diturunkan ke x, maka
terdapat x
f
+ y
f
. x
y
= 0
Dengan menghilangkan dari persamaan ini dan persamaan
bekas, maka hasil eliminasi berbentuk (x, y, dx
dy) = 0, yaitu
persamaan differensial berkas garis lengkung itu, dan dipenuhi
oleh koordinat x dan y dari tiap titik pada anggota berkas garis
lengkung itu. Anggota trayektori orthogonal yang melalui titik P
(x, y) harus memenuhi
(dx
dy) tr = -
dx
dy
1 atau
dx
dy= -
)(
1
dx
dy tr
Jadi persamaan differensial dari trayektori orthogonal itu ialah
(x, y, -
dx
dy
1) = 0
Penyelesaian umum persamaan differensial ini adalah
persamaan trayek tori yang dicari.
64
Contoh 41.
Tentukan persamaan trayek teori orthogonal dari berkas garis
lengkung.
Y2 (2 -x) = x3, dimana suatu parameter.
Jawab : Jika kedua ruas diturunkan ke x terdapat 2 yy’ (2-x) –
y2 = 3 x
2
Jika parameter dihilangkan, maka
2yy’ . 2
3
y
x- y2 = 3 x2 atau 2x3 y’ = 3x2 y + y3, yaitu
persamaan diferensial berkas garis lengkung itu.
Persamaan eksak 2
22
)2(
4
2
2
x
xxydy
x
y dx = 0
Penyelesaian umum adalah F (x, y) = C, dimana x
F
=
2
22
)2(
4
x
xyx
dan 2
2
x
y
y
F.
Maka F (x, y) =
22
2 2
x
y
x
dyy + (x)
x
F
= -
2
2
)2( x
y + (x) =
2
22
)2(
4
x
xyx, jadi ’ (x)
2
2
)2(
4
x
xx atau (x)
2)2(
41
xdx = x +
2
4
x + C1
65
Persamaan trayekteori orthogonal
2
2
x
y + x +
2
4
x= C atau x2 + y2 – (2 + C) x + 4 + 2C = 0
yang merupakan berkas lingkaran pula.
Contoh 42 :
Jika C sebuah parameter, maka tentukanlah persamaan
trayektori berkas garis lengkung.
X2 + y2 = C ( yx + y)
Jawab : Jika kedua ruas diturunkan ke x, maka
2 (x + yy’) = C (22
'
yx
yyx
parameter C dihilangkan, terdapat :
2xy + (y2 – x2) y’ + (x + yy’) 22 yx = 0
Persamaan differensial trayektorimortogonal
2 xy y’ + x2 – y2 + (xy’ –y) 22 yx = 0 atau (2 xy + x
22 yx ) y’
Dengan substitusi u = x
y atau y = u x terdapat
(2 u + 21 u ) (x du + u dx) + (1 – u2 – u 21 u dx = 0
atau x
dx +
1
122
2
u
uu d u = 0 jadi
Persamaan eksak 2
22
)2(
4
2
2
x
xxydy
x
y dx = 0
66
Penyelesaian umum adalah F (x, y) = C, dimana
x
F
2
22
)2(
4
x
xyx
Dan
x
F =
2
2
x
y. Maka F (x, y) =
2
2
x
dyy+ (x)
x
F = -
2
2
)2( x
y + ’ (x) =
2
22
)2(
4
x
xyx, jadi ’ (x) =
2
2
)2(
4
x
xx
atau (x) =
2)2(
41
x dx = x +
2
4
x+ C1
Persamaan trayektori orthogonal
2
2
x
y + x
2
4
x = C atau x2 + y2 – (2 + C) x + 4 + 2C = 0
yang merupakan berkas lingkaran pula.
Contoh 43 :
Jika C sebuah parameter, maka tentukanlah persamaan
trayektori orthogonal berkas garis lengkung
x2 + y2 = C ( 22 yx + y)
Jawab : Jika kedua ruas diturunkan ke x, maka
2 (x + yy’) = C ( )''22
yyx
yyx
67
Parameter C dihilangkan, terdapat
2xy + (y2 – x2) y’ + (x + yy’) 22 yx = 0
Persamaan diferensial trayektori orthogonal
2 xy + (y2 – x2) y’ + (x + yy’) 22 yx = 0 atau (2 xy + x
22 yx ) y’ + x2 –y2 –y 22 yx = 0
Dengan substitusi u = x
yatau y = u x terdapat
(2 u + 21 u ) (x du + u dx) + (1 – u2 – u 21 u ) dx = 0
atau x
dx +
1
22
2
u
uau du = 0, jadi
In x + In (u2 + 1) + In (u + 21 u ) = In C atau
X (u2 + 1) (u + 21 u ) = C
Persamaan trayektori orthogonal
(x2 + y2) (y + 22 yx ) = C x2
Soal.
Jika C suatu parameter, maka carilah persamaan trayektori
orthogonal berkas garis lengkung di bawah ini.
1) y2 = 2x2 (1 – Cx)
2) x (x2 + y2) = 2 Cy
3) xy + C (x – 1)2 = 0
4) (x2 + y2)2 = C (2 x2 + y2)
5) x3 – 3 xy2 = C
6) x (x2 + y2) + C (x2 – y2) = 0
7) y = x – 1 + C e –x
68
8) ex2 + y2 = Cy
II. Trayektori orthogonal dalam koordinat kutub
Jika suatu parameter, maka F (r, , ,) = 0 menyatakan
persamaan berkas garis lengkung dalam koordinat kutub.
Maka persamaan differensialnya berbentuk F (r, , d
dr) = 0
Jika } (r , ) sebuah titik pada salah satu anggouta berkas garis
lengkung itu, maka dapat dibuktikan bahwa :
Tg =
a
dr
r
Dimana adalah sudut antara jari-jari arah 0} dengan garis
singgung di titik } pada garis lengkung.
Q
R
sumbu kutub
0
Gambar 1
Bukti : ditentukan dua titik l (r, ) dan Q (r + r, + ) pada
garis lengkung itu.
69
Lihat gambar 1
Ditarik } R tegak lurus 0, maka } R = r sin dan
RQ = r + r – r cos r,
Tg R Q P =
)cos1(
sin
r
r
rr
r
)2
1sin2
sin
2
=
sinr x
rr 2
1
21
21
sinsin
.
1
Jadi tg = lim tg R Q P =
a
dr
r
Untuk trayektori orthogonal beerlaku 1 = + 90o, dimana 1
adalah sudut antara jari-jari arah OP dengan garis singgung di P
pada trayektori orthogonal. Maka :
1 = + 90o, jadi tg = tg ( 1 - 90o) = - cotg
r
d
dr
Jadi jika dalam persamaan differensial F (r, , d
dr) = 0
Bentuk
a
dr
r diganti dengan
r
d
dr
maka terdapat persamaan
diferensial trayektori orthogonal dalam koordinat kutub./
70
Contoh 44.
Carilah persamaan trayektori orthogonal berkas garis lengkungn
r = 2 n cos , jika a suatu parameter.
Jawab : dr = -2 a sin d
Parameter a dihilangkan, maka 2a = cos
r, jadi dr – r tg d
atau
a
dr
r = - cotg d
Persamaan differensial trayektori orthogonal -
r
d
dr
= - cotg
Atau r
dr= cotg d
, jadi in r = In sin + In C
Persamaan trayektori orthogonal r = C sin
III. Trayektori isogonal
Trayektorim isogonal dengan sudut dari suatu berkas garis
lengkung dengan perasaan f (x, y, ) = 0 ialah kumpulan garis
lengkung yang memotong semua anggota berkas garis lengkung
itu dengan sudut .
Misalkan persamaan differensial berkas garis lengkung itu
F (x, y, dx
dy) = 0, dimana
dx
dy berarti tangens sudut antara
garis singgung disebuah titik P pada anggota berkas itu dengan
sumbu x positif.
71
Lihat gambar 2
Y
P
0 Q X
Untuk trayektori isogonal dengan sudut berlaku (dx
dy) tr
= tg , dimana = + , jadi
Tg =
tgtg
tgtg
1
=
trdx
dytg
trdx
dytg
)(.1
)(
Persamaan differensial trayektori isogonal dengan sudut ialah
Fn (x, y, 0
.1
tgdx
dy
tgdx
dy
Contoh 45. Jika a sebuah parameter, tentukanlah persamaan
trayektori isogonal dengan sudut 45o dari berkas hiperbola xy = a
72
Jawab :
Persamaan diferensial berkas hiperbola ialah xy’ + y = 0
bersamaan differensial trayektori isogonal dengan sudut 45o ialah
dx
dydx
dy
1
1 + y = 0 atau x (
dx
dy- 1) + y (1 + ) = 0
r + y) dy + (y – x) dx = 0, (1 : x
y) dy + (
x
y - 1) dx = 0
Institusi t = x
y atau y = tx , maka
(1 + t) (t dx + x dt) + ( t-1) dx = 0, x
dx + 0
12
12
dt
tt
t
(tx + ½ In (t2 + 2t – 1) = In C, x2 ) (t2 + 2t –1) = x2 (2
2
x
y+ x
y2- 1) = C
Persamaan trayektori isogonal y2 + 2 xy – x2 = C
Contoh 46
Tentukan trayektori isigonal dengan sudut 45o dari berkas
lingkaran dari berkas lingkaran x2 + y2 = 2 k (x + y) dimana k suatu
parameter.
Jawab : 2x + 2 yy’ = 2 k (a + y’)
Parameter k dihilangkan, maka 2 k = yx
yx
22
Jadi 2x + 2yy’ = yx
yx
22
(1 + y’) atau
(2x + 2 yy’) (x + y) = (x2 + y2) (1 + y’)
73
(2 xy + 2 y2 – x2 – y2) y’ + 2 x2 + 2 xy – x2 – y2 = 0
(y2 – x2 + 2 xy) y’ + (x2 – y2 + 2 xy) = 0
Persamaan diferensial trayektori isogonal
(y2 – x2 + 2 xy)
dx
dydx
dy
1
1 + (x2 – y2 + 2 xy) = 0
(y2 – x2 + 2 xy) (y’ – 1) + (x2 – y2 + xy) (1 + y’) = 0
2 xy . y’ + x2 – y2 = 0, x
y2dy + (1 -
2x
y) dx = 0
Substitusi u = x
y atau y = ux, maka
2 u (u dx + x du) + (1 – u2) dx = 0 atau
(u2 + 1) dx + 2 xu = 0, x
dx +
1
22 u
duu= 0
In x + In (u2 + 1) = In C atau
x ( )12
2
x
y= C jadi persamaan trayektori isogonal ialah
x2 + y2 = Cx (berkas lingkaran).
SOAL :
1) Tentukan persamaan trayektori isogonal dengan sudut 45o
dari berkas lingkaran (x – a)2 + y2 = a2, dimana a suatu para
meter.
Jika a suatu parameter, maka tentukan trayektori artogonal berkas
garis lengkung dalam koordinat kutub.
2) R = a (1 – cos )
3) R cos = sin 2
4) R = a (sec + tg )
5) R2 sin 2 = a
74
BAB VII
PERSAMAN DIFFERENSIAL SIMULTAN
Jika x dan y masing-masing adalah fungsi dari arguimen t, maka
persamaan persamaan differensial yang menyatakan hubungan
antara x, y t dan turunan-turunan ke t, disebut persamaan differensial
simultan, misalnya
f (x, y, t, x’, y’, x”, y”, … ) = 0
(x, y, t, x’, y’, x”, y”, … ) = 0
dimana banyaknya persamaan sama dengan banyaknya fungsi yang
tidak diketahui.
Menyelesaikan persamaan differensial simultan berarti menentukan
fungsi-fungsi itu.
Caranya ialah dengan menghilangkan salah satu fungsi (misalnya y)
dari persamaan-persamaan itu beserta turunan-turunan dari y ke t.
Untuk itu diambil prsamaan yang bertingkat terendah dalam y,
misalnya bertingkat satu. Dari persamaan ini y’ dapat dicari, artinya
dinyatakan dalam y, x, t dan turunan-turunan dari x ke t.
Dengan menurunkan ke t dapat diperoleh y”, Y”’ dst nya.
Jika nilai-nilai ini dimasukkan dalam persamaan lainnya, maka dalam
ersamaan itu tidak terdapat lagi turunan-turunan dari y ke t, sehingga
y dapat dicari, artinya dinyatakan dalam x, t dan turunan-turunan dari
x ke t. Jika kedua ruas persamaan ini diturunkan lagi ke t dan
hasilnya dimasukkan dalam persamaan pertama, maka y dapat
dihilangkan.
Contoh 47.
Selesaikan persamaan differensial simultan
x’ – 4x – y = -36 t
y’ + 2x – y = -2 et
75
Jawab : x” – 4x’ – y’ = -36
X” – 4 x’ + 2x – y + 2 et + 36 = 0
-y = -x’ + 4x – 36 t
Jadi x” – 5x’ + 6x = 36 (t – 1) –2 et
Persamaan teredusir x” – 5x’ + 6x = 0
Substitusi x = eut, maka u” – 5u + 6 = 0; (u – 2) (u – 3) = 0
Penyelesaian umum
x = C1 e2t + C2 c3t + 6 t – 1 - et
x1 = 2 C1 e 2t + 3 C2 e3t + 6 - et
y = x’ – 4x + 36 t
= 2 C1 e2t + 3 C2 ct3 + 6 – et – 4 (C1 e2t + C2e3t
6t – 1 – et) + 36 t
atau y = -2 C1 – C2 e3t – 12 t + 10 + 3 et
Contoh 48 :
Selesaikan persamaan differensial simultan
x” = 2x + 3y + e2t
y” + 2y + x = 0
Tentukan pulapenyelesaian khusus yang memenuhi syarat : untuk t = 0
maka x = y = 1 dan x’ = y’ = 0
Jawab :
x = -y” – 2y, jadi x” = -y (4) – 2 y”
Terdapat – y(4) – 2 y” + 2y” + 4y – 3 = e2t atau
Y(4) – y = - e2t, jadi
y = C1 et + C2 e-t + C3 cos t + C4 sin t -
15
1e2t
y” = C1 et + C2 e-t – C3 cos t – C4 sin t - 15
4e2t, maka
x = -3C1 et – 3 C2 e-t – C3 cos t – C4 sin t, 5
2 e2t
76
Untuk t = 0 maka x = -3 C1 – 3 C2 – C3 + 5
2 = 1,
Y = C1 + C2 + C3 - 15
1 = 1, y’ = C1 – C2 + C4 -
15
2 = 0
Dan x’ = -3C1 + 3 C2 – C4 + 5
4 = 0
Terdapat C1 = - ¼ , C2 = - 12
7, C3 =
10
19dan C4 = -
5
1
Penyelesaian khusus :
X = 4
3 et +
4
7 e-t -
10
19cos t +
15
1 sin : -
15
1 sin : +
3
2 e2t
Y = ¼ et - 12
1 e –t +
10
19 cos t -
5
1 sin : -
15
1 e2t
Contoh 49 :
Selesaikan persamaan differensial simultan
Y” + 2y – 3 z’ = 5 cosx – 5 sin x …. (1)
Z’ – 8 z + 2 y’ = 15 cos x …. (2)
Jawab : Akan dihilangkan fungsi y, jadi juga y’ dan y”
Dari (2) didapat y’ = ½ (-2” + 8 z’ – 15 cos x)
Maka y” = ½ (-z”’ + 8 z’ – 15 sin x)
Jika nilai-nilai ini dimasukkan dalam (1) , terdapat
-z”’ + 6z’ – 15 sin x + 4y – 6 z’ = 10 cos x + 10 sin x atau 4y = z”’ – 2
z’ + 10 cos x + 25 sin x
Jika diturunkan ke x, terdapat 4y’ = z (4) – 2 z” = 10 sin x + 25 cos x
Dimasukkan dalam (2) memberikan
Z(4)+ - 2 z” – 10 sin x + 25 cos x = -2 z” + 16 z + 30 cos x
Atau z (4) – 16 z = 5 cos x + 10 sin x
Persamaan teredusir z(4) – 16 z = 0 mempunyai penyelesaian
z = C1 e2x + C2 e-2x + C3 cos 2x + C4 sin 2x
77
Penyelesaian partikuler z = p cos x + q sin x,
Dimana p = -3
1 dan q = -
3
2
Penyelesaian umum :
z = C1 e2x + C2 e-2x + C3 cos 2x + C4 sin 2x - 3
1 cos x -
3
2 sin x
Jika nilai x ini dimasukkan dlaam (2) terdapat
2 y’ = - z” + 8 z + 15 cos x atau
y’ = 6 C3 cos 2x + 6 C4 sin 2x + 2C1 e2x, 2 C2 e-2x + 6 cos x – 3 sin x.
Jadi penyelesaian umum
y = C1 e2x – C2 e –2x + 3 C3 sin 2x – 3 C4 cos 2x + 6 sin x + 3 cos x + C5
Soal :
Tentukan penyelesaian umum persamaan differensial simultan
berikut ini.
1) x’ + x – 2y = sin t, y’ + x – y = 3t
2) x” – 4x + y’ + 12 = 0, y” – y – 10 x’ + 7 = 0
3) y’ – z’ = x – y, y’ + z = x2 + y
4) x” – 3 y’ + 2 z = 0, x – y’ = e2t, y – z’ = e-2t
5) x’ + 5x + y = ct , y’ + 3y – x = e2t
78
BAB VIII
PEMAKAIAN DALAM GEOMETRI
Contoh 50.
Tentukan persamaan garis lengkung yang mempunyai sifat bahwa
setiap titik padanya, panjang normal, sama dengan jarak titik asal 0
ke titik potong normal itu dengan sumbu x.
Jawab : Lihat gambar 3.
P
Y = f (x)
n
t y
R
Q st S sn
Gambar 3
PQ = tempat t
PR = normal n
QS = sub tangent st
SR = sub normal sn
Panjang normal di titik P (x’ y) adalah PR = y 2)'(1 y
79
Persamaan normal dititik p (x, y) ialah Y – y = - '
1
y ( X – x)
Titik potong dengan sumbu x : Y = 0, maka X = yy’ + x
Persamaan differensial berkas garis lengkung yang dicari adalah
Y 2)'(1 y = yy’ + x atau (x2 – y2) dx + 2 xy dy = 0
1 - 2
2
x
y dx +
x
y2dy = 0; substitusi u =
x
y atau
y = ux, maka (1 – u2) dx + 2 u (u dx + x du) = 0
(1 + u2) dx + 2 xu du = 0, x
dx+
21
2
u
duu
= 0
In x + In (1 + u2) = In C
Persamaan berkas garis lengkung x2 + y2 = Cx (berkas lingkaran).
Contoh 51
Tentukan persamaan garis lengkungn yang mempunyai sifat bahwa s
= a tg dimana s menyatakan panjang busur dari titik asal 0 dan
menyatakan sudut antara garis singgung dengan sumbu x positif.
Jawab
Tg = y’, maka s = 1 y’
Jika kedua ruas diturunkan ke x, maka
dx
ds = a
2
2
dx
yd atau 2)(
dx
dya = a
2
2
dx
yd jadi
1 +
2
dx
dy = a2
2
2
2
dx
yd
Misalkan p = dx
dy, maka
dx
dp=
2
2
dx
yd jadi
80
1 + p2 = a2
2
dx
dp atau
21 p
pda
= dx
Terdpat C (p + 2pa = ea
x - e a
x
Jadi y = ½ a (aa
x + e -
a
x) + C1
Karena untuk x = 0, y = 0, maka C1 = -a
Persamaan garis lengkungn y = ½ a (ex/a + a –x/a) – a
Contoh 52
Fungsi y = f (x) memenuhi persamaan differensial yy” = 1 + (y’)2
Grafik y = f (x) melalui titik P (0,5) dan menyinggung garis y = 3.
Tentukan f (x).
Jawab : Misalkan y’ = p, maka y’ = p dy
dp
Jadi py dy
dp = p2 + 1 atau
y
dy
p
dp
12,
½ In (p2 + 1) = In y + ½ In C atau p2 + 1 = Cy2
Karena f (x) menyinggung garis y = 3, berarti untuk y = 3, p = 0,
maka 0 = 9
1
Terdapat p2 = 9
1 (y2 – 9) atau p = y’ =
3
1 92 y
9
32 y
dy= dx, jadi 3 In (y + 92 y ) = x + C1
Untuk x = 0, y = 5, maka C1 = 3 In 9
81
Persamaan garis lengkung ialah :
3 In y + 92 y = x + 3 In 9
Contoh 53
Tentukan persamaan garis lengkungn melalui titik A (0, a) yang
mempunyai sifat bahwa untuk semua titik P padanya, proyeksi
ordinat titik P pada normal di titik P adalah tetap sama dengan a.
Jawab : Lihat gambar 4
Y
Y = f(x) P
a
y
X
0
cos = 2)'(1
1
y= y
a
atau y = a 2)'(1 y
1 + (y’)2 = 2
2
a
y, (y’)2 =
2
22
a
ay
atau a y’ = 22 ay
82
22 ay
dya
a In ( y + 22 ay ) = x + C
untuk x = 0, y = a, maka C = a In a
Terdapat a Ln
y
cyy 22
= x
y
1 + 22 ay = a e
a
x= a cosh
a
x
Contoh 54
Pada grafik y = f (x) terletak titik sebarang P.
Garis singgung dan normal di titik P memotong sumbu y berturut
turut di titik A dan B.
Jika titik asal 0 adalah titik tengah AB, maka tentukanlah f (x).
Jawab : Garis singgung di titik P (x, y) persamaannya Y – y = p (X –
x) maka yA = y = px. Normal di titik P (x, y) persamaannya
Y – y = - p
1 (X – x), maka yB = y +
p
x
Karena titik asal 0 adalah titik tengah AB, maka yA + yB = 0 atau y =
½ px - p
x
2, yaitu persamaan d’ Alembert
Jika kedua ruas diturunkan ke x, maka kita peroleh
P = ½ p + ½ x dx
dp- ½
2p
xp dx
dp
atau
83
½ (p
p 12 )= x ½ x.
2
2 1
p
p . dx
dp . Jadi
p
dp = x
dx,
p = C x dx
dy atau dy = C x dx
Persamaan garis lengkungn y = ½ C x2 + C1
Contoh 55;
Tentukan persamaan garis lengkungn yang mempunyai sifat bahwa
di tiap titik padanya, proyeksi jari-jari kelengkungan pada sumbu x
panjangnya tetap = a.
Jawab : Lihat gambar 5
M
r
R Q
Gambar 5
84
MP = r = "
)'1( 2/32
y
y
R Q = P sin = a
Persamaan diferensial garis lengkungn yang ditanyakan ialah :
"
)'1( 2/32
y
y x
2'
11
1
y
atau "
'
y
y(1 + y’2) = a, y’ (1 + y’2) = a y”
Misalkan y’ = p maka y” = dx
dp, jadi
P (1 + p2) = a dx
dp atau
)1( 2pp
adp
= dx
a =
21 p
dpp
p
dp = dx, jadi
a In p – ½ a In (1 + P2) = x + C
2 In p – In (1 + p2) = a
2 (x + C) atau p2 =
)(2
2
1
)(
Cxa
a
e
Cxe
,
dx
dy=
)(2
2
1
)(
Cxa
a
e
Cxe
jadi
85
y = a
)(
2)(
2
1Cx
a
a
Cx
Cxa
a
Cx
a
Cx
ea
dea
e
de
Persamaan garis lengkungn y =a arcsin
a
Cx
e + C1
SOAL-SOAL
1) Titik P (x, y) adalah titik sebarang pada garis lengkungn y =
f (x). Garis singgung di titik P pemotong sumbu y di titik Q.
Jika OQ2 = ax )2 tetap), maka tentukanlah f (x)
2) Tentukan persamaan garis lengkungn melalui titik asal 0
yang mempunyai sifat di tiap titik P padanya, panjang garis
singgung antara P dan titik potongnya dengan sumbu x = ½
busur OP.
3) Tentukan persamaan garis lengkungn yang di tiap titiknya,
normalnya dibagi dua sama oleh sumbu y.
4) Tentukan persamaan garis lengkungn melalui titik A ( ½ a,
0) sehingga di tiap titik P (x, y) padanya, panjang busur AP
sama dengan a
1 . x2
5) Tentukan persamaan garis lengkungn yang di tiap titik
padanya panjang jari-jari kelengkungannya sama dengan
panjang normal di titik itu.
6) Tentukan persamaan garis lengkungn yang di tiap titik P
padanya, luas trapezium yang dibatasi oleh sumbu x,
sumbu y, garis singgung di P dan ordinat titik P, nilai tetap
= a2.